Timide introduction aux mathématiques discrètes

(1)

Timide introduction aux mathématiques discrètes

Guillaume CONNAN & Thierry BRUGÈRE

IUT de Nantes - Dpt d'informatique

19 septembre 2011

(IUT de Nantes - Dpt d'informatique ) 1 / 43

(2)

Sommaire

1 Calcul booléen Algèbre de Boole Fonctions booléennes Portes logiques Minimisation de circuits 2 Un peu de Python

fonctions

La structure conditionnelle Les boucles tant que Les listes

Les dictionnaires Les boucles pour

(3)

Calcul booléen

Sommaire

fonctions

(4)

Calcul booléen Algèbre de Boole

Sommaire

fonctions

(5)

(P(E),∪,∩,Ù_E,⊆,;,E)

(B,+,·,a,É,0,1)

(6)

(P(E),∪,∩,Ù_E,⊆,;,E)

(B,+,·,a,É,0,1)

(7)

P(E) B P(E) B

; ∪ ; = ; 0+0=0 ; ∩ ; = ; 0·0=0 E∪E=E 1+1=1 E∩E=E 1·1=1 A∪ ; =A a+0=a A∩ ; = ; a·0=0 A∪E=E a+1=1 A∩E=A a·1=a A∪A=A a+a=a A∩A=A a·a=a A∪A=E a+a=1 A∩A= ; a·a=0

Table:Correspondance entre P(E) et B

(8)

P(E) B P(E) B

(9)

P(E) B P(E) B

(10)

P(E) B P(E) B

(11)

P(E) B P(E) B

(12)

P(E) B P(E) B

(13)

P(E) B P(E) B

(14)

P(E) B P(E) B

(15)

P(E) B P(E) B

(16)

P(E) B P(E) B

(17)

P(E) B P(E) B

(18)

P(E) B P(E) B

(19)

P(E) B P(E) B

(20)

P(E) B P(E) B

(21)

P(E) B P(E) B

(22)

P(E) B P(E) B

(23)

P(E) B P(E) B

(24)

P(E) B P(E) B

(25)

P(E) B P(E) B

(26)

P(E) B P(E) B

(27)

P(E) B P(E) B

(28)

P(E) B P(E) B

(29)

P(E) B P(E) B

(30)

P(E) B P(E) B

(31)

Les surprises

a+(b·c) (b·c)+a a+a a·a a+1

(a+b)·(a+c) a+a·b a·(a+b) a·a a+a

(32)

Les surprises

(33)

Les surprises

(34)

Les surprises

(35)

Les surprises

(36)

Les surprises

(37)

Les surprises

(38)

Les surprises

(39)

Les surprises

(40)

Les surprises

(41)

Les surprises

(42)

Realation d'ordre

aÉb⇐⇒a+b= aÉb⇐⇒a·b= aÉb⇐⇒a+b=

aÉb⇐⇒a·b= 0Éa·bÉaÉa+bÉ1

(43)

Realation d'ordre

(44)

Realation d'ordre

(45)

Realation d'ordre

(46)

Realation d'ordre

(47)

Algèbre de Boole binaire

B₂

(48)

Table canonique.

Loi de De Morgan

(49)

Table canonique.

Loi de De Morgan

(50)

Dualité

x(y+z)=xy+xz : duale ? x+yz=(x+y)(x+z)

(51)

Dualité

(52)

Dualité

(53)

Dualité

(54)

Calcul booléen Fonctions booléennes

Sommaire

fonctions

(55)

Support

S_n(f )=©

b∈B₂ⁿ|f (b)=1^ª

(56)

Fonctions de B

₂²

x y f₀ f₁ f₂ f₃ f₄ f₅ f₆ f₇ f₈ f₉ f₁₀ f₁₁ f₁₂ f₁₃ f₁₄ f₁₅

0 0 1

0 1 0

1 0 1

1 1 0

(57)

littéral positif littéral négatif

monôme booléenpourquoi ? polynôme booléen

(58)

(59)

(60)

(61)

monôme booléen pourquoi ? polynôme booléen

(62)

Un p-terme minterme

Un s-terme (clause)maxterme Disjonctive

Disjonctive canonique Conjonctive

Conjonctive canonique

(63)

Un p-terme minterme

(64)

Un p-terme minterme

(65)

Un p-terme minterme

(66)

Un p-terme minterme

Un s-terme (clause) maxterme Disjonctive

(67)

Un p-terme minterme

(68)

Un p-terme minterme

(69)

Un p-terme minterme

(70)

Obtenir la forme canonique disjonctive

f =f (x1,x2,x3)=(x₁+x2)x₃

x₁ x₂ x₃ x₁+x₂ x₃ f (x₁,x₂,x₃)

1 1 1

1 1 0

1 0 1

1 0 0

0 1 1

0 1 0

0 0 1

0 0 0

On en déduit aussi la forme canonique conjonctive

(71)

Obtenir la forme canonique disjonctive

f =f (x1,x2,x3)=(x₁+x2)x₃

x₁ x₂ x₃ x₁+x₂ x₃ f (x₁,x₂,x₃)

1 1 1

1 1 0

1 0 1

1 0 0

0 1 1

0 1 0

0 0 1

0 0 0

On en déduit aussi la forme canonique conjonctive

(72)

Calcul booléen Portes logiques

Sommaire

fonctions

(73)

Portes US

x

y x·y x

y x+y x x

x

y x|y x

y x↓y x

y x⊕y

(74)

Portes à l'européenne

& ≥1 1

& ≥1 =1

x

y x·y x

y x+y x x

x

y x|y x

y x↓y x

y x⊕y

(75)

&

≥1

1 1 x

y

x x·y+x·y

(76)

Calcul booléen Minimisation de circuits

Sommaire

fonctions

(77)

Construisez les circuits correspondant à xyz+xyz et xz. Des remarques ?

(78)

1 x 0

0 y 1 f

xy xy xy xy

(79)

Par exemple, pour xy+xy on obtient :

1 x 0

0 y 1 f

1 1

(80)

f (x,y,z)=xyz+xyz+xyz+xyz+xyz.

1 x 0

00 01 yz 11 10 f

1 0 1 0

1 1 1 0

Alors f (x,y,z)=yz+xy+yz.

(81)

1 x 0

00 01 yz 11 10 f

1 0 1 0

1 1 1 0

Alors f (x,y,z)=yz+xy+yz.

(82)

1 x 0

00 01 yz 11 10 f

1 1 1 0

1 1 0 0

Cette fois, f (x,y,z)=y+xz.

(83)

1 x 0

00 01 yz 11 10 f

1 1 1 0

1 1 0 0

Cette fois, f (x,y,z)=y+xz.

(84)

Écrivez l'expression booléenne correspondant à ce diagramme :

10 11 01 00

x₀x₁

00 01x₂x₃11 10 f

1 0 0 1

0 0 1 1

1 1 0 1

0 0 1 1

On obtient f (x0,x1,x2,x3)=x1x2+x1x3+x0x1x2

(85)

Écrivez l'expression booléenne correspondant à ce diagramme :

10 11 01 00

x₀x₁

00 01x₂x₃11 10 f

1 0 0 1

0 0 1 1

1 1 0 1

0 0 1 1

On obtient f (x0,x1,x2,x3)=x1x2+x1x3+x0x1x2

(86)

Un peu de Python

Sommaire

fonctions

(87)

Un peu de Python fonctions

Sommaire

fonctions

(88)

Un peu de Python fonctions

>>>def^f(x): ... return^x**2 ...

>>> f(2) 4

(89)

Un peu de Python La structure conditionnelle

Sommaire

fonctions

(90)

Un peu de Python La structure conditionnelle

def^{max2(a, b)}: if^a<=^b:

return^b else:

return^a

(91)

Un peu de Python Les boucles tant que

Sommaire

fonctions

(92)

Un peu de Python Les boucles tant que

def^{pgcd(a, b)}: while^{b > 0}:

a, b = b, a% ^b return^a

(93)

Un peu de Python Les listes

Sommaire

fonctions

(94)

>>> liste = [12,11,18,7,15,3]

>>> liste[0]

12

>>> liste[:^2]

[12, 11]

>>> liste[2:^]

[18, 7, 15, 3]

>>> liste[2:^4]

[18, 7]

>>> liste[-1]

3

>>> tete=liste.pop⁽⁰⁾

>>> tete 12

>>> liste

[11, 18, 7, 15, 3]

>>>len^(liste)

5

(95)

la méthode son eet

list.append(x) ajoute l'élément^xen n de liste

list.extend(L) ajoute en n de liste les éléments de L

list.insert(i, x) insère un élément^xen position ⁱ

list.remove(x) supprime la première occurence de^x

list.pop(i) supprime l'élément d'indiceⁱet le renvoie

list.index(x) renvoie l'indice de la première occurence de^x

list.count(x) renvoie le nombre d'occurences de^x

list.sort() modie la liste en la triant

list.reverse() modie la liste en inversant l'ordre des éléments

(96)

Un peu de Python Les dictionnaires

Sommaire

fonctions

(97)

Un peu de Python Les dictionnaires

>>> tel=^{’Roger’ :’02 40 00 00 00’, ’Marcelle’ : ’02 40 00 00 01’}

>>> tel[’Marcelle’]

’02 40 00 00 01’

>>> tel.has key^{(’Roger’)} True

>>> tel.keys⁽⁾

[’Marcelle’, ’Roger’]

(98)

Un peu de Python Les boucles pour

Sommaire

fonctions

(99)

>>> r=range⁽⁵⁾

>>> r

[0, 1, 2, 3, 4]

>>> s=range^(3,9)

>>> s

[3, 4, 5, 6, 7, 8]

>>> t=range^(3,9,2)

>>> t [3, 5, 7]

(100)

>>>def^f(n):

forⁱin range⁽ⁿ⁾:

print(’Je me répète ’+str(n)+’ fois’)

... ... ...

>>> f(3)

Je me répète 3 fois Je me répète 3 fois Je me répète 3 fois