Seconde Correction TD : Fonctions et géométrie dans l’espace 2014-2015
Dans le parallélépipède rectangle ci-dessous, on donne les longueurs :AB= 4,BC= 3 etAE = 5.
Le pointM se situe sur le segment [BF] et on appellexla longueurBM.
A B
D
E F
C
H G
M
x
Le but de l’exercice est d’étudier la longueur du trajet L=EM+M C en fonction de la position deM. 1. Déterminer les valeurs exactes ou arrondies à 10−1 près de la longueurL:
(a) lorsqueM se situe en B :L=EM+M C=EB+BC =
P yth.
√52+ 42+ 3 = 3 +√41≈9,4 à 0,1 près ; (b) lorsqueM se situe en F :L=EM +M C=EF +F C =
P yth.4 +√52+ 32= 4 +√34≈9,8 à 0,1 près ; ; (c) lorsque M se situe au milieu de [BF] : L = EM +M C = EK+KC =
P yth.
√2.52+ 42+√
2.52+ 32 =
√22.25 +√
15.25≈8,6 à 0,1 près . (K milieu de [BF])
• • •
2. (a) Ensemble des valeurs possibles que peut prendre la variable x : M ∈ [BF] donc 0 6 BM 6 BF ⇔ 06x65 .
(b) BM=xetM F =BF−BM= 5−x. En utilisant deux fois le théorème de Pythagore, on trouve : L(x) =√
EF2+M F2+√
BM2+BC2=p
42+ (5−x)2+√
x2+ 9 = √
41−10x+x2+√ x2+ 9
• • •
3.
x L(x) 0 9.4031 1 8.8191 2 8.6056 3 8.7148 4 9.1231 5 9.8310
Le minimum est obtenu pour x entre 1 et 3.
x L(x) 1 8.8191 1.1 8.7819 . . . .
2 8.6056 2.1 8.6026 2.2 8.6028 . . . .
3 8.7148
Le minimum est obtenu pour x
entre 2 et 2,2. x
y=L(x)
≈2,1
≈8,6
1 1 O
b
• • •
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4. Patron du parallélépipède :
D3 C2
D1
A B C1
H1 E F G1 H2
D2
G2
H3
bb
M0
M
x0
À la position M0 sur l’arête [BF], qui permet d’obtenir le minimum de la fonctionL, on attribue la valeur x0. En d’autres termesL(x0) est le minimum deLsur l’intervalle [0; 5].
L’utilisation du théorème de Thalès permet de préciser la valeur dex0 : M0B
AE =C1B C1A ⇔ x0
5 =3
7 ⇔ x0= 15 7 Le minimum deLvaut exactementL
15 7
= √74 à 0,0001 près : 15
7 ≈2,1429 et √74≈8,6023
Pour préciser un peu les choses, le tableau de variations de la fonctionL: x
Variations deL
0 15
7 5
3 +√41 3 +√41
√74
√74
4 +√34 4 +√34
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