Études des relations entre activités solaire et géomagnétique

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Études des relations entre activités solaire et

géomagnétique

Etienne Rifa

To cite this version:

Etienne Rifa. Études des relations entre activités solaire et géomagnétique. [Internship report] CNES; UPS Toulouse. 2011. �hal-01295599�

Stage de fin d’études 2010-2011

M2 - Biostatistiques et modélisation

Études des relations entre

activités solaire et géomagnétique

Etienne RIFA

CENTRE NATIONAL D’ETUDES SPATIALES 18 avenue Edouard Belin

31401 TOULOUSE Cedex 9 - FRANCE

Sous la direction de Norbert Suard & Françoise Carvalho services LN & ITP

Résumé

La qualité des informations produites par les Systèmes de Navigation tel que GPS / EGNOS dépendent de beaucoup de facteurs. Nous nous intéressons plus précisément aux évènements ionosphériques qui sont les plus importants dans la déficience de ces services. Cette étude nous place en amont de ces évènements, nous étudions la relation qui peut exister entre l’activité so-laire et géomagnétique. Les évènements ionosphériques dépendent directement du géomagné-tisme mais nous n’avons pas encore une idée précise de la relation avec le soleil. Par l’utilisation d’outils de traitement de signal ainsi que par optimisation de modèle, nous prouvons que les ac-tivités géomagnétique et solaire sont simplement liées par une relation linéaire. Cette relation évolue dans le temps mais reste de la même nature. Nous avons également procédé à une étude des différents cycles que contiennent les données solaires et géomagnétiques et il s’avère que certains soient communs entre les deux activités. Enfin nous faisons l’étude des occurrences des orages géomagnétique que nous considérons comme des évènements rares cependant il est possible de leur attribuer une probabilité selon leur puissance.

Mots-clés : Navigation – traitement du signal – relation – activité solaire – activité géoma-gnétique.

Summary

The quality of the information provided by navigation systems such as GPS / EGNOS de-pends on many factors. We are specifically interested in the ionospheric events which cause the most relevant losses of these services. This study focuses on the previous state of these events, studing the relationship that may exist between the solar activity and geomagnetic one. Ionos-pheric events are directly dependent on geomagnetism, but we do not have a clear idea of the relation between them and the sun. By using signal processing tools and optimization modelling, we show that the geomagnetic and solar activities are simply related by a linear relationship. This relationship evolves over time but remains of the same nature. We have also studied the different cycles in solar and geomagnetic signals and we have founded that the two activities share some cycles. Finally we have studied the case of geomagnetic storms being considered rare events ; however, it is possible to assign a probability according to their power.

Remerciements

Ma gratitude revient tout d’abord à Norbert SUARD et Françoise CARAVALHO, mes maîtres de stage, qui m’ont permis de découvrir le monde du Spatial et notamment de la ra-dionavigation, attentifs et présents pour moi malgré leurs contraintes.

Je remercie Christophe BAEHR, mon tuteur de l’Université, qui au cours du stage s’est rendu très disponible pour tous les questionnements et soucis que j’ai pu rencontrer dans mes travaux d’analyse, je lui en suis très reconnaissant.

Je pense aussi aux nombreux agents et stagiaires des services LN, ITP, ST, SR et AN, avec qui j’ai pu partager des moments très agréables du début à la fin.

Table des matières

1 Introduction 1

2 Contexte, problématique 2

2.1 Présentation de l’organisme d’accueil . . . 2

2.2 Etat de l’art du GNSS . . . 2 2.3 La problématique . . . 4 2.4 Recherche bibliographique . . . 5 2.4.1 Relations . . . 5 2.4.2 Prédictions . . . 5 2.4.3 Cycles et occurrences . . . 6 2.5 Objectifs du stage . . . 6

3 Matériel & Méthodes 7 3.1 Les différents indices . . . 7

3.1.1 Indices solaires . . . 7

3.1.2 Indices géomagnétiques . . . 7

3.2 Mise en forme des indices . . . 9

3.3 Généralités sur le traitement du signal . . . 10

3.4 Les méthodes de traitement . . . 11

3.4.1 La Transformée de Fourier Rapide (FFT) . . . 11

3.4.2 La Densité Spectrale des Puissances (DSP) . . . 11

3.4.3 Transformée par ondelettes . . . 12

3.5 Spline naturelle . . . 13

3.6 Optimisation, régression non-linéaire . . . 14

3.7 Occurrences des évènements rares . . . 14

4 Résultats 15 4.1 Les relations entre les différents indices géomagnétiques . . . 15

4.2 Etude des différents cycles . . . 17

4.3 Mise en évidence d’une relation activité solaire/activité géomagnétique . . . . 19

4.3.1 Traitement par ondelette de Daubechies . . . 19

4.3.2 Traitement par ondelette de Morlet . . . 20

4.4 Analyse de phase entre les signaux . . . 22

4.5 Définition de la relation entre SSN et Aa . . . 23

4.6 Occurrence des maximums . . . 29

4.6.1 Analyse sur l’ensemble des données . . . 29

4.6.2 Etude de chaque cycle . . . 31

Table des figures

1 Ensemble des indices solaires et géomagnétiques en fonction du temps. . . 8

2 Traitement de l’indice Aa par la transformée de Fourier . . . 15

3 Signaux recomposés de tous les indices . . . 16

4 Spectre des Puissances des signaux SSN et Aa . . . 17

5 Graphiques représentant les indices SSN et Aa mensuels en fonction du temps. . 19

6 Décomposition multi-échelle des signaux par l’ondelette « db5 » . . . 20

7 Image des transformations multi-échelles des signaux avec l’ondelette de Morlet 21 8 Graphiques de corrélation entre SSN et Aa sur l’ensemble des échelles . . . 22

9 Graphique des signaux recomposés après ondelette de Daubechies 5 . . . 22

10 Spectre de déphasage entre l’indice SSN et Aa avec asymptote en 3π₂ . . . 23

11 Indice Aa lissé en fonction du SSN lissé. . . 23

12 Coefficient d’optimisation a et b entre 1868 et 2010 et coefficient de corrélation 24 13 Graphique du modèle optimisé tous les 12 mois . . . 25

14 Résultats de l’optimisation de la tendance des coefficients a et b pour le Modèle Aa. . . 26

15 Modèle avec les valeurs de coefficients estimées entre 1868 et 2010 et extrapo-lées pour la période entre 2010 et 2019. . . 26

16 Résidus du modèle . . . 27

17 Ajout des dernières données de Aa mensuel (janvier 2010 - juin 2011). . . 28

18 Nombre d’occurrences annuelles et mensuelles des orages magnétiques. . . 29

19 Distribution de l’indice Dst (log-transformé). . . 30

20 Représentation du F10.7 et Dst réunis . . . 31

21 Graphique de la densité de probabilité d(Dst ≤ −100nT ) en fonction du F10.7 moyen. . . 32

Liste des tableaux

1 Bilan des différentes sources d’erreurs GPS . . . 4

2 Ordre de grandeur de chaque indice . . . 9

E. Rifa 1 INTRODUCTION

1

Introduction

Le positionnement par GPS en navigation est extrêmement complexe à mettre en place. Pour repérer un point sur le globe terrestre, il faut mobiliser quatre satellites : trois pour la tri-angulation (position x, y, z sur un repère centré Terre) et un dernier pour corriger l’erreur de rattachement au temps système. C’est grâce au satellite SBAS (Satellite Based Augmentation System) que l’intégrité (une des quatre performances GNSS que nous développerons plus tard) des données est assurée. Or il arrive que les informations GPS soient dégradées régulièrement et donc l’intégrité de la position GPS est défaillante. Il est fort probable que ces problèmes soient dus aux évènements géomagnétiques. Ces évènements géomagnétiques sont très souvent les conséquences d’une forte activité solaire, mais cette affirmation n’est pas prouvée statisti-quement.

L’ionosphère est une partie de l’atmosphère terrestre située entre 60 et 1000 à 1200 km d’altitudes. C’est le lieu où de nombreuses réactions photochimiques dues aux radiations so-laires se produisent. Celles-ci agissent sur les gaz présents ce qui produit le plasma ionisé. Ces ions sont alors piégés dans le champ magnétique de la terre. Plusieurs évènements magnétiques peuvent se produire suite à ces réactions dont les plus connus sont les Aurores boréales au ni-veau du pôle Nord. Cela peut aussi induire des orages magnétiques plus ou moins sévères, les orages de forte puissance peuvent entraîner un effet de Plume qui est la conséquence de par-ticules chargées créant une variation dans le champs magnétique assez forte pour se propager suivant les lignes magnétiques, cela apparaît sur les cartes sous forme de plume magnétique d’où son nom (Eurocontrol’s funded study - 2010). La relation entre les indices magnétiques et les évènements ionosphériques semble être évidente (Kp et occurrence d’aurores boréales corrélés), or dans cette étude nous voulons mettre en évidence les relations qui peuvent exister entre l’activité solaire et l’activité géomagnétique. Les évènements que nous avons énumérés précédemment semblent prouver cette relation mais nous ne pouvons pas l’affirmer statistique-ment et de manière significative pour le mostatistique-ment. Si tel était le cas et en fonction des prévisions que l’on pourrait faire sur l’activité solaire, nous pourrions en déduire des prévisions sur les variations des indices magnétiques.

Dans un premier temps nous ferons le descriptif de l’organisme d’accueil, de la probléma-tique générale ainsi que de l’ensemble des données dont nous disposons. Dans une seconde partie nous ferons la liste exhaustive des méthodes utilisées pour atteindre les objectifs de notre étude. Dans la partie suivante nous détaillerons les résultats que nous avons obtenus et nous terminerons par une discussion des résultats et une conclusion.

E. Rifa 2 CONTEXTE, PROBLÉMATIQUE

2

Contexte, problématique

2.1

Présentation de l’organisme d’accueil

Mon stage s’est déroulé au Centre National des Etudes Spatiales (CNES Toulouse) au sein du service Localisation-Navigation (LN) et Instrumentation, Télémesure/Télécommande, Pro-pagation (ITP), ces services font eux même partie de la sous-direction Radio-Fréquence (RF). J’ai pu travailler en collaboration avec Norbert Suard (Ingénieur, LN) et Françoise Carvalho (Ingénieur, ITP).

Le CNES est un établissement public à caractère industriel et commercial (EPIC) placé sous la double tutelle du ministère de l’Enseignement et de la Recherche et du ministère de la Dé-fense. Fondé en 1961 son siège social est situé à Paris ; il existe trois centres spatiaux : le centre spatial d’Evry appelé la direction des lanceurs, celui de Toulouse spécialisé dans les véhicules et systèmes orbitaux, et le centre en Guyane française, dit le port spatial de l’Europe. A l’ori-gine, le CNES avait pour mission de proposer une stratégie spatiale et la mettre en œuvre. Il était capital à cette époque d’après guerre de se mettre au même niveau que les Etats-Unis et l’URSS pour ce qui est des avancées spatiales. En association avec l’ESA (Agence Spatiale Européenne), le CNES a permis de mettre en place des projets de grandes envergures, le pre-mier élément majeur fut le développement du lanceur Européen : Diamant A dont le prepre-mier lancement a été réalisé le 26 Novembre 1965 pour mettre en orbite le premier satellite Européen Astérix. Cet événement mit la France à la troisième position des puissances mondiales dans le domaine spatial. Dès lors, le CNES n’a pas cessé de développer les instruments d’exploration spatiale et de navigation.

2.2

Etat de l’art du GNSS

(N. Suard - Cours Supelec)

Pour comprendre comme il se doit l’objet de l’étude décrit ici, il est essentiel de préciser les différents principes de navigation et propagation dans le domaine Spatial. Le GPS (Global Positioning System) a été expérimenté dès 1978 mais l’ensemble des satellites mis en orbite n’ont été déclarés en service qu’à partir de 1995. D’autres systèmes accompagnent le GPS tel que GLONASS (Système de positionnement par satellite Russe), GALILEO (Européen) le plus récent.

Il existe plusieurs familles d’utilisateurs de ces systèmes de positionnement, les services GPS répandus tel que délivrés au travers de récepteurs applicatifs type Tomtom ou Garmin

E. Rifa 2 CONTEXTE, PROBLÉMATIQUE sont pour le grand public (civil) ; ce service est le moins complexe à mettre en œuvre et de-mande le moins de ressources du fait que la grande majorité des utilisateurs n’évolue que sur une composante pseudo-horizontale. Ensuite nous avons les applications militaires de ces sys-tèmes, aujourd’hui il existe une forte dépendance aux USA des différents pays développés qui ne possèdent pas encore de système de navigation par satellite totalement indépendant. Cha-cun cherche à devenir indépendant des autres dans l’éventualité d’un conflit majeur. Le monde scientifique utilise beaucoup ces services pour toutes les études spatiales en cours et futures. D’autres utilisations de ces systèmes sont déjà des niches économiques, nous avons l’exemple des agriculteurs qui utilisent de plus en plus ces services afin d’obtenir les meilleurs rendements possibles.

Ces systèmes répondent à certains besoins que l’on mesure au travers des Performances GNSS au nombre de quatre, la précision, l’intégrité, la continuité et la disponibilité.

– La précision concerne l’estimation des positions horizontales, verticales mais aussi dans le temps.

– L’intégrité correspond au degré de confiance que nous pouvons accorder aux données de position obtenues.

– La continuité : cette performance permet d’avoir accès au positionnement intègre sans interruption.

– La disponibilité nous permet d’utiliser le service à n’importe quel moment.

Pour assurer l’intégrité des données, chaque pays ou région développé possède un système de correction qui permet d’avoir des positionnements qui se rapprochent le plus de la réalité. L’Europe a mis en place EGNOS (European Geostationary Navigation Overlay Service) com-plètement opérationnel depuis le 02 Mars 2011, les Etats-Unis ont le WAAS (Wide Area Aug-mentation System), la Chine aura le SNAS (Satellite Navigation AugAug-mentation System). Par ces systèmes chaque pays ou chaque région peut assurer l’intégrité des informations pour les besoins de la navigation en aviation civile.

Ces différentes performances et le signal traité sans les systèmes de correction sont alté-rés par les évènements liés au champ magnétique de la terre et à l’activité ionosphérique. La précision des mesures de distances GPS peut être altérée par des retards de propagation iono-sphérique, par les multitrajets (dispersion des signaux), par l’instabilité de l’horloge à bord des satellites, enfin par les bruits thermiques qui sont toujours présents ou les interférences électro-magnétiques. Le service SBAS est développé pour corriger et calibrer l’information afin d’avoir un positionnement au plus proche de la réalité, néanmoins en cas d’orages magnétiques, les

in-E. Rifa 2 CONTEXTE, PROBLÉMATIQUE TABLE1 – Bilan des différentes sources d’erreurs GPS ; UERE : User Equivalent Range Error (Cours N. Suard SupElec)

Causes GPS SPS Horloge à bord 2,8m Erreur Troposphérique 0,5m Erreur Ionosphérique 3,8m Bruit récepteur 1m Multi-trajets 1m Disponibilité sélective 0 (24m) Total UERE 5m

Dilution moyenne de la précision (HDOP) 1,5

Erreur de précision horizontale (HPE 95%) 15m(=5 × 1, 5 × 2)

formations nécessaires à ces calculs de correction peuvent devenir manquantes impactant par la même occasion la disponibilité et continuité du service. Toutes ces erreurs ont des conséquences sur l’efficacité de la navigation, celles liées à l’activité ionosphérique sont les plus importantes. Il y a donc de réels enjeux à connaître finement les différents évènements géomagnétiques et les relations qu’ils entretiennent avec l’activité solaire. Le tableau 1 nous donne un ordre d’idée des erreurs qui sont provoquées par les différentes causes.

2.3

La problématique

Comme nous l’avons expliqué dans le paragraphe précédent, ces systèmes de correction et le GPS seuls présentent une grande sensibilité aux évènements géomagnétiques. C’est dans ce cadre que s’insère l’étude des relations entre les indices solaires et géomagnétiques (sujet du stage) puisqu’il y a un très grand intérêt à connaître cette relation. Le cas idéal serait de pouvoir estimer l’activité géomagnétique, qui est traduite à travers la mesure des différents indices, seulement à partir de la mesure de l’activité solaire.

Une fois cette relation établie nous chercherons à définir l’activité géomagnétique future et comme autre objectif : trouver la probabilité d’occurrence d’orages géomagnétiques sévères.

E. Rifa 2 CONTEXTE, PROBLÉMATIQUE

2.4

Recherche bibliographique

Avec une base de documents fournis au démarrage du stage, j’ai pu prendre connaissance du sujet en profondeur, des notions fondamentales de la navigation jusqu’à la prédiction des prochains cycles solaires. Les recherches principales que j’ai menées ont été fructueuses et réa-lisées sur les bases de données telles que ScienceDirect ou même Pascal qui fournissent des publications scientifiques dans tous les domaines dont celui du spatial.

2.4.1 Relations

Plusieurs études ont été réalisées afin d’obtenir une relation entre l’activité solaire et un ou plusieurs indices terrestres. Il est établi qu’il y a une relation linéaire entre les indices ionosphé-riques et l’activité solaire (Ortiz de Adler, 1997) et il existe une relation entre la concentration en électron de la région D de l’ionosphère et l’activité solaire (Danilov, 1998), ces études per-mettaient de donner un premier lien entre l’activité solaire et les différentes activités ionosphé-riques. Une étude publiée en 2000 par H.S. Ahluwalia décrit une relation entre le nombre de taches solaires et un indice géomagnétique (Ap), ils ont pu définir une relation entre ces deux indices avec une corrélation proche de 0,82 avec les données annuelles. Très récemment une relation entre l’activité solaire et un paramètre ionosphérique : le Fof2 a été mise en évidence et celle-ci semble être changeante, entre 1975 et 2000 elle était qualifiée de normale et à partir de 2001-2002 il y eut des changements dans les coefficients (Lukianova, 2011).

Une étude très proche de notre problématique a été réalisée par G.K. Rangarajian en 1997 où il trouve une corrélation très significative entre les Kp=4-5 et l’activité solaire. L’analyse a été faite sur l’occurrence des différents intervalles de Kp. Dans le même objectif une relation entre l’indice Aa et les taches solaires a été analysée (Clùa de Gonzalez et al., 2000). De la même manière l’indice Aa a été étudié par intervalles.

2.4.2 Prédictions

Les scientifiques ont publié de nombreux articles sur le sujet et la plupart cherchent depuis une vingtaine d’années à définir le modèle qui permettrait de prédire la forme des cycles so-laires. Nous savons d’ors et déjà que le cycle solaire n’a pas une forme symétrique, les phases ascendantes et descendantes diffèrent par leur pente et il semblerait qu’à chaque fin de cycle, un processus de randomisation se mette en place (Kim, 2006) rendant difficile la prédiction du cycle solaire suivant à partir du précédent. Les publications du début des années 2000 parlent d’un cycle 24 (début en 2008) beaucoup plus faible que le cycle 23 (Schatten, 2003) mais il y a

E. Rifa 2 CONTEXTE, PROBLÉMATIQUE besoin de mieux quantifier l’activité solaire afin d’avoir une meilleure précision.

Ahluwalia, 2000 a prédit un maximum de SSN à 131,5 pour le cycle 23, or ce cycle a pré-senté un SSN maximum moyenne de 120. C’est ici que nous pouvons remarquer la difficulté d’un tel objectif. Le cycle solaire ne semble pas être régulier malgré sa forme périodique, nous pouvons nous baser sur certaines observations fondées pour prédire une activité plus faible pour le début de notre siècle, en effet Silverman en 1992 affirme qu’à chaque début de siècle nous pouvons observer une activité solaire minimale et prolongée. Un modèle qui respecte bien la forme des cycles précédents a été déterminé (Hathaway, 1994) en utilisant seulement 4 para-mètres, l’amplitude du cycle suivant est estimée grâce à la longueur du cycle précédent, une des difficultés de ce modèle est la détermination du t0 de chaque cycle. Quelques études sur la prédiction du prochain cycle font l’état des différents travaux effectués et donnent le résultat sur le maximum de taches solaires à venir (Echer et al., 2004 ; Gholipour et al., 2005 ; Rigozo et al., 2010), l’ensemble des études dont Echer et al., 2004 tendaient à sur-estimer le maximum du cycle 23.

2.4.3 Cycles et occurrences

Les hypothèses d’un cycle de 27 jours dans les indices semblent être fondées (Soukharev, 2000), une étude a permi d’examiner les amplitudes du cycle de 27 jours sur les indices Ap, F10.7cm et FoF2 (Apostolov, 2004) et il serait couplé à un cycle de 22 ans. Selon les études précédentes (Rangarajian, 1997 & Clúa de Gonzalez, 2000) l’analyse des indices par intervalles permet l’étude d’occurrence des extrémums. Echer, 2011 a réalisé une étude statistique sur les occurrences des orages magnétiques sévères à l’aide d’une distribution exponentielle de l’indice Dst. Srivastava, 2005 & 2006 a mis en place un modèle de régression logistique qui peut par apprentissage, prédire l’occurrence des orages sévères et intenses à l’aide de nombreuses va-riables. Le modèle de Cox a été expérimenté sur l’occurrence des orages de fortes intensité, c’est un modèle basé sur les hasards proportionnels (Azaïs et al., 2011), ils en arrivent à la conclu-sion que l’intensité d’apparition d’orages magnétiques dépend essentiellement de la position dans le cycle, l’intensité atteint son maximum en phase descendante de cycle indépendamment du niveau d’orage magnétique.

2.5

Objectifs du stage

Au vu des informations précédentes, il m’a été demandé à partir des données décrites ci après de valider et quantifier autant que peut se faire les différentes relations bibliographiques exposées et éventuellement d’en mettre en évidence de nouvelles, ceci à l’aide d’outils et de méthodes à développer/proposer par moi-même.

E. Rifa 3 MATÉRIEL & MÉTHODES

3

Matériel & Méthodes

3.1

Les différents indices

3.1.1 Indices solaires

Les données de mesures de l’activité solaire sont recensées régulièrement depuis les an-nées 1750, et c’est seulement à partir des anan-nées 1840 qu’un amateur d’astronomie Heinrich Schwabe, qui cherchait à repérer une éventuelle planète dans l’orbite de Mercure, commence à compter de manière systématique les taches du soleil. Il espérait apercevoir cette planète en la différenciant des autres taches. C’est en réalisant ces comptages qu’il évoqua la forte pro-babilité que l’occurrence de ces taches présente un cycle moyen de 11ans. Pendant la même période Rudolf Wolf s’intéressa également aux travaux de H. Schwabe et améliora la qualité de comptage par estimation du nombre de taches (Hathaway, 1994). Dans les années 1900, Edward Maunder s’intéressa à la période particulièrement froide entre 1650 et 1720 et mit en évidence une très faible activité solaire durant cette période (Mendoza, 1997). 1958, Gleissberg met en évidence un cycle de 80ans dans les taches solaires. Les taches solaires ont fait l’objet de nom-breuses observations durant les siècles derniers. C’est pour cela que nous avons une très grande période de relevés de cet indice solaire. Depuis que les données régulières de l’activité solaire sont accessibles nous en sommes au 24ième cycle.

Nous avons également un autre indice traduisant l’activité solaire, le F10.7 : il mesure le flux radio à 10.7 cm de longueur d’onde, ce flux provient de la région chromosphérique du soleil et dans la basse couronne suite à l’occurrence de taches solaires. Les niveaux d’intensité radio sont mesurés en trois points de l’héliosphère :

– Sur une région non-perturbée de la surface, – Sur une région active en développement,

– Sur une région intense et plus forte que le niveau d’activité journalier.

Une correction est ensuite appliquée sur ces données pour les erreurs liées à l’absorption atmosphérique. Le F10.7 s’exprime en SFU (Solar Flux Unit).

3.1.2 Indices géomagnétiques

Pour l’activité géomagnétique, nous avons de nombreux indices (figure 1). Toutes ces don-nées d’indices ont été récoltées sur diverses bases de dondon-nées sur Internet, les liens sont précisés dans la bibliographie.

– L’indice Kp : le Kp est une mesure des effets des particules solaires sur le champ magné-tique terrestre, il est dérivé de l’indice K qui quantifie les perturbations de la composante

E. Rifa 3 MATÉRIEL & MÉTHODES horizontale du champ géomagnétique. L’indice K est mesuré quotidiennement toutes les trois heures depuis le 1er Janvier 1932, le Kp correspondant est obtenu par une moyenne pondérée de l’indice K mesuré dans 13 observatoires différents (dont un seul pour l’hé-misphère sud). Cet indice est à considérer comme global.

– L’indice Ap est un indice planétaire lui-même dérivé de l’indice Kp par la moyenne de l’ensemble des données de Kp.

– L’indice Cp est déterminé à l’aide de huit amplitudes de l’Ap, il varie de 0 à 2.5 par pas d’1/10.

– L’indice C9 est une simple conversion de Cp ramené à une échelle variant de 0 à 9. – L’indice Aa : Dérivé de l’indice K mais calculé différemment, en effet l’indice Aa est le

résultat d’une moyenne effectuée sur les mesures de deux observatoires situés aux anti-podes l’un de l’autre. Le principal avantage de cet indice est qu’il est référencé depuis 1868, nous pouvons donc le comparé avec des valeurs de SSN très lointaines chronologi-quement.

– L’indice Dst (Disturbance Storm Time) est particulier et bien différent des autres indices bien qu’il soit lui-même géomagnétique. Les autres indices reflètent bien l’activité géo-magnétique dans les hautes latitudes bien qu’ils soient globaux. La Dst mesure quant à lui la perturbation magnétique équatoriale. Il est dérivé des mesures horaires de la variation magnétique horizontale aux basses latitudes. Il s’exprime en nanoTesla (nT) et varie entre -230 et 30 dans les valeurs moyennes brutes.

E. Rifa 3 MATÉRIEL & MÉTHODES

3.2

Mise en forme des indices

Pour définir la relation indice solaire-géomagnétique, nous avons fait la sélection de plus de 19000 données journalières par indice ce qui nous permet de faire l’analyse entre 1957 et 2010 sur tous les indices disponibles. En effet les données de Dst ne sont disponibles que depuis janvier 1957. Nous avons la possibilité d’effectuer l’analyse sur les données journalières, mensuelles et annuelles.

Nous avons choisis d’analyser les signaux SSN et F10.7 sous leur forme brute, tels qu’ils sont mesurées, de cette manière nous ne nous éloignerons pas des valeurs réelles ; les in-dices géomagnétiques sont moyennés journalièrement pour l’analyse. Nous avons réalisé une moyenne mobile (équation 1) sur tous les signaux pour une première approche par analyse des corrélations entre les indices. La moyenne mobile a été appliquée notamment pour l’indice SSN qui présente de nombreuses plages de données manquantes, l’indice F10.7 et Aa présentaient eux aussi quelques valeurs manquantes. Le Dst étant majoritairement négatif nous l’avons rendu positif, pour pouvoir le comparer. Le tableau 2 résume les ordres de grandeur des différents in-dices.

TABLE2 – Ordre de grandeur de chaque indice

Indices Minimum Maximum

SSN 8 355 F10.7 64,5 461,8 Kp 0 83,4 Ap 0 280 Aa 0 352,1 Cp 0 9 C9 0 3,3 Dst -35 240

Le nombre de taches solaires correspond au nombre observé par jour, or les indices tels que le Kp ou le Ap sont mesurés toutes les 3 heures. De cette manière une étude peut également se faire sur les Kp moyen, maximum et peut être minimum par jour. Une étude précédente met en avant la relation entre les Ap et les taches solaires avec un décalage de un an (Ahluwalia, 2000). Pour notre part, nous avons également observé un tel décalage entre les indices géomagnétiques et l’indice solaire mais de plus d’un an (480 jours en moyenne, 16 mois). Ce décalage moyen a été estimé par l’observation des pics d’indices moyens et par une analyse de phase. [section 4.4]

E. Rifa 3 MATÉRIEL & MÉTHODES Nous avons un jeu de données discontinu qui ne nous permet pas d’utiliser les méthodes de traitement que nous voulons mettre en œuvre. Celles-ci demandent un signal continu sans don-nées manquantes. Afin de pallier ce problème nous avons réalisé une interpolation par moyenne mobile, qui aura moins d’impact sur les données qu’une interpolation linéaire. La moyenne mo-bile (équation 1) tiendra compte de la tendance locale alors qu’une simple interpolation linéaire relie deux points éloignés l’un de l’autre par une droite.

Moyenne mobile :

X

¯

_i

=

1

2k

i+k

∑

i−k

x

i

(1)

avec i : le ième élément, k : longueur de la demi-fenêtre.

3.3

Généralités sur le traitement du signal

L’observation des phénomènes naturels nécessite des méthodes efficaces qui permettent de minimiser les erreurs de mesures ainsi que de préserver l’intégrité des informations. Mais l’in-terprétation des observations ne se fait pas sans un traitement au préalable, car même avec la précision la plus parfaite, il existe toujours une erreur standard, un bruit. Il ne faut pas oublier que nous travaillons sur des données qui mesurent des phénomènes naturels et par définition la nature représente le chaos. Cependant, l’environnement est composé de différents comparti-ments qui peuvent interagir entre eux et des relations peuvent être mises en évidence.

Les principales méthodes que nous utilisons pour cette étude proviennent d’une matière scientifique communément appelée : le traitement du signal. « C’est l’ensemble des méthodes qui permet de transformer les données dans un but final d’exploitation ; c’est l’extraction du maximum d’informations utile d’un signal bruité. » (Courrier du CNRS, n˚77). Ce domaine d’étude est très riche en ressources ainsi qu’en domaines d’applications. Dans chaque relevé de données, nous avons une abondance d’information qui ne nous permet pas de tirer des conclu-sions directement à partir du jeu de données. Nous avons besoin de les traiter afin de les analyser dans un sous-espace. C’est là l’un des rôles du traitement du signal : mettre en évidence ce que nous ne voyons pas dans les données brutes.

E. Rifa 3 MATÉRIEL & MÉTHODES

3.4

Les méthodes de traitement

Sur les données brutes nous pouvons deviner certaines tendances qui peuvent être com-munes entre indices solaires et géomagnétiques, il est alors important de définir une stratégie afin d’observer d’éventuelles liaisons temporelles entre ces variables. L’idée serait d’analyser les données dans un sous-espace afin de déterminer les échelles des signaux bruts qui présentent des processus commun entre les différentes variables.

3.4.1 La Transformée de Fourier Rapide (FFT)

La transformée de Fourier permet facilement de trouver les variations régulières de signaux stationnaires. Malgré la non-stationnarité de nos signaux, notamment celui des taches solaires, nous pouvons récupérer des signaux de hautes puissances qui permettraient de mettre en évi-dence certains cycles.

Dans un premier temps nous utilisons la Fast Fourrier Transform (FFT) ou la transformée de Fourier rapide (équation 2). Elle permet de convertir les signaux dans le domaine des exponen-tielles complexes sur une base Hilbertienne ou base orthonormale (BON).

f

(x) =

_∑

n∈Z

< f , e

n

> e

n

=

1

√

2π

n∈Z

∑

< f , e

n

> e

i.n.x

(2)

Où < f , en> correspond à la contribution de chaque fréquence et aux harmoniques/fréquences

du signal.

Le signal étant transformé, nous avons la possibilité de le traiter sous forme de fréquences. Les coefficients de la transformée de Fourier appartiennent au domaine des exponentielles com-plexes. La sélection des fréquences est réalisée dans ce sous ensemble, et après ce traitement nous pouvons utiliser l’inverse de la transformée de Fourier (IFFT) pour recomposer le signal traité.

3.4.2 La Densité Spectrale des Puissances (DSP)

La DSP est couplée avec la transformée de Fourier sur les signaux, elle présente le spectre du signal avec en abscisse sa fréquence et en ordonnée les puissances de chaque fréquence. La transformation est réalisée à l’aide d’une fonction d’autocorrélation (équation 3 pour tout t) et d’une transformée de Fourier sur cette même fonction (équation 4). Ce spectre nous permet de déceler une plage de fréquence locale qui présente une forte puissance. Il est alors intéressant de sélectionner la plage qui nous intéresse, c’est-à-dire mettre à zéro les fréquences qui ne nous intéressent pas. Après cette étape, nous pouvons recomposer le signal et voir quel phénomène

E. Rifa 3 MATÉRIEL & MÉTHODES est mis en évidence. La DSP est un outil indispensable à l’analyse des spectres des différentes variables.

R

_x,x

(τ) = E[x(t)x(t + τ)]

(3)

pour tout t avec τ la durée entre deux instants de mesure.

S

_x,x

(ω) =

Z

+∞

−∞

R

_x,x

(t)e

−2iπωt

dt

(4)

3.4.3 Transformée par ondelettes

La méthode par ondelettes est utilisée depuis les années 1930. Les ondelettes font partie de ces méthodes spécifiques aux signaux non-stationnaires qui forment une grande majorité com-parés aux signaux stationnaires. Ces méthodes sont divisibles en deux ensembles, les méthodes temps-fréquence : avec une prise en compte d’une évolution temporelle du contenu fréquentiel d’un signal ; et les méthodes temps-échelle (ondelettes) : qui décrivent l’évolution temporelle d’un signal à une échelle d’observation. (P. Flandrin et Y. Meyer, Le courrier du CNRS n˚77). Les ondelettes sont utilisées pour leur facilité d’utilisation et d’interprétation. Ses résultats dé-passeraient l’efficacité de la transformée de Fourier. Cependant il ne faut pas voir la transfor-mée de Fourier et Ondelette comme deux méthodes distinctes mais bien complémentaires. Par exemple, la transformée de Fourier apparaît comme un prétraitement pour isoler un son, l’on-delette intervient en suivant pour affiner l’isolement.

La transformée par ondelettes bien que particulière présente la même base Hilbertienne que la transformée de Fourier. L’ondelette « mère » ou de base que l’on appliquera sur plusieurs échelles selon les coefficients a et b se présente sous la forme de l’équation 5. La transformée est présentée en équation 6 et l’équation 7 est la représentation de la décomposition des signaux.

ψ

ab

(t) =

1

p|a|

ψ

 t − b

a



(5)

où a > 0 est le facteur d’espace et b le facteur temporel (Meyer, 1990).

(T

wav

f

)(a, b) =

Z

R

f

(t)ψ

 t − b

a



dt

(6)

f

(x) =

1

C

_ψ

Z

R

Z

R

(T

wav

f

)(a, b)ψ

ab

(x)

1

a

2

da.db

(7)

où C représente l’intégrale de la FFT sur l’ondelette mère.

E. Rifa 3 MATÉRIEL & MÉTHODES Transformée en ondelette continue (CWT) et Image processing

La transformée en ondelette continue nous permet de travailler sur n’importe quelle échelle, de cette manière nous pouvons produire un gradient de courbe selon l’échelle utilisée. Tous les vecteurs de coefficients créés grâce à cette transformée pourront être réutilisés par un outil de Scilab très utile d’un point de vue descriptif, c’est une boîte à outils du logiciel : Scilab Image Processing (SIP Toolbox). Elle permet de réutiliser l’ensemble des courbes dont nous parlions précédemment pour les mettre sous formes d’images avec un gradient de couleurs. Nous pouvons plus aisément comparer les coefficients de transformation entre les indices et la manière dont réagit l’ondelette mère aux signaux. Par cette méthode nous pouvons observer facilement si deux signaux suivent un processus commun à différentes échelles.

Transformée en ondelette discrète (DWT)

C’est par abus de langage qu’elle est appelée de cette manière, c’est en fait la forme dis-crétisée de la transformée en ondelette continue. Nous l’utilisons car nous aurons besoin de recomposer les signaux après traitement par les ondelettes. Le choix de la DWT s’est fait sur elle car elle effectue un traitement équivalent à la CWT et l’inverse de la DWT (IDWT) est disponible sur Scilab. L’inverse de la CWT est impossible due à la redondance des coefficients dans la décomposition sur toutes les échelles. Cependant cette DWT présente deux contraintes, elle ne peut traiter les données que sur des intervalles d’échelles dyadique (par exemple : 264-1024), de plus elle ne peut pas prendre en charge les ondelettes continues telle que l’ondelette de Morlet.

3.5

Spline naturelle

La spline est une méthode de lissage de signal plus directe que celle par l’utilisation du traitement du signal. Avec cette technique nous pouvons obtenir n’importe quel type de lissage des signaux, il suffit de choisir le degré de liberté qu’il faut. Mais contrairement à la DWT nous ne sommes pas capables de savoir à quelle échelle nous nous situons sur le signal lissé. Si nous comparons les signaux reconstruits après ondelette avec les résultats de spline et que nous obtenons un bon coefficient de corrélation, nous pourrons estimer avoir le bon signal. Nous choisissons d’utiliser cette technique car nous n’avons pas les inconvénients des effets de fin de signal avec la spline. En effet la DWT a tendance à fausser la fin du signal alors que la spline suit les données jusqu’à la dernière. La méthode des splines est disponible sous le logiciel R avec la librairie « splines ».

E. Rifa 3 MATÉRIEL & MÉTHODES

3.6

Optimisation, régression non-linéaire

L’avantage d’une telle méthode est que nous pouvons introduire autant de paramètres que l’on veut pour définir le meilleur modèle. Elle estime les paramètres afin d’obtenir le meilleur ajustement, celui-ci se réalise par la méthode des moindres carrés. Nous définissons alors une fonction f à n paramètres résumés en un vecteur ω , nous cherchons une relations entre x, y qui ont chacun une longueur k : y = f (x, ω) , et nous ajustons les valeurs du vecteur ω tel que :

SCE

=

k

∑

i=1

(y

i

− f (x

i

, ω))

2

→≈ 0

(8)

Nous intégrons des coefficients à ajuster proche des vrais coefficients afin que la fonction d’optimisation converge vers le bon minimum local. C’est l’inconvénient de cette technique, selon la fonction et les coefficients que nous intégrons, il est possible que le gradient d’optimi-sation présente plusieurs minimums d’écarts au carré.

3.7

Occurrences des évènements rares

L’occurrence des évènements rares tels que les orages magnétiques fait appel a la régres-sion logistique dans les travaux de Srivastava, 2005 et ceci pour modéliser ces évènements par classification. Echer, 2011 réalise une étude statistique sur ces occurrences (Dst ≤ −50) pour déterminer leurs probabilité d’apparition à l’aide d’une distribution exponentielle. Nous ferons une analyse statistique comparable à celle de Echer et al., 2011 afin de définir la probabilité d’occurrence à posteriori des orages intenses (Dst ≤ −100) des cinquante dernières années.

Nous avons la possibilité d’utiliser des méthodes qui proviennent du Machine Learning telles que les réseaux de neurones par exemple. Le modèle risque cependant de ne pas être efficace car il nous manque certaines variables qui pourraient expliquer relativement bien l’oc-currence ou non des orages magnétiques.

E. Rifa 4 RÉSULTATS

4

Résultats

4.1

Les relations entre les différents indices géomagnétiques

Dans cette partie nous allons faire l’analyse des différents indices solaires et géomagné-tiques. L’intérêt est de mettre en avant la ressemblance des différents indices géomagnétiques entre eux.

Par une simple transformée de Fourier et une analyse de la densité spectrale de puissance de chaque indice nous pouvons déjà déceler que tous les indices géomagnétiques suivent un même processus, ils présentent tous les pics de puissances supérieures aux mêmes fréquences.

FIGURE2 – (a) Traitement de l’indice Aa par la transformée de Fourier(gauche) et (b) DSP du

signal avec la fenêtre sélectionnée (droite).

La figure 2a nous illustre les résultats de cette transformée de Fourier sur l’indice Aa, nous pouvons voir qu’après traitement le signal est centré en 0 sur l’ordonnée ce qui est normal. Nous avons gardé les fréquences entre 1.10−4 et 6.10−3jours−1 sachant que la fréquence d’échan-tillonnage est égale à 1 jour. Le signal a donc été mis à zéro pour des fréquences supérieures à 6.10−3jours−1, ce qui élimine une large partie des bruits du signal. Cette sélection de fréquence est illustrée dans la figure 2b, en rouge nous avons la DSP des signaux Aa et la courbe bleu in-dique ce que nous sélectionnons du signal. Nous obtenons alors le signal reconstruit c’est à dire la courbe bleue de la figure 2a pour l’indice Aa.

Nous avons réalisé le même traitement sur les autres indices et nous pouvons comparer les signaux reconstruits entre eux sur la figure 3. Nous obtenons le tableau 3 qui donne la matrice de corrélation entre tous les indices.

Nous pouvons apprécier les relations qu’entretient chaque indice les uns avec les autres. Les indices SSN et F10.7 qui traduisent l’activité solaire sont très corrélés entre eux comme

E. Rifa 4 RÉSULTATS

FIGURE3 – Signaux recomposés de tous les indices entre 1.10−4et6.10−3jours−1. TABLE3 – Bilan des coefficients de corrélation entre les différents indices

Fr 0,0001-0,006 SSN F10.7 Kp Ap Aa Cp C9 Dst SSN 1 0,98 0,28 0,31 0,25 0,27 0,26 0,34 F10.7 0,98 1 0,28 0,32 0,27 0,27 0,26 0,36 Kp 0,28 0,28 1 0,94 0,94 1 1 0,72 Ap 0,31 0,32 0,94 1 0,95 0,94 0,93 0,78 Aa 0,25 0,27 0,94 0,95 1 0,94 0,94 0,78 Cp 0,27 0,27 1 0,94 0,94 1 1 0,72 C9 0,26 0,26 1 0,93 0,94 1 1 0,72 Dst 0,34 0,36 0,72 0,78 0,78 0,72 0,71 1

nous l’attendions. Ensuite les indices géomagnétiques sont en grande majorité bien corrélés à l’exception du Dst qui présente moins de 80% de corrélation avec les autres indices géoma-gnétiques. Une étude a été réalisée sur les différences entre les indices Ap et Aa (Coffey et al., 2001), la plupart des décorrélations ont été décelées par l’analyse des indices par intervalles et par horaires, mais de manière générale nous avons une corrélation approchante à celle que nous trouvons ici.

Afin de réaliser l’étude la plus efficace et complète nous choisissons de n’utiliser que l’in-dice Aa des inl’in-dices géomagnétiques. Cet inl’in-dice présente le meilleur compromis et la plus large période de recensement (entre 1868 et 2011) contrairement aux autres indices qui ne sont dis-ponibles que depuis 1932 ou 1957 pour le Dst.

E. Rifa 4 RÉSULTATS

4.2

Etude des différents cycles

Pour cette partie nous nous attachons à étudier de manière plus fine les différents cycles qui peuvent être présents dans les signaux que nous avons choisis. La méthode utilisée pour cette analyse est principalement la transformée de Fourier, bien adaptée pour l’étude des signaux sur des plages de fréquences variées.

L’analyse est réalisée sur les densités spectrales de puissance des deux signaux. Il est im-portant de les comparer entre elles (figure 4), afin de pouvoir déceler les fréquences communes où nous avons des pics de puissance. Nous pouvons d’ors et déjà constater deux plages de fré-quences où les deux indices présentent de forts pics de puissance : entre 1.10−4et 3.10−4jours−1 (11ans) et entre 3.10−2 et 4.10−2jours−1 (27jours). Ensuite l’indice Aa présente d’autres pics de puissances absents sur la DSP des taches solaires. Les deux autres pics principaux se situent entre 5.10−3 et 6.10−3jours−1 (6mois) et entre 7.10−2 et 8.10−2jours−1 (13jours). Ces sauts de puissances signifient qu’un processus régulier est présent tout le long du signal.

E. Rifa 4 RÉSULTATS La figure 4 met en évidence les différents pics de puissances sur la densité spectrale des puissances. Le pic le plus puissant que nous observons est celui du cycle de 11 ans sur les deux signaux. Celui-ci est simplement dû à l’activité solaire, nous le retrouvons bien dans le géoma-gnétisme. Ensuite nous observons un cycle de 5,5 ans, celui-ci serait une harmonique du cycle de 11 ans (Prestes et al., 2005), cependant nous pouvons émettre l’hypothèse que son origine viendrait du changement dans la dynamo solaire. Nous observons aussi un pic à 2,7 ans, remar-qué aussi par Prestes et al., 2005 ; ce processus est dû à une structure à double ou triple pics pendant la phase descendante du cycle solaire. Les deux pics suivant à environ 22 et 17 mois ressortent du géomagnétisme seulement, seul le pic de 17 mois est décelé aussi dans l’étude de Prestes et al., 2005 mais ne donne pas de précisions. Ensuite un pic à 6 mois est mis en évi-dence sur la figure 4 qui n’apparaît encore que sur le géomagnétisme, ce cycle est simplement dû au rythme saisonnier de la Terre. Nous voyons maintenant un pic à 27 jours sur les signaux solaires et géomagnétique, ce cycle a été mis en évidence par Bartells, 1934 ; le temps de ré-volution du soleil de 27 jours environ est à l’origine de ce cycle. Enfin nous pouvons voir une forte puissance du pic de 13 jours environ, ce pic ne ressort pas autant sur les signaux solaires, nous n’avons pas d’information sur l’origine de ce pic de puissance.

Le jeu de données actuel ne nous permet pas d’observer l’ensemble des pics avec la méthode que nous utilisons. Grâce à la méthode du Multitaper (Prestes et al., 2005), ils ont pu déterminer certains cycles que nous n’observons pas tel que le cycle de 80-90 ans sur l’activité solaire, et une période d’environ 35 ans sur l’activité géomagnétique qui n’apparaît pas dans l’activité solaire.

Le cycle de Gleissberg (80-90 ans) n’apparaît pas sur notre spectre de puissance car les données dont nous disposons ne permettent pas de mettre en évidence celui-ci.

Stˇreštík, 2009 démontre à l’aide d’une analyse spectrale la présence d’une périodicité de 1,3 ans visible sur l’indice Ap et non sur le SSN entre 1932 et 2007. Cette période n’apparaît comme un processus visible que sur un laps de temps de l’activité solaire.

E. Rifa 4 RÉSULTATS

4.3

Mise en évidence d’une relation activité solaire/activité

géomagné-tique

Dans cette partie nous allons nous attacher à prouver qu’il existe réellement une relation entre les indices solaires et géomagnétiques bien plus forte que celle obtenue au travers de la matrice de corrélation exposée dans le tableau 3. Les différentes méthodes présentées précé-demment ont été très efficaces pour cette mise en évidence.

FIGURE5 – Graphiques représentant les indices SSN et Aa mensuels en fonction du temps. La figure 5 nous illustre les deux indices que nous voulons traiter, nous avons ici les indices mensuels moyens tels qu’ils sont mesurés. Nous observons un décalage entre les maximums des deux indices toujours présent et apparemment constant. Les 52 290 valeurs journalières sont donc résumées en 1686 valeurs mensuelles moyennes par indice. Cela signifie bien sûr une perte d’information mais le traitement sur moins de 2000 valeurs est beaucoup plus aisé à interpréter que sur 50 000 valeurs. Nous gardons cependant l’intégrité des données avec les variations qu’elles présentent.

4.3.1 Traitement par ondelette de Daubechies

Nous avons choisi d’utiliser l’ondelette de Daubechies 5 car c’est celle-ci qui convenait le mieux aux données, de plus nous avons la possibilité de l’utiliser à la fois avec la CWT, DWT et IDWT. Cependant nous avons la possibilité d’utiliser l’ondelette de Morlet qui présente plus de contraintes.

La figure 6 nous montre les résultats de la décomposition par ondelette continue, les deux parties de la figure montrent exactement les mêmes données mais sous deux formes différentes.

E. Rifa 4 RÉSULTATS

FIGURE 6 – Décomposition multi-échelle par l’ondelette « db5 » sous forme de graphique (à

gauche) et sous forme d’image (à droite), 1024 points en 256 échelles.

L’image facilite l’interprétation de la transformation en ondelette. L’analyse se fait plus sur les formes que nous voyons que sur les intensités de couleurs, en effet ces dernières représentent la puissance du processus. Sur les deux images nous pouvons remarquer l’apparition des mêmes formes mais moins marqués pour l’indice géomagnétique Aa. Cela signifie que les deux in-dices présentent des processus équivalents mais d’intensité différente. Il semblerait que l’indice Aa suive les mêmes variations que les SSN mais avec beaucoup moins d’amplitudes. C’est un premier lien que nous pouvons établir entre ces deux indices. L’analyse multi-échelle est très efficace car elle nous permet comme dans cet exemple de voir les processus que suivent les dif-férents indices. Ici nous avons des résultats très satisfaisants qui nous encouragent à continuer l’analyse dans cette direction.

4.3.2 Traitement par ondelette de Morlet

Nous réalisons la même analyse à l’aide de l’ondelette de Morlet qui semble être plus ap-propriée pour le traitement des signaux que nous avons. Il est important de préciser que la reconstruction des signaux avec cette ondelette n’est pas permise, car l’ondelette de Morlet ne présente pas la propriété d’orthogonalité contrairement à Daubechies, de plus la redondance des coefficients de décomposition complique la tâche. Etant dans l’impossibilité de reconstruire les signaux à l’échelle voulue, nous faisons l’analyse des résultats seulement sur les coefficients

E. Rifa 4 RÉSULTATS d’ondelette. Il sera intéressant d’effectuer l’étude sur chaque échelle une par une afin de voir quelles parties des signaux sont bien corrélées.

FIGURE 7 – Image des transformations multi-échelles des signaux avec l’ondelette de Morlet

sur 256 échelles et 2048 points.

Grâce à la transformation multi-échelle que nous pouvons observer sur la figure 7, nous en venons à la constatation suivante : l’ondelette de Morlet permet de rapprocher très significa-tivement les deux indices. Autour d’une même échelle (128) la ligne de points chauds sur les images représente le processus commun qui existe entre les deux indices.

Nous avons réalisé une évaluation des coefficients de corrélation (R) entre les deux indices sur toutes les échelles avec les deux ondelettes. Contrairement à ce que nous attendions, l’onde-lette de Daubechies présente une plage plus large d’échelles dont les coefficients de corrélation sont proches et supérieurs à 0,80 qu’avec l’ondelette de Morlet. En effet, cette dernière per-mettait de voir une grande ressemblance (corrélation proche de 1) entre les signaux sur une petite plage d’échelles (figure 7). Cependant, nous voyons une chute de la corrélation autour de l’échelle 256 (figure 8a). L’ondelette de Daubechies quant à elle (figure 8b), présente une augmentation des coefficients corrélation à partir de l’échelle 64 et garde de forts coefficients dans les grandes échelles.

Afin de resituer par rapport aux images en figure 6 et 7, ce que nous sélectionnons entre l’échelle 64 et 1024 correspond à ce qui est présent dans les encadrés rouges (les échelles entre 256 et 1024 ne sont pas représentées). Ici, nous réalisons la sélection que sur les résultats de l’ondelette de Daubechies 5.

E. Rifa 4 RÉSULTATS

FIGURE 8 – Graphiques de corrélation entre SSN et Aa sur l’ensemble des échelles après transformation par ondelette de Morlet à gauche (a), et Daubechies 5 à droite (b).

4.4

Analyse de phase entre les signaux

Sur la figure 9 nous pouvons observer les signaux recomposés après un traitement par l’on-delette de Daubechies, cette figure permet de mettre en évidence un déphasage certain entre les deux signaux. Le plus souvent, le Aa présente un maximum nettement après le maximum du SSN.

FIGURE9 – Graphique des signaux recomposés après ondelette de Daubechies 5 entre l’échelle

64 et 1024, R=0,72 pour la courbe rouge.

Ce décalage peut être mis en évidence par une analyse de spectre de déphasage. La figure 10 nous montre ce spectre avec une asymptote en 3π₂ , ce qui correspond à la quadrature de phase que nous observons en figure 9 . Par une analyse de décalage mensuel nous obtenons le meilleur coefficient de corrélation entre les deux indices à 16 mois de décalage. Le coefficient est d’environ 0,72, nous gagnons déjà 10 points de corrélation. Nous savons qu’une étude a été

E. Rifa 4 RÉSULTATS

FIGURE10 – Spectre de déphasage entre l’indice SSN et Aa avec asymptote en 3π₂ . réalisée en tenant compte du décalage entre les différents indices (Ahluwalia, 2000), la période de décalage prise en compte était de un an dans cette étude. Verbanac et al. (2010) ont également effectué un décalage de un an afin d’augmenter le coefficient de corrélation entre le F10.7 et l’indice Ap.

4.5

Définition de la relation entre SSN et Aa

Nous voyons quelque chose de très important sur la figure 9, entre le 1er et le 800iememois, le SSN présente de plus faibles amplitudes et l’offset du Aa est aussi moindre. Plus les ampli-tudes de SSN augmente plus l’offset est haut (figure 9). Cette augmentation d’amplitude peut se traduire par une combinaison de sinus dont un des sinus est changeant au cours du temps.

Nous mettons ensuite les signaux reconstruits sur un même graphique afin d’apprécier l’al-lure générale de la relation, nous utilisons l’optimisation pour calibrer les différents coefficients de la relation.

E. Rifa 4 RÉSULTATS Sur la figure 11 nous constatons à l’allure du nuage de points qu’une courbe de type logarith-mique serait convenable pour résumer la relation entre les deux indices. Cependant l’équation présentant la meilleure corrélation est une simple relation linéaire : AaT h = a × SSNObs+ b

avec a le coefficient pour régler l’amplitude de l’indice solaire, b représente l’offset entre les deux indices. Hathaway et al., 1999 en sont arrivé à la même figure entre SSN et Aa lissés. Ils ont également choisi une relation linéaire entre les deux indices. Nous choisissons d’effectuer l’optimisation avec Ln(Aa) afin d’obtenir un modèle valide.

FIGURE 12 – Coefficient d’optimisation a et b entre 1868 et 2010 par période de 132 mois (graphique 1et 2) et coefficient de corrélation entre la spline de Aa et le modèle SSN (graphique 3).

En réalisant l’optimisation sur plusieurs périodes, nous constatons une grande variation des coefficients. Selon les résultats, la relation entre SSN et Aa ne cesse de changer dans le temps.

A partir des coefficients retrouvés avec l’optimisation (figure 12) et du graphique que nous avons mis en évidence en figure 13, nous pouvons en déduire que nous avons une relation linéaire entre les SSNt et les Aat+16. La courbe bleue du modèle en figure 13 montre comme

un découpement, cela correspond aux périodes d’optimisation où les meilleurs coefficients sont recherchés. Les coefficients de corrélation sont variables, selon la plage d’optimisation que nous réalisons, dans notre cas le coefficient varie entre 0,40 et plus de 0,80 entre les signaux Aa moyens et l’indice théorique que nous déduisons de la relation à partir des SSN observés.

L’optimisation a été réalisée par période de 132 mois (11ans), le coefficient de corrélation entre le modèle et la spline des Aa réels peut être très variable sur l’ensemble des données,

E. Rifa 4 RÉSULTATS

FIGURE 13 – Graphique du modèle optimisé tous les 132 mois à partir de la relation Ln(Aa_{T h}) = a × SSN_Obs+ b.

cependant nous obtenons 75% de coefficients de corrélation supérieur à 0,80. L’équation que nous trouvons met en relation l’activité solaire au temps t et l’activité géomagnétique au temps t+ 16mois, cela correspond déjà à une première approche prédictive. Pour aller au-delà de ces 16 mois nous choisissons d’utiliser l’indice de SSN prédit jusqu’à fin 2019 par le Marshall Space Flight Center. Nous aurons besoin d’une extrapolation des coefficients a et b dans le temps.

Pour cela nous utilisons la même méthode d’optimisation non linéaire. L’équation la plus appropriée est une sinusoïde à quatre paramètres :

Coe f_{T h}= p₁+ sin( t

p₂+ p3× π) × p4 (9) avec, p1: l’ordonnée à l’origine ; p2: longueur d’onde ; p3: la phase ; p4: l’amplitude de la

sinusoïde ; t= le temps en période d’optimisation.

En figure 14, nous avons les résultats de l’optimisation par régression non linéaire sur la variation des coefficients a et b de la relation linéaire reliant SSN et Aa. Nous obtenons les relations suivantes :

b_{T h}= 3, 75 + sin(_2,31t + 1, 13 × π) × 0, 64 et aT h= 0, 008 + sin(_1,9t + 2, 9 × π) × −0, 0077

Dans un premier temps, nous pensions que le coefficient a resterait constant dans le temps, mais avec une optimisation nous pouvons voir qu’il suit plutôt une sinusoïde (figure 14), les amplitudes des sinusoïdes de Aa et SSN ne sont donc pas reliées par une constante. Pour le

E. Rifa 4 RÉSULTATS

FIGURE14 – Résultats de l’optimisation de la tendance des coefficients a et b pour le Modèle

Aa.

FIGURE15 – Modèle avec les valeurs de coefficients estimées entre 1868 et 2010 et extrapolées pour la période entre 2010 et 2019 (sur les données du MSFC avec intervalle de confiance).

E. Rifa 4 RÉSULTATS coefficient b nous en arrivons à la même conclusion, ce qui est en accord avec ce que nous attendions, cependant nous observons une sinusoïde inverse par rapport à la variation de a.

Nous avons effectué l’extrapolation des coefficients suivant les équations que nous avons déduites de l’optimisation, et nous obtenons le modèle de la figure 15 . Le modèle en bleu que nous pouvons comparer à la courbe lissée des Aa bruts est moins fidèle car nous utilisons les coefficients déduits des équations sinus (équation 9) sur la même période. Malgré cela nous obtenons un coefficient de corrélation de plus de 0,85 avec la spline naturelle appliqué sur les signaux mensuels.

Ainsi nous avons la prochaine tendance moyenne pour les 10ans à venir selon les prédic-tions du MSFC sur l’activité solaire (annexe : graphique de prédiction des SSN). L’intervalle de confiance en pointillé vert sur la figure 15 est obtenu par la même transformation de l’intervalle du MSFC sur le SSN visible en annexe.

FIGURE16 – Analyse des résidus du modèle Aa par rapport aux observations.

Nous avons réalisé l’analyse des résidus de ce modèle sur la dernière optimisation, les ré-sultats sont résumés en figure 16 . Pour l’homoscédasticité (graphe "variabilité"), ce graphique représente l’erreur entre théorique et observé en chaque point, ici nous voyons les points éga-lement répartis autour de l’axe y = 0, ce qui est correct. Quant à la normalité des résidus, nous avons réalisé un qqplot qui est la comparaison des valeurs observées avec une droite de Henry de paramètres moyenne et erreur standard des données observées, et l’histogramme des résidus comparé avec une distribution normale de même paramètres. Le test de Kolmogorov-Smirnov comparant les résidus à des données aléatoires normales présente une p − value = 0, 98 ce qui confirme la normalité. Notre modèle est donc validé.

E. Rifa 4 RÉSULTATS

FIGURE 17 – Ajout des dernières données de Aa mensuel (janvier 2010 - juin 2011).

La figure 17 est une approche sur notre période actuelle, nous avons ajouté les dernières données mensuelles de Aa observés. Avec ces derniers points la courbe moyenne du Aa ob-servé atteint à peine la partie prédite à l’aide des données du MSFC. Pour le cycle 24 (courbe verte) les données observées rejoignent l’intervalle de confiance. Nous attendons maintenant les prochaines données pour vérifier si le modèle (basé sur les prédictions du MSFC) donne les bonnes prédictions.

E. Rifa 4 RÉSULTATS

4.6

Occurrence des maximums

4.6.1 Analyse sur l’ensemble des données

Cette partie de l’étude sera consacrée à l’analyse des occurrences maximums de l’activité géomagnétique. Pour cela nous nous intéressons plus particulièrement à l’indice Dst et F10.7 avec lesquelles certaines études ont été réalisées dans le même domaine (Echer et al., 2011).

Cette fois, nous faisons l’analyse sur les données journalières des indices, le but serait de déterminer la probabilité d’occurrence des forts évènements géomagnétiques afin de prévoir ces orages avec une mesure de l’activité solaire.

Bravo et al., 1998 assurent que l’occurrence d’intenses orages magnétiques dépend de l’ac-tivité solaire, mais ils n’arrivent pas à conclure sur le type d’évènement solaire qui génère une forte activité géomagnétique. Ils évoquent les trous coronaux comme facteurs majeurs de l’occurrence des orages magnétiques. Dubey & Mishra (1998) ont fait l’étude des orages ma-gnétiques entre 1986 et 1991, ils rapportent en tout 70 orages en se référant au Dst inférieur à -100nT et leur attribuent comme cause majeure les nuages magnétiques.

E. Rifa 4 RÉSULTATS Certaines variations du champ magnétique terrestre sont régulières et dépendent directement des irradiations solaires traduites par le F10.7. Mais le champ magnétique présente aussi des variations irrégulières qui sont dues à deux autres phénomènes : les éjections de masse coronale (CME) à nuages magnétiques et sans nuages magnétiques, suivi des vents solaires (Solar wind High-speed streams, HSSs). (Verbanac et al., 2010)

La figure 18 illustre l’occurrence des orages magnétiques (décelés à partir d’un Dst<-100) en comparaison avec le F10.7 annuel puis mensuel. Les barres d’écart type sur le F10.7 indiquent que la variabilité de cet indice est beaucoup plus forte en période de maximum solaire. De manière générale, l’occurrence des orages est extrêmement basse lors des minimums solaires. Sur le graphique des données mensuelles nous pouvons observer que les orages arrivent plus fréquemment lors des phases descendantes des cycles solaires, Echer et al., 2010 l’ont eux même signifié dans leur travaux, ce qui est également en accord avec les travaux de Azaïs et al., 2011.

FIGURE 19 – Distribution de l’indice Dst (log-transformé).

La figure 19 nous montre l’analyse de distribution de l’indice Dst, nous avons préalablement transformé les données en positif pour pouvoir les log-transformer. Nous avons à gauche de la figure un qqplot qui permet dans notre cas de comparer le Dst transformé avec les données aléatoires d’une loi normale de paramètres : moyenne et déviation standard du Dst. La droite rouge représente l’équation x = y. Nous pouvons donc conclure que le Dst transformé suit une loi normale. L’histogramme de droite corrobore l’hypothèse.

E. Rifa 4 RÉSULTATS Ceci nous amène à déterminer la probabilité à postériori de ces occurrences, l’histogramme de la figure 19 nous donne la densité de probabilité de chaque valeurs de Dst entre 1957 et 2010. La distribution du Dst pendant cette période étant logNormale nous nous attendons à ce qu’elle le reste pour les prochaines années. Par la fonction de densité de la distribution nous déduisons la probabilité de l’indice Dst : d(Dst ≤ −100) = 2, 25% et d(Dst = −100) = 0, 08%

4.6.2 Etude de chaque cycle

Nous faisons maintenant l’analyse de cette probabilité sur chaque cycle, nous travaillons toujours sur le Dst et le F10.7. La figure 20 donne un aperçu du travail, chaque cycle (20, 21, 22 et 23, le 19 n’est pas complet) a été considéré. Nous avons déterminé comme précédemment (sur l’ensemble des données) la densité de probabilité d’apparition d’un Dst ≤ −100nT sur chaque cycle. Nous avons également calculé le F10.7 moyen sur ces mêmes périodes. Les différentes valeurs de densité et F10.7 moyens sont données sur la figure 20 pour chaque période.

FIGURE20 – Représentation du F10.7 et Dst réunis, les barres verticales représentent les sec-tions que nous avons choisis.

La figure 21 met en valeur la relation entre cette densité de probabilité et l’activité solaire moyenne représentée par le F10.7. Par un modèle linéaire généralisé (GLM), nous obtenons la droite régressée dans la figure 21 d’intercept (ordonnée à l’origine) 2, 38463 (p − value ≤ 0, 001) et de coefficient de régression 0, 10930 (p − value ≤ 0, 01). Nous avons des résultats très significatifs. Nous en déduisons donc une relation linéaire entre la probabilité d’occurrence d’orage dont le Dst est inférieur à -100nT et l’activité moyenne des cycles solaires.

E. Rifa 4 RÉSULTATS

FIGURE 21 – Graphique de la densité de probabilité d(Dst ≤ −100nT ) en fonction du F10.7

E. Rifa 5 DISCUSSION ET CONCLUSION

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Discussion et Conclusion

L’activité géomagnétique et ionosphérique sont très intimement liées et les évènements ma-gnétiques de forte intensité ont souvent de lourdes conséquences sur les systèmes de navigation actuels. Ces systèmes tels que le GPS sont complétés par des systèmes de corrections (EGNOS pour l’Europe), ceux-ci présentent quatre exigences : la précision, l’intégrité, la continuité et la disponibilité. Un évènement sévère tel qu’un orage magnétique altère automatiquement la précision et la disponibilité de l’intégrité des données. La continuité et la disponibilité peuvent présenter une défaillance voire même devenir hors service lorsque les satellites en marche font l’objet d’une exposition prolongée à l’orage magnétique ou autre fort évènement ionosphérique. Ma mission s’intègre directement dans la problématique que nous venons d’expliquer. L’ac-tivité solaire se mesure très facilement par rapport à l’acL’ac-tivité géomagnétique qui demande plusieurs stations de mesure à Terre, le nombre d’indices géomagnétiques différents témoigne de la difficulté pour estimer cette activité. L’intérêt de cette étude serait au final de prévoir les évènements géomagnétiques pouvant mettre à l’épreuve les systèmes de géolocalisation et de navigation à partir de la simple mesure de l’activité solaire.

• Etat de la relation

Nous avons choisi d’étudier la relation entre SSN et Aa, beaucoup d’études sont orientées vers ces indices pour cette recherche de la relation (Mendoza, 1996 ; Hathaway et al., 1999 ; Clúa de Gonzalez et al., 2001 ; Ahluwalia & Ygbuhay, 2009 ; Prestes et al., 2005), de plus ces deux indices présentent une très grande plage de recensement (entre 1868 et 2011, en commun). L’analyse des corrélations entre les indices géomagnétiques montre des coefficients très proches de 1 pour la majorité. Seul le Dst s’illustre par des coefficients toujours aux environs de 0,70 vis à vis des autres indices géomagnétiques. Cet indice est très particulier car sa mesure est effectuée seulement au niveau de l’équateur contrairement aux autres. De plus il est souvent utilisé dans le but de repérer les orages magnétiques dans les études d’occurrences (Bravo et al., 1997 ; Dubey & Mishra, 2000 ; Echer et al., 2011) avec le Ap et le Kp.

• L’analyse spectrale

Nous avons pu mettre en évidence plusieurs cycles réguliers dans les signaux bruts de SSN et Aa. Les deux cycles communs (pour lesquels le géomagnétisme est directement lié à l’activité solaire), sont le cycle d’environ 11 ans correspondant au cycle solaire, et le cycle de 27 jours qui est dû à la rotation du soleil dont la révolution se fait au bout de 27 jours. Un cycle de 13 jours est aussi visible sur l’indice Aa, comme le cycle de 5,5ans pour celui de 11ans, il serait une harmonique du cycle de 27 jours causé par l’activité solaire. Ensuite nous avons pu définir un