EM13 – Effet Hall EM12 – Résistances EM11 – Modèle de Drüde

EM11 – Modèle de Drüde

1°) Evaluer, pour un conducteur comme le cuivre, l’ordre de grandeur de la vitesse de dérive des électrons de conduction, dans un fil de section S=1mm², parcouru par un courant I=10A. La comparer à la vitesse d’agitation thermique d’un électron libre à la température T=300K.

2°) Evaluer le temps de relaxation τ du milieu. En assimilant τ à un temps de collision (temps moyen entre deux collisions successives d’une charge de conduction avec le réseau), évaluer le libre parcours moyen l des charges de conduction.

3°) Le champ électrique appliqué au milieu est sinusoïdal, de la forme :

𝐸𝐸�⃗=𝐸𝐸����⃗0 𝑒𝑒^{𝑗𝑗ω𝑡𝑡}

Montrer que le modèle précédent nous permet de définir une conductivité complexe γ en régime sinusoïdal établi.

4°) Dans quel domaine de fréquences sera-t-il possible d’assimiler la conductivité du milieu à sa valeur en régime permanent ? Données :

- Electron : 𝑚𝑚= 9,1 10⁻³¹𝑘𝑘𝑘𝑘, 𝑞𝑞=−𝑒𝑒=−1,6 10⁻¹⁹𝐶𝐶 - Constantes : 𝑁𝑁_𝑎𝑎= 6,02 10²³ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙⁻¹,𝑘𝑘𝐵𝐵= 1,38 10⁻²³𝐽𝐽𝐾𝐾⁻¹ - Cuivre : 𝑀𝑀= 64𝑘𝑘.𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙⁻¹,µ= 8900𝑘𝑘𝑘𝑘.𝑚𝑚⁻³ 𝑒𝑒𝑒𝑒 γ= 5,9 10⁷ 𝑆𝑆.𝑚𝑚⁻¹

EM12 – Résistances

Un matériau conducteur, de conductivité γ rempli l’espace entre deux cylindres coaxiaux, de hauteur h et de rayons a et b respectivement. Un courant I circule dans le conducteur selon les rayons lorsque les cylindres sont soumis à une différence de potentiels U.

1°) Déterminer la résistance R de ce système en négligeant tout effet de bord.

2°) Proposer une analogie avec le phénomène de conduction thermique. Quelle est la résistance thermique correspondante ?

EM13 – Effet Hall

On considère une plaque rectangulaire d’épaisseur h et de largeur b. Elle est réalisée dans un semi-conducteur de type N où la conduction électrique est assurée par des électrons mobiles dont le nombre par unité de volume est n. On notera e la charge élémentaire. La plaque est parcourue par un courant I, uniformément réparti sur la section de la plaque avec la densité volumique 𝚥𝚥⃗=𝑗𝑗 𝑢𝑢����⃗ 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑎𝑎 𝑗𝑗𝑥𝑥 > 0. Elle est alors placée dans un champ magnétique uniforme 𝐵𝐵�⃗=𝑏𝑏 𝑢𝑢����⃗ avec B>0 créé par des sources extérieures. Le champ magnétique crée par le courant dans la plaque est négligeable devant 𝑧𝑧

𝐵𝐵�⃗.

On suppose qu’en présence du champ magnétique, le vecteur densité de courant est toujours égal à 𝚥𝚥⃗=𝑗𝑗 𝑢𝑢����⃗. 𝑥𝑥

1°) Exprimer le vecteur vitesse 𝑉𝑉�⃗ des électrons dans la plaque en fonction de 𝚥𝚥⃗, n et e. Montrer qu’en présence du champ magnétique il apparaît un champ électrique de Hall 𝐸𝐸����⃗ tel que : _𝐻𝐻

𝐸𝐸𝐻𝐻

����⃗= 1 𝑛𝑛𝑒𝑒 𝚥𝚥⃗ ∧ 𝐵𝐵�⃗

Exprimer les composantes de 𝐸𝐸����⃗_𝐻𝐻.

2°) On considère deux points 1 et 1’ en vis-à-vis des faces A et A’ de la plaque. Calculer la différence de potentiel 𝑈𝑈𝐻𝐻=𝑉𝑉(1)− 𝑉𝑉(1^′) appelée tension de Hall. Montrer que 𝑈𝑈_𝐻𝐻peut s’écrire :

𝑈𝑈𝐻𝐻=𝐶𝐶𝐻𝐻

ℎ 𝐼𝐼𝐵𝐵

Exprimer la constante 𝐶𝐶𝐻𝐻 puis faîtes l’application numérique. Donner la valeur de n la densité particulaire.

Données : Antimoiniure d’Indium, 𝐶𝐶_𝐻𝐻= 375 10⁻⁶ 𝑚𝑚³𝐶𝐶⁻¹ ;𝐼𝐼= 0,1𝐴𝐴 ;ℎ= 0,3𝑚𝑚𝑚𝑚 ;𝐵𝐵= 1𝑇𝑇.

3°) On veut établir la loi d’Ohm locale. Soit 𝐸𝐸���⃗^′=𝐸𝐸^′𝑢𝑢����⃗ la partie du champ électrique colinéaire à 𝚥𝚥⃗. On pose 𝚥𝚥⃗𝑥𝑥 =σ 𝐸𝐸���⃗. Quelle caractéristique du matériau ^′ σ représente-t-elle ? Montrer qu’en présence du champ magnétique, on a :

𝚥𝚥⃗=σ �𝐸𝐸�⃗+𝐶𝐶𝐻𝐻 𝚥𝚥⃗ ∧ 𝐵𝐵�⃗�

4°) Tracer dans un plan xOy de la plaque les vecteurs _σ^𝚥𝚥⃗ ,𝐸𝐸�⃗ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐶𝐶𝐻𝐻 𝚥𝚥⃗ ∧ 𝐵𝐵�⃗ et les lignes équipotentielles en présence puis absence de champ magnétique.

EM14 – Courant électrique dans un conducteur ohmique

On considère un fil de cuivre d’axe Oz, de longueur L et de section S et parcouru par un courant d’intensité I. On modélise le cuivre par un réseau cristallin constitué d’ions positifs fixes dans lequel des électrons de conduction se déplacent librement. On admet qu’un atome de cuivre libère en moyenne un électron de conduction. On appelle n le nombre d’atomes de cuivre par unité de volume et 𝑎𝑎⃗ la vitesse moyenne des électrons. On modélise l’agitation thermique des électrons et les collisions sur les ions du réseau et entre eux par une force de frottement égale à −^{𝑚𝑚𝑣𝑣�⃗}_τ. Le champ électrique extérieur appliqué au cuivre est constant et vaut 𝐸𝐸�⃗=𝐸𝐸 𝑢𝑢����⃗. 𝑧𝑧

Données pour le cuivre :

- conductivité = γ = 5,9 × 10⁷ 𝑆𝑆.𝑚𝑚⁻¹ ; masse volumique = 𝜇𝜇 = 8,96 × 10³ 𝑘𝑘𝑘𝑘.𝑚𝑚⁻³ ; masse molaire = 𝑀𝑀 = 63,5 𝑘𝑘.𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙⁻¹ ; 𝑁𝑁𝐴𝐴 = 6,02 × 10²³ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙⁻¹.

Données pour un électron : 𝑚𝑚 = 9,1 × 10⁻³¹ 𝑘𝑘𝑘𝑘 ; 𝑞𝑞 = −𝑒𝑒 = −1,6 × 10⁻¹⁹ 𝐶𝐶.

1°) Déterminer en régime permanent la conductivité γ du cuivre en fonction de e, m, n et τ.

2°) Calculer n et la constante de temps τ.

3°) Déterminer la résistance du fil du cuivre en fonction de γ, L et S.

4°) Déterminer la densité volumique de puissance cédée par le champ électrique au métal. Quelle est la puissance cédée par le champ électrique au fil de cuivre ? Comment appelle-t-on cette puissance ?

EM21 – Champ électrostatique entre deux plaques

On considère un condensateur plan formé de deux plaques parallèles infinies et distantes de d. L'ensemble est placé dans le vide. Les plaques sont maintenues respectivement aux potentiels V1 et V2. On néglige les effets de bord.

1°) Rappeler les équations de Poisson et de Laplace pour l'électrostatique.

2°) Déterminer le potentiel et en déduire le champ électrostatique 𝐸𝐸�⃗ qui règne entre les armatures de ce condensateur.

3°) Ce condensateur est placé dans un milieu où règne une densité volumique de charges ρ uniforme. Déterminer le potentiel électrostatique et le champ électrostatique.

EM22 – Electromètre

Un électromètre est constitué de deux boules métalliques identiques de masse m et de rayon r suffisamment petit pour qu’elles puissent être considérées comme ponctuelles. Elles sont suspendues à un même point O par deux fils isolants de même longueur b. Une boule notée A est fixe, le point A est sur la verticale passant par O. L’autre notée P est mobile. L’ensemble est placé dans le champ de pesanteur supposé uniforme. On donne :

𝑏𝑏 = 12,0 𝑎𝑎𝑚𝑚, 𝑚𝑚 = 2,55 𝑘𝑘, 𝑘𝑘 = 9,81 𝑚𝑚.𝑠𝑠⁻² 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝜀𝜀0 = 8,85 × 10⁻¹² 𝐹𝐹.𝑚𝑚⁻¹.

Dans un premier temps, la boule P n’est pas chargée et la boule A porte la charge électrique Q. On met les deux boules en contact. La charge Q se répartit de manière égale entre les deux boules. II en résulte une déviation du fil OP d’un angle ϕ par rapport à la verticale.

1°) Donner l’expression de l’intensité F de la force électrostatique qui s’exerce sur P. Quelle est sa direction ? 2°) Déterminer l’expression de l’angle ϕ_e à l’équilibre.

3°) Montrer que la mesure de l’angle ϕ_e à l’équilibre permet de mesurer la valeur de la charge Q.

4°) On mesure ϕ_e= 60°. En déduire la valeur numérique de la charge Q.

5°) Calculer l’énergie potentielle 𝜀𝜀𝑝𝑝 de P.

6°) Retrouver l’expression de ϕ_e et étudier la stabilité de l’équilibre.

On s’aidera de la courbe suivante, où on a tracé la fonction 𝑒𝑒_𝑝𝑝=_𝜀𝜀^{𝜀𝜀𝑝𝑝}

𝑝𝑝,𝑟𝑟é𝑓𝑓 en fonction de ϕ, avec 𝜀𝜀_{𝑝𝑝,𝑟𝑟é𝑓𝑓}=_32πε^𝑄𝑄2

0𝑏𝑏.

EM23 – Equation de Poisson

Nous établirons ici l’expression de cette loi en coordonnées cartésiennes. Considérons le parallélépipède rectangle élémentaire représenté sur le schéma. Les points A et B ont pour coordonnées cartésiennes respectives (x, y, z) et (x+dx, y+dy, z+dz). La charge volumique du milieu est notée ρ.

-

En appliquant le théorème de Gauss au parallélépipède, établir :

𝜕𝜕𝐸𝐸𝑥𝑥

𝜕𝜕𝜕𝜕 +𝜕𝜕𝐸𝐸𝑦𝑦

𝜕𝜕𝜕𝜕 +𝜕𝜕𝐸𝐸𝑧𝑧

𝜕𝜕𝜕𝜕 =ρ

ε₀

-

En déduire l’équation différentielle liant le potentiel à la densité volumique de charges, appelée équation de Poisson.

EM24 – Topographie

Le schéma représente les lignes du champ électrostatique créé par des fils très longs, uniformément chargés, perpendiculaires au plan de la figure.

1°) Où sont situés les points d'intersection des fils avec le plan du schéma ? 2°) Quel est le signe de la densité linéique de charge de chacun d'entre eux ? 3°) Quel est le signe de la densité linéique de charge totale ?

4°) La norme du champ en A est de 100 V.m^-1 . Calculer une valeur approchée du champ en B.

5°) Que peut-on dire du champ au voisinage de point C ?

EM25 – Anneau chargé

Soit la distribution suivante formée d’un anneau chargé linéiquement avec la densité uniforme λ.

Le champ sur l’axe de l’anneau, en un point M de cote z, est de la forme 𝐸𝐸�⃗=𝐸𝐸0(𝜕𝜕) 𝑢𝑢����⃗. 𝑧𝑧 On s’intéresse au champ électrostatique au voisinage de l’axe. On calcule donc le champ en un point P défini par des coordonnées cylindriques (𝑟𝑟,𝜃𝜃,𝜕𝜕) avec 𝑟𝑟 ≪ 𝑎𝑎 où a est le rayon de l’anneau, c’est aussi la distance caractéristique des variations spatiales des composantes du champ 𝐸𝐸�⃗. De manière générale :

𝐸𝐸�⃗(𝑃𝑃) =𝐸𝐸𝑟𝑟(𝑟𝑟,𝜃𝜃,𝜕𝜕)𝑢𝑢����⃗𝑟𝑟+𝐸𝐸𝜃𝜃(𝑟𝑟,𝜃𝜃,𝜕𝜕)𝑢𝑢����⃗θ+𝐸𝐸𝑧𝑧(𝑟𝑟,𝜃𝜃,𝜕𝜕)𝑢𝑢����⃗ 𝑧𝑧

1°) Montrer par des arguments de symétrie, qu’en P, 𝐸𝐸_𝜃𝜃(𝑟𝑟,𝜃𝜃,𝜕𝜕) = 0 2°) Montrer que 𝐸𝐸_𝑟𝑟(𝑟𝑟,𝜃𝜃,𝜕𝜕) et 𝐸𝐸_𝑧𝑧(𝑟𝑟,𝜃𝜃,𝜕𝜕) ne dépendent que de r et z.

3°) Montrer qu’au voisinage de l’axe, le flux du champ 𝐸𝐸�⃗ est conservatif. Que peut-on dire de sa circulation le long d’un contour fermé ?

4°) On choisit r et dz tels que r/a et dz/a soient des infiniment petits du premier ordre.

Calculer le flux du champ électrostatique à travers ce cylindre et en déduire l’expression de 𝐸𝐸_𝑟𝑟(𝑟𝑟,𝜕𝜕) en fonction de la dérivée par rapport à z de 𝐸𝐸₀(𝜕𝜕).

5°) Justifier le fait que 𝐸𝐸_𝑧𝑧(𝑟𝑟,𝜕𝜕)− 𝐸𝐸𝑧𝑧(0,𝜕𝜕) est au moins d’ordre deux en r.

6°) On considère le rectangle ci-dessous :

On choisit r/a infiniment petit d’ordre 1, dr/a et dz/a infiniment petits d’ordre 2. En calculant la circulation de 𝐸𝐸�⃗ le long de ce rectangle, montrer que : 𝐸𝐸𝑧𝑧(𝑟𝑟,𝜕𝜕) =𝐸𝐸𝑧𝑧(0,𝜕𝜕)−𝑟𝑟²

2 𝑑𝑑²𝐸𝐸0(𝜕𝜕)

𝑑𝑑𝜕𝜕² 7°) Récapituler l’expression de 𝐸𝐸�⃗(𝑃𝑃) au premier ordre en r, puis au deuxième ordre en r.

EM31 – Distribution volumique entre deux plans

On considère une distribution volumique D de charges ρ uniforme, d’extension infinie, comprise entre deux plans 𝜕𝜕 =−^𝑎𝑎₂ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝜕𝜕=^𝑎𝑎₂dans le référentiel 𝑅𝑅= {0,𝑢𝑢����⃗,𝑥𝑥 𝑢𝑢����⃗,𝑦𝑦𝑢𝑢����⃗ }. 𝑧𝑧

Calculer le champ électrostatique et le potentiel électrostatique par 3 méthodes : - Théorème de Gauss

- Equation de Maxwell-Gauss - Equation de Poisson.

On prendra V(0) = 0. Étudier le cas particulier où 𝑎𝑎 →0.

EM32 – Champ créé par une boule

On considère une boule de centre C, de rayon R uniformément chargée de densité volumique de charges ρ.

1°) Exprimer la charge Q de la boule en fonction de ρ et de R.

2°) Déterminer le champ électrostatique en tout point de l'espace.

3°) Exprimer l'énergie électrostatique de cette sphère en fonction de Q et R.

EM33 – Faisceau de particules chargées à symétrie cylindrique

1°) A l’intérieur d’un cylindre infini, d’axe z’z, de rayon R, se trouve un faisceau de particules chargées réparties avec une densité volumique de charge ρ. Déterminer le module du champ électrique E(r) en un point intérieur et extérieur au faisceau cylindrique dans les deux hypothèses :

a) ρ=ρ0=constante b) ρ=ρ₀�1 +�^𝑟𝑟_𝑅𝑅�²�

2°) En déduire le champ 𝐸𝐸�⃗ créé par un conducteur filiforme infini, uniformément électrisé avec une densité linéique λ.

3°) On considère maintenant le faisceau de particules chargées, réparties uniformément avec une densité volumique de charge ρ0, entre deux cylindres de même axe z’z et de rayons R1 et R2 (R2>R1). Calculer le champ électrique en un point M à la distance r de l’axe z’z, r variant de 0 à l’infini.

4°) En déduire le champ créé en un point M par un tube cylindrique de rayon R1, uniformément électrisé avec une densité surfacique σ.

EM34 – Energie coulombienne de deux noyaux miroirs

1°) On cherche à déterminer l’énergie de constitution d’une sphère de rayon R et de charge Q uniformément répartie dans son volume. Cette énergie est définie comme le travail qu’il faut fournir pour construire la sphère en prenant les charges à l’infini. On admet que cette énergie ne dépend pas de la façon dont on la construit. On la construit par couches sphériques concentriques successives. On considère qu’on construit la sphère très lentement et que le travail que l’on doit fournir ne sert pas à la modification de l’énergie cinétique des charges, que l’on supposera donc à chaque instant en équilibre sous l’action de l’opérateur qui construit la sphère et de l’interaction électrostatique avec la portion de sphère déjà créée.

Établir alors l’expression de cette énergie en fonction de Q, R et ε₀.

2°) On utilise le résultat précédent pour estimer le rayon d’un noyau atomique de nombre de masse A impair ; pour cela, on considère les énergies de liaison 𝐵𝐵1 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐵𝐵2 des deux noyaux « miroirs » de nombre de masse A et de numéros atomiques respectifs 𝑍𝑍1=^𝐴𝐴−1₂ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑍𝑍2=^𝐴𝐴+1₂. On admettra que la charge du noyau est uniformément répartie dans une sphère dont le rayon R ne dépend que de A et que la contribution de l’interaction forte à l’énergie de liaison est la même pour les deux noyaux « miroirs ». Comparer 𝐵𝐵₁ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐵𝐵2 et exprimer R en fonction de 𝐴𝐴,𝐵𝐵1 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐵𝐵2. Calculer R pour les noyaux donnés dans le tableau ci-dessous. Commenter.

3°) En admettant la loi 𝑅𝑅= 𝑟𝑟𝐶𝐶𝐴𝐴¹³ où 𝑟𝑟_𝐶𝐶 est une constante, déterminer l’influence relative de l’énergie de constitution sur l’énergie de liaison pour les noyaux 178𝑂𝑂 𝑒𝑒𝑒𝑒 23892𝑈𝑈 ; commenter.

On donne l’énergie de liaison du noyau 23892𝑈𝑈 : B=1759,4 MeV.

EM35 - Recherche d’une distribution de charges

Le potentiel créé par une distribution de charges a pour expression, en coordonnées sphériques : 𝑉𝑉(𝑟𝑟) =_4πε^𝑄𝑄

0.^{𝑒𝑒−𝑟𝑟𝑎𝑎}_𝑟𝑟 1°) Quelles sont les dimensions de Q et de a ?

2°) Déterminer le champ 𝐸𝐸�⃗ résultant.

3°) Déterminer la distribution de charges associée à ce potentiel.

EM36 – Distribution volumique entre deux sphères concentriques

On considère une charge q positive répartie en volume entre deux sphères concentriques de rayon R1 et R2. On appelle ρ(r) la densité volumique de charges entre R1 et R2. Le champ électrostatique se met sous la forme :

𝐸𝐸�⃗=𝑎𝑎(𝑟𝑟 − 𝑅𝑅1)𝑢𝑢����⃗ pour 𝑅𝑅𝑟𝑟 ₁≤ 𝑟𝑟 ≤ 𝑅𝑅2 avec a une constante. On donne, pour un champ à symétrie sphérique : 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑎𝑎 𝐸𝐸�⃗=𝑑𝑑𝐸𝐸𝑟𝑟

𝑑𝑑𝑟𝑟+2𝐸𝐸𝑟𝑟

𝑟𝑟 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑎𝑎 𝐸𝐸𝑟𝑟=𝐸𝐸(𝑟𝑟)𝑢𝑢����⃗ 𝑟𝑟

1°) Déterminer ρ(r) en fonction de a,r, R1 et εo. 2°) Déterminer a en fonction de q, εo, R1 et R2.

3°) Déterminer le champ électrostatique en tout point de l'espace. Représenter graphiquement 𝐸𝐸_𝑟𝑟 en fonction de r.

EM37 - Champ dans une cavité cylindrique

Un cylindre infini d'axe 𝑂𝑂₁𝜕𝜕 possédant une charge volumique uniforme ρ, présente une cavité cylindrique infinie (d'axe 𝑂𝑂₂𝜕𝜕 avec 𝑂𝑂₂différent de 𝑂𝑂₁) vide de charges.

Montrer que le champ électrostatique est uniforme dans la cavité.

EM38 – Champ dans une cavité sphérique

Une boule de rayon a portant la charge volumique uniformément répartie�ρ possède une cavité sphérique de rayon b vide de charges. Déterminer le champ dans la cavité.

EM39 – Étude d'un champ électrique à distribution cylindrique

Soit le champ E à symétrie cylindrique, défini en coordonnées cylindriques par : 𝐸𝐸𝑟𝑟(𝑟𝑟 ≤ 𝑟𝑟0) =𝐸𝐸0𝑟𝑟

𝑟𝑟0 , 𝐸𝐸𝑟𝑟(𝑟𝑟>𝑟𝑟0) =𝐸𝐸0𝑟𝑟0

𝑟𝑟 , 𝐸𝐸θ= 0 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐸𝐸𝑧𝑧= 0 a) Déterminer les lignes de champ. Comment varie 𝐸𝐸�⃗ le long d'une ligne ?

b) Calculer 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑎𝑎 �𝐸𝐸�⃗� pour ce ty en tout point. Pour un champ radial en coordonnées cylindriques, quelle loi de dépendance avec r permet d'assurer une divergence nulle ?

c) Exprimer, le flux φ=∬ 𝐸𝐸�⃗._Σ 𝑑𝑑𝑆𝑆����⃗, où Σ est un cylindre d'axe Oz, de hauteur h et de rayon r.

d) Si 𝐸𝐸�⃗ est un champ électrostatique, à quelle distribution de charges le problème correspond-il ? e) Que vaut le rotationnel de ce champ ?

Données : 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑎𝑎 𝐴𝐴⃗ =¹_𝑟𝑟^{𝜕𝜕(𝑟𝑟𝐴𝐴}_{𝜕𝜕𝑟𝑟}^𝑟𝑟)+¹_𝑟𝑟^{𝜕𝜕𝐴𝐴}_𝜕𝜕θ^θ+^{𝜕𝜕𝐴𝐴}_{𝜕𝜕𝑧𝑧}^𝑧𝑧

EM41 - Champ et potentiel créés par deux fils infinis

On considère un fil infini d'axe Oz portant une densité linéique de charge constante λ.

1°) Déterminer le champ électrostatique 𝐸𝐸�⃗.

2°) En déduire le potentiel électrostatique V.

3°) On considère deux fils infinis parallèles à l'axe Oz situés en (x = -a, y = 0) et (x = a, y = 0) portant respectivement des densités linéiques de charges -λ et +λ. Donner l'expression du potentiel en un point de l'espace défini par les distances r1 et r2 aux deux fils, en choisissant V=0, à égale distance des deux fils.

4°) En déduire que pour 𝑟𝑟 ≫ 𝑎𝑎 :

𝑉𝑉(𝑀𝑀) = λ𝑎𝑎 πε₀𝑟𝑟 cosθ

EM42 – Interaction d’une charge ponctuelle et d’un dipôle électrostatique

On place un dipôle électrostatique rigide 𝑝𝑝⃗ en un point M, à proximité d’une charge ponctuelle q située en O.

1°) Montrer que le dipôle s’oriente radialement par rapport à la charge q.

2°) Déterminer l’expression de la force subie par le dipôle, en supposant qu’il s’est préalablement orienté selon la direction de la question précédente. On rappelle qu’un dipôle dans un champ électrostatique subit la force : 𝐹𝐹⃗=�𝑝𝑝⃗.𝑘𝑘𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑����������⃗�𝐸𝐸�⃗

3°) Même question pour la charge q.

4°) Que peut-on en conclure ?

EM43 – Deux sphères de densité opposée

Deux sphères, de centre 𝑂𝑂₁ et 𝑂𝑂₂, de même rayon R, sont chargées uniformément en volume avec des densités volumiques de charge opposées +ρ et −ρ. Leurs centres sont décalés de a : 𝑂𝑂���������⃗1𝑂𝑂2=𝑎𝑎 𝑢𝑢����⃗𝑧𝑧, avec 𝑎𝑎 ≪ 𝑅𝑅.

1°) Déterminer le champ électrostatique dans tout l’espace intérieur et dans tout l’espace extérieur aux deux sphères (la zone intérieure à l’une et extérieure à l’autre est trop petite pour être intéressante).

2°) Montrer que l’on peut définir un moment dipolaire 𝑝𝑝⃗ pour l’ensemble tel que le champ à l’extérieur soit égal à celui que crée ce dipôle.

EM44 – Dipôle électrostatique et condensateur plan

Un condensateur plan est constitué de deux armatures métalliques très fines, de surface S, situées en x=0 et x=e. L’isolant entre les deux armatures a une permittivité ε₀. On néglige les effets de bord. Les densités surfaciques de charges portées par les deux armatures sont uniformes et opposées. On rappelle que pour un dipôle rigide placé dans un champ électrique extérieur 𝐸𝐸�⃗, l’énergie potentielle est 𝐸𝐸_𝑝𝑝=−𝑝𝑝⃗.𝐸𝐸�⃗ et le moment du couple subi par ce dipôle est Γ��⃗=𝑝𝑝⃗ ∧ 𝐸𝐸�⃗.

1°) Déterminer le champ électrostatique à l’intérieur du condensateur en utilisant le champ créé par un plan infini.

2°) On place à l’intérieur du condensateur un dipôle électrostatique de moment d’inertie J en un point O d’abscisse 𝜕𝜕=^𝑒𝑒₂. Il peut tourner autour de l’axe Oz. Déterminer les positions d’équilibre.

3°) Étudier la stabilité de l’équilibre.

4°) Etablir l’équation différentielle en θ liée à la rotation du dipôle autour de l’axe Oz. Étudier les petits mouvements autour de la position d’équilibre stable.

EM45 – Cristal de NaCl soumis à un champ

L’application d’un champ électrique à un monocristal de chlorure de sodium se traduit par des déplacements des ions qui le composent. Soit 𝐸𝐸�⃗=𝐸𝐸0 𝑢𝑢����⃗𝑥𝑥, le champ électrostatique imposé aux ions du cristal, par exemple en appliquant une tension à des électrodes planes plaquées sur les faces opposées d’un échantillon parallélépipédique. Sous l’effet de ce champ, les ions 𝑁𝑁𝑎𝑎⁺ se déplacent en bloc selon Ox de δ⁺ et les ions 𝐶𝐶𝑙𝑙⁻ de δ ⁻, le centre de masse de l’ensemble restant immobile. On posera 𝜕𝜕=δ⁺−δ ⁻. Avant tout déplacement le moment dipolaire global du cristal est nul par symétrie de la répartition.

On note N le nombre d’ions sodium et chlorure par unité de volume et e la valeur absolue de la charge de l’électron.

1°) Montrer que ces déplacements ioniques se traduisent par un moment dipolaire réparti dans le volume du cristal, de densité volumique 𝑃𝑃�⃗=𝑃𝑃 𝑢𝑢����⃗ et 𝑥𝑥

exprimer P en fonction de la charge élémentaire e, de x et du nombre N de paires d’ions 𝑁𝑁𝑎𝑎⁺𝐶𝐶𝑙𝑙⁻ par unité de volume.

2°)

a) L’expérience montre que la relation entre P et E est linéaire, de la forme 𝑃𝑃 = 𝜀𝜀0𝜒𝜒𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝐸𝐸 où 𝜒𝜒𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 est un coefficient positif caractéristique du cristal. En déduire que le groupe d’ions 𝑁𝑁𝑎𝑎⁺ est soumis à des forces de rappel élastique dont la moyenne par ion est de la forme 𝑓𝑓⃗=−𝐾𝐾𝜕𝜕 𝑢𝑢����⃗, 𝑥𝑥

les ions 𝐶𝐶𝑙𝑙⁻ étant soumis à des forces opposées.

b) Exprimer la constante K en fonction de N, e, 𝜀𝜀₀ et 𝜒𝜒_{𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖}. 3°)

a)

Après suppression du champ 𝐸𝐸�⃗, les deux groupes d’ions évoluent librement. Écrire l’équation du mouvement d’un ion 𝑁𝑁𝑎𝑎⁺ et celle d’un ion 𝐶𝐶𝑙𝑙⁻

; on désignera par 𝑚𝑚⁺ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑚𝑚⁻ leur masse respective.

b)

Montrer que leur mouvement relatif des deux ions est une oscillation à une pulsation ω_𝑇𝑇=�_{𝑚𝑚𝜀𝜀}^{𝑁𝑁𝑒𝑒}_0𝜒𝜒²_{𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖}. Pour cela, on fera les combinaison linéaires des équations du mouvement des deux ions qui permettent d’obtenir les équations vérifiées par : 𝜕𝜕_𝐺𝐺=^𝑚𝑚+_𝑚𝑚^δ++^+𝑚𝑚+𝑚𝑚^{−−δ −} et par x.

EM46 – Filet d’eau

Un morceau de matière plastique, frotté sur un chiffon sec, est approché d’un filet d’eau coulant d’un robinet. Le résultat, assez spectaculaire, de cette expérience est représenté sur l’image. Comment interpréter ce phénomène ?

EM51 - Champ créé par une nappe de courant

1 – Propriétés du champ

On considère une distribution volumique de courant délimitée par les deux plans d'équation 𝜕𝜕=−^𝑎𝑎₂ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝜕𝜕=^𝑎𝑎₂. On suppose qu'entre ces plans la densité volumique de courant est uniforme : 𝚥𝚥⃗=𝑗𝑗 𝑢𝑢����⃗. 𝑥𝑥

a) Examiner les invariances géométriques, pour en déduire de quelle(s) coordonnée(s) dépend le champ ? b) Faire de même avec les symétries et préciser la direction du champ magnétique en tout point.

c) Que peut-on dire de la valeur du champ sur le plan x0y ? 2 - Expressions du champ

a) Proposer un contour d'Ampère qui permette d'exprimer le champ créé par la distribution de courant en un point M de cote z, en exploitant la nullité du champ sur le plan xOy.

b) Préciser alors l'expression du champ magnétique au point M, selon la valeur de z, dans le cas où z est positive.

c) Tracer le graphe de B = f(z), en précisant par des arguments de symétrie la parité ou l'imparité de cette fonction.

EM52 - Bobine Torique

Considérons une bobine torique formé de N spires jointives carrées (où N est très grand) telle que celle-ci :

1°) Calculer l’expression du champ magnétostatique à l’intérieur et à l’extérieur du tore.

2°) Calculer le flux magnétique à travers une spire, puis le flux total à travers le tore. En déduire l’inductance du tore.

EM53 - Champ créé par un faisceau cylindrique d'électrons

Un faisceau électronique a la forme d'un cylindre très long de rayon R et d'axe (Oz). Les électrons ont tous la même vitesse 𝑎𝑎⃗=𝑎𝑎 𝑢𝑢����⃗ ; et ils 𝑧𝑧

sont uniformément répartis avec une densité de n électrons par unité de volume.

1°) En adoptant un modèle volumique, calculer la densité volumique de charge et le vecteur densité volumique de courant.

2°) Calculer le champ électrique en un point M de coordonnées cylindriques (r, θ, z).

3°) Calculer le champ magnétique. Quelle relation relie 𝐸𝐸�⃗ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐵𝐵�⃗ ? 4°) Le faisceau peut-il rester cylindrique ?

EM54 – Interaction entre deux moments magnétiques

On donne le champ magnétique créé en un point P par un dipôle de moment 𝑀𝑀��⃗ placé en A : 𝐵𝐵�⃗(𝑀𝑀) =µ₀

4π�3𝑀𝑀��⃗.𝑢𝑢������⃗� 𝑢𝑢𝐴𝐴𝐴𝐴 ������⃗ − 𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴 ��⃗

𝐴𝐴𝑃𝑃³ 𝑚𝑚ù 𝑢𝑢������⃗𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴𝑃𝑃�����⃗

Deux dipôles magnétiques de moments 𝑀𝑀��⃗₁ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑀𝑀��⃗₂ sont respectivement en O et M. 𝐴𝐴𝑃𝑃

1°) Exprimer l’énergie potentielle d’interaction des deux dipôles en fonction de 𝑀𝑀��⃗₁ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑀𝑀��⃗₂, 𝑂𝑂𝑀𝑀������⃗ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑂𝑂𝑀𝑀.

2°) On suppose que 𝑀𝑀��⃗₁ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑀𝑀��⃗₂ 𝑠𝑠ont colinéaires à 𝑂𝑂𝑀𝑀������⃗. Exprimer la force entre les dipôles.

À quelle condition est-elle attractive ?

3°) Même question 𝑀𝑀��⃗₁ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑀𝑀��⃗₂ sont colinéaires entre eux et perpendiculaires à 𝑂𝑂𝑀𝑀������⃗.

4°) Déterminer l’ordre de grandeur de l’énergie d’interaction entre deux atomes possédant un moment magnétique.

À quelle température cette énergie est-elle de l’ordre de grandeur de l’énergie d’agitation thermique 𝑘𝑘𝐵𝐵𝑇𝑇 ? Conclure quant à l’origine microscopique des propriétés magnétiques de la matière.

EM55 - Modèles de fils

a)

Un conducteur cylindrique de rayon R, de dimension infinie selon l'axe z'Oz, est parcouru par un courant d'intensité constante I. La distribution est modélisée dans un premier temps à l'aide d'une densité volumique de courant 𝚥𝚥⃗ uniforme. Déterminer le champ magnétique en tout point.

b)

Reprendre la question précédente, si la conduction n'est que superficielle (l'intensité circule uniformément selon Oz sur la seule surface du cylindre).

c)

On reprend la modélisation du a), mais cette fois se trouve dans le cylindre une cavité cylindrique de rayon r et d'axe O'z, avec O' à la distance d de Oz tel que 𝑑𝑑 + 𝑟𝑟<𝑅𝑅. Montrer que le champ magnétique à l'intérieur de cette cavité est uniforme.

EM56 – Topographie

Le schéma représente les lignes de champ magnétique créé par trois fils infiniment longs, perpendiculaires au plan du schéma, parcourus par les courants I1, I2 et I3. Par convention, un courant dirigé vers le lecteur est positif.

1°) Déterminer sans aucun calcul le signe de I1, I2 et I3 et celui de la somme I1+I2+I3. 2°) Quelle est la valeur du champ B en A et en A’ ?

3°) Soit |𝐼𝐼₂| = 1𝐴𝐴, en déduire une valeur approchée de I1 et I3

EM57 - Câble coaxial

1°) Énoncer le théorème d'Ampère relatif à la circulation du champ magnétique B le long d'un contour fermé C constitué de points M et s'appuyant sur une surface S. On notera 𝚥𝚥⃗(𝑃𝑃) la densité de courant en un point P de la surface S.

2°) On considère un câble coaxial cylindrique de longueur supposée infinie, constitué d'un conducteur central plein de rayon R1, parcouru par un courant uniforme d'intensité I et d'un conducteur périphérique évidé, de rayon intérieur R2, de rayon extérieur R3 avec R1 < R2 < R3 et parcouru par un courant uniforme également d'intensité I mais circulant en sens inverse par rapport au courant conducteur central.

On notera 𝑢𝑢����⃗𝑧𝑧 le vecteur directeur unitaire de l'axe commun des 2 conducteurs. Soit un point M à une distance r de l' axe du câble.

a) Montrer que le champ magnétique 𝐵𝐵�⃗ créé au point M est orthoradial.

b) Montrer qu'il peut se mettre sous la forme 𝐵𝐵�⃗=𝐵𝐵(𝑟𝑟)𝑢𝑢����⃗. θ

c) Préciser alors la forme des lignes de champ.

3°)

a) Montrer que le champ magnétique 𝐵𝐵�⃗ créé au point M est nul si r > R3.

b) Expliquer l'intérêt du câble coaxial par rapport à un fil simple parcouru par un courant de même intensité.

4°) Calculer les densités de courant 𝚥𝚥��⃗ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝚥𝚥₁ ��⃗ respectivement du conducteur central et du conducteur périphérique en fonction des courants I2 1 et I2 et des rayons R1, R2 et R3.

5°) En appliquant le théorème d'Ampère à un contour C que l'on précisera, donner l'expression de la composante B(r) du champ magnétique créé au point M en fonction de µo, I, r, R1, R2 et R3 dans chacun des cas suivant la valeur de r.

6°) Vérifier la continuité de B.

7°) Tracer B(r).

EM58 – Effet Hall

Soit une portion de conducteur ayant la forme d'un ruban de largeur l et d'épaisseur h selon Oz. Le milieu comprend une densité volumique d'ions fixes notée n et une densité électronique de même valeur. Un champ magnétique permanent et uniforme règne en tout point : 𝐵𝐵�⃗ = 𝐵𝐵𝑢𝑢����⃗. En régime 𝑧𝑧

permanent, une intensité I circule le long du ruban, avec une densité de courant uniformément répartie 𝚥𝚥⃗= 𝑗𝑗 𝑢𝑢����⃗. 𝑥𝑥

1°) Expliquer qualitativement que des densités surfaciques de charges sont présentes latéralement et préciser le sens du champ électrique qu'elles créent.

2°) En régime permanent, les électrons mobiles sont soumis au champ électromagnétique total et à une force de frottement fluide. Donner l'expression du champ électrique transversal 𝐸𝐸����⃗, appelé champ de Hall, en fonction de n, I, B, des dimensions du ruban et de la charge élémentaire e. _𝐻𝐻

3°) Quelle est la force subie par les ions fixes du fait de la présence de 𝐸𝐸����⃗ ? Donner l'expression de la densité volumique de cette force en fonction de 𝚥𝚥⃗ et _𝐻𝐻 𝐵𝐵�⃗, puis de la densité linéique en fonction de I et B.

EM59 – Champ magnétique terrestre

Le champ magnétique terrestre est modélisé par le champ d’un dipôle permanent de moment 𝑀𝑀��⃗ situé au centre de la Terre et dirigé du pôle Nord vers le pôle Sud. On assimile la Terre à une sphère de rayon 𝑅𝑅_𝑇𝑇= 6360 𝑘𝑘𝑚𝑚. L’intensité du champ magnétique au pôle Nord terrestre est 𝐵𝐵0= 6 × 10⁻⁵ 𝑇𝑇.

-

Quelle est la valeur de M ?

-

Que valent les composantes horizontale et verticale du champ magnétique terrestre en un lieu de latitude λ = 49° (latitude de Paris) ?

EM61 – Décharge d’un conducteur dans l’air

Une boule conductrice, de centre O et de rayon R, porte initialement la charge 𝑄𝑄₀ uniformément répartie. Elle est abandonnée dans l’air supposé légèrement conducteur, de conductivité γ. À l’instant t, la boule porte la charge Q(t). On cherche le champ électromagnétique �𝐸𝐸�⃗(𝑀𝑀,𝑒𝑒),𝐵𝐵�⃗(𝑀𝑀,𝑒𝑒)�

en un point M de l’espace repéré par ses coordonnées sphériques de centre O.

1°) Déterminer les champs 𝐸𝐸�⃗(𝑀𝑀,𝑒𝑒) et 𝐵𝐵�⃗(𝑀𝑀,𝑒𝑒) à l’extérieur de la boule.

2°) Établir l’équation différentielle vérifiée par Q(t). La résoudre. Commenter.

3°) Calculer l’énergie cédée par le champ à la matière ainsi que la variation d’énergie électromagnétique. Conclure.

EM62 - Alternateur d’une éolienne

Le disque éolien entraîne, par un système de démultiplication, une bobine plate en rotation autour de l'axe Oz. La bobine a une résistance r, une inductance L et elle est fermée sur une résistance Ro. On pose R = r + Ro. Elle comporte N spires de surface s et se déplace dans un champ magnétique constant 𝐵𝐵�⃗=𝐵𝐵 𝑢𝑢����⃗ 𝑥𝑥

1°) L'éolienne tourne à vitesse angulaire constante ω. En régime sinusoïdal forcé, l'intensité i est de la forme : 𝑑𝑑 (𝑒𝑒) = 𝐼𝐼𝑚𝑚 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑠𝑠 (ω𝑒𝑒 + φ). Déterminer 𝐼𝐼_𝑚𝑚 et φ.

2°) Quelle est la valeur moyenne du moment Γ����⃗ des forces de Laplace subies par la bobine ? ^′

3°) Le moteur éolien a une puissance moyenne P. Représenter, sur un même diagramme, le moment Γ du couple moteur et �<Γ����⃗^′>�, en fonction de ω.

4°) À t = 0, la vitesse angulaire est nulle et on débloque l'éolienne. Analyser qualitativement le régime transitoire. Déterminer la vitesse angulaire ω₀ en régime permanent et montrer que P doit rester inférieure à une puissance critique notée Pc. Ce régime est-il stable ?

EM63 – Courants de Foucault dans un cylindre

On place un cylindre conducteur d’axe Oz, de section 𝑆𝑆0 = 𝜋𝜋𝑅𝑅², de longueur L et de conductivité γ dans un champ magnétique extérieur uniforme 𝐵𝐵�⃗=𝐵𝐵0cos(𝜔𝜔𝑒𝑒) 𝑢𝑢����⃗. On suppose que le champ magnétique induit est négligeable devant le champ magnétique extérieur appliqué. On se place 𝑧𝑧

dans le cadre de l’ARQS magnétique et on néglige les effets de bord. On donne en coordonnées cylindriques :

𝑟𝑟𝑚𝑚𝑒𝑒

������⃗ 𝐴𝐴⃗ =

⎝

⎜⎜

⎜⎛ 1

𝑟𝑟𝜕𝜕𝐴𝐴𝑧𝑧

𝜕𝜕θ − 𝜕𝜕𝐴𝐴𝜕𝜕𝜕𝜕^θ

𝜕𝜕𝐴𝐴𝑟𝑟

𝜕𝜕𝜕𝜕 −𝜕𝜕𝐴𝐴𝑧𝑧

1 𝜕𝜕𝑟𝑟 𝑟𝑟 �𝜕𝜕(𝑟𝑟𝐴𝐴θ)

𝜕𝜕𝑟𝑟 −𝜕𝜕𝐴𝐴𝑟𝑟

𝜕𝜕θ�⎠

⎟⎟

⎟⎞

1°) On admet que 𝐸𝐸�⃗=𝐸𝐸(𝑟𝑟,𝑒𝑒) 𝑢𝑢����⃗. Montrer que : 𝜃𝜃

𝐸𝐸�⃗(𝑃𝑃) =𝑟𝑟𝜔𝜔𝐵𝐵0sin(𝜔𝜔𝑒𝑒) 2 𝑢𝑢����⃗ 𝜃𝜃

2°) Déterminer la puissance moyenne dissipée par effet Joule dans le cylindre.

3°) Que devient la puissance moyenne dissipée par effet Joule si au lieu d’un seul conducteur cylindrique, on utilise N conducteurs cylindriques identiques, de même longueur L, de section 𝑆𝑆₀^′=^𝑆𝑆_𝑁𝑁⁰sachant que le volume total occupé par les

N cylindres est le même que précédemment ? Expliquer l’intérêt du feuilletage : procédé qui consiste à diviser la section du noyau de fer en de multiples feuillets, pour la réalisation des transformateurs.

EM64 – Bilan d’énergie dans un milieu ohmique

L’espace compris entre les plans 𝜕𝜕=−^𝑎𝑎₂ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝜕𝜕= +^𝑎𝑎₂ est rempli d’un milieu conducteur ohmique, de conductivité γ, parcouru par une densité volumique de courant uniforme et constante 𝚥𝚥⃗(𝑀𝑀) =𝑗𝑗 𝑢𝑢����⃗ 𝑥𝑥

1°) Par des considérations de symétrie, déterminer la direction du champ magnétique 𝐵𝐵�⃗(𝑀𝑀)créé par cette distribution en un point M. En déduire 𝐵𝐵�⃗(𝑀𝑀) à l’intérieur du milieu conducteur en intégrant l’une des équations de Maxwell.

2°) Exprimer le vecteur de Poynting, la densité volumique d’énergie électromagnétique, la puissance volumique dissipée dans le conducteur.

3°) Faire un bilan d’énergie électromagnétique pour le volume parallélépipédique [𝜕𝜕,𝜕𝜕+𝑑𝑑𝜕𝜕] ×�−^𝑏𝑏₂,^𝑏𝑏₂�×�−^𝑎𝑎₂,^𝑎𝑎₂�.

EM65 – Pince ampéramétrique

Une bobine torique est constituée de N spires jointives enroulées sur un tore, de section rectangulaire, de rayon intérieur a, de rayon extérieur b, de hauteur h. On suppose que N » 1.

1°) Calculer le flux du champ magnétique créé par la bobine torique à travers les N spires. En déduire son inductance propre L1.

2°) Le tore (circuit 1) enlace un fil infini (circuit 2) d'axe Oz et est parcouru par un courant 𝑑𝑑₂=𝐼𝐼2𝑚𝑚cos (ω𝑒𝑒+φ). Calculer le flux du champ magnétique créé par le circuit 2 à travers les N spires du tore. En déduire l'inductance mutuelle M entre les deux circuits.

3°) On court-circuite le circuit torique et on néglige sa résistance. On se place en régime sinusoïdal forcé. Déterminer la valeur efficace du courant i1. Quel est l'avantage de la mesure du courant induit ?

EM66 - Supraconducteur

Un supraconducteur a, entre autres, les caractéristiques suivantes : sa résistivité tombe à zéro et il expulse partiellement tout champ magnétique. La loi d'Ohm est alors remplacée par la loi de London :

𝑟𝑟𝑚𝑚𝑒𝑒

������⃗ 𝚥𝚥⃗=− 𝐵𝐵�⃗

𝜇𝜇0𝑙𝑙²

On étudie une lame supraconductrice à faces parallèles illimitées, d'épaisseur d, plongée dans un champ magnétique extérieur uniforme et constant 𝐵𝐵����⃗, parallèle à ses faces. ₀

1°) Par quel vecteur 𝐵𝐵�⃗ est-il porté dans la plaque ? De quelle(s) variable(s) dépend-il ? 2°) Quelle est l'équation sur 𝐵𝐵�⃗ dans la lame ? On utilisera la formule d'analyse vectorielle :

𝑟𝑟𝑚𝑚𝑒𝑒

�������⃗�𝑟𝑟𝑚𝑚𝑒𝑒������⃗ 𝐵𝐵�⃗�= 𝑘𝑘𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑�����������⃗ �𝑑𝑑𝑑𝑑𝑎𝑎 𝐵𝐵�⃗� − ∆��⃗ 𝐵𝐵�⃗

3°) Calculer 𝐵𝐵�⃗ dans la lame supraconductrice (privilégier l'écriture de la solution avec des fonctions trigonométriques hyperboliques). On se place à une échelle telle que tous les courants sont volumiques, le champ magnétique est alors continu à l'interface entre le supraconducteur et le vide.

4°) Représenter l'allure des courbes représentatives du champ magnétique et de la densité de courant selon que d » ou non. Sur quelle distance le champ magnétique et le courant sont-ils non nuls dans la plaque ?

EM67 – Plaque de Cuivre

Soit un repère orthonormé direct (𝑂𝑂,𝑢𝑢����⃗,𝑥𝑥𝑢𝑢����⃗,𝑦𝑦𝑢𝑢����⃗)𝑧𝑧 et deux plans (P) et (P') parallèles au plan (xOy), et de cotes respectives suivant zz' égales à +a/2 et –a/2. Ces plans délimitent une plaque de cuivre homogène, d'épaisseur a, de perméabilité µ_𝑖𝑖, de permittivité ε_𝑖𝑖 et de conductivité γ. Une densité volumique de courant continu et constant 𝚥𝚥⃗=𝑗𝑗 𝑢𝑢����⃗ (j > 0) parcourt ce conducteur de dimension infinie suivant 𝑢𝑢𝑥𝑥 ����⃗ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑢𝑢_𝑥𝑥 ����⃗. La densité superficielle de courant 𝑦𝑦

est nulle.

1°) Par des considérations de symétrie, déterminer la direction du champ magnétique 𝐵𝐵�⃗(𝑀𝑀), créé par cette distribution, en un point M quelconque (intérieur ou extérieur à la plaque). On n’oubliera pas d'étudier la parité du champ magnétique.

2°) En déduire 𝐵𝐵�⃗(𝑀𝑀) par le théorème d'Ampère.

3°) Retrouver directement 𝐵𝐵�⃗(𝑀𝑀) par les équations de Maxwell (à partir des composantes du rotationnel).

EM68 - Energie magnétique dans une bobine

Une bobine de longueur l, de rayon a et d’axe (Oz), est constituée par un enroulement de n spires circulaires par unité de longueur. On utilisera pour l’étude qui suit l’approximation du solénoïde infini pour décrire cette bobine et l’on se placera dans le cadre de l’ARQP.

1°) Quel est, dans ces conditions, le champ magnétique engendré par la bobine lorsqu’elle est parcourue par I ?

2°) Quelle est l’énergie magnétique εm associée à la bobine ? Quelle valeur du coefficient d’induction L de la bobine peut-on en déduire ? A.N : I=1A, l=10cm, a=10cm, n=5000/m

3°) La bobine est mise en charge par un générateur de fem e, de résistance interne R élevée. Quelle est la loi d’évolution du courant dans le circuit, fermé à l’instant t=0 ?

4°) Calculer les champs magnétiques et électriques engendrés par la bobine à l’instant t en tout point. Comparer les ordres de grandeur des densités volumiques d’énergies magnétique et électrique (R=10kΩ).

5°) Quelle est l’expression du flux du vecteur de Poynting : Π��������⃗_{𝑒𝑒𝑚𝑚}=^{𝐸𝐸�⃗∧𝐵𝐵�⃗}_𝜇𝜇

0 à travers la surface délimitant le volume où la bobine créé un champ non négligeable (cylindre de rayon a et de longueur l) ? Interpréter de résultat.

EM69 – Condensateur plan dans l’ARQS électrique

Un condensateur plan est formé de deux disques conducteurs parfaits identiques de rayon a et d'axe commun (Oz). Les deux armatures en forme de disque sont séparées d'une distance e. Comme e<a, on néglige les effets de bords, on admet alors que le champ électrique est uniforme dans tout le volume compris entre les armatures : 𝐸𝐸�⃗ = 𝐸𝐸(𝑒𝑒)𝑢𝑢����⃗. On étudie dans cet exercice la décharge du condensateur à travers une résistance, de sorte que : _𝑧𝑧

𝐸𝐸(𝑒𝑒) =𝐸𝐸0𝑒𝑒^{−𝑡𝑡/τ}

1°) Par analogie avec l'ARQS magnétique, définir l'ARQS électrique, et donner les équations de Maxwell que vérifie le champ électromagnétique entre les deux armatures du condensateur.

2°) En électrostatique, il a été établi qu'un condensateur plan de capacité C, identique à celui considéré ici, soumis à la tension U, crée un champ électrique 𝐸𝐸0

����⃗=_ε^σ₀ 𝑢𝑢����⃗ entre ses plaques, le champ électrique étant nul partout ailleurs. Avec 𝑧𝑧 σ=_π𝑎𝑎^𝑄𝑄2 𝑒𝑒𝑒𝑒 Q = CU. Que vaut la charge Q(t) du condensateur considéré

? On fera un schéma du montage, en faisant figurer la différence de potentiel U (t) et la charge Q(t).

3°) Déterminer le champ magnétique dans le condensateur. On justifiera qu'il est de la forme : 𝐵𝐵�⃗(𝑀𝑀 ,𝑒𝑒) = 𝐵𝐵(𝑟𝑟,𝜕𝜕,𝑒𝑒)𝑢𝑢����⃗ θ

4°) Calculer les contributions électrique et magnétique ε_𝑒𝑒 et ε_𝑚𝑚 à l'énergie électromagnétique, ainsi que leur rapport que l'on exprimera en fonction de a et de λ=cτ. Montrer qu'en régime suffisamment lentement variable, le condensateur peut être considéré comme un objet purement électrique.

On verra que les exercices de ce chapitre sont intimement liés aux exercices de la partie sur les ondes. On va utiliser des expressions de cette partie pour la dernière question. On donne les expressions de la densité volumique d'énergie électrique 𝑤𝑤_𝑒𝑒=^𝜀𝜀0₂^𝐸𝐸2, de la densité volumique d'énergie magnétique 𝑤𝑤_𝑚𝑚=_2µ^𝐵𝐵²

0, ainsi que du vecteur de Poynting Π��������⃗_{𝑒𝑒𝑚𝑚}=^{𝐸𝐸�⃗∧𝐵𝐵�⃗}_𝜇𝜇0.

5°) Calculer le vecteur de Poynting en un point intérieur au condensateur, exprimer son flux à travers la surface S du cylindre qui délimite le condensateur, conclure.

EM71 – Balance de Cotton

De nos jours, on utilise des teslamètres à effet Hall ou des méthodes de résonance magnétique pour mesurer les champs magnétiques. La balance de Cotton, appareil un peu désuet, est l'ancêtre du teslamètres. Son principe consiste à mesurer les forces de Laplace exercées par le champ magnétique duquel on cherche à déterminer l'intensité. Une balance de Cotton fonctionne comme une balance de pesée à deux plateaux. Le dispositif peut pivoter sans frottements autour de l'axe horizontal. La partie de droite, en noir, peut recevoir des masses marquées sur un plateau suspendu en A. La partie de gauche, en gris, est parcourue par un système de fils électriques alimentés par un courant i connu. Il règne, dans la région grisée, un champ magnétique horizontal uniforme (entrefer d'un aimant, par exemple) dont on veut déterminer la valeur. Le champ magnétique est nul ailleurs. Les portions ab et cd de fil électrique sont des arcs de cercle de centre O. Les autres parties du câblage sont rectilignes. On note P le milieu de [bc]. Cette partie gauche de la balance est soumise à des forces de Laplace. L'idée de la mesure est de placer des masses marquées à droite pour compenser exactement les forces de Laplace, de manière à équilibrer la balance. On montre, dans cet exercice, que la connaissance de la masse m permet de remonter à la valeur du champ magnétique.

1°) Calculer le moment par rapport à l'axe (𝑂𝑂,𝑢𝑢����⃗)𝑧𝑧 du poids de la masse m située sur le plateau.

2°) Calculer le moment par rapport à l'axe (𝑂𝑂,𝑢𝑢����⃗) 𝑧𝑧 des forces de Laplace s'appliquant sur la partie du câblage qui baigne dans 𝐵𝐵�⃗.

3°) En traduisant l'équilibre de la balance, donner la relation entre B, i, g, m et les dimensions de la balance. Si le champ magnétique 𝐵𝐵�⃗ pointe comme indiqué sur le schéma, quel signe faut-il donner au courant i pour observer l'équilibre de la balance ?

4°) Avec un courant i = 1,0 A, l=10 cm, l’=1,0 cm, OP = 10 cm, quelle intensité de champ magnétique peut-on mesurer, sachant que les masses marquées à disposition sont d'un décigramme?

EM72 - Pendule conducteur

Un pendule pesant est constitué d'une barre métallique homogène de longueur l et de masse m, pouvant pivoter sans frottement (liaison pivot parfaite) par rapport à l'axe horizontal (𝑂𝑂,𝑢𝑢����⃗). Son moment 𝑧𝑧

d'inertie par rapport à cet axe est J. Son extrémité inférieure est en contact sans frottement avec un arc de cercle métallique (point A). Le circuit électrique plan ainsi constitué est refermé par des fils et possède une résistance R. Son auto-inductance est négligée. L'ensemble baigne dans un champ magnétique extérieur uniforme 𝐵𝐵�⃗ = 𝐵𝐵 𝑢𝑢����⃗𝑧𝑧. La position de la barre est repérée par l'angle θ par rapport à la verticale. On veut étudier les petits mouvements de la barre autour de la position θ=0.

1°) Établir l'équation mécanique vérifiée par l'angle θ.

2°) Établir l'équation électrique du circuit (vérifiée par l'intensité i, dont l'orientation a été choisie arbitrairement sur le schéma).

3°) En déduire l'équation du mouvement de la barre et la mettre sous forme canonique en faisant apparaître une pulsation caractéristique ω₀ et un facteur de qualité Q.

4°) Commenter et expliquer l'influence de la résistance R sur la nature du mouvement de la barre. Tous les paramètres autres que R étant fixés, faire apparaître une valeur critique Rc de R qui sépare les différents régimes.

EM73 - Freinage électromagnétique

Un cadre carré de cuivre, de résistance électrique totale R et d'auto-inductance négligeable, de côté l et de masse m, est astreint à se déplacer sur une glissière horizontale sans frottement. On repère par x(t) la position de son côté droit. Il arrive depuis x = -∞ avec la vitesse initiale 𝑎𝑎⃗=𝑎𝑎0 𝑢𝑢����⃗. Il 𝑥𝑥

pénètre dans la zone x > 0 (grisée sur le schéma) où règne un champ magnétique uniforme 𝐵𝐵�⃗ = 𝐵𝐵 𝑢𝑢����⃗𝑧𝑧.

1°) Établir l'équation du mouvement du cadre pour tout x (en séparant différents cas si nécessaire).

2°) On prend pour origine des temps (t = 0) l'instant où le cadre commence à entrer dans le champ magnétique. Donner l'évolution de la vitesse v(t) et de la position x(t) du cadre.

3°) Le dispositif est utilisé comme ralentisseur. On note T l'instant où il finit d'entrer dans la zone de champ. On souhaite que le cadre ait la vitesse α𝑎𝑎0

à cet instant, où α est un réel.

- Déterminer T en fonction de α et des données.

- Quel est l'intervalle de valeurs possibles pour α ? Est-ce normal ?

- Déterminer l'intensité �𝐵𝐵�⃗� du champ magnétique qu'il faut imposer en fonction de α et des données. Commenter l'influence des différents paramètres sur �𝐵𝐵�⃗�.

4°) Les données numériques sont 𝑎𝑎_𝑖𝑖= 1,0𝑚𝑚𝑠𝑠⁻¹ ;𝑚𝑚= 0,10 𝑘𝑘𝑘𝑘 ; 𝑅𝑅 = 1,0Ω. Pour chacun des deux cas l=1,0m et l=10 cm, déterminer l'intensité du champ magnétique nécessaire pour arrêter complètement le cadre. Ces champs sont-ils réalisables?

EM74 - Détection ampèremétrique

Une bobine torique, de rayon moyen R et de section circulaire de rayon a, comprend N spires, suffisamment serrées pour que l'on considère le bobinage continu (invariant par rotation autour de l'axe Oz du tore). Un dipôle purement résistif est placé entre les bornes du bobinage, sa résistance R est très supérieure à celle correspondant au bobinage lui-même. Un fil rectiligne infini, situé sur l'axe Oz, est parcouru par un courant d'intensité imposée : i(t).

1°) On note L l'inductance propre du bobinage et M l'inductance mutuelle entre les deux circuits : fil et bobine. Proposer une équation différentielle liant la tension u(t), relevée aux bornes du résistor, à l'intensité i(t).

2°) Identifier quel type d'opérateur permet d'associer u (t) à i(t) (linéarité, bande passante...).

3°) En déduire la forme du signal détecté pour différents signaux : i(t) continu, sinusoïdal.

4°) On raisonne dans l'approximation a<<R (tore de faible section), permettant de considérer le champ magnétique uniforme au sein du tore. Déterminer alors l'expression des coefficients d'inductance L et M sachant que le champ créé par le fil est de la forme : 𝐵𝐵�⃗=^𝜇𝜇_2π𝑟𝑟^0𝑖𝑖𝑢𝑢����⃗θ et celui du tore : 𝐵𝐵�⃗=^𝜇𝜇_2π𝑟𝑟^{0𝑁𝑁𝑖𝑖′}𝑢𝑢����⃗θ 5°) Si la bobine a une section carrée de côté a, reprendre le calcul de L et M sans faire d'hypothèse concernant les valeurs relatives de a et R.

EM75 - Circuits électriques couplés

On étudie deux circuits électriques d'inductances propres respectives L1 et L2, couplés par l'inductance mutuelle M. Le premier circuit contient un générateur de fem E dépendant du temps. Le second est purement passif. Cela modélise par exemple une carte RFID au voisinage d'une antenne créant un champ magnétique variable temporellement. Les intensités i1 et i2 ont été orientées arbitrairement sur le schéma. La fem délivrée par le générateur varie sinusoïdalement dans le temps à la pulsation ω avec l'amplitude 𝐸𝐸𝑚𝑚> 0 : 𝐸𝐸(𝑒𝑒) = 𝐸𝐸𝑚𝑚 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑠𝑠(ω𝑒𝑒). On veut trouver les expressions des intensités dans les deux circuits en régime établi.

1°) Expliquer pourquoi il est légitime de travailler en complexes en posant : 𝐸𝐸 = 𝐸𝐸𝑚𝑚exp^{𝑗𝑗𝑗𝑗𝑡𝑡},𝑑𝑑1 = 𝐼𝐼1,𝑚𝑚exp^{𝑗𝑗𝑗𝑗𝑡𝑡},𝑑𝑑2 = 𝐼𝐼2,𝑚𝑚exp^{𝑗𝑗𝑗𝑗𝑡𝑡} Établir le système d'équations vérifié par les amplitudes complexes 𝐼𝐼1,𝑚𝑚et 𝐼𝐼2,𝑚𝑚.

2°) Pour simplifier les calculs, on suppose que R1 = R2 (noté simplement R), L1 = L2 (noté L) et C1 = C2 (noté C). Exprimer les deux amplitudes complexes 𝐼𝐼1,𝑚𝑚et 𝐼𝐼2,𝑚𝑚 en fonction de ω, M, L, R, C et Em.

3°) Le coefficient M est supposé positif. Pour adimensionner les expressions précédentes, on note ω_𝑎𝑎=_{𝑅𝑅𝐶𝐶}¹,𝜔𝜔𝑏𝑏=^𝑅𝑅_𝐿𝐿,𝜔𝜔𝑐𝑐=_𝑀𝑀^𝑅𝑅 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐼𝐼𝑚𝑚=^𝐸𝐸_𝑅𝑅^𝑚𝑚. Établir les expressions de ^{𝐼𝐼1,𝑚𝑚}_𝐼𝐼

𝑚𝑚 𝑒𝑒𝑒𝑒^{𝐼𝐼2,𝑚𝑚}_𝐼𝐼

𝑚𝑚 en fonction de ω et des trois pulsations caractéristiques introduites.

4°) On prend R = 10 Ω, C = 1,0 . 10^-8F, L = 1,0 . 10^-5 H et M = L/2 . À l'aide d'un ordinateur ou d'une calculatrice, tracer :

�^{𝐼𝐼1,𝑚𝑚}_{𝐼𝐼𝑚𝑚}� 𝑒𝑒𝑒𝑒 �^{𝐼𝐼2,𝑚𝑚}_{𝐼𝐼𝑚𝑚}� en fonction de ω (en échelle logarithmique pour ω, en justifiant le choix fait pour l'intervalle de ω. Interpréter le graphe obtenu.

5°) Tracer 20 𝑙𝑙𝑚𝑚𝑘𝑘 �^{𝐼𝐼1,𝑚𝑚}_{𝐼𝐼𝑚𝑚}� 𝑒𝑒𝑒𝑒 20𝑙𝑙𝑚𝑚𝑘𝑘 �^{𝐼𝐼2,𝑚𝑚}_{𝐼𝐼𝑚𝑚}� en échelle logarithmique. Certains aspects des graphes obtenus étaient-ils prévisibles?

EM76 - Sens et signes

Une La bobine de surface S et d'axe Oz est placée à l'origine O de l'espace ; sa résistance électrique est notée R, son nombre de spires N.

L'aimant, assimilé à un dipôle magnétique, se déplace le long de Oz à vitesse constante V. On note z(t) sa cote à l'instant t et 𝑚𝑚��⃗=𝑚𝑚 𝑢𝑢����⃗ son moment 𝑧𝑧

dipolaire magnétique.

a) Le champ créé par l'aimant au centre de la spire est donné par 𝐵𝐵�⃗=−_{2𝜋𝜋𝑧𝑧}^{𝜇𝜇0𝑚𝑚}3𝑢𝑢����⃗,𝑧𝑧 en déduire une expression approchée du flux, dans le modèle d'une bobine de petite dimension.

b) Exprimer l'intensité i induite dans la bobine, en faisant apparaître la vitesse V et la cote z.

c) Examiner le lien entre les signes de V et de i.

Rép : a) Φ=𝑁𝑁𝐵𝐵𝑆𝑆 b) 𝑑𝑑=−𝜇𝜇0∗^{3𝑚𝑚𝑁𝑁𝑆𝑆𝑚𝑚}_{2𝜋𝜋𝑅𝑅𝑧𝑧}4 c)…

EM77 - Dissipation par effet Joule

Une spire circulaire métallique de rayon a et d'axe Ox a son centre situé à l'origine O de l'espace. Un dipôle magnétique également en O est animé d'un mouvement de rotation, à vitesse Ω constante, dans le plan xOy. On admet que lorsque l'angle que fait le moment dipolaire avec 𝑢𝑢����⃗, est égal _𝑥𝑥 à θ, le flux du champ créé dans la spire s'écrit Φ=Φ₀𝑎𝑎𝑚𝑚𝑠𝑠θ, où Φ₀ est une constante qu'on ne cherchera pas à calculer.

a) Justifier l'existence d'un courant induit dans la spire. Son intensité i est-elle constante, variable et périodique ou autre ? b) On note R la résistance électrique de la spire et on néglige son inductance propre. Exprimer i en fonction de Φ₀,θ,Ω et R.

c) En déduire l'expression de la puissance perdue par effet Joule dans la spire. Cette puissance ne peut être générée spontanément ! Quelle est son origine ?

EM78 - Deux tiges

Deux tiges T1 et T2 identiques (masse) sont mobiles sans frottement sur deux rails parallèles (distance d) situés dans un plan horizontal. Un champ magnétique permanent uniforme et vertical règne en tout point. À l'instant initial, la tige T1 est animée d'une vitesse v0, tandis que T2 est immobile. La résistance électrique de chaque tige est égale à R/2 et on néglige la résistance des rails. Les frottements mécaniques sont négligés.

a) Par une analyse qualitative, montrer que simultanément la tige T2 va se mettre en mouvement tandis que T1 va ralentir.

b) Établir l'expression de la loi de variation de chacune des vitesses au cours du temps.

c) Quel est l'état de mouvement après une durée suffisamment longue ?

d) Parmi les grandeurs quantité de mouvement et énergie mécanique, quelle est celle qui se conserve, celle qui décroît ?

EM79 - Oscillateurs couplés

On reprend le système des deux rails évoqués dans l'exercice précédent. Chaque tige est ici liée à un ressort (non conducteur électrique) de constante de raideur, horizontal, d'axe parallèle aux rails.

a) Écrire le système d'équations différentielles régissant l'évolution des positions des tiges (comptées à partir des positions d'équilibre).

b) Montrer, pour des conditions initiales quelconques, que le mouvement de chaque tige obtenu après un temps très long est sinusoïdal et préciser sa période.

c) Interpréter en invoquant les aspects énergétiques.