HAL Id: jpa-00249710
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Submitted on 1 Jan 1997
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Algorithme génétique et développement de Taylor de la solution éléments finis pour l’optimisation d’un dispositif
électromagnétique
L. Saludjian, J. Coulomb, A. Izabelle
To cite this version:
L. Saludjian, J. Coulomb, A. Izabelle. Algorithme génétique et développement de Taylor de la solution éléments finis pour l’optimisation d’un dispositif électromagnétique. Journal de Physique III, EDP Sciences, 1997, 7 (11), pp.2189-2200. �10.1051/jp3:1997251�. �jpa-00249710�
J. Phys. III £Yance 7 [1997) 2189-2200 NOVEMBER1997, PAGE 2189
Algorithme g4n4tique et d4veloppement de Taylor de la solution 414ments finis pour l'optimisation d'un dispositif
41ectromagn4tique (*)
L. Saludjian (~>**), J-L- Coulomb (~) and A. Izabelle (~)
(~) Laboratoire d'fllectrotechnique de Grenoble, INPG/UJF (***), ENSIEG, BP 46,
38402 Saint Martin d'HAres Cedex, France
(~) CEDRAT Recherche, Chemin du prd carrd, ZIRST Meylan, France
(Regu le 20 mars 1997, rdvisd le 22 jwllet 199( acceptd le 12 acfit 1997)
PACS 02 70.-c Computational techniques
Rdsumd. Cet article prdsente l'utilisation d'un algorithme gdndtique pour l'optimisation d'un dispositif dlectromagn4tique constitud de deux bobines supraconductrices. Pour r6duire 1e coot de calcul des (valuations trAs important dans le cas d'une mdthode dldments finis une
mdthode rapide, basde sur des ddveloppements de Taylor d'ordres dlevds de la solution dldments
finis, sera employde.
Abstract, This article presents the optimization of an electromagnetic superconducting
device by a genetic algorithm. To avoid great computational cost of finite elements evaluations,
we choose to couple our genetic algorithm with a fast evaluation method based on high derivatives and Taylor developments of the finite element solution.
1. Introduction
Les fondements des algorithmes gAnAtiques (AG) ant AtA Atablis par J-H- Holland iii dans les anndes 70. Ces algorithmes, bas4s sur l'analogie entre l'optimisation math4matique qui
recherche le meilleur point et les m4canismes de la s41ection naturelle oh les individus les mieux adapt6s survivent
-, se distinguent des autres algorithmes d'optimisation par quelques caract4ristiques
i) its travaillent sur une population de points de l'espace de recherche et non sur un point unique.
2) les solutions potentielles sent repr4sent4es par des chaines cod4es. Ce sent ces chaines
(ou individus) qm sent manipu14es par l'algorithme.
3) les rAgles d'exploration de l'espace de recherche sent probabilistes et non pas d4termi- nistes.
(*) Le contenu de cet article a dtd prdsentd h NUMELEC 97
(**) Auteur auquel doit Atre adressde la correspondance (e-mail Lucas.Saludjian©leg ensieg inpg fr) (***) CNRS UMR 5529.
@ Les #ditions de Physique 1997
2190 JOURNAL DE PHYSIQUE III N°il
Ces algorithmes possAdent certains avantages par rapport aux inAthodes dassiques d'opti-
misation. Notamment, its ne requiArent comme seule du problAme que la valeur
de la fonction h optimiser. Its ne n4cessitent done pas la du gradient ce qui est int4ressant pour des problAmes h paramAtres discrets ou pour fonctions dent le gradient
est diflicilement calculable. L'autre grand intArAt des AG est capacit4 h localiser l'opti-
mum global de la fonction en 4vitant les attracteurs locaux ant permis aux AG d'Atre utilisAs, avec succAs, dons des domaines trAs var14s des et en particulier en 4lectromagnAtisme [2. 3]. Cependant, ces algorithmes n4cessitent un nombre important
d'4valuations de la fonction objectif pour atteindre l'optimum En 4lectromagnAtisme, la fonction objectif dApend en g#nAral de grandeurs qui ne peuvent Atre calculAes analytique-
ment et qui sent atom fournies par une m@thode numArique, par Ailments finis, trAs
coilteuse en temps de calcul. Pour s'affranchir, en partie, de d'Avaluation trap
pdnalisante pour un algorithme g4ndtique, une approximation la fonction objectif, bas4e
stir des ddveloppements de Taylor d'ordre Alevd, sera employde. cet article nous montre- rons l'intdrAt d'un tel couplage en validant notre approche sur problAme test de stockage d'Anergie dans des bobines supraconductrices.
2. Algorithme gdn4tique
Les algonthmes gdnAtiques sent des algorithmes d'optimisation qui s'appuient sur des tech- niques dArivAes de la gdnAtique et des mdcanismes de la sAlection naturelle. Pour transposer les processus gdndtiques observds dans l'dvolution des espAces au domaine de l'optimisation,
Holland iii a introduit deux points fondamentaux
L'dvolution des espAces est un processus qui opAre sur des[ structures appeldes chro-
mosomes. Dans l'algorithme gdndtique, on transformera donc l'espace des solutions du
problAme d'optimisation en un ensemble de chromosomes (ippelds
encore chaines ou
individus). Chacune de ces chines est en fait une solution (potentielle du problbme
elle reprdsente sous une forme codde l'ensemble des paramAtres. Par exemple, pour un problAme de six paramAtres, une chaine sera formde par la c/ncatdnation de six valeurs
rdeiles lies gines): < ziz2z3z4zsx6 > c'est h dire, un vecteur 'que l'on notera x. Ce type de codage n'est absolument pas une rAgle et it dApend, en gAn$rat, fortement de la nature du problAme [4].
Dans la nature, l'adaptation d'un indwidu reflAte sa capacitd h survivre dans l'environ-
nement qm l'entoure. En optimisation, l'dvaluation de la fonction objectif jouera le role
de l'environnement. Un individu sera donc d'autant mieux adaptA qu'il satisfera bien le critAre de l'optimisation. C'est cette unique information sur l'dvaluation qui guidera I'AG
vers les individus les plus performants.
I partir de
ces deux concepts, codage du problAme et mesure de on peut ddcrire
le fonctionnement gdndral des algorithmes gdnAtiques :
L'AG (Fig. i) ddbute par l'initialisation alAatoire d'une P de N individus. La
population dvolue ensuite sur plusieurs gdndrations. A chaque t, les individus de
Pit) sent Avaluds et les plus performants vis-h-vis du critAre se allouer un plus grand nombre de descendants (oucopies) par l'opdrateur de sdlection. Une ouvre possible pour
cet opArateur consiste h calculer, pour chaque individu, une un descendant dans la gdnAration suivante qui soit proportionnelle h l'adaptation l'indwidu. Puis, en se
basant sur ces probabilitds, on gdnAre, h l'aide d'un tirage au sort une nouvelle
population P'(t), de mAme taille N, formde de copies des individus h se reproduire
N°11 OPTIMISATION "G#NiTIQUE" D'UN SYSTEME ELECTROMAGNETIQUE 2191
Programme Genetique d4but
t= 0
initialiser( P(t))
tant que condit>on fin fausse faire
4valuer(P(t))
P'(t) <= selection( Pit) j
P(t+I) <= croisement&mutation( P'(t)
t = t+I
fintq 4valuer( Pit) fin
Fig. 1. Algorithme gAnAtique simple.
[A simple genetic algorithm
<Xl X2 x3 X4 X5 X6>
~ <Xi X2 JSi X4 ~ @>
~~ ~ ~ ~ ~ @~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~~
Fig 2 Opdrateur de croisement I-point.
[One-point crossover.)
Pour former la nouvelle population P(t + i), des opdrateurs de croisement et de mutation sent appliquds sur certains individus sdlectionnds aldatoirement dans P'(t).
Le role des op4rateurs de croisements consiste h recombiner ou h dchanger des informations
entre deux individus. Un exemple d'un tel opdrateur est prdsentd sur la figure 2 it s'agit d'un
croisement pour lequel un point de coupe est choisi aldatoirement entre 2 composantes et les composantes situAes h droite de ce point sent Achangdes entre les deux individus. Les deux nouvelles chaines sent atom placdes dans P(t + i). L'opdrateur de croisement anthmdtique est
lAgArement diffArent l'Achange d'informations se fait, dans ce cas, au travers d'une moyenne arithmAtique entre deux cliaines x et y. En pratique un nombre a est gAnArA alAatoirement dans l'intervalle [0; ii et les deux chaines
ax + Ii a)y et Ii a)x + ay remplacent x et y dans Pit + i).
On peut remarquer que lorsque les deux individus croisAs ant des patrimoines gAnAtiques trAs
diffArents, les opArateurs de croisement permettent l'exploration de nouvelles zones de l'espace de recherche.
Les opArateurs de mutations n'agissent que sur un seul individu. Its introduisent des varia- tions dans la chaine en perturbant de maniAre aldatoire une ou plusieurs composantes. Cet
opdrateur permet de relancer l'exploration vers des rAgions de l'espace qui n'ont pas pu Atre atteintes par le seul effet du croisement. En effet, l'action de l'opdrateur de sdlection, qui pousse les meilleurs individus h se reproduire trAs frAquemment, va rdduire les chances de recombinai-
son d'individus gdndtiquement diffdrents et done empAcher l'exploration de nouvelles zones.
2192 JOURNAL DE PHYSIQUE III N°11
Dans notre algorithme gdndtique, nous avons implantA quatre opdrateurs de croisements
(i-point, 2-points, uniforme, arithmdtique) et trois opdrateurs de mutations (uniforme, non
uniforme, gaussienne):
L'opdrateur de croisement 2-points est semblable au croisemelit I-point mais deux points
de coupe sent gAndrds aldatoirement. Le croisement uniforme /change chaque composante
entre les deux individus avec une probabilitd agate h 0,5.
La mutation uniforme sdlectionne un gAne k dans la chaine j
=< xi, z2;.
,
zk;.., zn >
et g4nAre la nouvelle chaine x' =<
xi, z2,
..,
xi,..., zn > oh ~[ est une valeur aldatoire prise dans l'intervalle [z'f"', zf~). La mutation non uniformi g4nAre aussi une nouvelle
valeur sun le gAne k s41ectionn4 mais ici xi est donn4 par la f(rmule
zk + /h(t, z'f~ zk)
Z~ " OU
~~ ~j~ ~~ ~min)
k
off t reprdsente la gdndration courante et /h(t, y) une fonctioil qui retourne
un nombre aldatoire dans [0; y] et dent la probabilitd de renvoyer un nonibre proche de 0 augmente lorsque t augmente. Cette propriAtd de /h permet h l'opdraieur de chercher de faqon
uniforme dans l'espace de solutions dans les premiAres gdndiations puis de faqon plus
"locale" en fin d'exdcution. Nous averts utilisd pour /h la fonction [4j :
~~~' ~~ ~~ ~
NB~EN~
oh NBGEN est le nombre maximum de gdndrations r un nombre aldatoire
dans l'intervalle [0; ii et b un paramAtre de l'opdrateur qui le degrd de non uni- formitd.
En plus de ces deux mutations, nous avons implantd un opdrateur locale basd sur des perturbations de type gaussien. Cet opdrateur peut Atre vu un Hill-Climbing [5j intdgrd dans l'algorithme gdnAtique. Il agit sur un individu
x et perturbe suivant une loi normale N(x, aId) off Id reprdsente le vecteur Identitd et a rdel strictement positif.
BriAvement, on peut ddcrire cet opdrateur pour une comme prdsentd sur la
figure 3.
Cet opdrateur rentre dans la Masse des mutations puisqu'il ne perturbe qu'une seule chaine
Mais il agit comme un algonthme de recherche locale h part entiAre it tente en effet d'amdliorer
le point courant en effectuant un certain nombre de tirages. Si le noiribre de tirages maximum est dgal h i alors cet opdrateur est dquivalent h une mutation mais de loi gaussienne plut0t qu'uniforme. Pourquoi utiliser un tel opdrateur ? En fait il h notre algorithme gdndtique de gravir le pic, s'il existe, de la r6gion occupde par Intuitivement,
cet opdrateur apporte de l'information quant h la topologie du car il est capable de gravir des optima dons certaines rdgions de l'espace de recherche. entendu, cet op6rateur
ne devra pas Atre employd avec un poids trAs dlevd on alors de faire converger
les individus vers un optimum local. En revanche en fin s'il est employA avec un
taux important, il permet h l'algorithme gdndtique de se un algorithme de recherche locale.
Nous ovens affectd h chaque opdrateur des probabilitds d Celles ci permettent de
sAlectionner l'opdrateur devant agir sur les individus issus de la Nous avons choisi
d'adapter ces poids tout au long de l'ex6cution de faqon lindaire. Les valeurs initiates et finales
N°li OPTIMISATION "G#NfITIQUE" D'UN SYSTEME ELECTROMAGNETIQUE 2193
Choix d'un indivtdu l~ darts la population On se donne:
un nombre rdel a
un nombre minimum de tirages NTMAX
un nombre maximum de refus NRMAX Ddbut :
1 ~ i~
NR ~ 0
NT ~ 0
Tant que ( NR< NRMAX )et NT< NTMAX) faire Simuler une variable aldatoire f de loi N(I, aid Si /( y > /(I) alors I ~ et NR ~o (Amdhorafion) Si /(y < /(I) alors NR ~ NR +I
NT ~ NT+ I
fintq fin
Fig 3. Opdrateur de mutation "H111-Climbmg".
["Hill-Climbing" mutation operator.]
Tableau I. Probibilitds mitiales et finales d'apparttion des opdrateurs.
[Final and initial probabilities of the operators.]
~~i ~~i ~~~ ~~~ ~~~ ~~~u ~~i
0,05 0,05 0,05 0,25 0,05 0,05 0,0
PZfi PZ( PZ[ PZ[ PRI[ PRI(~ PRI(
o,oi o,oi o,oi o,15 o,io o,io o,05
de ces probabilitds ant dtd ddfinies pour accorder plus d'importance aux croisements en ddbut d'exdcution les individus ayant des gdnotypes trAs diffdrents et plus d'importance aux mu-
tations en fin d'exdcution car seuls ces opdrateurs sent alors capables d'apporter un peu de diversit6 et de maintenir un semblant d'exploration.
Les tableaux I et II montrent les valeurs des paramAtres de l'algorithme que nous avons utilisdes les valeurs finales des probabilitAs d'apparition des opArateurs sent atteintes tars de la demiAre gdnAration fixde h 400. On peut noter que la somme de ces probabilitAs n'est pas
(gale h 1 ce qui veut dire que des individus ne sent pas affectds aprAs l'dtape de sdlection. La valeur de a pour la mutation Hill-Climbing est initialement fixde h 0,1 puis ddcroit h mesure
que l'algorithme progresse.
Enfin, l'algorithme gAnAtique se termine lorsque tous les individus ant convergd vers la mAme rdgion de l'espace de solutions ou lorsqu'un nombre maximum d'Avaluations est atteint.
Tableau II. Paramdtres de l'algonthme gdndtique.
[Genetic algorithm parameters.]
Taille de la b NTMAX NRMAX
population
70 2,0 12 8
2194 JOURNAL DE PHYSIQUE III
~N°11
Le critAre de convergence que nous avons utilisd se base sur le gAnotype des individus. Il se
prdsente de la maniAre suivante
Pour un gAne placd en position on calcule les dcarts relatifs ~~~ off x~ reprAsente la valeur du gAne i pour un individu x quelconque de la population z)~~~ cette mAme valeur mais pour le meilleur individu ddjh gdndrd par l'algorithme. Si un nombre de ces (carts calculA comme un pourcentage de la taille de la population est mfdrieur h une valeur choisie faible, atom on considdrera que le gAne en position i a Cette mAme opdration
est rdpdtde sur tous les gAnes et l'algorithme est arrAtd lorsque les gAnes ant convergd. Ce critAre considAre donc que l'algorithme a suflisamment cherchd tous les individus ant migrA vers la mAme rdgion de l'espace.
Les paramAtres pour mesurer la convergence sent
. cv~ ParamAtre qui dAfinit la convergence du gAne i le a convergd si
j~~ ~bestj
~bes~j ~
~~~
i
. «pop Pourcentage de la population ayant convergd vers I( meilleur individu gdndrd jusqu'alors par l'algorithme.
Dans notre algorithme nous avons fait le choix de cv?
=
10~~ et %pop
= 95 % [6].
Au cours de l'exdcution, l'opArateur de sdlection va donc amAlior(r la performance moyenne
de la population tandis que les opdrateurs de croisement et de mutation vent explorer l'espace de recherche. C'est l'6quilibre entre l'exploration du domaine de recherche et l'exploitation des meilleurs individus qui va donner h I'AG sa capacitA h localiser l'optimum global. Cependant
cet 6quilibre ne peut Atre atteint qu'aprAs un rdglage prdcis de divers paraniAtres de l'algorithme
comme la taille de la population ou la frAquence d'apparition des opdrateurs de croisement et
de mutation et dans tous les cas l'algorithme demande, pour des( problAmes complexes, un
nombre important d'dvaluations de la fonction objectif.
3. Ddrivdes d'ordre dlev4
La mAthode des dldments finis est aujourd'hui trAs largement dans les domaines de la CAD. Elle peut Atre couplAe h un algorithme gdndtique pour la d'une configuration optimale des paramAtres de conception gAomAtriques/physiques un dispositif Alectroma-
gndtique. Mais, dans ce cas, le coilt des calculs devient rapidement du fait du nombre important d'dvaluations pour atteindre l'optimum. d'utiliser une mAthode d'6valuation basAe sur les ddveloppements de Taylor d'ordre Ces ddveloppements sent
rdalisAs sur la variable d'[tat par rapport aux divers paramAtres de illustrer la
dAmarche, nous nous plaqons dans le domaine de basse frAquence linAaire bidimensionnelle oh, en utilisant le potentiel vecteur A, les de Maxwell se rAsument h
rotlv rot A) +
a~
= Js Ii)
oh v dAsigne la rAluctwitd magndtique, a la conductivitA et Js la densitA de cou- rant. Pour un problAme linAaire et
un courant d'excitation de pulsation uJ, seule les
composantes de A et Js normales au plan d'dtude du dispositif utiles. En utilisant une notation complexe l'dquation ii) devient alors
V(vl7 A) + juJaA
= J~ (2)
N°11 OPTIMiSATION "GiNiTIQUE" D'UN SYSTEME ELECTROMAGNETIQUE 2195
En utilisant la mdthode des dldments finis, on se ramAne h la rdsolution du systAme lindaire
complexe :
]f(A)
= S (3)
oh Al est la matrice d'assemblage du systAme et (A) le vecteur des inconnues nodales du potentiel vecteur.
Cette dquation reste vraie quelles que soient les valeurs de conception (physiques et gdomA- triques) de notre dispositif On peut donc dAriver par rapport h un paramAtre p quelconque
l'Aquation (3) ce qui donne
~$~$-S~' l~~
Par rAcurrence, on obtient alors les ddrivdes d'ordre supdrieure :
~lll ~ ~m s ~~1° y fit ~m-1 ~
~ ~~~ ~~'~
~
~~~~~ ~~'~ '
~~~
~
m[
~ ~
~~~~ ~~
l!(lit 1)! ~~ ~~ ~~
Enfin, avec ces dArivAes, on peut construire le polyn0me de Taylor qui permet d'obtenir la valeur du potentiel vecteur, pour n'importe quelle valeur de p, h partir de la solution en une valeur centrale po
+ dp)
~
Iv
~~~ (6)
off Np
dAsigne l'ordre du dAveloppement de Taylor par rapport au aramAtre p.
Dans le cas de
paramAtres de conception il taut en plus calculer les
dArivAes croisAes
des
matrices M et S vant de calculer celles de A. On pourra voir une
description omplAte
de ces calculs dans [7]. Il taut noter que pour le
paramAtre
physique J~ le rayon
gence du de Taylor est infini (c'est un terme source) par contre pour
paramAtres physiques v et uJa qui terviennent dans la
atrice les rayons de
convergence sont ]0; 2vo[ et ]0; 2(uJa)o[ oh vo et
(uJa)odAsignentlesvaleurs
centrales de es
aramAtres. ependant, pour obtenir une bonne prAcision avec un ordre Np
onnable (io h 20), les omaines d'utilisation doivent tre restreints aux tervalles ]0,2;
1,8vo[
et ]0,2;
1,8(uJa)o[ [8].ncernant les aramAtres gAomAtriques, il n'existe pas de rAsultats gA-
nAraux au sujet de la convergence du ddveloppement de aylor. Le roblAme test (voir
donne
mAtriques.
Pour nstruire le polyn0me de aylor, on doit donc rAsoudre un certainnombre de systAmes
linAaires (5) qui
possAdent
tous la mAme matrice M
mais qui ont des seconds
Ceci peut demander un investissement en temps important, surtout St le nombre de
est Alevd, mais le olyn0me construit autorise ensuite des
dvaluations
rapides lorsqu'un des
paraniAtres est modifid Ceci est intAressant dans le cas d'une
ptimisation de
forme d'un
dispositif lectromagnAtique oh les valeurs de
nombre de tots avant
d'atteindre l'optimum
(Fig 4).
Nous allons maintenant montrer, sur un
problAme
test, les avantages
2196 JOURNAL DE PHYSIQUE III N°il
Modification des
lnstantan6e des
des Evaluation
et construction du du
ddveloppemenl pojyn6me
de Taylor
domaine Rjsolution
djdments finis
et une analyse
~j~~~nts finis
Modification
Fig. 4 Comparaison entre les (tapes de la rdsolution ildments Finis celles de l'approche polynomiale.
[Comparison between the Standard Finite Element resolution and the approach
ligne a
(0,f0)
d2 I
tT
hi r
(to,o)
Ri
Fig 5. Prob1Ame test bobines supraconductrices.
[Test problem: superconducting coils.]
4. Cas test
Le problAme AtudiA [9] (Fig. 5) est constituA de deux bobines supracbnductrices et possAde six degrds de libertA (quatre gdomdtriques et deux physiques) Il doit [tie optimisA
pour rdpondre h deux objectiis
1) l'4nergie stockAe dans le systAme doit Atre de 180MJ,
2) l'induction le long des deux lignes a et b, situdes h dix mbtres jdu dispositif, doit Atre la
plus faible possible.
