HAL Id: jpa-00248988
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Submitted on 1 Jan 1993
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Modélisation d’un arc transféré de forte puissance (P > 1 MW)
J. Gonzalez, A. Gleizes, S. Vacquié, P. Brunelot
To cite this version:
J. Gonzalez, A. Gleizes, S. Vacquié, P. Brunelot. Modélisation d’un arc transféré de forte puissance (P > 1 MW). Journal de Physique III, EDP Sciences, 1993, 3 (6), pp.1145-1155.
�10.1051/jp3:1993190�. �jpa-00248988�
J. Phys. III France 3 j1993) l145-l155 JUNE 1993, PAGE l145
Classification Physic-s Abstiacts
52.80M 52.65
Modklisation d'un arc transfkrk de forte puissance (P> I MW)
J. J. Gonzalez ('), A. Gleizes (I), S. Vacquid II) et P. Brunelot (2)
j') Laboratoire Ddcharges dans les Gaz, URA n 277, CPAT, Universitd Paul Sabatier, I18 route de Narbonne, 31062 Toulouse Cedex, France
j2) Socidtd A6rospatiale, Etablissement d'Aquitaine, B-P- 11, 33165 Saint-Mddard en Jalles Cedex, France
jRe;u le 29 mai J992, rd»isd le 5 octobre J992, acceptd le J6 octobre J992)
R4sum4, Ce travail porte sur la moddlisation numdrique d'un arc transfdrd de grande puissance
br01ant dans l'air h la pression atmosphdrique. Aprks une zone d'arc gaind, peut intervenir une
injection secondaire de gaz qui conduit h une augmentation de la vitesse axiale et au rdtrdcissement de la colonne de plasma. Le calcul des champs de vitesse et de tempdrature prks de l'anode est
r6alis6 sans calculer le bilan d'dnergie h l'anode.
Abstract. This paper deals with the modelling of a high-power transferred arc burning in air at atmospheric pressure. After a constricted arc region a secondary gas injection leads to an increase of axial velocity and to a narrowing of the arc radius. The calculation of the velocity and
temperature fields is achieved without solving the energy balance at the anode wall.
1. Introduction.
L'objet de ce travail est la mod£lisation num£rique d'un arc transfdr6 de grande puissance
brfilant dans l'air h la pression proche d'une atmosphdre. Cette d£charge £lectrique h forte intensit£ de courant (1 000 h 2 000 A) s'£tablit dans un £coulement turbulent de gaz et permet d'avoir une colonne de plasma d'une longueur de l'ordre d'un mktre. Cette simulation est
coup16e h la mise au point d'un dispositif exp6rimental correspondant, r£alis£ par la socidt6
A6rospatiale.
Ce type d'appareil a de multiples possibilit6s d'applications industrielles suivant le gaz
plasmagdne utilis6, telles que la m6tallurgie extractive, le traitement de poudres et de d6chets et le chauffage de matdriaux. Par rapport au ddveloppement expdrimental, la moddlisation
numdrique a un double int£rEt : possibilitd d'outil d'aide h la conception interpr£tation du
fonctionnement de l'arc. Le travail d£velopp£ consiste essentiellement h mod£liser les
nombreux mdcanismes physiques qui gouvement les propri£t£s de l'arc.
2. Bases du modkle.
2. I HYPOTH#SES ET DESCRIPTION DU PROBL#ME.
2.I.I Hypothdses. Pour la rdalisation du code nous supposons l'existence de l'dquilibre
thermodynamique local (modble h une tempdrature ;T~
= T~ avec T~ temp£rature des dlectrons
et T~ celle des lourds). L'dcoulement £tudi£ est un £coulement permanent, les d£rivdes
partielles par rapport au temps sont donc identiquement nulles. Le flot est turbulent et
subsonique. Dans les terrnes de conduction les gradients axiaux sont ndglig£s. On suppose de
plus que la composante radiate de la vitesse est plus faible que la composante axiale. On considlre que les propridtds thermodynamiques et coefficients de transport (conductivit£s
£lectrique et thermique, viscosit£, enthalpie, densit£ de masse, coefficient d'absorption) ne sont fonctions que de la tempdrature et de la pression. Les effets de compressibilit£ et de fluctuations de densit£ provenant de la turbulence sont ndglig6s. Le modkle est r£gi par des
dquations dcrites en coordonndes cylindriques, et en rdgime stationnaire. Les grandeurs h calculer: temp6rature, vitesse, pression, sont fonctions des variables locales r (distance radiale) et z (distance axiale). Un arc r£clame en gdn6ral un processus de stabilisation, que ce
processus soit inteme, gdndrd par l'arc lui-mdme ou exteme. On introduit donc du gaz en
tourbillon (vortex) afin de maintenir la colonne d'arc en position stable au centre de la tuylre.
D'autres types de stabilisation par transpiration, stabilisation magn£tique sont aussi utilisds.
L'dcoulement en tourbillon est d£fini par le coefficient de vortex So ddfini par
R
2 wr~
pVW> dr So =
°
( la)
R R
2 wpt~> ~ dr
o
v composante azimutale de la vitesse ; w> composante axiale. Ce coefficient est proportionnel
au rapport de la vitesse azimutale sur la vitesse axiale. Une valeur nulle du coefficient indiquera une vitesse azimutale initiate nulle, La valeur de So sert h ddfinir un profit initial de
vitesse azimutale. Darts la suite des calculs ce coefficient n'intervient pas dans les Equations, it sert seulement h caractdriser l'dcoulement.
2.1.2 Description du probldme et conditions initiates.
2.1,2,1 Description. La moddlisation de l'arc transfdrd ainsi constitud peut dtre ddcoupde en _quatre zones (cf. Fig. I) et nous nous intdressons au comportement du plasma dans la zone
inter-dlectrodes, c'est-h-dire de la section AG (cf. Fig. I jusqu'h la zone 4 contenant l'anode.
La zone I (zone cathodique) contient I'£lectrode amont, L'arc est confin£ sur l'axe de la d£charge au moyen d'un champ magn£tique cr££ par une bobine. Le pied d'arc est donc en
mouvement. Un moyen £vitant d'avoir h prendre en compte le mouvement rotatif du pied d'arc
et la dissym£trie ~ # 0 qu'il pourrait induire, consiste h ddbuter notre calcul au niveau dH
d'une section AG situde en aval de l'61ectrode, et h prendre en compte des valeurs moyennes (sur le temps) des diffdrentes grandeurs. Ainsi, la moddlisation dtudide devient stationnaire et h
symdtrie de r6volution. Cette section AG (z = 0 se situe h l'intdrieur d'un tube de confinement de rayon R et d'une longueur de l'ordre d'une dizaine de centimktres (zone 2). Consdcutive- ment h ce tube par rapport au sens de I'£coulement se trouve (zone 3) une expansion du plasma
£voluant en jet. L'£tendue radiale de la zone discrdtis£e est alors augmentde (rayon
R') afin de tenir compte des nouvelles conditions aux limites et du gaz ext£rieur qui pourrait
N° 6 MODfLISATION D'UN ARC TRANSFtRt DE,FORTE PUISSANCE l147
gaz entrant
bobine systdme cathodique
magn£tique
z n
R wuj
u=w=0
F T=30oK ~
_z'=0
R'
AG T(r)
u = 0
zone 3 AJi dT/3r
= 0
zone de jet libre dw/Jr
= 0
u = 0
FG h = h(paroi)
w = u = 0
El w
= 0
du/dr
= 0 D
~ z"mo T
= 300 K
II dT/3z
= 0 zone 4
IS$z=
o zone an°diqUe
T
ANODE
I 11
Fig. I. Schdma de l'arc transfdrd.
[Scheme of transferred arc-1
JOURNAL DC PHYSIQUE III T 3 N'6 JUNE lW~
Etre pompd. L'dtendue de cette zone est de plusieurs dizaines de centimktres. Enfin, la zone
anodique (zone 4) est discr£tis£e sur une vingtaine de cm afin de pouvoir tenir compte de l'interaction du jet avec l'anode £ventuelles recirculations de gaz conditions aux limites sur l'anode.
2.1.2.2 Conditions aux limites. Les conditions aux limites de la mod£lisation de la zone 2
sont les suivantes h z
= 0 (section AG, voir Fig. I) nous donnons un profil arbitraire
d'enthalpie ho jr, = =
o) et une forme analytique du profil de vitesse axiale w jr j = w>o f (r ) et de la vitesse azimutale v (r)
= vo g(r). Les amplitudes w,o et vo sont calcu16es par la valeur du d6bit de gaz initial Do.
R
Do = 2 w i~pw dr. lb)
o
Habituellement f(r) est un profil parabolique qui a son maximum sur l'axe et
g(r) une fonction lin6airement croissante avec r. Initialement h z
=
0, on pose les amplitudes 6gales h I, nous d£finissons ainsi un profil de vitesse axiale et azimutale (ayant donn£ une forme analytique des profils). Le profil de tempdrature dtant donna, nous pouvons calculer h
z = 0 le d£bit D (cf. Eq. (lb)) et le coefficient S -(cf. Eq. (la)). Nous ajustons ensuite les valeurs de D et de S calculdes sur les valeurs impos£es (Do et So) par correction des amplitudes
wo et vo. La valeur de ho est d£duite empiriquement de mesures exp£rimentales sur la chute de tension entre la cathode et la section AG. L'influence de la forme du profil d'enthalpie correspondant h l'enthalpie moyenne ho est abordde dans la partie 3. I. Pour la section AG nous
consid£rons de plus que u
=
0 (u : vitesse radiale), Les conditions aux limites des zones 3 et 4
sont donndes sur la figure I. Les conditions aux limites des c6tes z'=0 et z"=0
correspondent aux rdsultats du programme amont h la c6te considdrde.
2.2 NOMENCLATURE ET #QUATIONS.
2.2.I Nomenclature des termes.- Pour faciliter la comprdhension des Equations, nous
prdsentons la nomenclature des termes utilisds
B~ induction magndtique
D ddbit de gaz avec Do ddbit initial imposd h la c6te =
= o
&r pas de calcul radial
&z pas de calcul axial
E champ dlectrique, ddcomposd en une composante radiale E~ et axiale E~
G conductance
h enthalpie
ho enthalpie massique moyenne
I intensit£ de courant
j~ densit£ de courant radiate
j= densit£ de courant axiale
P pression
q~ flux radial de chaleur par conduction normale
q~ flux radial d'£nergie rayonnde
q~ flux radial de chaleur par conduction turbulente
r distance radiate
R rayon du tube de gainage (zone 2)
S indice de tourbillon (avec So indice initial)
T tempdrature
u, v, w composantes radiale, azimutale et axiale de la vitesse
N° 6 MOD(LISATION D'UN ARC TRANSFtRt DE FORTE PUISSANCE lI49
= distance axiale
p densitd de masse
« conductivitd dlectrique
po permdabilitd du vide
p viscosit£ laminaire
p~ viscosit£ turbulente.
2.2.2 Equations.
Conservation de la masse :
) (PM')
+ ) (rpu)
m 0. (2)
Quantit£ de mouvement radiale
+ ) [(p
+ p~) (j -Jz B~ (3)
Quantitd de mouvement azimutale
pw
~~
+ pu
~~
+
~~~
i
~ (r~(pi + pi r
~ ~
(4)
dz dr r j.2 dr dr r
Quantit£ de mouvement axiale :
PW)+pU)m-$ +)(jlj+jlt)~+))(~(pl+pt)~j +jrB~. (5)
Conservation de I'dnergie :
L'£quation de continuitd de courant s'dcrit
j %(lj~) h~j~)
I Al- ~ h~ ~' ~~~
Dans nos calculs nous considdrons que le champ dlectrique axial E= est constant sur une
section de l'arc, et nous utilisons la loi d'ohm pour relier Ie champ dlectrique h l'intensitd de courant
R
1
=
2 WE. «r dr
=
E~ G (8)
o
G dtant la conductance lindique du plasma.
L'dquation de Maxwell est utilisde pour le calcul du champ magndtique
~~,°~
= Rojz (9)
La procddure de r£solution employ£e pour le traitement de la turbulence et du rayonnement
est basde sur des travaux de Nicolet et al. ii et ddcrite dans [2]. Pour la turbulence, un modkle bas£ sur la longueur de m£lange de Prandtl a £t£ utilis£. Le traitement du rayonnement utilise
un coefficient d'absorption ddpendant de la fr£quence ; toutefois compte tenu de ses variations
en fonction de la longueur d'onde, on ddcoupera le spectre de frdquence en 2 ou 4 bandes (intervalles) sur lesquelles le coefficient pourra Etre consid£r£ comme constant pour des
valeurs fix£es de pression et de temp£rature.
2.3 DISCRfTISATION. Le code gdndral est forma d'une succession de programmes chainds
qui utilisent les rdsultats du programme amont comme conditions initiales. Les parambtres macroscopiques de l'arc initialement donn£s h la couche z
= 0, sont l'intensit£ de courant, le ddbit de masse, le coefficient de vortex initial; la pression, et le diamktre du tube de gainage.
La m£thode de discrdtisation utilisde pour les zones 2 et 3 (voir Fig. est ddcrite dans [2] ; elle' utilise un schdma parabolique basd sur l'hypothlse que les grandeurs h une c6te z ne sont
fonctions que de celles h z Az (schdma,dit « en passant »). La quatribme zone utilise un modkle elliptique bask sur les algorithmes de Patankar [3]. C'est un sch£ma de discrdtisation it£ratif sur l'ensemble de la zone afin de tenir compte des conditions aux limites h l'anode. La
moddlisation de cette zone ne constitue qu'une premibre dtape du calcul nous n'effectuons donc pas de bilan d'£nergie h la surface de l'anode et imposons en conditions aux limites sur
l'anode un profil de tempdrature homogbne de lo 000 K. Nous imposons de plus u
= w> =
0 (cf. Fig. I). Les rdsultats montrent que le profil de tempdrature a peu d'influence sur les
r£sultats amont, en effet le sch£ma it£ratif employ£ est du type « upwind
» £tant donn£ les
grandes vitesses atteintes (200 m/s).
3. Rdsultats.
Nous pr£sentons quelques rdsultats relatifs au modble parabolique (2~ et 3~ zone). Nous montrons la validit£ du profil initial d'enthalpie pour la suite des r£sultats. L'influence de nombreux paramktres gdom£triques et physiques a £t6 dtud16e (intensitd, ddbit, vortex, ).
Nous n'aborderons ici que l'influence de l'intensitd du courant dans la gaine, et nous
montrerons l'dvolution caract£ristique suivant z, du d£bit de gaz dans le jet.
3.I PROFIL INITIAL ARBITRAIRE DE TEMP#RATURE. Pour des valeurs fixdes de l'intensitd du
courant I, du d£bit de masse et de la pression P, le profil arbitraire d'enthalpie
hoit- ), ou ce qui est Equivalent, le profit de temp£rature Tojr ), permet de d£terminer le profil de densitd de masse po(r) et les variations radiates de la vitesse axiale wo(r) h l'entrde.
L'enthalpie moyenne h la sortie du tube d£pend de la valeur moyenne de l'enthalpie initiate.
L'enthalpie moyenne est d£finie par I'£quation :
R
pho (r w'r dr h0(moyennel~ ~
R
('°)
pwr dl.
0
La valeur de ho (moyenne) est ddduite de donn£es exp£rimentales relatives h la chute de tension entre la cathode et la couche AG consid£rde. Pour la suite de l'article nous prendrons
une valeur moyenne de ho = 2,25 x lo~ J/kg.
La figure 2 donne deux exemples (al et (b) de choix du profil initial d'enthalpie en
z =
o (section AG), sun l'dvolution du champ d'enthalpie dans la partie gainde de l'arc, Les deux profils initiaux ho(r, z
=
o ont £t£ choisis de telle sorte que l'enthalpie moyenne soft la
N° 6 MOD(LISATION D'UN ARC TRANSFERE DE FORTE PUISSANCE list
mEme dans les deux cas ho = 2,25 x lo~ J/kg. Sur la figure 2 les deux profils d'enthalpie
semblent voisins mais correspondent h des tempdratures sur l'axe de 13 600 K (a) et lo 600 K (b), La figure 3 donne l'Evolution de ces profils en z =
2 cm, Pour z
~ 3 cm, les calculs montrent que les profils h (r) se superposent. Compte tenu du fait que la longueur du tube de
gainage est de l'ordre de lo h 20 cm, on peut considdrer que le choix de la forme du profit
initial de tempdrature ou d'enthalpie n'a pas d'influence sur la zone d'arc libre.
108 109
I=IOOO A I-IOOO A
~~>
4~45 ala ~r~~ g/~
(~~ )[j.4 108 ~~o.4
io7 z~2Cm
I (io~ ,(~>
~ ~ ~,
io~ (k
lo~
~~~.0 0.5 1-O 1.5 2.0 2.5 ~~0.0 05 1.0 1.5 2.0 2.5
R cm
~
R cm
Fig. 2. Fig. 3.
Fig. 2. Profils initiaux d'enthalpie h l'entrde de la zone gainde.
[Initial enthalpy profiles, z o-j
Fig. 3. Evolution du profil initial d'enthalpie au bout de 2 cm de moddlisation.
[Enthalpy profiles after =
=
2 cm-j
3.2 FoRcEs #LECTROMAGNfTIQUES. Dons les arcs libres [4-6] l'effet des forces dlectroma-
gndtiques est pr£pond£rant. Prks de la cathode il induit un dcoulement de gaz qui stabilise la colonne, Dans l'arc transf£r£ dtudi£ ici, le ddbit total de gaz est fixd. La prise en compte de cet effet ne peut donc pas avoir d'influence sur la quantitd de gaz aspirde de l'ext£rieur, et seule la
forme des profits de vitesse radiate et axiale et de temp£rature sera modifi£e. La figure 4
montre la prise en compte de cet effet sur le profil radial de temp£rature h une distance
z = cm de la section AG. La diff£rence entre les deux profits disparait aprls 3 cm de
moddlisation,
3.3 INFLUENCE DE L'INTENSIT# DE COURANT.
3.3. I Dans la partie gainde (=one 2 de la moddlisation ). Dans l'arc gaind l'augmentation de
courant se traduit par une modification du profil de tempdrature montr£e sur la figure 5
augmentation de la temp£rature axiale et dlargissement du cmur chaud de l'arc. Ce comportement est caractdristique des arcs stabilisds par paroi h fort courant (voir par exemple
les mesures de Schade [7] ou de Ernst et al. [8] pour un arc dans l'azote). Pour une c6te
z =
lo cm, la figure 6 montre que la vitesse axiale w' augmente avec l'intensit£ du courant.
Ceci se d£duit de l'Evolution du profil de temp£rature et de la conservation du d£bit : quant T augmente, la densit£ de masse p diminue, ce qui entraine une augmentation de la vitesse axiale
w (cf. Eq. lb),
ml COO A 4m35 gla
Qm35 g/s 12
.._ $mO.4
z =I cm z~locm
~ ~
, 8 , I~IOOO
fl Z 1500
~ 6 ~ 2000
O-O 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 O-O 0.5 1-O 1.5 2.5
R cm R cm
Fig. 4. Fig. 5.
Fig. 4. Influence des forces dlectromagndtiques sur le profil de tempdrature h =
= cm.
[Influence of magnetic pumping on the temperature profile z I cm,]
Fig. 5. -Profil radial de temp6rature dans la zone gainde pour trois intensitds.
[Influence of current intensity on temperature profile, z lo cm.]
~~~ °~~
Q~35 g/s
~-O.4 ~~o_4
z~locm ~.~40cm
i # 9
IOOO 3
1 1500 A ~ H2000 A
2000 6 Ml SOD A
imlOOO A
3
O-O I-O 2.0 2.5 o 3 g 12 15
R cm ~,~
~~
Fig, 6. Fig. 7.
Fig. 6. Profil radial de vitesse dans la zone gainde pour trois intensitds.
[Influence of current intensity on axial velocity profile, z = lo cm.]
Fig. 7. Profil de temp6rature dans la partie de jet pour'trois intensitds.
[Influence of current intensity on temperature profile in the free jet zone.]
3.3.2 Dans la pat-tie du jet (zone 3 de la moddlisation). Les effets de l'intensitd de courant
sur le profil de temp£rature dans l'arc libre sont prdsentds sur la figure 7, pour un d£bit de gaz initial de 35 g/s et un coefficient de vortex initial de o,4 h une c6te z'
=
40 cm. L'augmentation de l'intensitd ne conduit pas h une augmentation de la tempdrature axiale comme pour l'arc
N° 6 MOD(LISATION D'UN ARC TRANSFERE DE FORTE PUISSANCE l153 stabilisd par paroi (2e zone), mais ambne h unlilargissement du profit de temp£rature c'est-h- dire du rayon de conduction. Cet effet est analogue h celui observd dans les disjoncteurs pour lesquels la tempdrature axiale reste sensiblement constante quand le courant augmente c'est le rayon d'arc qui augmente (modkle d'arc de Cassie). Ce phdnombne disparait dans le cas des
disjoncteurs lorsque le courant est trks dlev£ et que l'arc occupe toute la section de la buse
(clogging effect). Le tableau I donne quelques valeurs du champ £lectrique (E~ en fonction du courant pour les conditions de la figure 7.
Tableau I. Champ dlectrique pour trois i,aleuis de l'intensitd de courant.
[Electric field for three current values.]
Intensit£ (A) Champ £lectrique (V/m)
000 3 lo
500 147
2 000 030
L'augmentation du rayon de conduction conduit h un accroissement de la conductance.
Cependant le rapport des valeurs de conductance n'est pas £gal au rapport des valeurs de
courant. En effet, le champ dlectrique n'est pas constant. Ces valeurs du champ s'expliquent
par le fait que les penes d'dnergie par unit£ de volume sont d'autant plus grandes que l'intensitd est dlev£e (ces penes d'£nergie sont accentudes par de forts gradients radiaux de tempdrature).
3.4 D#BIT DE MASSE. Une des caractdristiques gdndrales de l'arc transfdrd dtudid est qu'il aspire du gaz extdrieur sous l'action de l'expansion du jet. Ceci entraine une augmentation du ddbit de gaz suivant la distance axiale. La variation du ddbit D suivant z est reprdsentde sur la
figure 8 z'
= 0 reprdsente la fin de la zone gain£e (section BE, cf. Fig. I). Nous retrouvons
imiooo s~o
«
Do~35 g/s
~'
a
Do~20 g/s
20 30 40 50 60
z-i cm
Fig. 8. Evolution du ddbit dans la partie de jet h partir de deux valeurs initiales.
[Evolution of the total mass flow rate for two values of initjal flow rate Do.
