Une forme spinorielle des équations de l'électromagnétisme

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Submitted on 1 Jan 1957

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Une forme spinorielle des équations de l’électromagnétisme

G. Bodiou

To cite this version:

G. Bodiou. Une forme spinorielle des équations de l’électromagnétisme. J. Phys. Radium, 1957, 18

(3), pp.169-172. �10.1051/jphysrad:01957001803016900�. �jpa-00235637�

UNE FORME SPINORIELLE DES ÉQUATIONS ^DE L’ÉLECTROMAGNÉTISME

Par G. BODIOU,

Faculté des Sciences de Marseille.

LE JOURNAL PHYSIQUE ET LE RADIUM TOME 18, 1957,

Le present ^{memoire est} l’application ^{au cas} general ^des principes ^que nous avons d6jh ^6none6s

lors d’un travail sur l’onde plane [6]. Nous pensons que la correspondance ^entre bivecteurs et spineurs gér éralisés du second _rang qui ^{conduit a} remplacer

les equations classiques ^de 1’electromagnetisme par certaines de leurs combinaisons lin6aires ne pr6-

sente qu’un ^intérêt formel. Notre description, ^en

termes de spineurs ^du premier rang, ^entre plutot

dans le cadre general de la methode de fusion de M. L. de Broglie, ^{mais en cherchant a diminuer}

le plus possible le nombre de degr6s de libert6 de 1’ensemble des spineurs d6crivant l’onde éleetro-

magn6tique, ^{de telle sorte} que la correspondance

soit tres stricte, r6ciproque ^si possible, ^de fagon ^à

éviter 1’apparition ^de grandeurs ^et d’équations parasites, c’est-a-dire non-electromagnetiques.

Notations : Un tenseur, X, ^6tant consid6r6, ^la

matrice du 4e ordre qui ^lui correspond ^bi-univo- quement ^{est not6e de meme :} X ; ^{mais un} produit

de telles matrices est distingu6 par le signe ^X (multipli6 par) : ^{X X Y. Le} dual, ^ou supple- mentaire, ^{du tenseur} X, ^{est note} DX ; ^son conjugu6

dans 1’espace-temps ^{est note} X’ ; ^{si X est} extrait,

par ^une loi d6termin6e, ^du produit tensoriel des

spineurs ’Y 1 ^et ’Y 2, ^{nous le noterons} X(’Y 1, T2) ;

on sait qu’un ^tel produit ^se decompose ^{en un}

ensemble de tenseurs, ^{savoir : un scalaire :}

S(’¥ 1, ’Y 2) ; ^{un vecteur :} V(’Y 1, T2) ; ^un bivecteur :

B(’Fll lvz) ; ^un trivecteur : T(’Y l’ T2) ; ^un quatre- vecteur, ^ou pseudo-scalaire : Q(’Y l’ T2). ^Nous notons B7’Y ^le spineur ^ayant pour matrice : V ^X F.

La matrice transposée ^{de X et} X.

Un spineur ^{T 6tant} donne, ^nous appelons

« lacune ⁾⁾ associ6e a ce spineur, ^{et notons} W-, ^le spineur sym6trique ^du conjugu6, T’, ^de ’1’, par

rapport ^à l’origine. ^{T est la somme} de deux semi-

spineurs d’espèces differentes : _p et (p : ^T

p + (p.

Pour que T ^{soit confondu avec sa} lacune, ^{7 =} T-,

il faut et suffit que : §

cp--, c’est-à-dire que : F

_cp + cp-. La condition de confusion d’un

spineur ^{avec sa lacune} peut etre, ^{sans modifier les}

resultats ci-dessous, d6finie par : 7 = :1: ^7- (6qui-

valence forte des spineurs [6]), ^au lieu de I’etre par l’identit6 : 7

T- ; ^sa condition n6cessaire et suffisante est alors que la ^« densite de spin ^)), T(’Y, W’), soit nulle [6]. ^{Il est} important ^{de remar-}

quer que ^cette notion de ^« spineur ^{confondu avec}

sa lacune » ne pr6sente pas l’invariance de jauge ^de

premiere espece : ^{W = ±} T-, n’implique pas : kT

± (kT)-, pour : k

^1.

I. Un bivecteur reel est le dual de la somme des

« densitds de moment électromagnétique » ^{de deux} spineurs ^{confondus avec} leurs lacunes.

Démon- trons qu’il ^{existe une} infinité, ^{a un} param6tre, ^de decompositions ^{d’un bivecteur} B, donne, reel, ^sous

la forme :

avec :

(1) 6quivaut ^{h :}

B

DB(lII’1, T,) + DB(B{?9, T,), (1’) qui ^fait apparaitre ^{B comme le dual de la somme}

des ⁽⁽ densit6s de moment éleetromagnétique »

attach6es aux spineurs ’Y 1 ^et ’Y 2.

I,1.

^Pour le prouver, ^nous utiliserons, ^d’abord

un raisonnement g6om6trique qui 6vite le choix d’une representation particuli6re ^des spineurs ^et souligne ^{le caract6re} intrinsèque ^des problemes

etudies. Ce raisonnement utilise une image ^{a trois}

dimensions _que nous avons dej a ^d6finie [6] : ^elle

consiste a faire correspondre ^{au cone} isotrope ^de

sommet 0 dans 1’espace ^a quatre dimensions (M),

cone dont 1’6quation ^{est :} giO7, ^{Xi Xk}

0, la qua-

drique (A) qui ^{admet cette} equation ^pour equation homogene ^{dans un} espace auxiliaire (m) rapporté

a des axes orthonormaux. Le carr6 tensoriel d’un

semi-spineur ^{est un} bivecteur totalement isotrope,

et tous deux param6trent ^un biplan ^totalement isotrope, ^{ou son} image ^dans (m) qui ^{est une} gene-

ratrice de (A), ^{de l’un ou de l’autre} système.

Nous ferons correspondre, ^{a un bivecteur} quel-

conque de (M), ^le systeme ^{de vecteurs} glissants,

d6fini par ^{ses elements} de reduction en 0, ^dans (m) :

Pour qu’un bivecteur soit simple ^{il f aut et il}

suffit _que ^son systeme image ^soit equivalent ^{a un}

vecteur unique.

Si, ^de plus, ^{ce bivecteur} simple ^est isotrope, ^le

vecteur unique image ^est tangent ^a (A).

La decomposition ^d’un tel bivecteur simple ^et isotrope ^en semi-bivecteurs, ^a pour image ^{la d6com-} position ^{de son vecteur} image ^{en deux vecteurs}

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:01957001803016900

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glissant respectivement ^{sur les} g6n6ratrices ^de (A) qui passent par le contact. Les bivecteurs tota- lement isotropes, ^{dont ces deux} vecteurs sont les

images, d6termiiient, ^au signe pr6s, ^{les semi-} spineurs ^dont ils sont les carr6s tensoriels. Ce raison- nement fonde la correspondance ^{entre une onde} électromagnétique plane ^{et un} spineur, ^utilis6e

en [6].

Mais le bivecteur pour lequel ^il faut d6montrer la decomposition ^{(1), avec} les conditions (2), ^{est un}

bivecteur reel quelconque, ⁿⁱ simple, ⁿⁱ isotrope.

Transformons (1). Cette relation s’ecrit :

Or, B(y, cp), ^{ou cp est un} semi-spineur ^de

ire esp6ce, ^{est un bivecteur} anti-dual, ^et B( p-, p-),

ou p- ^{est un} semi-spineur ^{de 2e} espece, ^{est auto-} dual ; ^{d’ou :}

La relation (1) 6quivaut ^{donc aux} deux condi- tions :

qui, ^6tant conjugu6es ^{l’une de} I’autre, ^{se r6duisent}

a une seule, par exemple ^la premiere.

Sous cette nouvelle forme, ^le probl6me 6quivaut

à la decomposition ^du systeme ^{de vecteurs} glissants image ^de (B - DB), ^{en deux vecteurs} glissants ^sur

des g6n6ratrices ^{de meme} systeme ^{de la} qua-

drique (A). ^Ces g6n6ratrices ^{seront les} images ^des biplans totalement isotropes ^des semi-spineurs cp, et cp 2. Or on sait _que la decomposition ^d’un systeme

de vecteurs glissants ^{en deux} vecteurs est deter- minee par le support ^{de l’un} d’eux, ici par la donn6e d’une g6n6ratrice. ^Or (B

DB) ^{est anti-} dual, ^le premier bivecteur de decomposition, ^corres- pondant ^{a un} biplan ^dont l’image ^{est une} gene- ratrice, ^{est aussi} anti-dual, donc le second bivec- teur est anti-dual, ^{done son} biplan ^{a bien} pour

image ^une g6n6ratrice ^{de meme} systeme que la

premiere.

II y ^a donc une in unite a un parametre ^{de telles} decompositions, ^ce param6tre ^{6tant celui de la} g6n6ratrice arbitraire.

Pour achever de determiner la decomposition,

il suffirait d’imposer ^une seconde relation invo- lutive entre ces deux génératrices ; ^{comme elles} appartiennent ^{a un meme} syst6me, l’image ^d’une correspondance par retournement d’espace-temps

entre les biplans ^de cpl et CP2 serait une telle relation.

I, ^2.

Pour donner une preuve analytique,

nous choisirons une representation 616mentaire des

spineurs qui ^mette commodement en evidence les

semi-spineurs ^{des deux} esp6ces : par exemple ^celle

de E. Cartan [1].

avec bl

u1 a1, ou u1 ^est le parametre ^du biplan

totalement isotrope ^de pi ^ou de sa g6n6ratrice image; ^{de meme :} qJ2

a2 b211, ^{avec :} b2

u2 a2.

La decomposition ^de (B - DB) ^6crite plus ^haut 6quivaut, [1, § 154], ^au système :

ou P, Q, ^{R, sont} determines par B.

Si l’on exclut le cas ou (u1

u,)

0, qui ^corres- pond a : cp2

kpi, les deux derni6res equations

forment un systeme ^{de Cramer aux} inconnues a 2 t

et a2 ; la condition de leur eompatibilité ^{avec la} premiere ^{s’ecrit :}

qui exprime ^la correspondance involutive entre u, et rz2 pr6vue géométriquement. Ayant ^choisi ui ^et U2 lies par ^cette condition, ^le systeme ^{de Cramer} déterminera a12 ^et a2, c’est-à-dire _{(pi et CP2,} au signe pr6s ; ^{il y a donc bien une} infinite, ^{a un} parametre,

U1 par exemple, de solutions pour (1).

I, ^3.

Remarques : ^{Dans notre memoire} [6]

nous avons utilise ^la decomposition suivante de l’onde plane ((complexe )) : ^:

B(M) = Bo exp 27r iOP.OM)

B(M)

Bo ex p _h ^.OM

B (To exp 7Ti OP - OM, T(, exp Tci OP. om ^;

=

B ’Yo8XP hOP ^{.OM, ’Yo exp} hOP ^{.OM ;}

ou BQ ^{est un bivecteur} simple, isotrope, reel, donne, et of, To

± ’Yo.

On en d6duit, pour l’onde plane r6elle,

B cos 2’ OP . 0M la decom osition :

Bo cos h ^{OP. OM, la p}

qui ^{est du} type (1), TI ^et T2 ^{etant « fortement} equivalents ^{)) à} L1 ^et Z.

II. Forme spinorielle ^des equations de Maxwell-

Lorentz.

II, ^1.

Écrivons les équations ^de

Maxwell-Lorentz, ^{dans le cas ou le} courant est J :

Elles equivalent ^a l’équation :

jointe ^a 1’6quation conjugu6e. C’est-à-dire, ^{en uti-}

lisant la decomposition ^de (B

DB) :

où les y sont les matrices des vecteurs de la base ;

d’où :

1’indice t, ^{dans le} premier ^{terme du second} membre, prenant maintenant ses quatre ^valeurs.

Les equations ^de 1’electromagnetisme ^{s’écrivent}

done :

formons alors une combinaison lin6aire des quatre equations pr6c6dentes ^en prenant pour coefflcients des dxj arbitraires d’univers, coordonn6es d’un dM arbitraire de cet univers ; ^le systeme ^des quatre equations pr6c6dentes 6quivaudra ^a l’équation unique ^{obtenue en annulant cette forme,} qui

s’ ecrit :

dM. (V( CPt, V CPt) +V(921 V CP2))

-

(S(CPh dofl ⁺ S(CP2’ d92))

dM.J/4, (3) dans laquelle ^{le .} marque des produits scalaires de vecteurs, ^{et ou} dcpl ^et d CP2 ^{sont les} différentielles

semi-spinorielles correspondant ^{a dM.}

II, ^2.

Utilisons, maintenant, l’indétermination de la decomposition (1), pour imposer ^aux spi-

neurs rpi et Y2 ^une condition supplémentaire ^des-

tinee à simplifier (3). ^Nous choisissons la condition : S(pi, dcpi) ⁺ S(CP2’ dr.p2)

^0, (4) Cette condition (4) ^est satisfaite, par exemple,

si l’on impose ^{a (pi et Y2 de se} correspondre ^{dans un}

retournement fixe arbitraire. Ce retournement

se traduit par 1’6quation matricielle _{CP2 =} b X _cpi,

qui ^{est bien} (4).

Cette condition (4) ^{est aussi} satisfaite si _{pi et cp,} sont de la forme :

où cpi ^et ?0 ^{sont des} semi-spineurs fixes, ^et f1( M) ^et

f2(M) ^des 2 fonctions scalaires arbitraires dans l’uni- vers ; les ondes semi-spinorielles ^{utilis6es en} 1,3

dans la décomposition d’une onde plane ^{r6elle sont}

de cette forme. On trouve, ^{dans ce cas :}

d’ou (4).

Verifions qu’il existe, lorsque ^{B est un} champ

bivectoriel donne, ^{une infinité a un} param6tre ^de champs semi-spinoriels, solutions de (1) ^{et de} 1’equation ^aux différentielles totales (4) :

En conservant la representation ^{de E.} Cartan, déjà utilisée, l’ensemble ^de (1) ^{et de} (4) ^{s’écrit :}

dont les conditions de compatibilite pour les incon-

nues a12 et a2 s’ecrivent :

La premiere ^{de ces} equations determine u2 ^en

fonction de _ul, et la seconde, devient alors une

equation ^aux difiérentielles totales pour ui, qui

s’ecrit :

n

et dont la condition d’intégralité ^{est :}

L’annulation du second facteur 6tant exclue par la condition U2 -F UJ, elle se r6duit a :

F 6tant une fonction homogene arbitraire des

coordonn6es, X, Y, Z, du semi-bivecteur B-DB.

Ce qui s’applique ^{a des} champs satisfaisant 4 (4’).

II, ^3.

^Forrne spinorieUe ^des equations ^de 1’electromagnetisme :

L’6quation (3) ^se r6duit, par (4), ^{h :}

172

Nous voulons montrer 1’6quivalence ^{de cette}

derni6re au systeme d’équations matricielles spino- rielles, sym6triques ^{en cpl et} y,, :

V, ^6tant le vecteur extrait du produit ^tensoriel

des semi-spineurs pi et V cpl, est isotrope ^{et commun}

aux biplans totalement isotropes ^{de ces semi-} spineurs ; de meme pour V2 ; ^{on a done :}

V1 ^X pl Y, ^X V91

0, d’otl : i ^{x Qi}

V2 ^X 9r

Mais V2 X Pi est la matrice d’un semi-spineur

de seconde esp6ce ^{dont le} biplan ^contient V2 ; ^ce biplan ^est donc celui de V CP2 ; et, par suite :

j x CPl = P X V X C?2’ et : j x CP2 = q X V X CPl; ;

p et q ^{6tant des} scalaires ; ^ces equations ^{sont de la}

forme (5) ; ^{il ne reste} qu’a determiner _p et q.

Pour le faire substituons les expressions ^ci-dessus de VCPl ^{et de} Q cp2 dans l’équation : V1 ⁺ V2 = j ;

on trouve :

pour tout vecteur X, arbitraire.

Il suffit qu’elle ^soit v6rifi6e pour tout vecteur

orthogonal a j ^et pour / lui-meme :

pour X orthogonal h i elle s’écrit :

ce qui ^{acheve de demontrer les} (5), compte ^{tenu de} l’antisymétrie ^de S(?,, CP2)’

Réciproquement : ⁽⁵⁾ implique que j est ^commun

alJX 2 triplans determines, ^d’une part par les

biplans ^{de pi et de V CP2, d’autre part par les} biplans

de _{CP2 et} de _{V CPt} (voir figure ^ci-contre représentant

les images, ^dans (m), ^{des elements} consid6r6s). ^{Il en}

r6sulte que j ^{est dans le} biplan determine par V,

et v2, donc : j

^X V, ⁺ y V2 ; ^{revenant aux} (5)

on prouve que : x

y

1.

Conclusion.

La solution générale ^des equations

de Maxwell-Lorentz et de (4’) ^se déerit donc sous la

f orme (1) ^ou (1’), ^à partir ^{de deux} semi-spineurs,

(pi ^et C?2, solutions de (4) ^{et de} (5).

(5) equivaut ^{a un} systeme ^de quatre equations

aux d6riv6es partielles, ^du premier ordre, ^a quatre

fonctions inconnues qui ^{sont les} composantes ^{de pi}

et CP2 ; ^ces equations ^{ne sont} pas lin6aires par suite de la presence ^{du facteur} S( pi, C(2).

II, 4. ^{- Dans le} vide, ^{ou J}

0, ^le systeme (5) ^se

r6dult a :

qui 6quivaut, par (2) ^{à :}

Chacune des equations (5") ^{est une} equation ^de

Dirac _pour un corpuscule ^{à masse nulle.}

(4) 6quivaut ^{a :}

Conelusion.

Par (1’), ^{toute onde} électromagné- tique ^{dans le vide} satisfaisant ^à (4’) ^{peut done se déerire} (d’une simple ^{infiniti de} façons) ^comme duale de la

somme des densités de moment ilectromagnitique ^de

deux corpuscules ^de Dirac, ^{à masse nulle} (ou ^d’un

ensemble de tels couples, puisque ^{l’onde n’est pas} norm6e), confondus ^{avec leurs lacunes} (ou ^ce qui

revient au meme : à densité de spin nulle) ^li6s par (4).

Manuscrit _{reçu le} 8 décembre 1956.

RÉFÉRENCES [1] ^CARTAN (E.), Leçons ^{sur la théorie des} spineurs, ^{t. I et}

II, ^{Hermann édit.}

[2] ^BROGLIE (L. DE), ^{Nouvelle théorie de la lumière, t. I}

et II, Hermann, ^édit.

[3] ^BROGLIE (L. DE), ^Théorie générale ^des particules à spin.

Gauthier-Villars, ^édit.

[4] ^CORSON (E. M.), Introduction to tensors, spinors, ^and

relativistic wave-equations, London, ^1954.

[5] ^GIVENS (W.), ^Tensors coordinates of linears _spaces.

Ann. Math., 1937, 38, ^355.

[6] ^BODIOU (G.), ^{Sur la} correspondance ^entre bivecteurs et

spineurs simples ^{et la} description corpusculaire ^des

ondes électromagnétiques. ^J. Physique ^{Rad., avril}

1956, 17, ^350.