Représentations spinorielles fondamentales du groupe de Lorentz général et retournements de l'espace, du temps et de l'univers

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Représentations spinorielles fondamentales du groupe de Lorentz général et retournements de l’espace, du temps

et de l’univers

J. Winogradzki

To cite this version:

J. Winogradzki. Représentations spinorielles fondamentales du groupe de Lorentz général et retourne-

ments de l’espace, du temps et de l’univers. J. Phys. Radium, 1958, 19 (2), pp.159-165. �10.1051/jphys-

rad:01958001902015900�. �jpa-00235794�

REPRÉSENTATIONS SPINORIELLES FONDAMENTALES DU GROUPE ^{DE LORENTZ GÉNÉRAL}

ET RETOURNEMENTS DE L’ESPACE, ^DU TEMPS ET DE L’UNIVERS.

Par J. WINOGRADZKI,

Institut Henri-Poincaré, Paris.

Sommaire.

Étude des représentations spinorielles du groupe de Lorentz général qui ^{sont les} plus simples pour les retournements de l’espace, ^du temps ^{ou de} l’Univers, ^{et de celles} qui ^sont

les plus simples pour l’ensemble de ces trois retournements.

Abstract.

Study ^{of the} spinor representations ^of the full Lorentz _group which are the most

simple ^{for the} reflections of space, time ^or the Universe, and of those which are the most simple ^for

all the three reflections.

LE JOURNAL PHYSIQUE 19, ^FÉVRIER 1958,

L’application ^de l’algorithme spinoriel ^{à l’étude}

d’un problème physique peut être facilitée par

l’adoption ^d’une représentation spinorielle parti-

culière. On sait le service _que rendent certaines

représentations ^devenues classiques. ^{Dans ce} travail, ^nous étudions les représentations spino-

rielles du groupe ^de Lorentz général qui ^{sont les} plus simples pour les retournements de l’espace,

du temps ^{et de l’Univers.}

,

Les représentations ^normales.

1. Définition des représentations ^normales.

Considérons les trois groupes de deux éléments

contenant, ^{en dehors} de la transformation iden-

tique, l’un des trois retournements fondamentaux : le retournement de l’espace

le retournement du temps

le retournement de l’Univers

(Les indices grecs prennent les valeurs 1 à 3, ^les

indices latins 1 à 4 ; ^X4

^{ict. Les} systèmes ^de

référence sont orthonormaux.) ^Ces trois groupes sont des sous-groupes du groupe de Lorentz général.

Nous appelons « normales )) les représentations spinorielles du groupe de Lorentz général, réduites,

pour l’un de ^ces trois sous-groupes, ^en représen-

tations de dimension 1.

Il résulte de cette définition _{que trois} types ^de représentations ^{normales sont à} distinguer, ^suivant

la nature du retournement figurant ^{dans la défini-}

tion (« retournement caractéristique »). ^{Ils seront} désignés par (E), (T) ^et ( U).

2. Une condition nécessaire et suffisante pour

qu’une représentation spinorielle soit normale.

Comme il est bien _connu, la matrice de transfor-

mation spinorielle s’écrit pour le retournement de

l’espace (1.1)

pour le retournement du temps (1.2)

et pour le retournement de l’Univers (1.3)

yk ^sont des matrices de Dirac, c’est-à-dire quatre

matrices d’ordre quatre satisfaisant à la condition

(1 ^{est la matrice unité d’ordre} quatre.) À

¹ ou i,

T

Les valeurs de À et de À déterminent la flecto-

Il T

variance du spineur

considéré [3].

Ainsi, pour qu’une représentation spinorielle ^soit normale, ^{il faut et il suffit} que l’une des trois matrices y4, yly2y3, yly2y3y4 ^soit diagonale. ^Or

Si l’une des trcis matrices y4, y1y2y3, yly2y3y4

est diagonale, ^{l’une des} trois matrices y4, i y1y2y3, y1y2y3y4 ^{est donc} égale, ^{à l’ordre} des éléments

près, à la matrice

1 étant la matrice unité d’ordre deux,

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:01958001902015900

160

3. Forme des matrices de Dirac normales.

Les matrices diagonales ^ou antidiagonales par

rapport ^aux sous-matrices joueront ^un grand ^rôle

dan. ce qui ^{suit. Pour} alléger ^le langage, ^nous appellerons ^« gonales ^{» les matrices} diagonales ^ou antidiagonales, . ^« quasi-gonales », ^« quasi-dia- gonales » ^{ou «} quasi-antidiagonales ^» les matrices d’ordre 2n gonales, diagonales ^ou antidiagonales

par rapport ^aux sous-matrices d’ordre n.

Pour déterminer la forme des matrices de Dirac

« normales »

matrices de Dirac correspondant

à une représentation ^normale

^{utilisons le fait}

’

qu’une ^{matrice commutant avec J est} quasi-dia- gonale ^et qu’une ^matrice anticommutant avec J est quasi-antidiagonale.

Chacune des matrices yk ^{commute ou anti-}

commute ^avec chacune des matrices y4, y1y2y3, yly2y3y4. ^Les matrices de Dirac normales sont donc

quasi-gonales.

La définition des trois matrices y4, (±) yly2y3, (Jr) yly2y3y4 ^est symétrique par rapport ^{aux trois}

indices d’espace. ^Par conséquent, chacune d’entre elles ou bien commute avec les trois matrices ya ^ou bien anticommute avec ces trois matrices. Les trois matrices y", appartenant ^{à un même} jeu de matrices de Dirac normales, ^{sont donc toutes du même}

genre : ^toutes quasi-diagonales ^{ou toutes} quasi- antidiagonales.

Comme il n’existe pas de jeux de matrices de Dirac dont les quatre ^{matrices seraient} quasi-dia- gonales ( 1), trois ^{cas seulement} peuvent ^se présenter :

I.

yk quasi-antidiagonales ;

II.

ya quasi-antidiagonales, y4 quasi-diago- nale ;

III.

ya quasi-diagonales, y4 quasi-antidiago-

nale.

Dans chacun de ces trois _cas, une seule des trois matrices y4, yly2y3, yly2y3y4 ^est quasi-diagonale.

La nature de cette matrice détermine donc le type

de la représentation. ^C’est yly2y3y4 qui ^est quasi- diagonale ^{dans le cas} (1), y4 ^{dans le cas} (II)

et yly2y 3dans ^{le cas} (III). ^Les représentations (1)

sont donc de type ( U), ^les représentations (II) ^de type (E) ^{et les} représentations (III) ^de type (T).

Inversement, ^{des matrices de Dirac} quasi- gonales, ^les trois matrices ya étant du même genre, forment un jeu ^{de matrices de Dirac normales.}

En effet, ^{dans ce} cas, les trois matrices ya yB ^et

l’une des trois matrices y4, yly2y3y y1y2y3y4 ^sont quasi-diagonales. ^Les trois matrices ya yB ^anti-

commutent entre elles. Chacune des matrices y4, yly2y3, ylyzy3y4 ^{commute avec les trois}

matrices ya yfi. ^Une matrice d’ordre deux, ^commu-

(1) Sinon il existerait quatre matrices du second ordre

satisfaisant à la condition

tant avec trois matrices d’ordre deux non singu-

lières anticommutant entre elles, ^est propor- tionnelle à la matrice 1. Les sous-matrices d’une matrice d’ordre quatre quasi-diagonale, ^commu-

tant avec trois matrices d’ordre quatre quasi- diagonales ^non singulières anticommutant entre

elles, ^{sont donc} également proportionnelles ^{à la}

matrice 1.

4. Propriété principale ^des représentations ^nor-

males.

Les représentations spinorielles ^normales

du groupe de Lorentz général ^{ont été définies}

comme les représentations spinorielles, réduites,

pour certains groupes de deux éléments, ^en repré-

sentations de dimension 1. Cherchons les sous-

groupes du groupe ^de Lorentz général pour lesquels

les représentations ^{normales sont réduites en} repré-

sentations de dimension 2.

Comme il est bien _{connu, la} matrice de trans- formation spinorielle s’écrit pour la rotation de

l’angle ^{0 de e vers x-}

(L’angle ^{0 est réel ou} imaginaire suivant la nature du plan Xk ^xm.)

En U-représentation, les six matrices p yn ^sont quasi-diagonales et, par conséquent, ^{aussi S. En}

km

représentations ^{de dimension} 2, ^les U-représen-

tations sont donc réduites pour le groupe de Lorentz propre (2).

En E-représentation ^{et en} T-représentation, ^les

trois matrices ya yB ^sont quasi-diagonales et, par

conséquent, aussi S. En représentations ^{de dimen-}

sion 2, ^les E-représentations aa ^sont donc réduites pour ^le groupe des rotations et retournements

spatiaux, les T-représentations ^{pour le groupe des}

rotations spatiales ^{et du} retournement du temps.

De ce qui précède, ^{on déduit une} nouvelle défi- nition des représentations normales : représen-

tations spinorielles ^du groupe de ^Lorentz général, réduites, ^en représentations de dimension 2, pour

un groupe ^contenant les rotations spatiales ^{et l’un}

des trois retournements fondamentaux (3).

En effet, ^{dans de telles} représentations, ^{les trois}

matrices ya ys ^{et l’une} des trois matrices y4, y1y2y3, y1y2y3y4 ^sont quasi-diagonales. Que ^{des matrices}

de Dirac satisfaisant à cette condition sont nor-

males a été démontré au § ^3.

(2) Sous-groupe du groupe de Lorentz général pour les transformations duquel ^dét. (;::) = + 1. ^{dx k}

(3) ^La quasi-diagonalité des matrices ya yB ^et yl y2 ya y4

,

entraine celle des matrices ya y4. ^Les représentations ^spino-

rielles réduites pour le groupe des rotations spatiales ^{et du}

retournement de l’Univers et celles réduites pour le groupe

de Lorentz propre sont donc les mêmes.

5. Représentations ^normales du groupe des retournements de l’espace, ^du temps ^{et de l’Uni-}

vers (4).

Il résulte de la forme des matrices de Dirac normales qu’en représentation normale, ^la

matrice de transformation spinorielle ^est quasi- gonale pour chacun des trois retournements fonda- mentaux. D’où l’intérêt d’écrire, ^en représentation normale, les lois de transformation des spineurs

pour les retournements de l’éspace, ^du temps ^{et de}

l’Univers en mettant en évidence les semi-spineurs.

1) ^En représentation normale, pour ^{le retour-} nement caractéristique, la màtrice de transfor- mation spinorielle ^s’écrit

le coefficients ^À étant égal, d’après (2.1), (2.2) ^et

1

(2.3), ^à À, ^{i À ou À} À, suivant la nature du retour-

E T E T

nement caractéristique. ^Donc, en représentation normale, pour le retournement caractéristique, chaque semi-spineur ^se transforme en lui-même, ^au

coefficient + ¹ ou * 1 près, ^{les deux} semi-spineurs

étant de parités ^relatives opposées :

(op et Ç désignent ^les semi-spineurs 03C81, ^{1V2 et} 03B33 ^{T4 d’un} spineur ^{de Dirac} 03C8k).

2) ^En représentation normale, pour chacun des deux retournements fondamentaux non caracté-

ristiques, la matrice de transformation spinorielle

est quasi-antidiagonale ^{et, par} conséquent, chaque semi-spineur ^se transforme en une fonction de l’autre.

Les six représentations fondamentales.

6. Condition supplémentaire imposée ^{à la loi de} transformation ^des semi-spineurs pour les retour- nements fondamentaux non caractéristiques.

^En représentation ^normale quelconque, pour chacun des deux retournements fondamentaux ^{non carac-}

téristiques, chaque semi-spineur ^se transforme en une fonction ^de l’autre.’Pour ^{un de ces deux retour-} nements, imposons ^{à ces fonctions une} forme ^aussi simple que possible, ^en posant :

avec À

1 ou i. (On ^ne peut pas poser À

^{1. La}

2 2

valeur de À dépend ^{en effet de} la flectovariance du

2

spineur considéré, ^{si À}

1 pour certains spineurs,

2

A

i pour les autres.)

2

La loi de transformation pour le ^{dernier retour-}

(4) Groupe ^de quatre ^éléments contenant, ^{en dehors de} la transformation identique, ^{ces trois} retournements.

nement fondamental se trouve ainsi.déterminée. On

obtient, ^en effectuant successivement, ^{dans un or-}

dre quelconque, les transformations (5.2) ^et (6.1) :

À

1 ou i. Les trois coefficients À sont liés par la

3 a

relation

7. Définition des représentations fondamentales.

-

Les matrices de transformation spinorielle correspondant ^aux lois de transformation (6.1) ^et

(6.1’) sont

La matrice de transformation spinorielle ^{pour le}

.

retournement de l’espace, ^du temps ^{ou de l’Univers}

est proportionnelle ^à y4, ylY2y3 ^ou yly2y3y4. ^Celles

des trois matrices y4, iY1Y2Y3 ^et yly2y3y4 qui ^ne

sont pas égales ^à J, ^{sont donc} égales, compte ^tenu

de (2.5), ^à

au signe près. ^Les trois matrices J, K, ^L peuvent s’écrire, ^{en utilisant} la multiplication ^{de Kro-}

necker (5),

d étant les trois matrices de Pauli

Ainsi, la condition pour que les semi-spineurs obéissent, pour les. trois retournements fonda- mentaux, ^{aux lois de} transformations (5.2), (6.1)

et (6.1’) ^s’écrit (én ^fixant arbitrairement les deux

premiers signes)

.

deux quelconques ^{de ces} équations entraînant la

troisième.

Il reste à déterminer les trois matrices y’.

Comme les quatre ^matrices a°, ^a4

^{1 sont linéai-}

rement indépendantes, ^toute matrice d’ordre

quatre peut s’écrire ak X e (6), ak ^étant quatre

matrices d’ordre deux. Quelles que soient les (6) ^{a et b} étant deux matrices du second ordre

Rappelons que (a ^x b) (c ^x d)

^{ac x bd.}

(6) Avec la condition de sommatiori habituelle.

162

matrices ya, ^on peut donc les écrire

Les trois matrices y" anticommutent avec 1(4et

Compte ^{tenu de} (7.5a), (7,5c) ^et (7.6),

Pour qu’une ^{matrice e X ak soit} nulle, ^{il faut}

que les quatre matricesiak soient. nulles. Donc

d’après (7.7),

Puisque les matrices ak anticommutent avec ay et alm, ^{elles sont} proportionnelles ^{àug :}

a

ak étant des nombres ordinaires. L’équation (7.6)

o

s’écrit donc

ou

T0153 étant trois matrices quelconques.

Les trois matrices (7.13) ^{forment avec} y4 Y4 un jeu

de matrices de Dirac, ^si elles satisfont à la condi- tion (2.4) aussi pour k, m =1= 4, c’est-à-dire, ^comme d’après (7.13)

si les ta satisfont à la condition

Les équations (7.13), (7.5a) ^et (7.14) ^détermi-

nent 6 classes de représentations spinorielles.

Chaque ^{classe est} caractérisée par la valeur des

indices P. ^{et v.} D’après (7.5), ^les matrices S, ^{S et S}

1 T ^u sont identiques pour, toutes ^les représentation

d’’une même classe. C’est pourquoi ^{nous ne gar-}

derons qu’une représentation par clause. ^On extrait une représentation ^de chaque classe, ^en

choisissant un jeu ^{de matrices Ta déterminé.}

Adoptons pour matrices ^T" les matrices les plus simples satisfaisant à la condition (7.14), ^c’est-à-

dire les matrices de Pauli.

Les matrices de Dirac( 7,13) ^et (7.5a), s’écrivent

alors :

Ou, explicitement,

Nous appellerons ^« fondamentales » les six repré-

sentations spinorielles correspondantes. ^Le ltype

d’une représentation fondamentale dépend ^{de la}

nature de l’indice égal ^{à 1 :}

si IL = 1, ^la représentation ^{est une} T-repré- sentation,

si v = 1, ^la représentation ^{est une} E-repré- sentation,

si ^w = 1 (w) = U, v) ^la représentation ^{est une} U-représentation.

Il y ^a donc deux représentations fondamentales de chaque type.

Remarque.

^{Les deux} représentations ^clas- siques [1’] ^et [2] ^{sont les} représentations ^fonda- mentales (1. = 3, v = 1 et (1. = 3, v = 2.

8. Relation entre les six jeux ^{de matrices de}

Dirac fondamentales.

yk ^étant un jeu de matrices de Dirac quelconque, considérons les ,16 ^matrices

linéairement indépendantes

De cet ensemble, ^on peut évidemment extraire des jeux ^de matrices de Dirac autres que yk. ^Six

d’entre eux seulement sont symétriques par rapport

aux indices d’espace:

Si yk correspond ^{à une} représentation ^fonda- iiient,ale, ^{ces six} jeux s’écrivent :

(Le signe supérieur ^est valable, ^si yv ^sont égaux

aux indices d’une composante principale : 23, ³¹

ou 12.) A ^des signes près, ^{les six} jeux ^{de matrices}

de Dirac (8.2) correspondent ^{aux six} représentations

fondamentales.

9. Représentation fondamentale du sous-groupe des rotations tri-dimensionnelles.

Une rotation

spatiale quelconque peut ^être réalisée par ^une suite de rotations dans des plans orthogonaux. ^On peut

considérer ces plans ^comme plans ^{de coordon-}

nées x" zfi. D’après (4.1}, la matrice de transfor- mation spinorielle pour ^une rotation dans le

plan ^{exg ne} dépend des matrices de Dirac que par l’intermédiaire des produits f yg. ^En représen-

tation fondamentale,

et les produits yayB ^sont indépendants de la valeur des indices y ^{et v. Les six} représentations ^fonda-

mentales du sous-groupe des rotations spatiales

sont donc identiques.

Les représentations fondamentales sont des

représentations ^normales particulières.., Comme telles, ^{elles sont} réduites pour le sous-groupe des rotations spatiales : pour les transformations de ce

sous-groupe les semi-spineurs p et 03C8 ^{se trans-}

forment séparément, fournissant ainsi deux repré-

sentations d’ordre deux du sous-groupe des ^rota- tions spatiales. Montrons que ces deux représen-,

tations sont identiques.

En représentation fondamentale, pour la rotation de l’angle ^{0 de x" vers} xg, ^{la matrice} de transfor- mation spinorielle s’écrit, d’après (4.1) ^et (9.1),

ûu, oc, 03B2, y ^{formant une} permutation paire,

Or, s’et s" désignant des matrices d’ordre-deux

1

quelconques,

En représentation fondamentale, ^{la matrice de}

transformation spinorielle ^{est donc bien de la forme}

pour ^toute rotation spatiale.

Les trois matrices

sont unitaires. La représentation semi-spinorielle (s)

du groupe des rotations spatiales ^est donc unitaire

+ + +

et les formes hermitiennes _{Ip p,} Ç Ç ^et Q., 03C8 ^sont

des invariants du groupe des ^rotations spatiales (’) .

+ ⁺

Pour le retournement caractéristique, cp cp et

+

se transforment en eux-mêmes, cp Ç change ^de signe.

10. U-représentations fonda men ’tales] ^du [sous-

groupe des rotations quadri-dimensionnelles.

^Une

rotation quadri-dimensionnelle quelconque peut

être réalisée, ^elle aussi, par ^une suite de rotations dans des plans orthogonaux. ^Comme précédem- ment, ^on peut considérei ces plans ^comme plans ^{de .}

coordonnées. Nous connaissons déjà l’expression ^{de ,}

la matrice de transformation spinorielle, ^en repré-

sentation fondamentale quelconque, pour ^{une rota-} tion dans ^un plan ^de coordonnées perpendiculaire ^à

l’axe du temps. ^{Il ne reste à} calculer que la matrice de transformation spinorielle ^{pour une rotation}

dans un plan ^de coordonnées passant par l’axe du temps.

En représentation fondamentale (Uv), pour ^la rotation de l’angle ⁰ (imaginaire) ^{de xY vers} x4, ^la

matrice de transformation spinorielle s’écrit, d’après (4.M),

avec

(e,v

^{+ 1 si} yv m forment une permutation paire,

c’est-à-dire si _yv sont égaux ^aux indices d’une

composante principale). Ainsi, S(O) ^en représen-

Y4

tation fondamentale (uv) ^est égale ^à S(-- 6) ^en

Y4

représentation fondamentale (vu)..Si l’une ^{des deux} représentations fondamentales (uv) ^et (vy) est. ^une

(7) Les matrices (7.15) sont hermitiennes. Rappelons que, d’une manière générale, si les matrices yk ^{sont hermitien-}

nes, les matrices S, S, S ^{et S sont unitaires.}

(3) ^{E T Il}

164

E-représentation, ^{l’autre est une} T-représentation ;

mais si l’une est une U-représentation, ^{l’autre est} également ^une U-représentation.

Si la représentation fondamentale est de type ( U),

m

1 et l’équation (10.2) ^s’écrit

Cette équation ^est- l’équation (9.3) ^donnant l’expression des matrices 8 en représentation ^fonda-

«a

mentale quelconque, peuvent ^{être réunies en une} équation unique :

Les matrices s(o) ^sont unitaires, ^{0 étant} réel ; ^les

aB

matrices s(6) ^sont hermitiennes, ^{6 étant} imaginaire.

Y4

Tous les s satisfont donc à la relation

et l’équation (10.5) peut ^{s’écrire sans} utiliser -1 :

Or, s’ ^{et s"} désignant ^{des matrices d’ordre deux} quelconques,

En U-représentation fondamentale, ^{la matrice}

+

de transformation spinorielle ^{est donc de la forme}

pour ^toute rotation quadri-dimensionnelle ^{et la}

+

forme hermitienne _cp est ^un invariant du groupe de Lorentz orthochrone propre. ^{Pour le retour-}

+

nement de l’Univers, cp 03C8 change ^de signe..

11. Représentations1fondamentales ^{du groupe}

des retournements de l’espace, ^du temps ^{et de}

l’Univers et choix de représentations ^fondamen-

tales particulières.

^{Les lois de} transformation des spineurs pour les trois retournements fonda-

mentaux ; équations (5.2), (6.1) ^et (6.1’)

^con-

tiennent des paramètres (A). ^{La valeur de ces} para-

ex

mètres (1 ^ou i) dépend à la fois de la nature de la

représentation fondamentale (c’est-à-dire ^{de la}

valeur des indices U ^et v) ^{et de la} flectovariance ^du

spineur (c’est-à-dire ^{de la valeur} des coefficients À

et X). ^E

T

Il résulte de la relation (6.2) que le nombre .des

paramètres ^À égaux ^{à 1 est} impair. Quatre ^cas

et

seulement peuvent ^{donc se} présenter :

Les lois de transformation correspondantes ^{sont :}

.

Chacun _de,s quatre systèmes (A), (B), (C), (D)

résume six ensembles de lois de transformation, puisque ^{la nature du} retournement fondamental pour lequel ^est valable chacune des trois lois de transformation n’est pas spécifiée.

Il nous reste à déterminer dans quels cas.les lois de transformation sont de la forme (A), (B), (C),

ou (D).

D’après (2.1), (2.2), (2.3) ^et (7.5), ^{on a en} repré-

sentation fondamentale :

(8) (C) correspond ^à (c) ^et (D) ^à (d) ^{si E =1. Si s} = - 1

/ est l’inverse.

Explicitons ^{les matrices} S, S, S pour chaque

E T U

type spinoriel :

Deux cas sont donc à distinguer.

1

I. SPINEURS 03C8 (9).

i

L’ensemble des trois matrices S, S, S ^se compose

11 T U

des matrices

Les lois de transformation sont donc de la

forme (D).

Désignons par lI l’un des trois indices (1., v, ^co avec la convention suivante :

1

1) ^il

^1.

L’ensemble des trois matrices S, S, S ^se compose

E T U

,

des’ matrice

Les lois de transformation ^sont donc de la forme (C).

2) ⁿ

^2.

L’ensemble des trois matrices S, S, S ^se compose

E T U

des matrices

Les lois de transformation sont donc de la forme (B).

1

(9) Sur le rôle particulier ^des spineurs ’Y, ^cf. (4).

4

.

3) ^TI

^3.

L’ensemble des trois matrices S, S, ^{S se} compose

E T U

des matrices

Les lois de transformation sont donc de la forme (A ).

A chaque ^{valeur de l’un des trois} indices, 03C5, v

ou 6) correspondent deux valeurs du couple (uv),

c’est-à-dire deux représentations fondamentales.

A chaque ^{valéur de lI} correspondent ^{donc six cas.}

Réunissons l’ensemble des résultats précédents

en indiquant explicitement ^{le domaine de validité}

des lois- de transformation (A), (B), (C) ^ou (D).

On a évidemment intérêt à utiliser une repré-

sentation où sont valables les lois de transfor- mation (A). D’après ^ce qui précède, ceci n’est pas

1

possible pour les spineurs 03C8, ainsi que pour les

1

spineur’s ’Y ^en y-représentation, pour les spi-

4 ¹ 1

neurs T en E-représentation ^et pour les spineurs ^03C8

i 1

en U-représentation. ^Par contre, ^{les lois de trans-}

formation sont bien de la forme (A) pour les spi-

1

neurs T en E-représentation ^{et en} U-représentation,

i

i

pour les spineurs ^{V en} U-représentatiôn ^{et en} T-représentation ^et pourles spineu rs T en Trepré-

1

sentation et en E-représentation, ^à condition que

ces représentations ^soient convenablement choisies.

Les représentations ^{de même} type, ^conduisant

aux lois de transformation (A) ^{dans le cas de} spineursde Sectovariances différentes, sont toujours distinctes. ^{On a} donc intérêt à utiliser toutes les

représentations fondamentales et non seulement

une de chaque type.

Manuscrit _reçu le 14 janvier ^1958.

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