Structures conformes asymptotiquement plates

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Preprint submitted on 14 Oct 2008

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Structures conformes asymptotiquement plates

Guillaume Vassal

To cite this version:

Guillaume Vassal. Structures conformes asymptotiquement plates. 2008. �hal-00330020�

GuillaumeVassal

14otobre 2008

Résumé

Dans la première partie de et artile, nous présentonsla théorie des strutures de

Weyl et des spineurs à poids sur une variété onforme. Dans la seonde partie, nous

introduisonslanotiondestruturedeWeylasymptotiquementplate,lamasseassoiéeet

nousdémontronslethéorèmedelamassepositivedansleadredelagéométriespinorielle

onforme.

MSC2000:53A30,53C27,46E35.

motslés:StruturedeWeyl,spineuràpoids,variétéasymptotiquementplate,théorème

delamassepositive.

Table des matières

1 Poids onformes et spineurs 2

1.1 Strutures de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Spineurs onformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Formulede Lihnerowiz onforme I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Formulede Lihnerowiz onforme II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Strutures onformes asymptotiquement plates 19 2.1 Variétés asymptotiquement plates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Strutures de Weyl asymptotiquement plates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3 Sous-lasses asymptotiquement plates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4 Théorème de lamasseonforme positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Introdution

Unevariétériemannienne

M

^estasymptotiquement plates'ilexisteunompat

K

^telque

les omposantes onnexes de

M \ K

^sont diéomorphes à l'espae

R ⁿ

privé d'une boule, et si dans es ouverts, la métrique est asymptotique à la métrique plate de

R ⁿ

. Sous ertaines onditions, un invariant géométrique alulé à l'inni leur est assoiée : 'estla masse de la

variété asymptotiquement plate. Dans unadre spinoriel, E. Witten [14℄ démontre que ette

masseestpositivesilaourburesalairedelavariétéestpositiveetqueesvariétéspossèdent

uneertaine rigidité puisquela masseest nulle sietseulement si lavariété estisométrique à

l'espaeeulidien.RenduerigoureuseparT.ParkeretC.H.Taubes[11 ℄,laméthodereposesur

laformuledeLihnerowiz.Une foisintégrée,etteformulefournituntermedebordqui,sous

les bonnes hypothèses, onverge vers la massede la variétériemannienne asymptotiquement

asd'égalité.

P.T.Chru±ieletM.Herzlih[2 ℄ontdéniunemassepourdesvariétésasymptotiquement

hyperboliquesetontdémontréunthéorèmedemassepositivedanseadre.Dans[3℄,Xianzhe

Daigénéraliselethéorèmede massepositiveau asoù lavariétéestasymptotiqueauproduit

R ⁿ × X

^{, où}

X

^{est une variété ompate simplement onnexe de Calabi-Yau ou une variété}

hyper-Kählerienne.Réemment,V.Minerbe[9℄,ens'appuyantsurlaméthodedeE.Witten,a

établilethéorèmedemassepositivepourdesvariétésomplètesnonompatesasymptotiques

à une bration en erles surune base eulidienne,dont les bres sontasymptotiquement de

longueur onstante.

Dans et artile, nous allons nous intéresser au as d'une variété

M

^{munie d'une lasse}

onforme

c

^{.Nousallonsalors}généraliserlanotiondeplatitudeasymptotiqueauxstruturesde Weylsur

(M, c)

^{.Nousdironsque}

(M, c, D)

^{estunestruturedeWeyl}asymptotiquementplate lorsque

D

^{est une onnexion de Weyl sur}

(M, c)

^{et s'il existe une métrique}

g

^{dans la lasse}

onforme

c

^{telles que la variété} riemannienne

(M, g)

^est asymptotiquement plate et que la

1

^{-formedeLee de}

D

^{relative à}

g

^{possède unbon} omportement asymptotiqueàl'inni.Nous dénirons alors une notion de masse assoiée à ette struture généralisant la masse d'une

variété asymptotiquement plate. Nous verrons que ette masse est invariante pour ertaines

sous-lasses de métriques de la lasse onforme et nous étudierons la façon dont elle évolue

par passage d'une lasseà l'autre.

Dansleadredelathéoriedesspineursàpoids,P.Gauduhon[6℄etA.Moroianu[10 ℄ont

établilaformuledeLihnerowizonformepourlesstruturesdeWeylsurlesbrésdespineurs

à poids. La masse des strutures de Weyl asymptotiquement plates apparaît naturellement

dans l'intégrale du terme de bord de ette formule. Ce alul nous permet de montrer sa

positivitédansleasoù laourbure salaire de laonnexionde Weyl estpositive.

Nousommeneronspar desrappels degéométrie onforme surlesstruturesde Weyl,et

les spineurs à poids. Nous démontrerons la formule de Lihnerowiz onforme et donnerons

l'expression de son terme de bord. Après de brefs rappels dans le adre riemannien, nous

dénirons ensuite ave préision la notion de struture onforme asymptotiquement plate et

de la masse assoiée en donnant ses propriétés d'invariane. Enn, nous établirons sur le

modèlede la démonstration de E. Witten un théorème de massepositive pour les strutures

de Weylasymptotiquement platessur desvariétés spinorielles.

Ce texte onstitue une partie de ma thèse dirigée par Paul Gauduhon et de Andrei

Moroianu.Je lesremerie vivement pour leurs idéesetpour toutletempsqu'ilsm'aordent.

1 Poids onformes et spineurs

Sauf mention ontraire, les variétés, lesmétriques et lessetions des diérentsbrés on-

sidérés seront

C ^∞

^.

1.1 Strutures de Weyl

Soit

M

^{unevariétéorientéededimension}

n

^{,munied'unestrutureonformedéniepositive}

c

^{.Rappelonsquelquesfaitsdegéométrieonformeandepouvoirdénirlanotiondestruture}

de Weyl,introduite parHermann Weyldans[13 ℄.Nousnoterons

T M

^et

T ^∗ M

respetivement lesbréstangentetotangentde

M

^,

Gl(M )

⁽

Gl ⁺ (M )

^{)lebrédesrepères(orientés)de}

T M

^et

CO(M)

^{lesous-bréde}

Gl(M )

^desrepères

c

-orthonormés.Lebré

CO(M )

^{quenousappelons}

brédesrepèresonformesestunbréprinipalsur

M

^{dontlegroupestruturalestlegroupe}

onforme

CO(n) = O(n) × R ^>0

,où

R ^>0

est l'ensemble des réels positifs non nuls. Sur toute variété diérentiable

M

^{de dimension}

n

^{, nouspouvons dénir une famille}

L ^(k)

^,pour

k ∈ R

, debrés endroites réelles sur

M

^{par :}

L ^(k) = Gl(M ) × _{|det |}

k/n

R

Nousdironsque

L ^(k)

^{estlebrédessalairesdepoids}

k

^.Notons

L

^{lessalairesdepoids}

1

^.Pour

k ∈ N

,

L ^(k)

^{estlapuissane}tensorielle

k

^-ièmede

L

^{.Cesbréssont}naturellement orientables, dontriviaux. Deplus, lorsque lavariétéestmunied'unestrutureonforme, nousavonsune

rédutionaubré des repèreonformes:

L ^(k) = CO(M ) × _{|det |}

k/n

R

Si

ν

^estunereprésentation dugroupe

CO(n)

^{surun espaevetoriel}

V

^{,larestrition de}

ν

ausous-groupedesréels stritement positifs

R ^>0

estde laforme:

ν (a) = a ^k Id

pour

a ∈ R ^>0

et où

Id

^{est l'identité de}

V

^{. Nous dirons que le réel}

k

^{est le poids onforme}

de la représentation

ν

^{. Soit}

Gl(n)

⁽

Gl ⁺ (n)

^{) le groupe des} isomorphismes (orientés) de

R ⁿ

. Lesbrés vetoriels sur

(M, c)

^{assoiés à}

Gl(M)

^{etobtenus par une} représentation de

Gl(n)

possèdent unpoids onforme naturel qui estlepoids dela restritionde ette représentation

au sous-groupe onforme

CO(n)

^{. Ave ette onvention, les brés tangent, otangent et des}

p

^{-formes sur}

M

^sont respetivement de poids naturels

+1

^,

−1

^et

−p

^{. Le réel}

k

^{du bré}

L ^(k)

estlepoids del'ation de

R ^>0

.Ilest failedevoirquele poidsnaturel d'unproduittensoriel est la somme des poids des fateurs onstituant e produit. Par exemple, le poids onforme

naturelde

T ^∗ M ⊗ T ^∗ M

^est

−2

^.

Le omplémentaire de la setion nulle du bré

L ^(k)

^{possède deux omposantes onnexes}

quisont données par :

L ^(k) ₊ = CO(M ) × _{|det |}

k/n

R ^>0

et

L ^(k) ₋ = CO(M ) × _{| det |}

k/n

R ^<0

Nousutiliserons aussilebré omplexié

L ^(k) _C

^{du bré dessalaires àpoids}

L ^(k)

^.

Dénition 1.1.1. Unestruture de Weyl sur une variétéonforme

(M, c)

^{est une onnexion}

linéaire sanstorsion sur

T M

^{induite par une onnexion}

CO(n)

-équivariante sur

CO(M )

^.

Lethéorème fondamentalde lagéométrie onformede H.Weyl[7℄ estlesuivant (f.aussi

[13 ℄et[4 ℄):

Théorème 1.1.2. L'appliation qui, à toute onnexion linéaire

D

^sur

T M

^{assoie la on-}

nexion induite

∇ ^D

^sur

L

^{détermine, par} restrition, un isomorphisme ane de l'espae des strutures deWeyl sur

T M

^{sur l'espae des onnetions linéaires sur}

L

^.

Soient

D

^{unestruturede Weyl sur}

T M

^et

∇ ^D

^{saonnexionlinéaire assoiéesur}

L

^.Nous

avonslaformulede Koszul généraliséesuivante:

2c(D _X Y, Z) = ∇ ^D _X c(Y, Z)

+ ∇ ^D _Y c(Z, X)

− ∇ ^D _Z c(Y, X ) +c(Z, [X, Y ]) − c(Y, [X, Z ]) − c(X, [Y, Z])

Cetteformule démontrel'existene etl'uniitéde

D

^{étant donné}

∇ ^D

^.

Soit

D ^′

^{uneautrestruturedeWeyl sur}

M

^,ave

∇ ^D

^{′ saonnexionlinéairesur}

L

^assoiée.

La diérene

∇ ^D − ∇ ^D

^{′ est une}

1

^-forme

θ

^sur

T M

^. L'isomorphisme entre les strutures de Weyl etlesonnexions linéairessur

L

^{nousdonne larelation suivante:}

D _X Y = D _X ^′ Y + θ(X)Y + (θ ∧ X)(Y )

⁽¹⁾

L'endomorphisme antisymétrique

θ ∧ X

^de

T M

^{estdéni par :}

(θ ∧ X)(Y ) = θ(X)Y − g(X, Y )θ ^♯

où

g

^{est une métrique quelonque dans la lasse onforme, et où}

θ ^♯

^{est le dual riemannien}

de

θ

relativement à

g

^.En partiulier, nous pouvonsassoier à une métrique riemannienne

g

danslalasse onforme sa

1

^{-formede Lee, notée}

θ _g

^{,dénie par}

θ _g = ∇ ^D − ∇ ^g

^,où

∇ ^g

^estla

onnexionlinéairesur

L

^{induiteparlaonnexionde}Levi-Civitade

g

^{.Notonsquelaonnexion}

deLevi-Civitad'une métrique

g

^dans

c

^,notée

D ^g

^{,est une struturede Weyl sur}

T M

^.

Dénition1.1.3. UnestruturedeWeyl

D

^estfermée(respetivementexate)sisaonnexion linéaireassoiée

∇ ^D

^surlebré

L

^estplate(respetivementsi

L

^{admetunesetionglobale}

∇ ^D

^-

parallèle).Demanière équivalente,unestruture deWeyl

D

^estfermée(respetivementexate) si

D

^{est loalement} (respetivement globalement) la onnexion de Levi-Civita d'unemétrique dans la lasseonforme.

Rappelons que la lasse onforme

c

^{est une setion du bré}

S ² (T ^∗ M ) ⊗ L ⁽²⁾

^{telle que,}

pourtouthampdeveteurs

X

^,

c(X, X)

^{estune setionde}

L ⁽²⁾ ₊

^{.La famille}

{e _i } _i=1...n

^estune

base

c

-orthonorméede

T M

^{s'ilexiste unesetionpositive}

l

^de

L

^telleque

c(e _i , e _j ) = δ _ij l ²

^.En

partiulier, labaseduale

{e ^∗ _i }

^de

{e _i }

^{estdonnée par :}

e ^∗ _i (X) = c(e _i , X)l ⁻²

Nouspouvonsétendre les isomorphismes musiaux dansleadre onforme :nous dénissons

d'une part

♭

^:

T M → T ^∗ M ⊗ L ⁽²⁾

^{par :}

X ^♭ = c(X, ·)

pour toutveteur

X

^de

T M

^{.D'autrepart,}

♯

^:

T ^∗ M → T M ⊗ L ⁽⁻²⁾

^{déni par :}

α = c(α ^♯ , ·)

pour toute

1

^-forme

α

^sur

M

^{.Par onséquent, nousavons} l'identiation suivante:

T ^∗ M ⊗ T ^∗ M ∼ = T ^∗ M ⊗ T M ⊗ L ⁽⁻²⁾

Parontrationdesformesetdesveteurs,nousobtenonsalorsuneappliationde

T ^∗ M ⊗T ^∗ M

dans

L ⁽⁻²⁾

^{:'estlatrae onforme desformes}bilinéaires symétriques.

Pour tous

X

^,

Y

^et

Z

^{veteurs de}

T M

^{, nous dénissons le tenseur de ourbure de la}

struturede Weyl

D

^{,quenousnotons}

R ^D

^{,par :}

R ^D _X,Y Z = [D _X , D _Y ]Z − D _{[X,Y ]} Z

Nouspouvonsvoir

R ^D

^{ommeunesetiondubré}

T ^∗ M ^⊗

³

⊗ T M

^{.Nousdénissonsalors}

Ric ^D

letenseur deRii de lastruture de Weyl

D

^{par :}

Ric ^D (X, Y ) = trace(Z 7→ R ^D _Z,X Y )

pour

X

^et

Y

^{veteurs de}

T M

^{. Le tenseur de Rii est une setion du bré}

T ^∗ M ⊗ T ^∗ M

^.

Enappliquant latraeonforme surletenseur de Rii,nous obtenonsune setion de

L ⁽⁻²⁾

^.

Cettesetion, quenousnotons

Scal ^D

^{,estlaourbure salaire de lastruture deWeyl.}

Nous avons une orrespondane entre les métriques riemanniennes dans

c

^{et les setions}

du bré

L ² ₊

^{:une métrique} riemannienne

g

^{etla setion}

l ²

^{du bré}

L ⁽²⁾ ₊

orrespondantesont reliéespar :

c = g ⊗ l ²

Lehoixd'unemétriquedanslalasseonformedétermine,àunélémentdugroupeorthogonal

O(n)

^{près, unrepèreorthonorméauvoisinagede haque point de}

M

^{.Cependant, unesetion}

l ^k

^{du bré}

L ^(k)

^{est une lasse} d'équivalene sous l'ation de

Gl(n)

^{de la forme}

[s, v]

^{, où}

s

estun repèreloal de

T M

^et

v

^{une fontion sur}

M

^{.Par onséquent,lorsqu'une métriqueest}

xée dans la lasse onforme, les setions des brés

L ^(k)

s'identient à des fontions sur la variété. Soit

g

^{unemétriquedanslasse onforme;lastruturede Weyl}

D

^{etlaonnexion de}

Levi-Civita

D ^g

^{sont liées viala}

1

^{-forme deLee}

θ _g

^{par laformule suivante:}

D _X Y = D ^g _X Y + θ _g (X)Y + (θ _g ∧ X)(Y )

⁽²⁾

Ainsi,laourbure salairede

D

^{s'identie, viala}trivialisation de

L

^par

g

^{,à une fontionsur}

M

^{par laformulesuivante [7℄:}

Scal ^D = Scal ^g − 2(n − 1)tr g (D ^g θ g ) − (n − 1)(n − 2)|θ g | ² _g

⁽³⁾

où

Scal ^g

^{est la ourbure salaire de la onnexionde} Levi-Civita

D ^g

^et

tr _g

^{la trae relative à}

lamétrique

g

^{.Pour plus}d'information onernant lesstrutures deWeyl,leleteur intéressé pourraonsulter [7℄.

1.2 Spineurs onformes

Soit

M

^{une variété} spinorielle de dimension

n

^{[5℄. L'algèbre de Cliord réelle}

Cl _n

^asso-

iéeà l'espae

( R ⁿ , k k)

^{eulidien est l'unique algèbre réelle, à} isomorphismeprès, vériant la propriété universelle suivante : pour toute

R

-algèbre assoiative unitaire

A

^{, une appliation}

linéaire

v

^de

R ⁿ

dans

A

^{telle que}

v(x) ² = −kxk ² 1 _A

^{, pour tout}

x

^de

R ⁿ

, s'étend de façon unique enun morphismed'algèbres de

Cl n

^dans

A

^.Soient

Spin(n) ⊂ Cl n

^{legroupe spinoriel}

et

λ

^:

Spin(n) → SO(n)

^{le revêtement à deux feuillets du groupe spéial orthogonal}

SO(n)

^.

Soit

µ

^:

Spin(n) → Aut(∆ _n )

^lareprésentation spinorielle de

Spin(n)

^{surl'espae desspineurs}

∆ _n

^.Lareprésentation spinorielleestlarestritiondelareprésentationde l'algèbredeCliord

Cl _n

^{sur l'espae}

∆ _n

^{. Cette} représentation induit une ation de

Cl _n

^sur

∆ _n

^{(ette ation est}

aussi appelé multipliation de Cliord). En partiulier, nous avons une inlusion anonique

de

R ⁿ

dans

Cl _n

^{,don une ation de}

R ⁿ

sur

∆ _n

^{.Nous notons}

x · ξ

^{etation de Cliord, où}

x ∈ Cl _n

^et

ξ ∈ ∆ _n

^{. Rappelons qu'il existe un} isomorphisme d'espae vetoriel entre

Cl _n

^et

l'algèbre extérieure

Λ ^∗ R ⁿ

de

R ⁿ

donné par :

Λ ^∗ R ⁿ → Cl _n e i

1

∧ . . . ∧ e i

_k

7→ e i

1

· · · e i

_k

où

(e ₁ , . . . , e _n )

^estunebasede

R ⁿ

.Notonsque

v∧

^et

vy

^sontrespetivementleproduitextérieur etintérieur par

v

^sur

M

^{.Nousavonspour l'ation de Cliord}l'identiation suivante:

x · (ω · ξ) = (x ∧ ω) · ξ − xyω · ξ

où

x ∈ R ⁿ

,

ω ∈ Λ ^∗ R ⁿ

et

ξ ∈ ∆ _n

^.La multipliation de Cliordestun morphismede

Spin(n)

^-

représentations,

i.e.

^:

µ(γ)(x · ξ) = (λ(γ)x) · (µ(γ)ξ)

pour

γ ∈ Spin(n)

^,

x ∈ R ⁿ

et

ξ ∈ ∆ _n

^.Soit

g

^unemétriqueriemanniennesur

M

^{.Une struture}

spin

^sur

(M, g)

^{étant hoisie, notons}

Spin g (M)

^le

Spin(n)

^{-bré prinipal au-dessus du bré}

des repères

g

-orthonormés direts

SO _g (M)

^{. Le bré des spineurs relatif à la métrique}

g

^est

dénipar :

Σ ^g = Spin g (M) × µ ∆ n

Pour plus de détails onernant la géométrie spinorielle dans le adre riemannien, le leteur

pourraonsulter [5℄.

Nousdénissons legroupespinorielonforme

CSpin(n)

^{ommeleproduit}

Spin(n) × R ^>0

. Pour tout

e γ ∈ CSpin(n)

^{,nousérirons:}

e γ = aγ

où

a ∈ R ₊

et

γ ∈ Spin(n)

^{sontuniquement}déterminés.Soit

CO ⁺ (n)

^{;nousavonslemorphisme}

degroupes

e λ

^:

CSpin(n) → CO ⁺ (n)

^{déniommeleproduitde}

λ

^{etdel'identitéde}

R ^>0

etoù

CO ⁺ (n) = SO(n) × R ^>0

.Soit

k ∈ R

.La représentation spinorielleonforme de poids

k

^,notée

µ ^(k)

^,estlareprésentation linéaire de

CSpin(n)

^{surl'espae desspineurs}

∆ _n

^{dénie par:}

µ ^(k) ( e γ ) = a ^k µ(γ )

pour tout

e γ

^dans

CSpin(n)

^{. Dela même façon que la} représentation spinorielle, nous avons unerelationdeompatibilitéentrelamultipliation deCliordetlareprésentation spinorielle

onforme depoids

k

^.Pour

e γ ∈ CSpin(n)

^,

x ∈ R ⁿ

et

ξ ∈ ∆ _n

^,nousavons:

µ ^(k) ( e γ)(x · ξ) =

e λ( e γ)x

·

µ ^(k) ( e γ)ξ

Lebrévetorieldes spineursde poids onforme

k

^{est dénipar :}

Σ ^(k) = CSpin(M ) × _µ

(k)

∆ _n

Nousavons l'identiation suivante:

Σ ^(k) ∼ = Σ ⁽⁰⁾ ⊗ L ^(k)

L'ationde Cliordde

T M

^{surl'espaedes spineursà poids est}l'appliation

T M ⊗ Σ ^(k) → Σ ^(k+1) X ⊗ ψ 7→ X · ψ

déniepar :

X · ψ = [ e s, x · ξ]

où

ψ

^et

X

^sont respetivement représentés par

[ e s, ξ]

^et

[s, x]

^,ave

s e

^{un repère de}

CSpin(M )

^,

s = e λ( e s)

^et

x ∈ R ⁿ

.

Proposition 1.2.1. Pour tout

g ∈ c

^{, et tout}

k ∈ R

, il existe un isomorphisme anonique de

Σ ^g

^dans

Σ ^(k)

^.

Démonstration. Unemétrique

g

^{danslalasseonformedénitunerédutiondubré}

CSpin(M )

à

Spin _g (M )

^{.Dans e as,nousavons:}

CSpin(M ) × _µ

(k)

∆ n = Spin g (M ) × µ ∆ n

puisque

µ

^{est lerestritionde la}représentation

µ ^(k)

^augroupe

Spin(n)

^.

Soient

g ∈ c

^et

e g = f ⁻² g

^{, ave}

f

^{une fontion réelle non nulle sur}

M

^{. La} proposition préédentenousdonne une famille d'isomorphismes

Φ ^(k) : Σ ^g M → Σ ^{e g} M [ e s, v] 7→ [ e sf, f ^−k v]

pour tout

k ∈ R

. Soit

h , i

^{le produit salaire hermitien sur}

∆ _n

^{ompatible ave l'ation de}

Cliord. Notons

( , ) _g

^{le produit salaire hermitien}

Spin(n)

^{-invariant sur}

Σ ^g

^{induit par}

h , i

^.

Lesisomorphismes

Φ ^(k)

^{ne sont pasdesisométries:}

|Φ ^(k) ψ| _{e g} = f ^−2k |ψ| _g

Nousdénissonsune appliation bilinéaire

h

^{par :}

h : Σ ^(k

¹

⁾ ⊗ Σ ^(k

²

⁾ → L ^(k _C

¹

^+k

²

⁾ ψ ⊗ ϕ 7→ [s, hu, vi]

où

ψ

^et

ϕ

^sont représentés respetivement par

[ e s, ξ]

^et

[ e s, ζ]

^{et où}

s

^{est le projeté de}

e s

^sur

CO(M)

^.

Proposition1.2.2.L'appliationbilinéaire

h

^{estbiendénieetpourtous}

X ∈ T M

^,

ψ ∈ Σ ^(k

¹

⁾

et

ϕ ∈ Σ ^(k

²

⁾

^{, nous avons:}

h(X · ψ, ϕ) = −h(ψ, X · ϕ) ∈ L ^(k _C

¹

^+k

²

⁻¹⁾

Démonstration. En hangeant lerepère

e s

^par

e s · e γ ⁻¹

^,où

γ e ∈ CSpin(n)

^{,nousobtenons}

hµ ^(k

¹

⁾ ( e γ)ξ, µ ^(k

²

⁾ ( γ e )ζ i = ha ^k

¹

µ(γ )ξ, a ^k

²

µ(γ)ζ i

= a ^k

¹

^+k

²

hµ(γ)ξ, µ(γ)ζi

= a ^k

¹

^+k

²

hξ, ζi

= (det γ e ) ^(k

¹

^+k

²

^)/n hξ, ζi

Ce alul montre que

[s, hξ ₁ , ξ ₂ i]

^{est une setion de}

L ^(k _C

¹

^+k

²

⁾

^{et don que}

h

^{est bien dénie.}

Pour

ξ

^,

ζ ∈ ∆ _n

^et

x ∈ R ⁿ

,leproduit salaire hermitiensur

∆ _n

^{vérie :}

hx · ξ, ζ i = −hξ, x · ζ i

Par dénitionde lamultipliationde Cliorddesspineurs àpoids,ilestlair que

h

^vériela

même relation.

Lessetionsdubré

L ⁽⁻ⁿ⁾ _C

^{sontdesdensités}d'intégrationsur

M

^.Pour

k ₁ + k ₂ = −n

^,nous

dénissons une appliation sesquilinéaire

H

^:

C ₀ ^∞ (Σ ^(k

¹

⁾ ) × C ₀ ^∞ (Σ ^(k

²

⁾ ) → C

par :

H(ψ, ϕ) = Z

M

h(ψ, ϕ)