Test à partir de spécifications axiomatiques

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Delphine Longuet

To cite this version:

Delphine Longuet. Test à partir de spécifications axiomatiques. Génie logiciel [cs.SE]. Université

d’Evry-Val d’Essonne, 2007. Français. �tel-00258792�

N d'identi ation:2007EVRY0020

UNIVERSITÉ D'ÉVRY-VAL D'ESSONNE

U.F.R.SCIENCES FONDAMENTALES ETAPPLIQUÉES

THÈSE

présentéepar

Delphine LONGUET

pourobtenirlegradede

DOCTEUREN SCIENCES

DE L'UNIVERSITÉ D'ÉVRY-VAL D'ESSONNE

Spé ialité:INFORMATIQUE

Test à partir de spé i ations axiomatiques

Soutenuele12o tobre2007devantla ommissiond'examen omposéede

M.Mar AIGUIER dire teurdethèse M.YvesBERTOT rapporteur M.Pierre-LouisCURIEN

MmePas aleLEGALL

M.VladRUSU rapporteur M.JanRUTTEN

Cestroisannéesdethèseaurontétépourmoil'o asiondedé ouvriretd'approfondirdesthématiques dere her heaussivariéesqu'enri hissantes.Jeremer iemonen adrantetdire teurdethèseMar Aiguier dem'avoirdonné etteopportunité,ainsiquede m'avoirguidée etsoutenuetoutaulongdupériple.Ses onnaissan esaussibienquesonénergiem'onttoujoursétéd'unegrandeaide.

Ensadoublequalitédedire tri ed'équipeetdemembredujury,jetiensàremer ierPas aleLeGalldu re ulpré ieuxqu'elleasuapporteràmontravail.Nos ollaborationsfru tueusesm'ontbeau oupapporté. Des autresmembresdemon jury,jetienstoutd'abordàremer ierleprésident,Pierre-LouisCurien, de m'avoirfait ethonneur.Je remer iemes rapporteursVlad Rusu etYves Bertot de s'êtreintéresséà mestravaux.Lesremarquesetquestionstrèspertinentesqu'ilsm'ontsoumisesouvrentdesperspe tivesde re her hequ'il meplairatrès ertainementd'explorer.Jetiensennàremer iertout parti ulièrementJan Ruttende s'êtredépla éjusqu'à Évry pourassisterà ma soutenan e.Sagénérositéetson soutienm'ont permisd'êtreoùjesuisaujourd'hui.Jeluiensuisextrêmementre onnaissante.

Rien de tout e ine seseraitaussibien passésanslaprésen equotidiennedesautres do torantsdu laboratoireet elle,plusraremaispasmoinspré ieuse,demes amis.Pourl'ambian eetles onversations in omparables du petit bain, je remer ie en parti ulier,dans ledésordre : Assia, ma o-burale préférée, Matthieuetsarigueurmaladive(quelqu'unquime omprend...),Antoineetsamauvaisehumeurlégendaire, Françoisetsonverbeparti ulier(et esdis ussionsatypiquesquenousavonspuavoir);lespetitsnouveaux quinesontdéjàplussipetits,François,Stéphane,Thomasetmon bonvieuxPopo;lesan iens,quinese fontpastousoublier,Vin ent,Ni olas,Jean-Mar .Mesamis,pourm'avoiraidéàapaisermespeinesetma soif,et edepuisdesannées:BK,Aurèl,Antoine,RV,Bidouille,Baptiste,Ismail...Jeremer ieXavier,quia euenparti ulierlapatien edereliremathèse,maisquim'aégalementprodiguénombredepré ieux onseils etfromages.

Ilestuneprésen eàlaquellejedoistout, 'est elledemafamille.Jeremer iemesparentsdem'avoir toujourssuivieetsupportéequelsqu'aientétémes hoix.AurélienetCristelled'êtresimplementlà,et 'est déjàbeau oup.

Cesremer iementsseraientaussiin ompletsqu'uneIrlandesansGuinnesssijemanquaisderemer ier Fabri e,pouravoirpartagéave moi esquatresdernièresannées.Ilaétépourmoibeau oupplusqu'un soutienetqu'unré onfort.Jeteremer ie,Fabri e,d'avoirétélà,etmêmesilarouetourne,jesaisquenos heminsseferontpourlongtempsen ore teà te.

Introdu tion 1

PRÉLIMINAIRES-Théoriedutestàpartirdespé i ationsaxiomatiques 7

I Logiquesgénérales 11

II Logiquedupremierordre 23

III Logiquemodaledupremierordreet oalgèbres 43

IV Théoriedutestàpartirdespé i ationsaxiomatiques 69

PREMIÈREPARTIE-Testàpartirdespé i ationsdupremierordre 77 V Séle tionàpartirdespé i ations onditionnellespositives 81

VI Séle tionàpartirdespé i ationsdupremierordresansquanti ateurs 95

SECONDEPARTIE-Testàpartirdespé i ationsmodalesdupremierordre 115

VII Séle tionàpartirdespé i ationsmodales onditionnellespositives 119

VIII Séle tionàpartirdespé i ationsmodalessansquanti ateurs 135

Con lusion 167

ANNEXES 169

EPUISla risedulogi ieldelandesannéessoixante,ilest lairqu'uneappro heméthodologique estindispensableàla on eptiondesystèmesinformatiques.Ils'estavéréà etteépoquequela omplexitédeslogi ielsétaitdevenuebientropimportantepourqu'ilsoitenvisageabledelivrer un logi iel orrespondant à son ahier des hargesdans des délais et pour un oût raisonnables.Parmi lesexemples quel'on peut iter pour illustrerl'ampleur de l'impa t desdéfaillan es dues au manquede méthodologie, on trouve lasonde Mariner 1vers Vénus : lan ée le22 juillet 1962, elle aété détruiteà peine5minutesaprèssonlan ement arsatraje toireétaitdevenuein ontrlablepar aused'une erreur deprogrammation.Plusré emment,en1996,l'explosiondulan eurAriane5,quia oûtéundemimilliard dedollars,estdueàunefautelogi ielled'un omposant dontlefon tionnementn'étaitpasindispensable durantlevol[JM97℄.

Ils'estalorsavéréné essairededénirunensembledeméthodesetd'outilsdédiésàla on eption,au développementetàlamaintenan edessystèmesinformatiques.Cesméthodesetoutilsforment equ'on appellele génie logi iel.Tout au longdu pro essus de on eption, depuis laformulation informelle des besoinsjusqu'auproduitnal,plusieurstypesdeméthodesdevalidationetdevéri ationsontutiliséspour assurerlaqualitéduproduitnal.Parmi esméthodes,ontrouvenotammentleste hniquesdepreuve,de test,deprototypagerapideoudevéri ationdemodèles(model- he king).Cesontleste hniquesdetestqui nousintéresseronsplusparti ulièrementi i.

Le test estl'undes moyens lesplusutiliséspour lavalidation du logi iel.L'a tivité detest onsisteà exé uterlelogi ielsurunsous-ensembledesesentréespossiblesdemanièreàdé elerd'éventuelleserreurs. Laprésen ed'erreursestétabliepar onfrontationdu omportementdulogi ielave unobjetderéféren e. Le pro essus de test estgénéralement dé omposé en trois phases : la séle tion, lasoumission et la dé ision.Cestroisphases onsistentrespe tivementàséle tionnerlesous-ensembledesentréessurlequel lelogi ielseraexé uté,àsoumettre esentréesaulogi ielen olle tantlessorties 'est-à-direlesréponses dulogi iel,etàdé iderdel'adéquationde essortiesave lessortiesattendues.

Laséle tiondesdonnéesàsoumettreaulogi ielpeutêtreeffe tuéeselondifférentesappro hes.Elles peuventparexempleêtre hoisiesaléatoirementparmilesdonnéespossibles,oubienselon ertains ritères représentatifsdes ara téristiquesdulogi ielqu'onveuttester.Ces ritèressont hoisisàpartird'unobjet de référen equi peutêtre une spé i ationinformelle,une spé i ationformelleou un prototype.Une spé i ationformelled'unsystèmeinformatiqueestunedes riptiondesfon tionnalitéset/oudu ompor-tementattendusde esystèmeexpriméedansunlangagerigoureux, 'est-à-diremathématiquementdéni.

pouvantdonnerlieuàdifférentesinterprétations, ommelelangagenaturelparexemple.Onparleégalement despé i ationssemi-formelles,notammentausujetd'UML,quitendversuneformalisationdenotations graphiquestoutenlaissantrelativementlibreleurinterprétation.

Le langageutilisépourspé ierformellementun systèmepeutêtrededifférentesnatures,suivantles aspe tsdusystèmeàdé rire.Onpeututiliser,entreautres,unformalismelogique,unealgèbredepro essus, un langageorienté modèles ou un langagemuni d'une représentation graphique omme lessystèmes de transitionsoulesréseauxdePetri.Certainsde esformalismesdespé i ationsontplusadaptésàdé rire lesaspe tsfon tionnelsdusystème( omportementsurlesdonnées)ousesaspe tsdynamiques(a tionset ommuni ationsave l'environnement).Lesspé i ationslogiquessontgénéralementutiliséespourdé rire lesfon tionnalitésdusystème,tandisquelesalgèbresdepro essusetlessystèmesdetransitionssontutilisés pourspé ierl'aspe tdynamiquedessystèmes.

Pendantlongtemps, ettedistin tionentreformalismesorientésdonnéesetformalismesorientés dyna-miqueaététrèsnette.Cependant,sont apparuesré emmentdesextensionsde ha unde esdeuxtypes de formalismesan de prendreégalement en ompteles aspe tsde l'autre.On trouvepar exempledes extensionsdes formalismes dynamiquesaux données:FSP (pour FiniteStatePro esses) estunealgèbre de pro essusétendueauxdonnées,tandisquelesIOSTS(pourInputOutputSymboli TransitionSystems)sontune extensionauxdonnéesdesautomates ommuni ants.Inversement,lesformalismeslogiques,ditségalement axiomatiques,peuventêtreutiliséspourspé ierlesaspe tsdynamiquesdessystèmes.Leslogiques onsi-déréespour laspé i ationdesaspe tsfon tionnelsdessystèmessont engénéral desrestri tionsou des extensionsdelalogiquedupremier ordre.Ilestalors possibledeproter delavision dynamiqueofferte parleslogiquesmodalespourspé ier,defaçonplusabstraitequelesalgèbresdepro essusoulessystèmes detransitions,le omportementd'unsystème.Ainsi,lesextensionsdeslogiquesmodalesaupremierordre permettentd'allierspé i ation omportementaleetspé i ationdesdonnées.

Lorsquelaphasedeséle tiond'unjeudetestsestopéréeàpartird'unobjetderéféren edé rivantplus ou moins formellementle omportement du logi iel, sans onnaissan e de l'implantation elle-même,on parledetestboîtenoire.Différentesappro hesdetestboîtenoireontétédéveloppéespour ha undes formalismesmentionnés i-dessus.Parmi esappro hes,nousendistinguonsdeuxquiillustrentladistin tion entredonnéesetdynamiquequenousavonsmentionnéeplushaut.

An detesterlesaspe tsfon tionnelsd'unsystème,unedesthéories detest quiaétédénieapour objetdessystèmesdé ritsàl'aidedespé i ationséquationnelles,ditesaussialgébriques[Ber91,BGM91 ℄. Dans e adre,deuxhypothèsesfondamentalessontposées:lesystèmesoustestest onsidéré ommeun modèleduformalismelogiquedanslequellaspé i ationestexprimée, 'est-à-direunealgèbre;les asde testssontdeséquationsquine ontiennentpasdevariablespourpouvoirêtreévaluéesparlesystèmesous test.L'interprétationdes asdetestestalorsdénie ommelasatisfa tionde esformulesparlesystème entantquemodèle,uneformuleétantsatisfaiteparunmodèlesielleestvraiepourune ertainenotionde véritédans emodèle.Lanotion fondamentalede orre tion d'unsystèmeparrapportàsaspé i ation est alors dénie dans e adre de la façonsuivante : un système est orre t s'il satisfaitexa tement les mêmesformulessansvariablesquelaspé i ation.Lejeudetests omposédetoutes esformulesestalors dit exhaustifpuisqu'il permettraitdemontrer la orre tion du système s'ilpouvait être soumisdans son intégralité.Leproblèmerésidedanslefaitque etensembledetestsestdetrèsgrandetaille,voireinni.Il estdon né essaired'enséle tionnerun sous-ensembledetailleraisonnableàsoumettreeffe tivementau

est elleappeléedépliagedesaxiomes[Mar91,Mar95,AABLM05℄.Sonprin ipeestdediviserl'ensemble exhaustifdetestsensous-ensemblesselondes ritèresdérivésdesaxiomesdelaspé i ation.Ilrestedon unephasedegénération onsistantensuiteà hoisirdes asdetestdans ha unde essous-ensemblesan de onstruireunjeudetestsni ouvrantlejeudetestsexhaustifdedépart.

Lorsqu'il s'agit detester lesaspe tsdynamiquesdes systèmes,lathéorie de test boîte noirequia été dénieestappeléetestde onformité[LY96,Tre95℄.Dansle adredutestde onformité,laspé i ation dusystèmesoustestpeutêtreunema hineàétatsnisouunsystèmedetransitionsétiquetées.L'hypothèse detestfondamentaleestd'assimilerlesystèmesoustestàunobjetdemêmenaturequelaspé i ation.Le omportementdusystème,expriméentermesdetra ed'exé ution 'est-à-diredesuited'états,d'entréeset desorties,estalors onfrontéau omportementdé ritparlaspé i ation.Unsystèmeestdit orre tdans e adresitousses omportementssont autorisésparlaspé i ation.Parexemple,lorsquelesystèmeet laspé i ationsontdessystèmesdetransitionsétiquetées,la orre tiondusystèmepeutêtredénieparla relationio o[Tre95℄ :lesystèmeest onformeàsaspé i ationpourio ositoutetra edelaspé i ation exé utéeparlesystèmedonneunedessortiesautoriséesparlaspé i ationpour ettetra e.Laséle tiondes testsdans e adrepeutêtreeffe tuéeparunpar oursdusystèmedetransitionspermettantde onstruire pasàpasdestra esàsoumettreausystèmesoustest.Ellepeutégalementêtre onduiteparunobje tifde testsouslaformed'unsystèmedetransitionsreprésentantunensemblede omportementsàtester.Cesont lestra esdelaspé i ation orrespondantà etobje tifdetestquiserontalorssoumisesausystème.

La barrière entre formalismes de spé i ation dédiés aux données et formalismes dédiésà la dyna-miques'étantestompéegrâ eauxextensionsde esformalismesauxaspe tsdynamiquesetauxdonnées respe tivement,deste hniquesdetestontpuêtredéveloppéespour esnouveauxformalismes.

Ré emment,lesappro hesdutestde onformitéontétéétenduesandeprendreégalementen ompteà lafoisl'aspe tfon tionneldessystèmes.Lesformalismesutiliséssontalorsdesma hinesàétatsnisétendues auxdonnées ommelesEFSM(pourExtendedFiniteStateMa hines)[MS98 ℄oudessystèmesdetransitions symboliques omme lesSTS (pour Symboli Transition Systems) [FTW04 , PBG99℄ ou lesIOSTS [RdBJ00, GLRT06℄.Lesappro hesfondéessurlesextensionssymboliquesdesmodèlesdynamiquespermettentpar exemple d'utiliser une te hnique d'analyse parti ulière appelée exé ution symbolique an de dénir une stratégie de séle tion de tests. Le prin ipe est d'utiliser des symboles omme données d'entrée au lieu dedonnées on rètes etdedériverun arbred'exé utionsymboliqueandedé riretouteslesexé utions possiblesdusystèmedefaçonsymbolique.Lesobje tifsdetestsontalors hoisisparmilessous-arbresde etarbred'exé utionàl'aidede ertains ritèresselonles ara téristiquesdusystèmeàtester.

Cependant,iln'existepasà ejourdetravauxproposantdeste hniquesdetestdédiéesàdessystèmes mêlantdynamiqueetdonnéesetspé iésàl'aidedeformalismesaxiomatiques.Laspé i ationd'unsystème dansuntelformalismeétantunensembledepropriétés,elledonnedefaitunevisionplusabstraitedusystème qu'unsystèmedetransitions quiestune spé i ationexé utable.Letravailde ettethèse her healorsà étendreàdessystèmesdynamiquesle adredetestdénipourdessystèmesdé ritsàl'aidedespé i ations algébriques.L'obje tifestd'aborderletestde etypedesystèmesdemanièreplusabstraitequel'appro he dutestde onformité.Commeonl'aditplushaut,parmilesformalismesdespé i ationquipermettent delier lades riptiondes aspe tsfon tionnels etdynamiquesd'un systèmesetrouventlesextensionsdes modèlesdynamiquesauxdonnées,maiségalementdesextensionsdelalogiquedupremierordreàdesaspe ts dynamiques omme leslogiquesmodales.Le adrede testàpartirde spé i ationsalgébriquesayantété

dynamiquesdans e adreenlesdé rivantpardetellesspé i ations.Lalogiquemodaledupremierordre étanttrèsadaptéeàdé rire etypedesystèmes, 'est ettelogiquequenousavons hoisie ommeformalisme axiomatiquepourlaspé i ationde essystèmes.Lesystèmesoustestestalorsspé ié,nonpasàl'aided'un automateoud'unsystèmedetransitions,quine représententqu'unseulmodèledusystème,maisàl'aide d'unensembled'axiomesexprimésenlogiquemodaledupremierordre.Celapermetdesepla eràunniveau d'abstra tionplusélevé,unespé i ationmodaledénotantune lassedesystèmes.C'est equ'onappellede lasous-spé i ation:onnesignieriendeplusque equiesteffe tivementdit.Deplus,lessystèmesainsi spé iéssont interprétéspardesmodèlesmathématiquesappelés oalgèbres[Kur00,Rut00,Ja ℄ quisont unegénéralisationdessystèmesdetransitions.

Dansle adredetestdéniinitialementpourdesspé i ationsaxiomatiques,laméthodedeséle tion d'unjeudetestseffe tifàsoumettreausystèmepardépliagedesaxiomesaétéétudiéedefaçonapprofondie pourdesspé i ationséquationnelles onditionnellespositives[Ber91,Mar91,BGM91,Mar95,AABLM05℄. Ces spé i ationsétantpourvuesdete hniques depreuvebien onnues etef a es,l'idéefondamentale est d'utiliser es te hniques pour la séle tion de as de test. En effet, les as de test doivent être des onséquen esde la spé i ation, 'est-à-diredes formules prouvéesêtre des théorèmes dans la théorie dénieparlaspé i ation.Ilspeuventalorsêtredéduitsdesaxiomesdelaspé i ation,enutilisantle al ul orrespondantauformalismedelaspé i ation.Lapro édurededépliage onsistealorsàrafnerlejeude testsexhaustif initialenremplaçant estests pardesensemblesdeformules hoisiesdansleursarbresde preuve.Lesjeuxdetestsainsiobtenusdoiventêtreaussipuissantsquelejeudetestexhaustif:au untestne doitêtreperdu(stratégie orre te)etau untestnedoitêtreajouté(stratégie omplète).Andemontrer e résultat,unesolution onsisteàmontrerquetoutarbredepreuvepeutêtretransformédefaçonàrespe ter une ertainestru turequi rend possible la stratégiede hoix, 'est-à-direprouver lanormalisationde la transformation.

And'étendre e adredetestàdesspé i ationsexpriméesenlogiquemodaledupremierordre,notre démar heestlasuivante.Lapremièreétape onsisteàgénéraliserlaméthodedépliageauxspé i ationsdu premierordre.Unerestri tions'imposealorsquantàl'utilisationduquanti ateurexistentieldanslesaxiomes delaspé i ation.Ilesten effetpossiblede montrerquetesterune formulequantiéeexistentiellement revientàprouver etteformuledanslesystèmesoustest.Cetypedeformulesnepeutdon pasêtreutilisé dansle adredu test.Cependant,hormis etterestri tionmineure,lesrésultatsd'exhaustivitéainsique la méthodede séle tionpardépliagetrouvent unegénéralisation satisfaisanteauxspé i ationsdu premier ordresansquanti ateurs[AALL07℄.

Il s'agitensuited'adapter e adre detest àdes spé i ationsmodalesdu premier ordre.Le premier formalismede spé i ationquenousavons hoisiestune extensionmodalede lalogique onditionnelle positivepourlaquellele adredetest aétéinitialementdéni.Cetterestri tionsurlaformedesformules modalespermetd'étudierl'inuen edelaprésen edemodalitésdanslepro essusdeséle tionpardépliage desaxiomesainsiqueladualitédesrésultatsd'exhaustivitéave euxdu adreoriginal.Eneffet,les oalgèbres danslesquelleslesspé i ationsmodalesdupremierordresontinterprétéessontdes onstru tionsduales, dansunsensquenousdénirons,desmodèlesalgébriques.L'exhaustivitéétantunenotionliéeàlasémantique desspé i ationsutiliséespourdé rirelesystèmesoustest,ladualitédesmodèlesalgébriqueset oalgébriques seretrouvedanslespreuvesd'existen ed'unjeudetestsexhaustifdansles adresalgébriqueetmodal.

pou-dansle asdesspé i ationsdupremierordre,lesformulessontrestreintesauxformulessans quanti a-teurs.Lalogique modaledupremier ordre hoisieestlalogique sous-ja enteaulangagedespé i ations COCASL [MSRR06℄, tout omme la logique du premier ordre est la logique sous-ja ente au langage de spé i ationsalgébriquesCASL[ABK

+

02 ,CoFI04℄. COCASLestuneextension oalgébriquedeCASLqui permetdespé ier onjointementdestypesdedonnéesalgébriquesetdespro essusdenature oalgébrique. La logique modalede COCASLpermet d'exprimerdes propriétés surde tels pro essus, parexempledes propriétés deviva ité etde sûreté.L'extension du adre de test àdes spé i ationsmodalesdu premier ordre[LA07℄permetalorsdetesterdetellespropriétés.

Lathèsese omposedetroispartiesorganisées ommesuit:

Lespréliminaires ontiennentlesnotionsfondamentalesné essairesàlaprésentationdelathéoriedutest àpartirdespé i ationsaxiomatiques.Cettethéorieétantdénieindépendammentdetoutelogique, nousprésentonstoutd'abordle adreabstraitdeslogiquesgénéralesandexerlesnotionsetles notationsdesdifférentes omposantesd'unelogiquedontnousauronsbesoindanslaprésentationdu adregénéraldetest.Nousdénissonsensuitelesdeuxtypesdelogiquesdanslesquelsnousétudions letesttoutaulongde ettethèse,lalogiquedupremierordreetlalogiquemodaledupremierordre, quenousprésentons ommedesinstan esdelogiquesgénérales.Nousterminons ettepartieparla présentationdelathéoriedutestdansle adredeslogiquesgénérales.

Lapremièrepartie est onsa réeautestàpartirdespé i ationsdupremierordre.Nousprésentonstout d'abordunétatdel'artdelaméthodedeséle tionpardépliagedesaxiomesainsiqu'une ontribution àl'étudedes onditionssouslesquellesl'existen ed'unjeudetestsexhaustifestassurée.Cesrésultats ainsiquelapro édurededépliagesontensuitegénéralisésauxspé i ationsdu premierordresans quanti ateurs.Nousmontronségalementlaraisonde etterestri tionsurlesquanti ateurs. Lase ondepartie présentelesextensionsdelaméthodedeséle tiondelapremièrepartieauxspé i ations

modalesdu premierordre ainsique lesrésultatsd'exhaustivité,de orre tion etde omplétudede lapro édureassurantlapertinen edelaséle tion.Lapremièreextensionsesituedansle adredes spé i ationsmodales onditionnellespositives, equi permet d'adapterlapro édurede séle tion originaleensefo alisantuniquementsurlaprésen edemodalités.Lapro édureestensuitegénéralisée auxspé i ationsmodalesdupremierordresansquanti ateurs.Danslesdeux adres,desrésultats d'exhaustivitésontmontrés.Une omparaisonave l'appro hedutestdesystèmesdynamiquesparle testde onformitéestégalementproposéeàlasuitedelaprésentationdel'adaptationdu adredetest auxspé i ationsmodales onditionnellespositives.

L'annexeA estun brefré apitulatifdesnotionsdelathéoriedes atégoriesné essairesàlale turede e do ument.Sont présentéessu in tementlesnotionsde atégorie,de morphisme,defon teur,de sous- atégorie,de atégorieduale,ainsiquelavision atégoriquedenotionsdethéoriedesensembles etles on eptsdelimiteset olimites.

L'annexeB présentedesrésultatsdenormalisationd'arbresdepreuvequenousavonsétablis.Cetravaila été onduitdefaçonparallèleetn'estdon pasdire tementliéàlaproblématiquedelathèse,maisil fournitdesrésultatsutilisésdansplusieursdespreuvesde omplétudedelapro édurededépliage.

formalismes axiomatiques, appelés aussi logiques. Les logiques générales, dénies à partir des institutions,fournissentun adreuniépourladénitiondetelsformalismes.Ellespermettenten effetdedénirdefaçonabstraitelesdifférentes omposantesd'unelogiquequesontlasyntaxe,lasémantique etle al ul,ainsiquelesliensentre estroisnotions.Nousprotonsalorsde e adregénéraldedes ription deslogiquespourprésenterlesnotionsetlesrésultatsdontnousauronsbesoindanslasuiteetquipeuvent êtredénisindépendammentdelalogiquemanipulée.

Noussuivonsensuiteles hémadeprésentationdonnéparleslogiquesgénéralespourprésenterlesdeux lassesdelogiquesdanslesquellesnousétudionsletest,àsavoirlalogiquedupremier ordreetlalogique modaledupremierordre.Cesdeuxlogiquessontmuniesd'un al uldesséquentsappropriéquiserautilisé pourlaséle tiondetestsàpartirdesspé i ationsexpriméesdans eslogiques.Leslogiqueséquationnelleet onditionnellepositivesontalorsdénies ommedesrestri tionsdelalogiquedupremierordretandisque lalogiquemodale onditionnellepositiveestdénie ommeunerestri tiondelalogiquemodaledupremier ordre.La dénitiondelasémantiquedelalogiquemodaledupremierordrené essitel'introdu tionde la notionde oalgèbre ommeabstra tiondesmodèlesdynamiquestelsquelessystèmesdetransitions.Dans lesdeux adreslogiques,desrésultatsliésàl'existen ed'unmodèleparti ulier,initialdansle asalgébrique etterminaldansle asmodal,sontprésentés.

Enn,lathéoriedutestàpartirdespé i ationsaxiomatiquesestprésentéedefaçonabstraitedansle adredeslogiquesgénérales.Ce adrethéoriqueest eluidanslequeltouslestravauxprésentésdans ette thèsese situent. Nousdénissons alors lesnotions fondamentalesde orre tion d'un systèmesous test, d'exhaustivitéd'unjeudetestsainsiquelanotionde ritèredeséle tionetsespropriétésde orre tionetde omplétude.

Logiques générales

Toutformalismelogique,ditaussiformalismeaxiomatique, omportetroisaspe tsintimementliés. Lasyntaxe. Lepremierobje tifd'un formalisme estd'offrir lapossibilitéd'exprimerdespropriétés

per-mettantdedé riredessystèmes.Pourquelepro édédevalidationde espropriétéssoitvériablepar unordinateur,ilfautqueleurénon élui-mêmesoitmissousformedire tement ompréhensible parunordinateur, 'est-à-diresousformesymbolique.La olle tiondetouslesénon ésàétablirsurle systèmedé ritlaspé i ationde edernier, equ'onpeutvoir ommeun ahierdes hargesformel. Ladénition des suitesde symbolesre onnaissablespour un formalismeen ara tériselasyntaxe. L'énon édespropriétésrespe tant ettesyntaxeestusuellementappeléuneformule.

Lasémantique. L'énon é symboliquedespropriétés ne suftpas àluiseul, puisqu'il n'estqu'une suite de ara tèreset de symboles. Il est don né essaire de donner de façon rigoureuse un sens aux symbolesetauxsuitesdesymbolesdulangage, orrespondantauphénomènequel'onveutgarantir par espropriétés.Cesensestdonnéparunensembledemodèlesmathématiques:lasémantique.Ces modèlespeuventêtrevus ommedesabstra tionsmathématiquesdessystèmesdontonveutétablir la orre tion.Pourétablir ette orre tion,onmunitlasémantiqued'une relationbinaire entreles modèlesetlesformules,appeléerelationdesatisfa tion.Grâ eà etterelation,ilestalorspossiblede diresiune ertainepropriétéestounonvalidéeparunmodèle, 'est-à-diresi ettepropriétéestvraie dans emodèlepourune ertaineinterprétation.

Le al ul. Àpartirdelasémantiqueetdesarelationdesatisfa tion,la orre tiond'unsystèmeinformatique parrapportàsaspé i ationpeutêtreabordéedefaçonrigoureusemaisnonformelle.Laformalisation de ettepreuvede orre tion,etdon sa erti ationmé anique,né essiteaupréalabledetraduire symboliquementlespreuvessémantiques.Eneffet,manipulerdessuitesdesymbolesestlaseule hose quesa hefaireunordinateur.Ilfautalorsdénirdesrèglesdemanipulationsyntaxiquedesformules et omment elles peuvent onduire àobtenir une propriété.Cet ensemblede règles estappelé un systèmeformel,oubienun al ul.

etles onstru tionsautorisées.Lasémantique,quantàelle,doitêtre apablededonnerunsensàtoutesles onstru tionsdéniesparlasyntaxe.Enn,le al uln'étantqu'unemanipulationsymboliqueapriorisans au unsens,ilestindispensabledes'assurerque edernierreprésenteaussidèlementquepossiblelemonde sémantique hoisi,que lesmanipulationssymboliquessont en a ordave lasémantique.On parle alors de orre tiondu al ul.Lorsqu'elletraduittotalement emondesémantique,onparlede omplétude.Bien entendu,lapremièrepropriétéestabsolumentné essaire, arproposerun al ulsansdénirenquelsens ilest orre t,nepasfournirde sémantique,enlèvedefaittoute rédibilitéàunelogique.C'estseulement unefoisétabliela orre tiondesrèglesdu al ulparrapportàlasémantiquequel'onpeutfaire onan e à un al ul.On peut alors s'appuyer sur une ompréhension intuitive de lasémantique pour guiderles preuvesformelles.La omplétudeenrevan heestseulementsouhaitable ar,s'ilestintéressantdetraduire totalement lasémantique par des règles de al ul, ela n'est pas toujours possible (une onséquen e du théorèmed'in omplétudedeGödel).

L'introdu tion d'un nouveau formalisme logique se faittoujours par ladonnée de sa syntaxe,de sa sémantiqueetdeson al ul.Mêmesiladénitionde esdifférentsélémentsestpropreà haquelangage, de nombreux points ommuns existenttraduisant l'essen e même d'un formalisme de spé i ation. En pratique,le volet syntaxique d'une logique repose surla onstru tion indu tive de formules à partir de symbolesdefon tions,deprédi ats,de onne teurspropositionnels,dequanti ateurs,et .Onremarque égalementqu'unelogique ontientdespartiesxes( onne teurspropositionnels,quanti ateurs,dénition indu tivedes termes etdes formules,et .) etdes parties utilisateurs quel'on introduitdans lebut de résoudreunproblèmedonné.Cesdernièressont lassiquementappeléesdessignatures.Elles ara térisent les éléments de base spé iquesà un problème donné.Elles représententdon l'interfa e du problème traité.Dans le adred'un systèmeinformatique, etteinterfa e estimportante.En effet, 'estsouvent la seulepartievisibled'unsystèmepourlesutilisateurs.Deplus,unsystèmeinformatiqueestamenéàvoirson omportementévolueraulongdeson y ledevie.Cetteévolutionse ara térisesouventenpremierlieupar unemodi ationdesoninterfa e(parajoutdefon tionnalitésparexemple)puisparunemodi ationde son omportement(parexempleenajoutantdespropriétéspour ara tériserlesnouvellesfon tionnalités). Pour esraisons,lanotiondesignature,ainsiqu'unmoyende omparer essignaturesauniveausyntaxique puisauniveausémantique,doiventapparaîtredansle adred'unedes riptiongénéraledelogiquesdédiées àl'informatique.Pourmieuxappréhenderlesliensentreleslogiquesetleurappli ationàl'informatique,la théoriedesinstitutions[GB92 ℄aalorsétéintroduiteparJosephGoguenetRodBurstall,puisétendueaux preuvesformellesparJoséMeseguerdanssadénitiondeslogiquesgénérales[Mes89 ℄.

Nous allonsprésentertout d'abordlevoletsémantiquedeslogiques,autravers desinstitutions,ainsi quelanotiondespé i ation.Nousprésenteronsensuitelevolet al ulatoireenintroduisantleslogiques généralesetlesnotionsasso iéesauxsystèmesformels.

1 Institutions

1.1 Dénitionsélémentaires

Uneinstitution apturedemanièreformellele on eptdesystèmelogiqueendonnant:

grammes.Lesmorphismesdesignatures,quireprésententlesrelationsentresignatures,sont à rap-pro herdelanotiondemodi ationd'interfa e(enri hissement,sur harge...) ;

 unmoyend'asso ier,à haquesignature,unensembledeformules,quisontlesformulesbienformées sur ettesignature,auquelsontétenduslesmorphismesdesignatures.Intuitivement,lesmorphismes designaturestransportésauxformulessontdesfon tionspermettantderenommerlessymbolesde lasignatureutilisésdanslesformules;

 un moyen d'asso ier, à haque signature, une atégorie de modèles, à laquelle sont étendus les morphismes designatures.Les morphismes designature sont transportésaux modèlesdefaçonà pouvoirrestreindreunmodèleasso iéàunesignatureenunmodèled'unesignaturepluspauvre ;  un moyen d'asso ier, à haque signature, une relation entre les modèles de ette signature et les

formulessur ettesignatureappeléerelationdesatisfa tion,permettantdedirequ'unmodèlevalide ounonuneformule.

Une onditionsur es éléments imposela préservationde larelation de satisfa tion par hangementde signature, 'est-à-direqu'un hangementdesignatureselonunmorphismedesignaturesnedoitpasaffe ter lasatisfa tiondesformulesparlesmodèles.Paranalogieave leslangagesdeprogrammation, elatraduitle faitqu'unprogrammepeutfairequelque hosedeplussimpleque epourquoiilaété onçu.Parexemple, un programme permettantdemanipulerdes pileseten parti ulierd'en al ulerlahauteurest apablede fairedel'arithmétiqueélémentairesurlesentiers.

Ainsi,sansdétaillerlastru turedesformulesni elledesmodèles,uneinstitutionestdédiéeàlades ription desrapportsexistantentresyntaxeetsémantique, 'est-à-direentrelesensemblesde formulesdénis sur dessignaturesetles atégoriesdemodèlesasso iéesà elles- i.C'estenquelquesorteunelogiqueàlaquelle manquenttouslesmé anismesd'inféren e,maisquipermetde apturerformellementlanotiondesystème logiqued'unpointdevuethéoriedesmodèles.

DÉFINITIONI.1Institution.

Uneinstitutionestunquadruplet(Sig;For;Mod;j=)où:  Sigestune atégoriedontlesobjetssontappeléssignatures;  For :Sig !

Set

estunfon teur

1

quiàtoutesignature2jSigjasso ie 2

l'ensembleFor()des formulessur ;

 Mod :Sig!

Cat

op

estunfon teur 3

quià haquesignature2jSigjasso iela atégorieMod() desmodèlesde ;

 j== (j= 

) 2jSigj

estlafamillederelationsj= 

surMod()For()appeléesrelationsdesatisfa tion. Deplus,pourtoutmorphismedesignatures :!

0

,pourtoutmodèleM 0

2jMod( 0

)j,pourtoute formule'2For(),onalapropriétésuivante,appelée onditiondesatisfa tion:

M 0 j=  0 For()(')()Mod()(M 0 )j=  '

Toutes les logiques que nous allons présenter par la suite vérient ette ondition. Toutefois, ette dernièreneserapasné essairepourétablirlesrésultatsliésàlaséle tiondetestsàpartirdespé i ations

1

Set

estla atégoriedontlesobjetssontlesensemblesetdontlesmorphismessontlesfon tions. 2

LanotationjSigjdésignela lassedesobjetsdela atégorieSig,voirl'annexeA. 3

Cat

estla atégoriedontlesobjetssontdes atégoriesetdontlesmorphismessontlesfon teurs.

Cat

op

estla atégorieduale

axiomatiques.Nousnousservirons uniquementdu adreuniésous lequellesinstitutionspermettentde présenterl'aspe tsémantiquedeslogiques.

Ladénitiond'uneinstitutionn'impliqueau une ontraintesurla onstru tionetlaformedesformules. Danslapratique ependant,lastru turedesformulesn'estpasquel onque.Commenousleverronsdans lesdeuxinstan esd'institutionsquenousprésentonsaux hapitressuivants,ladénitiondesformulespour unelogique parti ulièrerepose surladonnéed'unensembled'élémentsdebase(lesformulesatomiques) etd'opérateurssur etensemble( onne teurslogiques,quanti ateurs,modalités,et .).Bienquele adre abstraitdes institutionsne permettepas de faireréféren e expli itement à esopérateurs,ilest possible delesdénirdefaçoninterneàuneinstitutiondonnée.Lesrésultatsdontnousauronsbesoinné essitant uniquementl'existen edelanégationauseindel'institution onsidérée,nousnedonnonsi iqueladénition delanégationsémantique.

DÉFINITIONI.2Négationsémantique.

SoituneinstitutionI =(Sig;For;Mod;j=).Soitunesignature.Uneformule' 0

2For()estla négationsémantiqued'uneformule'2For()sietseulementsi

8M2jMod()j;Mj=  ' 0 ,M6j=  '

On dira que I possède la négation sipour toutesignature , toute formule' 2 For() possèdeune négationsémantique.

Danslerestede ettese tion,onsepla edansuneinstitutionI=(Sig;For;Mod;j=)xéepossédant lanégation.

Pouruneformule'donnée,ilestpossiblede onsidérerl'ensembledesmodèlesdequivalident ette formule.Onditalorsd'unmodèleappartenantà etensemblequ'ilestunmodèlede'.Plusgénéralement, étantdonnéunensembledeformules,ondénitunmodèleasso iéà etensembledelafaçonsuivante.

DÉFINITIONI.3Modèled'unensembledeformules.

SoitunesignaturedejSigjet For()unensembledeformulessur.Unmodèlede estun -modèleMquivalidetouteslesformulesde , 'est-à-diretelque

8'2 ;Mj='

OnnoteMod( )lasous- atégoriepleinedeMod()dontlesobjetssontlesmodèlesde .

Étant donné un ensemble de formules , un modèle de est don un modèlequi, en parti ulier, validelesformulesde ,maisengénéral,valideaussid'autresformules.Parmi elles- i,ilenexistequisont égalementvalidéespard'autresmodèlesde .Si esformulessont vériéespartoutmodèlevériantles formulesde ,onditque esontdes onséquen essémantiquesde .

DÉFINITIONI.4Conséquen esémantiqued'unensembledeformules.

Soit  une signature dejSigj. Soit  For() un ensemblede formules sur. L'ensemble des onséquen essémantiquesde ,noté



,estl'ensembledesformulesvalidéespartouslesmodèlesde : 

Si'2 

,onnote j='larelationde onséquen esémantique.

Unensembledeformulesestalorsdit onsistants'ilexistedesformulesquinesontpasdes onséquen es sémantiquesde etensemble.

DÉFINITIONI.5Consistan ed'unensembledeformules.

Soit  une signature.Unensemble deformules  For()estdit onsistant si 

6= For(), et in onsistantdansle as ontraire.

Un ensemblede formulesin onsistant peut don avoir pour onséquen e sémantique àla fois une formuleetsanégation.Unmodèlenepouvantvaliderqu'uneseulede esdeuxformules,untelensemble deformulesnepeutpasavoirdemodèles.

PROPOSITIONI.1.[Bar05℄SoitunesignaturetellequeFor()6= ;.Unensembledeformules For()est onsistantsietseulementsiMod( )6=;.

Une lassedemodèlesd'unemêmesignaturepeutêtre ara tériséparl'ensembledesformulesquisont validéespartouslesmodèlesde ette lasse.Cesformulesforment equ'onappelleunethéorie.

DÉFINITIONI.6Théorie.

Soit  une signature.Soit M  jMod()j un ensemble de modèlesde . La théorie deM, notée Th(M),estl'ensembledeformulessuivant:

Th(M)=f'2For()j8M2M;Mj= 

'g

Onremarquequepourunensembledeformules ,l'ensembledes onséquen essémantiquesde est lathéoriedela lassedesmodèlesde :



=Th(Mod( ))

Onditqu'unethéorieest omplètesi 'estleplusgrandensembledeformulesquisoit onsistant. Intuitive-ment,toutformulen'appartenantpasà ettethéorieestlanégationd'uneformuledelathéorie.

DÉFINITIONI.7Complétuded'unethéorie.

Soitunesignature.SoitT For()unethéorie.LathéorieT estdite omplèteoumaximale onsistante sietseulementsi,pourtouteformule'2For(),unedesdeux onditionssuivantesestvériée:

 T[f'gestin onsistante;  '2T.

Enparti ulier,l'ensembledesformulesvalidéesparunmodèledonnéestunethéorie omplète.

Pourunesignaturedonnée,ilexisteunemultitudedemodèlesentre lesquelsiln'estpossible d'établir dedistin tionqu'autraversdesformulesqu'ilsvalident.Deuxmodèlesd'unemêmesignaturequivalident exa tementlesmêmesformulessontalorsditsélémentairementéquivalents.

DÉFINITIONI.8Équivalen eélémentairedemodèles. SoitunesignaturedejSigj.SoientM;M

0

2Mod()deuxmodèlesdeet For().Ondit queMetM

0

sont élémentairementéquivalentsparrapportà ,notéM

M 0

,sietseulements'ilsvalident exa tementlesmêmesformulesde :

8'2 ;Mj=',M 0

j='

Lorsque =For(),onditqueMetM 0

sontélémentairementéquivalents,notéMM 0

.

Cettenotions'exprimeégalementauniveaudesformules.Deuxformulesreprésententlamêmepropriété siellessontvalidéesexa tementparlesmêmesmodèles.

DÉFINITIONI.9Équivalen eélémentairedeformules.

Soient'et deuxformulessur.Onditque'et sontélémentairementéquivalentes,noté' ,siet seulementsiellesadmettentexa tementlesmêmesmodèles:

8M2Mod();Mj=',Mj=

La notiond'équivalen eélémentairedemodèlesnouspermetd'exprimerlapropriétésuivantesurles modèlesd'unethéorie omplète.

THÉORÈMEI.1.[Bar05℄Soitunesignature.SoitT For()unethéorie omplète.Soit l'ensembledesformules losessur.AlorspourtousM,M

0

modèlesdeTnonvides,M

M 0

.

1.2 Spé i ations

Unefoisxéeunelogiquesouslaformed'uneinstitution,ilestpossibledel'utiliser ommeformalisme despé i ation.Unespé i ationaxiomatique,estalors omposéedel'ensembledessymbolesspé iques au systèmeque l'on veutdé rire (une signature de lalogique onsidérée)et d'un ensemblede formules onstruitesàpartirde ettesignature:lesaxiomes.

DÉFINITIONI.10Spé i ation.

Soituneinstitution(Sig;For;Mod;j=).Unespé i ationSpestun ouple(;Ax)oùestunesignature dejSigjetAx 2For()estunensembledeformulesappeléesaxiomes.

Lesaxiomesdé rivantlespropriétésattenduesdusystème,ilestné essairequelesmodèlesasso iésàla spé i ation,étantdesreprésentationsdusystème,valident esaxiomes.Unmodèled'unespé i ationest

DÉFINITIONI.11Modèled'unespé i ation.

SiSp =(;Ax)estunespé i ation,onappellemodèledeSpunmodèledel'ensembleAxdesaxiomes. OnnoteMod(Sp)lasous- atégoriepleinedeMod()dontlesobjetssontlesmodèlesdeSp.

Lesformulesquisontvalidéespartouslesmodèlesd'unespé i ationserontd'uneimportan e parti- ulièredanslasuitede ettethèse.Ellesreprésententeneffettouteslespropriétésquelesystèmespé ié validedèslorsqu'ilvalidelesaxiomesdelaspé i ation, esystèmepouvantêtrevu ommeunmodèlede laspé i ation.

DÉFINITIONI.12Conséquen essémantiquesd'unespé i ation.

Si Sp = (;Ax) est une spé i ation, l'ensemble des onséquen es sémantiques de Sp, noté Sp 

, est l'ensembledes onséquen essémantiquesdel'ensembleAx desaxiomes.Si'2Sp



,onnoteSp j='la relationde onséquen esémantique.

Pours'assurerqu'ilestpossiblede on evoirunsystèmeimplantantunespé i ation,ilfautque elle- i admetteaumoinsunmodèle, 'est-à-direquel'ensemblede esaxiomessoit onsistant.Onditalorsquela spé i ationelle-mêmeest onsistante.

DÉFINITIONI.13Consistan ed'unespé i ation.

Unespé i ationSp=(;Ax)estdite onsistantesiseulementsiAx est onsistant.

2 Logiquesgénérales

2.1 Dénitionsélémentaires

Unsystèmed'inféren e aptureabstraitementlesaspe tssyntaxiquesduraisonnementdansunelogique. Commeune institution,ilest onstituéd'une atégorie designaturesetd'un fon teurasso iantà haque signatureun ensembledeformules,maislasémantique,autraversdu fon teurdonnantune atégoriede modèlespourunesignatureetdelarelationdesatisfa tion,estrempla éi iparleraisonnementdédu tif, représentéparune relationentreensemblesdeformulesetformules,appeléerelationd'inféren e. Intuiti-vement, etterelationexprime lapossibilitédedéduireunepropriétéd'unensembled'hypothèsesparune ertaineméthodederaisonnementexpriméeuniquemententermesdemanipulationssyntaxiques.

DÉFINITIONI.14Systèmed'inféren e.

Unsystèmed'inféren eestuntriplet(Sig;For;`)où:

 Sigestune atégoriedontlesobjetssontappeléssignatures;

 For : Sig !

Set

estun fon teurquiàtoutesignature 2 jSigjasso iel'ensembleFor()des formulessur ;

 `= (` 

) 2jSigj

estlafamillederelations` 

surP(For())For()appeléesrelationsd'inféren e.

DÉFINITIONI.15Propriétésdessystèmesd'inféren e. Soit(Sig;For;`)unsystèmed'inféren e.

Larelation`estréexivesipourtoutesignaturedejSigj,pourtouteformule'2For(), f'g`

 '

Larelation`esttransitivesipourtoutesignaturedejSigj,pour tousensembles 4

deformules ; 0

 For(),pourtouteformule'2For(),

`  0 ^ [ 0 `  ') `  '

Larelation `estmonotone sipour toutesignaturede jSigj, pourtous ensemblesde formules ; 0

 For(),pourtouteformule'2For(),

`  '^  0 ) 0 `  ' Larelation`alapropriétéde`-translationsipourtoutessignatureset

0

dejSigj,pourtoutensemblede formules For(),pourtouteformule'2For(),pourtoutmorphisme

5 designatures:! 0 , `  ')For()( )`  0 For()(')

Laréexivitéexprimelefaitqu'onpeuttoujoursdéduireuneformuleàpartird'elle-même.Latransitivité traduitlapossibilitéde menerdes preuvesen passantpardes lemmesintermédiaires:pour prouver 'à partir de , on ommen e par prouver un ensemble de lemmes

0

, qu'on utilise pour prouver '. Si la relationd'inféren eestmonotone, elasigniequesionpeutprouver'àpartird'unensembled'hypothèses ,alors onpeut également prouver 'en utilisantplus d'hypothèses.La propriétéde `-translationestle pendantsyntaxiquedela onditiondesatisfa tion.Elleimposelapréservationdelarelationd'inféren epar enri hissementdesignature:si et'sontdeshypothèsesetformules onstruitessurune ertainesignature, s'ilestpossibledeprouver'àpartirde ,alorsilestpossibledetraduire et'dansunesignatureplus ri heetdemenerlapreuvedans ettesignature.

Lorsquelesdeuxaspe tsduraisonnement,sémantiqueetsyntaxique,sontprésentsdansunelogique,il fautétablirune ertaine orrespondan eentreeux,demanièreà equeleraisonnementsyntaxiquereète lemieuxpossibleleraisonnementqu'ilestpossibledemenerauniveausémantique.Defaçonindispensable, ilfautquelespropriétésqu'ilestpossiblededéduireparleraisonnementsyntaxiquesoientvériéesdansle mondemathématiquereprésentatifduphénomènedé rit, 'est equ'onappellela orre tiondelarelation d'inféren e al ulparrapportàlarelation desatisfa tion.Si deplus,tout equi estvraidans e monde mathématiquetrouveunepreuvesyntaxique,onditquelarelationd'inféren eest omplète.

DÉFINITIONI.16Corre tionet omplétudedu al ulparrapportàlasémantique.

Soit(Sig;For;Mod;j=)uneinstitutionet(Sig;For;`)unsystèmed'inféren e.Soitunesignature dejSigj.

Larelationd'inféren e` 

estdite orre teparrapportàlarelationdesatisfa tionj=  sietseulementsi 8 For();8'2For(); `  ') j=  ' 4

Parabusdenotation,onnote ` 0

si `'pourtouteformule'de 0

. 5

Elleestdite omplètesietseulementsi 8 For();8'2For(); j=  ') `  '

Unelogiqueestalorsla ombinaisond'uneinstitutionetd'unsystèmed'inféren e,quivérie ertaines propriétés, ommela orre tiondelarelationd'inféren eparrapportàlarelationdesatisfa tion.

DÉFINITIONI.17Logiquegénérale.

Unelogiquegénéraleestunquintuplet(Sig;For;Mod;j=;`)où:  (Sig;For;Mod;j=)estuneinstitution;

 (Sig;For;`)estunsystèmed'inféren etelquelarelationd'inféren e`alespropriétésderéexivité, transitivité,monotonieet`-translation,

telquelarelationd'inféren e`est orre teparrapportàlarelationdesatisfa tionj=.

Les logiques générales et les propriétés qui leur sont asso iées sont des guides qui permettent de s'abstrairedes ontingen es al ulatoiresoudemodélisation.Eneffet,dans equipré ède,rien n'impose quelessignaturessoientdesensemblesdesymboles,niquelesformulessoientdessuitesdesymboles,ouque lesinféren essoientobtenuespardeste hniquesquel onquesderaisonnementeffe tif.L'aspe tthéorie delapreuven'estprisen omptequedefaçontrèssu in tedansleslogiquesgénérales.Pourl'in arner pardevéritablesmanipulationssymboliques,ilestné essaired'ajouterdes ontraintesau adredeslogiques générales: onvaimposer quelarelation d'inféren epour haquesignaturesoit généréeindu tivementà partird'unensemblederègles,unsystèmeformel.

2.2 Systèmesformels

Les systèmes formels, également appelés al uls,permettent de représenter des mé anismesde pro-du tiond'énon és,lesformules,ayantunerigueursyntaxique.Ces mé anismessont représentésde façon abstraitepardesrèglesdemanipulationdesymboles.Cesmanipulationsétantsymboliques,lesprodu tions d'énon éspeuventalorsêtre ontrléesparordinateur.Leprin ipesous-ja entestleprin iped'indu tion. Dans e ontexte,lesrèglesdeprodu tionsontappeléesrèglesd'inféren eetmodélisentlesétapesautorisées duraisonnement.

DÉFINITIONI.18Systèmeformel.

Unsystèmeformel,égalementappelé al ul,estuntriplet(A;F;R )où:

 Aestunensemble,appeléalphabet ,dontlesélémentssontappeléssymboles;  F estunsous-ensembledeA

 dont

6

lesélémentssontappelésformulesbienforméessurA ;  Restunensembleniderelationsn-airessurF appeléesrèglesd'inféren e.

L'alphabet A ontienti i àlafoislessymbolesxesdu langage onsidéré(les onne teursbooléens, lesquanti ateurs,et .), lessymbolesdelasignatureetlessymbolesdédiésàla onstru tiondesformules (lesparenthèses,lavirgule,et .).Unsystèmeformelneposeau une ontraintesyntaxiquesurlesformules. Cependant,danslapratique,l'ensembleFn'estpasquel onque,ilestdéniindu tivement,parunegrammaire

outoutautrealgorithmedere onnaissan edeformulesbienformées.L'ensembleF ontientlesénon és dontlasyntaxeest orre te,sansau unenotiondevéra ité.

Notation.Étantdonnéunsystèmeformel,unerègled'inféren edénitunensembled'étapesélémentaires depreuve.Soitr For()

n

unerègled'inféren e.Soient' 1 ;:::;' n 2For().Si(' 1 ;:::;' n )2r,on ditquelen-uplet('

1 ;:::;'

n

)estuneinstan eder.Lesformules' 1

;:::;' n 1

sontappeléeslesprémisses de etteinstan eet'

n

sa on lusion.Uneinstan edelarèglerseranotée

' 1 :::' n 1 ' n r

Lesinstan esdesrèglestellesquen=1sontappeléesaxiomes.

À partird'unensembledepostulats,ou hypothèses,qui sontdes formules,lessystèmesformels per-mettentd'a éderàd'autresformules, ellesqu'ilestpossiblededéduirede eshypothèsesparappli ation d'instan esderègles d'inféren e.Onappelledédu tionlatra edes formulesintermédiairesutiliséespour prouveruneformule.

DÉFINITIONI.19Dédu tion.

Soitun al ulC =(A;F;R ).Soit F unensembledeformules.Unedédu tiondansC àpartirdes hypothèses estuneséquen e'

1 ;:::;'

k

deformulesdeF tellequepourtouti,1ik:  soit'

i

estuneformulede ;  soitilexisteuneinstan e

1 :::

n

rd'unerègledeR dontla on lusionestégaleàlaformule' i ettelleque ha une desprémisses

m

der,1  m  n, estégaleà l'unedesformules l

de la dédu tionquipré ède'

i

, 'est-à-diretelleque1li 1.

Ladernièreformuled'unedédu tionàpartird'uneensemble estditeinféréepar .Ilestalorspossible d'endéduireunerelationbinaireentrelesensemblesdeformules(leshypothèses)etlesformulesquiensont déduites,quiestappeléerelationd'inféren e.

DÉFINITIONI.20Relationd'inféren e.

Soitun al ulC =(A;F;R ).Soientunensembledeformules F etuneformule'2F.Ondit que infère',noté `

C

',s'ilexistedansCunedédu tion' 1

;:::;' k

;'àpartirde .

Onretrouveainsilanotionderelationd'inféren edeladénitionI.14.Eneffet,siC =(A;F;R )est unsystèmeformel,onremarquequeletriplet(Sig;For;`)où:

 Signe ontientquel'alphabetA ;

 For estl'appli ationquiàl'uniquesignatureAasso iel'ensembleF ;  `

A =`

C ,

formeunsystèmed'inféren e.Unsystèmeformeldénitalorsunsystèmed'inféren edanslequeliln'ya au un hoixpossibledesignature,unsystèmeformelsefo alisantsurunedémar hesystématiquedepreuve

detransitivitéetdemonotonie.La`-translationesttrivialementvériéepuisquela atégorieSigestréduite àl'alphabetA.

Une autre façon d'obtenir des énon és à l'aide des règles d'inféren e est le s héma d'indu tion i-dessous,quiapourbasel'ensembled'hypothèses etlesaxiomes,etdontlesrègles deprodu tionsontles règlesd'inféren edusystèmeformel.Ilpermetde onstruire equ'onappelledesthéorèmes.

DÉFINITIONI.21Théorème.

Soitun al ulC =(A;F;R ).Soit unensembledeformulesdeF.L'ensembledesthéorèmesdéduits de àl'aidedeC,notéTh

C

( ),estl'ensembledeformulesdéniindu tivementdelafaçonsuivante:  touteinstan ed'unaxiomeettouteformulede estunthéorèmedeTh

C ( ) ;

 pourtouteinstan ed'unerègled'inféren e,sitoutessesprémissessontdesthéorèmesdeTh C

( ), alorssa on lusionestunthéorèmedeTh

C ( ).

Lorsque estl'ensemblevide,lesformulesobtenuessontappeléestautologiesetformentl'ensembleTh C

.

Lesthéorèmessontenfaitexa tementlesformulespourlesquellesilexisteunedédu tion.

PROPOSITIONI.3.SoientC =(A;F;R )unsystèmeformelet unensembledeformules.Pourtouteformule'2F, ona ` C '()'2Th C ( )

Preuve. Soituneformule'2F.Onsupposeque ` C

'.Montronsque'2Th C

( )parré urren esur lalongueurdeladédu tionde'.

Casdebase. Siladédu tionde'estdelongueur1,alorssoit'estdans ,soit'estuneinstan ed'axiome deR .Pardénitiondel'ensembleTh

C

( ),'estdon unthéorèmedeTh C

( ). Casgénéral. Siladédu tionde'estdelongueurn,alorsilexisteuneinstan e

' 1 :::' n ' rd'unerèglede Rtellequepourtouti,1in,ladédu tionde'

i

estdelongueurstri tementinférieureàn.Par hypothèsederé urren e, haque'

i

estdon unthéorème.Pardénitiondel'ensembleTh C

( ),' estdon égalementunthéorèmedeTh

C ( ). On supposemaintenantque' 2 Th

C

( ).Montrons que ` C

'parindu tionsurl'ensembledes théorèmes.

Casdebase. Si'estuneinstan ed'axiomedeRouuneformulede ,alorsunedédu tionpour'estla séquen e'.

Casgénéral. Si'estla on lusiond'uneinstan e '

1 :::'

n '

rd'unerègledeRtelleque haque' i

,pour 1  i  n, estun théorème,alors parhypothèse d'indu tion, haque '

i

possède une dédu tion D i = i 1 ;:::; i n i ;' i .Laséquen eD 1 ;:::;D n

;'estdon unedédu tionde'.

2 Un théorème deTh

C

( ) s'obtientdon à partir des formulesde parappli ationssu essivesdes règles d'inféren ede C, 'est-à-direparempilement de es règles.De e point de vue, l'obtention d'un théorèmedeTh ( )peutêtremisesouslaformed'unarbreappeléarbredepreuve.

DÉFINITIONI.22Arbredepreuve.

Soitun al ulC =(A;F;R ).Unarbredepreuved'unthéorèmedeCestunarbredont:  lesfeuillessontdesinstan esd'axiomes;

 lesn÷udsinternessontdesthéorèmesintermédiairestelsquelen-uplet onstituédeslsd'unn÷ud etde en÷udestuneinstan ed'unerègled'inféren e;

 lara ineestlethéorème.

D'aprèslapropositionI.3,unedédu tionn'estdon qu'unemiseàplatd'unarbredepreuve.À haque dédu tionest don asso ié un arbre de preuve, qui n'est pas unique en général. Ré iproquement, ilest possibled'asso ierà haquearbredepreuveautantdedédu tionsqu'ilyadepar oursenprofondeurde l'arbre.

Logique du premier ordre

Le on eptdespé i ationalgébriqueaémergédanslemilieudesannées70ave lestravauxdeStephen Zilles[Zil74,LZ74℄,deJohnGuttag[Gut75℄etdugroupeADJformédeJosephGoguen,JamesThat her, Eri Wagner et Jesse Wright [GTWW75℄. L'idée fondamentale de ette appro he onsiste àdé rire des stru turesdedonnéesuniquementàl'aidedes nomsdes différentsensemblesde données,desnoms des fon tionnalitésdebaseetdeleurspropriétés ara téristiques.Cespropriétéssontdé ritespardesformules dontlesélémentsdebasesontdeséquations.Cetteidée,quiavaitdéjàétémiseenavantdanslesannées20dans lesalgèbresuniversellesdeGarrettBirkhoff[Bir46℄,provientdu onstatquelesstru turesalgébriquesusuelles manipuléesenmathématiques,tellesquelesmonoïdes,lesgroupes,lesanneaux,lesespa esve torielsoules treillis,sontnaturellementdéniesparunensembled'axiomeséquationnels.L'asso iativité,la ommutativité ouladistributivitéparexemple,sontdespropriétésquis'exprimentnaturellementsouslaformed'équations. Selonle hoixdesopérationsetdutyped'axiomes,touteslesstru turesalgébriquesmentionnéesplushaut peuventêtre ara térisées.L'idéededénirn'importequellestru turealgébriqueentermesd'opérationset d'équationsaétérepriseparStephenZilles[Zil74℄andespé ierégalementlestypesdedonnéesabstraits ommelespiles,lesles,lesarbresouleslistes.

En effet, un type de données, de la même manière que les stru tures mathématiques mentionnées i-dessus,estunensembledevaleursreprésentant esdonnées,munid'élémentsdistinguésainsique d'opé-rations agissantsur es valeurset dédiéesàla re her he etàlamise à jourdes données.Cependant,les typesdedonnées diffèrentde esstru turesmathématiquesen eque l'ensembledesvaleurssous-ja ent est onstruitindu tivement.C'estpour etteraisonqu'ilestpossibledeprogrammerdesfon tionssur es typesdedonnées.Untypededonnéespeutalors êtrevu ommeune stru turealgébrique, 'est-à-direun ensembled'élémentsmunideloisinternesetexternessatisfaisant ertainespropriétés.C'est etteidéequia étédéveloppéedanslestravauxdugroupeADJ[GTWW75℄.

Unespé i ationalgébriqued'untypededonnéesabstraitestalorsunedes riptionde etypededonnées, autraversdel'ensembledeseséléments,l'ensembledesopérationssur eséléments,ainsiquel'ensemble deséquationsdé rivantlespropriétésde esopérations.Leformalismeutilisépour ettedes riptionest e qu'on appellelalogique équationnelle.Cettelogiqueestappropriée pour spé ier untrès grandnombre

souventmuniesderelationsquipermettentparexemplede omparerdesélémentsentreeux.Ilestpossible despé ier esrelationspardesfon tionsbooléennesetainsideresterdansun adreéquationnel,oualors delesspé ierdire tementàl'aidede equ'onappelledesprédi ats.Ilfautpour elautiliserunformalisme plusri hequelalogiqueéquationnelle,lalogiquedesprédi atsdupremierordre.Lalogiqueéquationnelle devientalorsunerestri tiondelalogiquedesprédi atsdupremierordre,muniedel'égalitépourseulprédi at. C'estladémar hequenousallonssuivredans e hapitre:nousprésenteronstoutd'abordlalogiquedes prédi atsdupremierordre,puislalogiqueéquationnelle ommeunerestri tiondelapremière.

1 Logiquedes prédi atsdupremierordre

La présentation de la logiquedu premier ordre quenous allonsdonner suitle s hémadonné par la dénition I.17 des logiques générales.Vont être présentés su essivementla atégorie des signatures du premier ordre, l'ensembledes formules asso iéà une signature,la atégorie des modèlesasso iée à une signature,la relation de satisfa tion etenn lesystème d'inféren edéni parle al ul des séquentspris ommesystèmeformel.

1.1 Syntaxe

Signatures. Unesignaturedupremierordre omprendlesnomsdesdifférentstypesdedonnéesné essaires àlades riptiondutypededonnéesvisé,unensembled'opérationssur estypesdedonnées,etunensemble deprédi atsreprésentantlespropriétésqu'ilestpossiblede onnaîtresur estypesdedonnées.

DÉFINITIONII.1Signature.

Unesignatureestuntriplet(S;F;R )où:

 Sestunensembledontlesélémentssontappeléssortes;

 Festunensembledontlesélémentssontdesnomsd'opérationsoù haquenomf estmunid'unearité dansS

 S ;

 Restunensembledontlesélémentssontdesnomsdeprédi atsoù haquenomrestmunid'unearité dansS + . Onnotef :s 1 :::s n

!suneopérationf d'arité(s 1 :::s n ;s)etr :s 1 :::s n unprédi atr d'arités 1 :::s n

.Uneopérationf :!sestappeléeune onstante.

EXEMPLEII.1Monoïde.

Un monoïde estune stru ture algébrique qui onsisteen un ensemblemuni d'un élément distingué appeléélémentneutreetd'uneloide ompositioninterneasso iative.Lasignatured'unmonoïdeestdon omposéed'uneuniquesorte



Elem représentantletypedesélémentsdel'ensembleetdeuxopérations: une onstanteedesorte



Elem désignantl'élémentneutreetuneopérationbinairesur 

Elem notée.On auraégalementbesoind'unprédi atd'égalitésurlesélémentsdel'ensemblesous-ja entaumonoïdepour

sort  Elem ops e:!  Elem __:  Elem  Elem !  Elem pred=:  Elem  Elem 3

EXEMPLEII.2Groupes.

Ungroupeestunmonoïdedonttouslesélémentssontinversibles.Unélémentxestinversibles'ilexiste un (unique)élémenty telquexy = yx = e, oùeestl'élémentneutredu monoïde.Ilyaplusieurs manièresd'exprimer ettepropriétésupplémentaireaumonoïde.Ilestpossiblededénirunefon tion_

1 quià haqueélémentasso iesoninverse.

sort  Elem ops e:!  Elem __:  Elem  Elem !  Elem _ 1 :  Elem !  Elem pred=:  Elem  Elem

Ilestégalementpossiblededénirl'inverse ommeétantunerelationbinaireinv symétrique.Lasignature asso iéeestalorslasuivante.

sort  Elem ops e:!  Elem __:  Elem  Elem !  Elem preds =:  Elem  Elem inv :  Elem  Elem 3

EXEMPLEII.3Graphes.

Ungraphe(nonorienté)estunestru tureforméed'unensembledesommetsetd'unensembled'arêtes reliant essommets.Ilest possiblede levoir omme lareprésentation d'unerelationbinaire quel onque entre des éléments représentés parles sommets.On peut spé ierla stru ture de graphe dedifférentes manières.On hoisiti idereprésenterungraphe ommeunensembledesommetsetunerelationbinaire sur essommets.Ondisposealorsdedeuxsortes:Sommet etGraphe.Ungraphevideestreprésentépar l'ensembledesommetsvide.On onstruitungrapheàpartird'unsommetgrâ eàl'opérationsingletonpuis enprenantl'uniondedeuxgraphes.Leprédi atarete^ indiquesideuxsommetssontreliésparunearête dansungraphedonné,tandisqueleprédi at heminindiquesideuxsommetssontreliésparun hemin.On disposeduprédi atd'appartenan e2d'unsommetàungrapheetduprédi atd'égalitéentregraphes.Ona ensuitequelquesprédi atspermettantdespé ierdespropriétésparti ulièressurlastru turedesgraphes: unarbrepeutn'avoirpasdesommetisolé,être omplet, onnexe,a y lique,êtreunarbreoubienen ore

sortsSommet;Graphe ops ;:!Graphe

f_g:Sommet !Graphe

_[_:GrapheGraphe!Graphe preds ar^ete

_

(_;_):GrapheSommetSommet hemin

_

(_;_):GrapheSommetSommet _2_:SommetGraphe __:GrapheGraphe omplet :Graphe onnexe :Graphe non_isole:Graphe a y lique:Graphe arbre:Graphe

ouvrant:GrapheGraphe

3

Lesliensentrelessignaturessontexprimésàl'aidedesmorphismesdesignatures.Unmorphismeentre deuxsignatures=(S;F;R )et 0 =(S 0 ;F 0 ;R 0

)asso ieà haquesortedeS unesortedeS 0

,à haque opérationdeF uneopérationdeF

0

d'arité orrespondanteetà haqueprédi atdeRun prédi atd'arité orrespondante.

DÉFINITIONII.2Morphismedesignatures. Soient=(S;F;R )et 0 =(S 0 ;F 0 ;R 0

)deuxsignatures.Unmorphismedesignatures :!  0 est dénipar:  uneappli ation S :S!S 0 ;  uneappli ation F :F ! F 0

tellequepourtoutf :s 1 :::s n ! s2 F, F (f): S (s 1 ) ::: S (s n )! S (s) ;  uneappli ation R :R!R 0

tellequepourtoutr:s 1 :::s n 2R , R (r): S (s 1 )::: S (s n ).

DÉFINITIONII.3Catégoriedessignatures.

La atégorie des signatures, notée Sig, est la atégorie dont les objets sont les signatures et dont les morphismessontlesmorphismesdesignatures.

Formules. Unefois xé l'ensemble dessymboles asso iés àun type dedonnées,ilest possible deles omposerdemanièreàformerdesexpressionsvisantàdé rirelespropriétésde etypededonnées.Ilest né essairepour eladedisposerd'unensembledevaleursgénériques,appeléesvariables,àpartirdesquelles onstruire defaçonin rémentale espropriétés.La dénition de etensemblede variablesrepose surla

DÉFINITIONII.4S-ensemble.

SoitunensembleS.UnS-ensembleAestunensemblemunid'unepartitionindexéeparS:

A= a s2S

A s

DÉFINITIONII.5Ensembledevariables.

Soit=(S;F;R )unesignature.OnappelleensembledevariablessurunS-ensembleV telquepour touts2S,V

s

\(S[F [R )=;.

Àpartirde etensembledesymboles omplémentaireàlasignature,etdesélémentsdelasignature,ilest possiblede onstruireindu tivementlesbriquesdebasequivontêtreutiliséespourexprimerlespropriétés dutypededonnées,appeléestermesave variables.Untermeave variablesestsoitunevariable,soitun terme onstruitsuruneopérationdelasignature, 'est-à-direuneopérationdelasignatureappliquéeàdes arguments orrespondant,entypeetennombre,àl'aritéde etteopération.

DÉFINITIONII.6Termes.

Soit=(S;F;R )unesignature.SoitV unensembledevariablessur.LeS-ensembledestermesave variables,notéT



(V),estl'ensembledénidelafaçonsuivante:  pourtouts2S,pourtoutx2V

s ,x2T  (V) s ;  pour tout f : s 1 :::s n ! s 2 F, pour tout (t 1 ;:::;t n ) 2 T  (V) s1 :::T  (V) sn , f(t 1 ;:::;t n )2T  (V) s .

EXEMPLEII.4Monoïdes.

Surlasignature desmonoïdes qui aétédonnéeà l'exempleII.1, etsurl'ensemblede variablesV = V

 Elem

=fx;y;zg,onpeutparexemple onstruirelestermessuivants:

e; ex; (xy)z; ee

3

Les propriétés dé rivantun typededonnées vont pouvoirêtreexprimées àl'aidedes prédi atsde la signatureappliquésauxtermes onstruitspré édemment,des onne teursbooléensetdesquanti ateurs universeletexistentiel.Cespropriétéssontappeléesdesformules.

DÉFINITIONII.7Formules.

Soit=(S;F;R )unesignature.SoitV un ensembledevariablessur.L'ensembledesformules sur ,notéFor(),estl'ensembledénidelafaçonsuivante:

 pourtoutr:s 1 :::s n 2R ,pourtout(t 1 ;:::;t n )2T  (V) s 1 :::T  (V) s n ,r(t 1 ;:::;t n )2 For();  pourtout'2For(),:'2For();

EXEMPLEII.5Monoïdes.

Pourdonnerunespé i ationd'unmonoïde,ilnousfautexprimerlespropriétés ara térisantlaneutralité del'élémentdistinguéeetl'asso iativitédel'opération.L'élémenteestneutredanslesensoùla omposition àgau heouàdroited'unélémentquel onqueave en'apasd'effet.Onadon lesaxiomessuivants:

Neutralitédeeàgau he 8x;ex=x Neutralitédeeàdroite 8x;xe=x

Asso iativitéde 8x;8y;8z;(xy)z=x(yz)

On remarqueque lesaxiomessont i i de simples équations,quantiéesuniversellement.La stru ture de monoïdenené essiteenfaitpourêtredé ritequelalogiqueéquationnelle.Enlogiquedupremierordre,il estné essaired'ajouterlesaxiomessuivantsspé iantquel'égalitéestunerelationde ongruen e.

8x;x=x

8x;8y;x=y)y=x

8x;8y;8z;x=y^y=z)x=z

8x;8y;8z;8t;x=z^y=t)xy =zt

3

EXEMPLEII.6Groupes.

Ungroupeestun monoïdedonttouslesélémentssontinversibles.Sionutilisel'opération_ 1

pour exprimer ette propriété,on ajouteaux axiomesde l'exempleII.5les axiomessuivants,exprimant lefait que etteopérationdonnebienl'inversedesonargument.Lesopérationsétantdéniespardéfautdefaçon totale,toutélémentpossèdeuneimagepar_

1

,don toutélémentestinversible. 8x;xx 1 =e 8x;x 1 x=e

Delamêmemanièrequepourlesmonoïdes,lalogiqueéquationnellesufraitàdé rirelastru turedegroupe. Sionveutau ontraireexploiterlesmé anismesdelalogiquedupremierordre,onpeutspé ierl'inverse ommeunerelationbinairesymétriquesurlesélémentsetonobtientlesaxiomessuivants.Lepremieraxiome exprimelefaitquetoutélémentpossèdeuninverseselon etterelation,ledeuxièmedonneladénitionde l'inverseetletroisièmepré isequelarelationestsymétrique.

8x;9y;inv(x;y)

8x;8y;inv(x;y),xy=e 8x;8y;inv(x;y))inv(y;x)

Ilestégalementpossibledespé ier ettepropriétésansajouterd'opérationniderelationàlasignaturedu monoïde,enutilisantl'é rituremathématiquehabituelle.

8x;9y;xy=e^yx=e 3

EXEMPLEII.7Graphes.

8G;;[GG 8G;8G 0 ;G[G 0 G 0 [G 8G;8G 0 ;8G 00 ;G[(G 0 [G 00 )(G[G 0 )[G 00

Au unsommet n'appartientaugraphevide.Unsommet appartientàun graphesion peuté rire elui- i ommel'uniondusingleton ontenant esommetetd'unautregraphe.

8x;:x2;

8x;8G;x2G,9G 0

;Gfxg[G 0

Legrapheviden'aau unearête.On onsidèredesgraphesnonorientés,larelationar^eteestdon symétrique. Siune arêteexisteentredeuxsommetsdansungraphe,alors esdeuxsommetsappartiennentaugraphe. Lesarêtessontpréservéesparl'uniondegraphes.

8x;8y;:ar^ete ;

(x;y) 8x;8y;8G;ar^ete

G

(x;y))ar^ete G

(y;x) 8x;8y;8G;ar^ete

G

(x;y))x2G^y2G 8x;8y;8G;ar^ete

G (x;y))8G 0 ;ar^ete G[G 0(x;y)

Iln'yaau un hemindanslegraphevide.Larelationde heminestlafermeturesymétriqueettransitivede larelationd'arête.Siun heminexisteentredeuxsommets,alorssoit essommetssontreliésparunearête, soitilexisteunsommetintermédiairereliéà ha undesdeuxsommetsparun hemin.

8x;8y;: hemin ;

(x;y) 8x;8y;8G;ar^ete

G (x;y)) hemin G (x;y) 8x;8y;8G; hemin G (x;y)) hemin G (y;x) 8x;8y;8z;8G; hemin G (x;y)^ hemin G (y;z)) hemin G (x;z) 8x;8y;8G; hemin G (x;y))ar^ete G (x;y)_9z; hemin G (x;z)^ hemin G (z;y)

Deuxgraphessontégauxs'ils ontiennentlesmêmesommetsetlesmêmesarêtes.Larelationd'égalitéest unerelationd'équivalen e.

8G;8G 0 ;GG 0 ,(8x;x2G,x2G 0 )^(8x;8y;ar^ete G (x;y),ar^ete G 0 (x;y)) 8G;GG 8G;8G 0 ;GG 0 )G 0 G 8G;8G 0 ;8G 00 ;GG 0 ^G 0 G 00 )GG 00

Onadepluslapropriétéde ompatibilitédel'égalitéave haqueopérationet haqueprédi at.Onendonne seulementdeuxexemples:l'opérationd'unionetleprédi at omplet spé ié i-après.

8G;8G 0 ;8G 00 ;GG 0 )G[G 00 G 0 [G 00 8G;8G 0 ;GG 0 )( omplet(G), omplet(G 0 ))

Ungrapheest omplets'ilexisteunearêteentretout oupledesommets.  omplet(G),8x;8y;ar^ete

G (x;y)

Ungrapheest onnexes'ilexisteun heminentretout oupledesommets.  onnexe(G),8x;8y; hemin

G (x;y)

Un sommet estdit isolé dans un graphes'il n'est relié àau un autre sommet du graphe. Ungraphe ne ontientdon pasdesommetisolésitoutsommetestreliéàunautre.

Ungraphea y liquene ontientpasde hemind'unsommetverslui-même.  a y lique(G),8x;: hemin

G (x;x) Unarbreestungraphe onnexea y lique.

 arbre(G), onnexe(G^a y lique(G)

Unarbre ouvrantungrapheGestunarbrepossédantlesmêmessommetsqueGetunsous-ensemblede sesarêtes.

 ouvrant(A;G),arbre(A)^(8x;x2A,x2G)^(8x;8y;ar^ete A

(x;y))ar^ete G

(x;y)) 3

Ilnousfautdénirmaintenantdénirlefon teurFor etlafaçondontiltransportelesmorphismesde signatures.Unmorphismedesignatures:!

0

estprolongéauxtermespuisauxformulesintuitivement en hangeanttouslessymbolesdeapparaissantdans lestermesetlesformulesparlessymbolesde

0 orrespondants.

DÉFINITIONII.8Prolongementdesmorphismesdesignaturesauxensemblesdeformules. Soientet

0

deuxsignatures.SoientV unensembledevariablessuretV 0 unensembledevariables sur 0 .Soit:! 0

unmorphismedesignatures.Onnote V

:V !V 0

l'appli ationinje tivetelleque pourtouts2S,pourtoutx2V

s , V (x)2V 0  S (s) . Le prolongement de auxtermes ave variables,noté : T



(V) ! T 

0

(V),estdénipour touttermet indu tivementsurlaformedetdelafaçonsuivante:

 sitestunevariablex2V,(t)= V (x);  sitestdelaformef(t 1 ;:::;t n ),alors(f(t 1 ;:::;t n ))= F (f)((t 1 );:::;(t n )). Le prolongement de  aux formules, noté 

\

: For() ! For( 0

), est déni pour toute formule ' indu tivementsurlaformede'delafaçonsuivante:

 si'estdelaformer(t 1 ;:::;t n ),alors \ (')= R (r)((t 1 );:::;(t n ));  si'estdelaforme: ,alors

\

(')=: \

( ) ;  si'estdelaforme ave 2f^;_;)g,alors

\ (')= \ ( ) \ ();  si'estdelaformeQx ave Q2f8;9g,alors

\ (')=Q V (x) \ ( ). Parabusdenotation,onnoteraégalementleprolongementdeauxformules.

Lefon teurFor asso iedon à haquesignaturesonensembledeformulesetà haquemorphismede signaturessonprolongementauxformules.

DÉFINITIONII.9Fon teurFor.

OndénitFor :Sig!

Set

ommeétantlefon teur:

 quiasso ieà haquesignature2jSigjl'ensembleFor()desformulessur;  quiasso ieà haquemorphismedesignatures :!

0

leprolongementdeauxensemblesde formules :For()!For(

0 ).

1.2 Sémantique

un-modèle.

DÉFINITIONII.10Modèled'unesignature.

Soit=(S;F;R )unesignature.UnmodèleMasso iéàestunS-ensembleM munipour haque nomd'opérationf :s 1 :::s n !s2F d'uneappli ationf M :M s 1 :::M s n ! M s ,etpour haquenomdeprédi atr:s

1

:::s n

2Rd'unerelationn-airer M M s 1 :::M s n .

EXEMPLEII.8Groupes.

Unmodèledelasignaturedonnéeàl'exempleII.2esttoutensemblemunid'unélémentdistinguéetde deuxopérationsinternesunaireetbinaire.Par exemple,l'ensembleN desentiersnaturelsoùeestl'entier 0,l'opération __ estinterprétéeparl'additiondedeuxentiers etl'opération _

1

estinterprétée parla fon tionquiretire1àtoutentiernonnuletà0asso ie0estunmodèlede ettesignature.Cen'estbiensûr pasungroupemaislasignatureseulenedonneau uneindi ationsurle omportementdesopérations.Ce sontlesaxiomesquipermettentdedistinguerentrelesmodèlesdelasignature euxqui orrespondentau omportementattendu.

Unautreexempledemodèlepour ettesignatureestl'ensembledesentiersrelatifsZoùe=0,l'opération __estinterprétéeparl'additionet_

1

estinterprétéeparlafon tionquiàtoutentierasso iesonopposé. Cemodèleétantungroupe,ilseraunmodèledelaspé i ationdesgroupesdonnéeàl'exempleII.6.

Ladistin tionentre esdeuxmodèlesserafaitegrâ eàlanotiondesatisfa tiond'uneformuleparun modèleenlogiquedupremierordredénieauxpagessuivantes.

3

Pourdénir la atégoriedes modèlesasso iée àune signature,ilnous fautdénirlesrelations entre lesmodèlesd'unesignature:lesmorphismesdemodèles.Deuxmodèlesd'unemêmesignaturesontdeux ensemblesmunisd'interprétationsdifférentesdessymbolesde ettesignature.Unmorphismedemodèles estdon unmoyendefaire orrespondre esdeuxensembleset esdeuxinterprétationsdessymbolesde manièreàpréserverlasatisfa tiondesformules.

DÉFINITIONII.11Morphismedemodèles.

Soit  = (S;F;R ) une signature.SoientM;M 0

2 Mod()deuxmodèlesde . Un morphisme de modèles:M!M

0

estunefamilled'appli ations=( s :M s !M 0 s ) s2S

tellequepourtouteopération f :s 1 :::s n !s2F,pourtout(a 1 ;:::;a n )2M s 1 :::M s n ,  s (f M (a 1 ;:::;a n ))=f M 0 ( s 1 (a 1 );:::; s n (a n ))

etpourtoutprédi atr:s 1 :::s n 2R ,pourtout(a 1 ;:::;a n )2M s1 :::M sn , (a 1 ;:::;a n )2r M ,( s1 (a 1 );:::; sn (a n ))2r M 0

DÉFINITIONII.12Catégoriedesmodèlesasso iéeàunesignature.