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Sur la théorie de la supraconductivité
M. Born, K.C. Cheng
To cite this version:
LE
JOURNAL
DE
PHYSIQUE
ET
1
LE RADIUM
SUR LA
THÉORIE
DE LASUPRACONDUCTIVITÉ
Par M. BORN et K. C. CHENG. Université
d’Edimbourg.
Sommaire. -- - La théorie d’Heisenberg attribue la supraconductivité à l’interaction des électrons
entre eux. Elle ne fait pas intervenir le réseau cristallin du métal. Celle que développent MM. Born et Cheng tient compte de l’interaction entre les électrons et les ions du métal; elle conduit à prévoir que la supraconductivité ne doit apparaître que dans les métaux où la surface de Fermi est très proche
des sommets d’une zone de Brillouin, ce que l’expérience vérifie. Les valeurs de la température de
tran-sition, de la variation de chaleur spécifique et du champ magnétique critique prévues sont bien de l’ordre de grandeur observé.
SÉRIE VIII. - TOME IX. N° 10.
Il est
admis,
engénéral,
que lephénomène
desupraconductivité
est dû à l’interaction des élec-trons.Heisenberg [1]
a tenté d’en établir une théorie sans tenircompte
de la structure cristalline desmétaux. Cela nous
paraît
difficile à concilier avec unthéorème
général
qui
peut
être démontrérigou-reusement :
1[état
à courant nul d’une assemblée d’électrons en interaction de Coulomb anécessai-rement une
énergie
moindrequ’un
état avec uncourant résultant. De
plus,
àchaque
état aveccourant
correspond univoquement
un état sanscourant. Il en résulte que
l’énergie
libre de l’étatavec courant ne
peut
être minimum à aucunetempé-rature.
Il y a
également
uneobjection
empirique
à lathéorie de
Heisenberg :
elleprévoit
l’existence de lasupraconductivité
dans tous les métaux.Or,
iln’y
aactuellement aucune indication
expérimentale
qui
nous
permette
deprévoir l’apparition
de la supra-conductivité parexemple
dans les métaux alcalinsà très basse
température.
C’est
pourquoi
nous avonsessayé
dedévelopper
une théorie fondée sur le fait que les électrons ne se meuvent pas dans
l’espace
vide,
mais sont en interaction avec les ions du métal.On sait que les forces
ioniques
ont une influenceprédominante
sur lecomportement
des électronsquand
la surface deFermi,
considérée comme unesphère,
est voisine desplans
qui
limitent l’une deszones de Brillouin. Si la surface de Fermi circonscrit
presqu’une
zone de Brillouincomplète,
il est certain que cette zore circonscrite estpleine
et que lasui-vante est
partiellement remplie.
Lafigure
donne uneFit. 1.
image
grossière
del’aspect
d’unplan (E
en fonctionde
JPy),
où E estl’énergie
et P,. est lacomposante
del’impulsion
suivant un des côtés dupolygone
repré-sentant une section d’une zone de Brillouin. La
surface
d’énergie
E(p)
a une discontinuité lelong
de ce
plan,
discontinuité maximum aux sommets OAet minimum dans l’intervalle. Par
conséquent,
si l’onnéglige
l’interaction desélectrons,
lapremière
zoneest
remplie
jusqu’au
sommet, tandis que la seconde .est
partiellement
remplie
dans le fond du troud’énergie.
’Avant d’aller
plus
loin. nous avons cherché uneJOCRNAL DE PHYSIQUE ET LE RADIUM. - SÉRIE VIII. - T. I1. - :v’° 10. - 0(,TOBBE 1948. 18.
250
confirmation
empirique
de l’idée que la supra-conductivitéapparaît
dans les métaux pourlesquels
la surface de Fermi est trèsproche
d’un ensemble de sommets d’une zone de Brillouin. Le tableau suivantmontre, pour la
plupart
des élémentssupraconduc-teurs et pour certains éléments
qui
ne le sont pas,les différents
rapports
du rayon de lasphère
de Fermià la distance à
l’origine
des sommetsqui
se trouventprès
de cettesphère
dansl’espace
des moments.TABLEAU.
Ce tableau nous a
encoragés
à chercher si lesélectrons
qui
émigrent
des sommets sous l’influencede leur interaction mutuelle et deviennent ainsi
libres, peuvent
s’ordonner endispositifs asymétriques
dans
l’espace
des moments, de manière à êtrecapables
detransporter
un courantpermanent.
Nous avonsdonc calculé le nombre des électrons transférés de
la
première
zone au creux depotentiel
de la secondezone ou inversement.
L’action la
plus
importante
que les électronsexercent les uns sur les autres est la force
d’échange
de Coulomb entre électrons de
spins parallèles.
C’est ce que montrent les calculs de
Wigner
etSeitz
[2] sur l’énergie
de dissociation des métaux Li et Na :l’énergie
d’échange
est presquequatre
foisl’énergie
de corrélation entre les électrons despins
antiparallèles.
Considérons poursimplifier
l’unité de volume d’un métal. Nous supposerons que lazone de Brillouin
possède
(,)0 sommetsplacés
symé-triquement
dansl’espace
des moments. Soient nl,n2, ..., n.,, le nombre des électrons
ayant
émigré
des sommets
correspondants
et soit no la densitémoyenne des électrons dans le
métal;
le calcul donne,pour la variation totale de
l’énergie,
,Voici la
signification
des différents termes : le terme)
constant et le dernier terme entre crochets, en
n;,
sont obtenus en sommant sur
l’énergie
cinétique
desdifférents électrons
d’impulsion
pi situésprès
dessommets, sur
lesquels
l’électron al’impulsion
p,;m* est la masse effective des
électrons,
c’est-à-direLe second terme entre
crochets,
enn;~
provient
de
l’intégration
del’énergie d’échange
des électronsayant
leursspins parallèles
etdéplacés
des sommets.Ces électrons
remplissent
ensuite la surface de Fermidans les creux de la seconde zone. Ce processus
conduit au terme
(Y ’l)
Z
/
,En faisant varier dans
(1),
les nombresd’occu-pation
nl, n2, ..., n,,,, on calcule les minima(relatifs)
de ~E. Le résultat montre
qu’il
estpossible
d’avoirun état
d’énergie
minimum tel queparmi
les w0som-mets il y en ait co seulement
(w
wo)
qui
soient « excités o cequi
veut direqu’un
certain nombred’électrons
I018)
sont enlevés de chacundes sommets et redistribué sur la surface de Fermi
libre,
tandis que les autres sommets restent intacts.En cherchant le minimum de
l’expression (1), ~
on trouve pour n,
1
Cette formule montre que n
dépend
très peu de 20: le facteur entre accolades esttoujours
compris
J
.entre i et 2. L’inverse
n -"3 peut
être écrit en fonction r, 2du rayon de Bohr r
= h2
0,55.
10-8 cm : me2D’autre
part,
on sait que m * -fÎ
d’oùI N 116 r,
Une distribution
asymétrique
des électrons dansl’espace
des momentsreprésente
un étatqui possède
uneimpulsion
résultante et, parsuite,
un courantspontané.
Il faut déterminer maintenant les
propriétés
thermodynamiques
de cet état.L’énergie
thermique
des électrons transférés sur la surface de Fermi estIl en résulte que
l’énergie
interne U etl’énergie
suivantes de w
où
1
nJ étant donné par
(2).
En substituant cette valeur de n dans
l’expression
de
A,
on obtientqui peut
êtrepositif
ounégatif.
Il seraclair,
dans lasuite,
que A doit êtrenégatif
etpetit
pour obtenirla
supraconductivité
ordinaire(des
valeurspositives
de Apourraient indiquer quelqu’autre phénomène,
tel que le
changement
soudain de résistance danscertains métaux à basse
température).
Pour obtenir le minimum de
l’énergie
libre,
nouségalerons
à zéro la dérivée de(6)
parrapport
à ù), cequi
donned’où
La
température
de transition7’o
est définiepar o) =
Mo parce que, pour cette
valeur,
l’asy-métrie et, par
conséquent,
lasupraconductivité,
disparaissent.
On trouve ainsioù le nombre des sommets est de l’ordre de I o,
la densité
électronique
rto N I023 cm-3 et,d’après (4),
n
Ta
devient alors de l’ordre dequelques
degrés
K comme cela doit être.La chaleur
spécifique
au-dessous de latempé-rature de transition est
Le
premier
terme dans( 11)
estindépendant
de Atet, par
conséquent,
de toutehypothèse
sur ladison-tinuité
d’énergie
êo, tandis que le second terme endépend.
Onpeut
calculer iod’après
la déviation de la chaleurspécifique
de la loi enT3,
cequi
revientà
emprun,ter
àl’expérience
environ 1 o pour 10o dutotal. Si le métal n’était pas
supraconducteur,
nouspourrions
obtenir la chaleurspécifique
du zinc eny faisant (J) = et en différentiant par
rapport
àT,
c’est-à-dire w, CT. Il en résulte que le
chan-gement
de chaleurspécifique
dû au mécanisme dela
supraconductivité
estce
qui, d’après (10),
peut
être mis sous la formequi représente
laquantité
réellement mesurée.Lorsque
A estpetit,
notre formule estd’açcord
avecla formule
empirique
obtenue par Kok[3],
ycompris
les facteursnumériques
dont l’ordre de.grandeur
est,par
exemple,
pourl’étain,
d’après (13),
Nous avons maintenant à tenir
compte
duchan-gement
magnétique produit
par les courantsspon-tanés et
(ou) imposés
du dehors. A ceteffet,
il fautajouter
àl’énergie
libre des électronsl’énergie
(8 )
H2par unité de volume. L’étude des niveaux
énergé-tiques
du mouvementélectronique
montre que cesniveaux sont peu modifiés par le
champ magnétique.
Nous supposerons que les courants ont des intensités
et des directions arbitraires à l’intérieur des domaines élémentaires. Il faut déterminer leur distribution moyenne en évaluant le minimum de
l’énergie
libretotale,
c’est-à-direD’autre
part,
le courantspontané
estpropor-tionnel au nombre des sommets
occupés
úJo - w dela zone de
Brillouin,
de sorte que la densité decou-rant
spontané
est1
où VS -
2013. ~
3,3 .10~ cm :
’ sec est la vitesse desélectrons
supraconducteurs. Négligeons
les courantsohmiques
ordinairesqui
sont court-circuités par les252
Introduisons
(15)
et(16)
dans(14),
on obtientavec les abréviations
1
La
distribution
duchamp
s’obtient en cherchantle minimum de
l’expression (17)
parrapport
àH,
tenantcompte
de la continuité de H sur la frontière.Divisons j = j
curl H en deuxparties :
4r
1 f:,
cequi
arrive dans leschamps
faibles,
nous obtenonsl’équation
de London pour le casstationnaire
avec
D’autre
part,
quand
lechamp
extérieur estgrand,
l’équation
de London n’estplus
valable et doit êtreemplacée
paroù A est le
potentiel
vecteur.Même pour des
champs
intenses, larégion
oùl’équation
(20)
est valable est une mince couche limite dontl’épaisseur (la
profondeur
depénétra-tion
a)
est obtenue enpostulant
que la fonction Hest continue à travers la surface
qui sépare
la couche limite de l’intérieur oùl’équation
(19)
de Londonest valable. Pour des
champs
magnétiques
exté-rieurs H très forts
(pour lesquels
nous n’avons pasde données
expérimentales),
on obtientoù
H/
est une constante etH,,
lechamp magnétique
extérieur.
Le
champ magnétique critique
H, s’obtient enégalant
lesénergies
libres de l’état normal et del’état
supraconducteur.
Lapremière
estexac-tement
La seconde est
l’expression
(17),
où Hreprésente
le
champ magnétique supraconducteur.
Le calcul conduit à la formuleavec
Ce résultat est d’accord avec
l’expérience
nonseu-lement en ce
qui
concerne ladépendance
de latempérature,
mais aussi l’ordre degrandeur.
Une théorie détaillée sera
publiée
par l’un desauteurs
