Propriétés électromagnétiques des plasmas

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Propriétés électromagnétiques des plasmas

Michel Bayet

To cite this version:

PROPRIÉTÉS

ÉLECTROMAGNÉTIQUES

DES PLASMAS

Par M. MICHEL BAYET. Laboratoire de Physique de l’E. N. S.

Sommaire. 2014

Après l’examen des hypothèses nécessaires à l’établissement des théories des _plasmas telles qu’elles se présentent actuellement, l’on étudie les conditions de _propagation d’ondes

électro-magnétîques longitudinales et transversales, en se bornant aux cas _{où il n’existe pas de champ}

magné-tique, mais en tenant compte de la réorientation aléatoire des vitesses des _électrons, due aux différents chocs _qu’ils subissent. Dans ce but, et en _supposant une _fréquence de collision constante, on établit la « formule de mobilité » liant le _{champ électrique} à la _{vitesse moyenne qu’il communique} aux électrons, puis les formules de _dispersion »

reliant

la longueur d’onde et la fréquence de la _{perturbation qui} se

propage. 1. -

Hypothèses

fondamentales.

1. Nous

_appellerons

«

_{plasma »}

un _{gaz ionisé} en

équilibre,

c’est-à-dire un milieu

_composé

de

molécules,

d’ions

_positifs

et

_{d’électrons,}

_globalement

neutre et

individuellement

conservatif,

ce

_{qui implique qu’il}

n’y

a ni

ionisation,

ni désionisation

_(par

diffusion vers

les

_parois

ou _{recombinaison dans} sa

_masse),

donc en

particulier

que la densité

_{électronique}

est faible

(inférieure

à

₁₀₁₂₎

et _que les dimensions d du milieu

sont

_grandes

vis-à-vis _{du 1. p.} m.

_(libre

parcours

moyen) 1

des électrons. Nous _supposerons, en _outre,

que ces derniers restent

_libres,

c’est-à-dire que le gaz

ne renferme pas de molécules

susceptibles

de former

des ions

_{négatifs (02,}

CO,

etc.),

à moins _que l’ioni-sation ne soit

_complète.

Cette théorie

s’applique

d’ailleurs en

_grande

_partie

à un « _gaz » d’électrons, dont

_{l’équilibre}

est

_assuré,

non

_plus

_par un nombre

_égal

d’ions

_positifs,!

mais _par

un mouvement d’ensemble

_imposé;

o’n doit alors

avoir 1 - d.

2. Nous _{supposerons que les chocs entre}

_électrons,

de masse m, et les atomes, de masse

III,

sont

_purement

élastiques,

ce

_{qui exige}

_que

_{l’énergie thermique}

et

les

_champs

existants soient

faibles,

et l’on

_néglige

la

perte

d’énergie qui

en

_résulte,

_{par suite de la}

peti-tesse du

_rapport

_{~)§ ,}

de sorte

_{qu’il n’y}

a _{pas de}

trans-fert

_d’énergie

des électrons aux _atomes; le seul effet des chocs est une réorientation aléatoire des vitesses

électroniques.

Par

suite,

l’énergie électrique

nécessaire

à l’entretien d’un

_plasma

est nulle

_{(une décharge}

nécessite un

_champ

extérieur : i ou 2

_V/cm

dans la

colonne

_positive,

ce

_{qui impose}

d’ailleurs au milieu

une certaine

_{anisotropie).}

3. _{Nous supposerons que les ions}

_{positifs (et}

à

_plus

forte

_{raison, d’ailleurs,}

les

_atomes),

restent

immobiles,

à cause de leur masse, et que leur seul rôle est d’assurer

l’équilibre électrique.

Dans une

_décharge,

l’ionisa-tion est

_{généralement}

si faible

(inférieure

à i _pour

_{i oo)}

que l’on

peut

négliger

leur rôle vis-à-vis de celui des atoines dans les collisions

_{électroniques.}

Dans un

milieu

_{complètement}

ionisé

_{(ionosphère),}

il n’en est

plus

ainsi et ils _assurent, à eux

_seuls,

la réorientation des

_vitesses

des électrons. Mais nous _{n’entrerons pas}

dans le détail du mécanisme de ces _chocs,

_qui

donnent

lieu à l’émission d’un

_rayonnement

électromagné-tique

de

_{freinage (« Bremsstrahlung »)}

_{étudié par} de nombreux auteurs,

depuis

Kramers

_{[1] jusqu’à}

Denisse

_[2]

et Kwal

[3].

4. De

_{plus, lorsqu’il}

_existe,

_{par suite d’une}

pertur-bation dans la densité

_{électronique,}

un

_champ

élec-trique

local

variable,

noues - _{supposerons que}

_chaque

électron est

_placé

dans le

_champ

moyen créé par les

autres,

hypothèse analogue

à celle du «

_champ

self

consistent » _{utilisée par Hartree} en

_Mécanique

quan-tique.

Ceci revient à

_négliger

l’interaction individuelle

des

électrons,

problème

très difficile et non encore

résolu :

a. Pour des forces de

_Coulomb,

la section de choc

croît indéfiniment

_lorsque

les dimensions du _gaz d’électrons croissent indéfiniment

_{(1) (dans}

un

_plasma,

la situation est meilleure du _{fait que} les ions

_positifs

font

_écran);

il en résulte que les chocs à faible distance sont

_{négligeables,}

le rôle essentiel étant

_joué

_par

l’interaction

_{éloignée, impliquant}

de faibles modifi-cations de la vitesse.

Mais,

de

_plus,

les calculs

théo-riques

de Thomas

_[4],

Landau

_{[5], Chapman}

et

Cowling [6],

montrent que l’interaction totale est

très faible : il

_{faudrait, d’après}

Cahn

_[7],

une densité

électronique

considérable

₍₁₁

> pour que l’inter-action soit assez

_importante

_pour

établir,

dans un

gaz ionisé où 1 = 100 1-’-

(ce qui correspond

à une

pression

de

_quelques

millimètres

_Hg),

une

distri-bution maxwellienne des vitesses

_{électroniques}

cor-e) On sait que la section efficace de choc cl est liée au _{1. p.} m. l _{par la} relation _nql = _{l, n} désignant la densité des particules

avec lesquelles l’électron considéré est susceptible d’entrer en collision _(ici, c’est la densité _{électronique),} et le terme

« collision » _englobant toutes les modifications de vitesse subies par un électron du fait de la _présence des autres

élec-trons. Cette modification est d’autant _plus faible que les

particules considérées sont éloignées, mais le nombre de

celles-ci croît indéfiniment _quand le volume s’accroît indé-finiment et, pour une loi de force inversement proportion-nelle au carré de la _distance, le calcul montre que la fréquence

de chocs, ainsi que q, qui lui est _{proportionnelle,} croissent sensiblement comme le _logarithme de ct. _(En théorie _cinétique

classique, où l’on suppose que les particules n’exercent entre

elles aucune force tant qu’elles ne sont pas au _{contact, auquel} cas il y a répulsion infinie, il n’en est évidemment pas ainsi,

et les sections de choc sont indépendantes du volume du _gaz.)

LE _JOURNAL PHYSIQUE

~~3~

1952,

580

respondant

à la «

_{température »}

de 3ooo

K,

le

champ,

étant de i

_V/cm.

,

b. Mais

_{l’expérience}

dément ces

_{prévisions :}

dans

un tube à

_décharge,

la distribution maxwellienne des vitesses s’établit pour des densités

électroniques

beaucoup

plus

faibles,

en des

_{temps beaucoup}

_plus

brefs et à des distances des

_parois

_beaucoup

_plus

courtes que ne le veulent les théories

_{précédentes,}

dans des conditions telles

_qu’aucun

autre mécanisme

ne

_peut

être

_invoqué;

l’interaction observée est,

au

moins,

1000 fois

_plus

forte que celle que l’on

prévoit :

c’est le « Paradoxe de

_Langmuir

»

_[8].

Certains

auteurs,

comme

_{Hoyaux [9],}

en viennent

même _{à admettre que les} électrons

échangent

conti-nuellement de

_{l’énergie,}

_{du moins tant que la}

répar-tition de leurs vitesses n’est _pas maxwellienne.

c. Gabor

_[10]

vient de

_reprendre

le

_{problème :}

des

_expériences

directes

_entreprises

sous sa direction

par M. Ash

[11]

montrent que l’interaction n’est pas

beaucoup plus

grande

que celle

qui

est

_prévue

_{par la}

« loi de Thomas » _et, en tout cas, insuffisante pour

expliquer

la distribution maxwellienne des

vitesses,

qui

ne

_serait,

selon

_Gabor,

_qu’une

_apparence

macro-scopique

et non une réalité à l’échelle

_{corpusculaire.}

5. _{On supposera enfin que tant que la} vitesse v

des électrons est

_négligeable

devant celle de la lumière

(v

~

c),

ce

_qui

est

_{généralement}

le _{cas, du}

moins dans les _gaz, l’on

_peut

_négliger

la

_composante

magnétique

de l’interaction

électronique

et que l’on

peut

établir une distinction entre ondes

_{longitudinales}

et ondes transversales. Nous supposerons, en

_outre,

qu’il

n’existe pas de

_champ

_magnétique

extérieur. Gabor

[10]

a d’ailleurs montré _{que les résultats établis}

ci-dessous sont

valables,

dans certaines

_conditions,

pour un faisceau d’électrons relativistes.

6. Dans la

_suite,

on tiendra

_{systématiquement}

compte

des chocs subis _par les

électrons,

non

seu-lement parce que l’on obtient ainsi des résultats

_plus

généraux

sans

_compliquer

énormément les

_calculs,

mais aussi parce

qu’ils

fournissent un _moyen de tenir

compte

de la

_répartition

désordonnée des vitesses

électroniques, quelque inexplicable qu’elle paraisse.

Ils seront _{caractérisés par} leur

_fréquence

_f

=

2 ,

qui jouera

en somme le rôle d’un

paramètre ajustable

pour tenir

compte

de la réorientation des

_quantités

de mouvement et sur la définition

_duquel

nous

reviendrons

_plus

loin.

II. - Coefficient de mobilité.

Tant que le mouvement des électrons

(de

charge

électrique - e)

est

_{purement désordonné,}

_{la moyenne} des

_composantes

de leurs vitesses dans une direction

quelconque

est nulle à tout

instant,

tandis que la moyenne des carrés de ces mêmes

_composantes

v2

1)2

étant la _{moyenne des} carrés des vitesses. Mais dès

_qu’il

existe un

_{champ électrique}

de

direc-tion

déterminée,

celui-ci

_impose

aux vitesses une

direction

privilégiée,

de sorte que leur moyenne dans

une direction non

_{perpendiculaire}

au

_champ

n’est

_plus

nulle. Nous

_appellerons

« coefficient de mobilité »

des électrons le coefficient ji défini par la relation

w étant la vitesse moyenne des électrons dans la

-+

,

direction du

_{champ 8}

= E à un instant donné t. Il en _{résulte que le} « courant de conduction » est donné _par

1

et que le coefflcient de conductivité est 7 =

Le

_déplacement

_{et, par}

suite,

la vitesse _moyenne d’un électron dans la direction du

_{champ, dépendent}

de v et de 1 et, par

suite,

des

_hypothèses

faites sur

le _{1. p.} m.

’

1. En théorie

_{cinétique classique,}

le 1. p. m. d’une

particule

est

_indépendant

de sa

_vitesse,

mais w en

dépend

et

_dépend

donc de la « fonction de distri-bution » de

celles-ci,

donc de

_{l’énergie électronique,}

qui

est _{elle-même affectée par le}

_champ.

Un calcul

classique

dû à Lorentz

_[12]

montre

_qu,

_lorsque

la

répartition

est maxwellienne et que le

_champ

ne

dépend

pas de

t «(1)

=

o),

on a

v"i et _{vq étant} les vitesses moyenne et

quadratique

moyenne à l’instant où l’on mesure _;~..

Il en résulte que l’on ne

_peut

définir un coefficients

de _{mobilité moyen} dans le

_temps

_{que si l’on} se

_place

dans un état

_{stationnaire,}

où

_l’énergie

_que les

élec-trons

_gagnent

sous l’influence du

_champ

est

_compensée

par celle

qu’ils perdent

dans les chocs. C’est seulement

dans ce cas _que aura une valeur

constante,

ou

périodique

avec la même

_fréquence

_{que le}

_champ

si ce dernier est

_périodique;

il eh sera de même alors

pour ;a et w. Le calcul a _{été effectué par}

_Margenau

_[13]

avec ces

_{hypothèses (chocs élastiques seulement)}

et pour un

_{champ électrique}

de

_pulsation

_{cj ;} on retrouve

bien la formule de _{Lorentz pour} cf, = o.

Notons, enfin,

que

Huxley

[14]

a donné une

expres-sion

_générale

de w sous l’action d’un

_champ

élec-trique

sinusoïdal et d’un

_{champ magnétique}

_constant,

mais sans déterminer les vitesses

_{électroniques}

corres-pondantes,

dont

_l’emploi

de ses _{formules suppose la}

connaissance.

2. Par _contre,

_{l’hypothèse}

avec

laquelle

ont été faits la

_plupart

des

calculs,

sans

qu’elle

ait été

expli-citement

mentionnée,

depuis

Lorentz

_{[15] jusqu’à}

Denisse

_[16]

et Burkhardt

_[171,

est celle d’une fré-quence moyenne de chocs

f

v 1

indépendante

de la

vitesse ;

cette

_hypothèse

a été

_envisagée

_pour la

pre-mière fois d’ailleurs par Maxwell. Elle

permet,

en

effet,

des calculs

_{plus simples,}

car la mobilité ne

_{dépend plus}

alors de

_l’énergie

des électrons

ni,

par

suite,

de la

répartition

de leurs vitesses. Elle est, en _outre,

_plus

proche

de la réalité que la

première.

En

_eifet,

tous les résultats

_{expérimentaux [18]}

montrent que 1 croît avec _v, à

_part

_quelques

accidents,

dont l’effet

_Ramsauer,

du côté des faibles vitesses,

où l’on _manque d’ailleurs de données

_précises;

du côté

supérieure

à 15 Z2

_(Z

étant le numéro

atomique),

l’approximation

de Born donne un 1. _p. m.

propor-tionnel à v4. Et _{certains gaz, l’hélium eh}

_particulier,

très étudié _{actuellement pour cette}

raison,

suivent

très

bien,

dans le domaine des

_énergies

courantes dans

une

_décharge

₍₂

à 20 une const: Notons, v

en _{outre, que la}

proportionnalité

de l à v4 est

_également

approximativement

valable pour les chocs électrons-ions

_{positifs (c f . Chapman}

et

_{Cowling [6]).}

Nous effectuerons le calcul de la mobilité dans le

cas

_général

où il existe une force d’amortissement F

proportionnelle

à la

vitesse,

que nous écrirons F = im

(w - tù/)

_v introduisant ainsi _un coefficient c~’

qui

sera

_égal

à w si l’amortissement est nul. Par

exemple,

si le

_freinage

est dû à un

_champ

extérieur constant H et au

_rayonnement

«

_{gyromagnétique}

» consécutif de

l’électron,

on aura,

d’après

Denisse

_[16],

Dans ces

_conditions,

le mouvement d’un électron entre deux chocs sera

_régi

par

l’équation

La constante A

_dépend

de la vitesse

_{d’agitation}

thermique

et des conditions du dernier choc subi par l’électron considéré. Pour calculer la valeur moyenne tv des vitesses v de tous les

électrons,

on

_opère

en deux

_{temps :}

a. On

_considère,

à un instant

_{donné il,}

les

élec-trons 0

_qui

ont subi leur dernier choc au

temps

t,

- 0 -

ït d()

( o %

m, ~

_{1 )}

et l’on admet _{que la}

répartition

de leurs vitesses à l’issue de ce choc est

isotrope,

c’est-à-dire que leur vitesse moyenne wo est nulle au

_{temps fi}

-

0;

on a alors

b. _{On suppose} que la

_répartition

des « libres vies moyennes » est

_purement

aléatoire

(chaos

molécu-laire),

de sorte que le nombre des électrons 0 est

et l’on obtient la vitesse _{moyenne w}

_(fi)

de tous les

électrons au

_{temps fi}

en

_intégrant

_pour toutes les

valeurs de 0

_{(ce qui implique}

_que

_f

ne

_dépend

_pas

de la vitesse des

électrons,

donc du

_{temps) :}

soit

D’où le coefilcient de mobilité

et le coefficient de conductivité

Alors que la relation

qui

lie la vitesse de l’électron libre au

champ

est

celle

_qui

lie la vitesse _moyenne d’un ensemble d’élec-trons soumis à des chocs et à une force de

_freinage

s’ écrit :

On

pourrait également

calculer le

_déplacement

moyen

s (8)

des électrons « 6 » durant le

_temps

-

et le

_déplacement

moyen de l’ensemble des électrons

depuis

leur dernier choc

_{jusqu’au temps t}

On constate alors que la dérivée du

_déplacement

ds

_t

pas

égale

.. 1 moyenne w des dérivées

.

dt

n’est pas

égale

à _{la moyenne} w des dérivées

des

_{déplacements;}

on _a, en fait

ce

_qui

est souvent cause d’erreurs de calculs.

Lorsqu’il n’y

a pas d’amortissement et, en

parti-culier,

pas de

pertes d’énergie

par

chocs,

on retrouve

les formules courantes :

mais dont on ne _{trouve pas de}

démonstrations,

sinon

indirectes,

dans des articles récents de Cahn

_[19]

et de Everhart et Brown

_[20]

_reposant

sur le travail de

Margenau [13],

ainsi _{que dans le} livre de Jouaust

_[21].

On retrouve

évidemment,

pour

f

=

o, le cas des

électrons libres _{et, pour} ~o = _{o, une} formule de

mobi-lité

_qui

diffère de celle de Lorentz par un facteur

3 ~‘

·

III. - Formules de

dispersion

pour les ondes

longitudinales.

Nous nous _proposons de rechercher les conditions de

_propagation

d’un

_champ

électrique longitudinal,

dont on se fait facilement une idée dans le cas d’un

milieu unidimensionnel : sur la

_figure

i, la densité

électronique

est

_supposée

subir une

_perturbation

582

nous ne nous

_{préoccuperons}

pas des conditions d’exci-tation de la

_perturbation

initiale et nous allons établir

la « formule de

_dispersion

» du

_plasma,

c’est-à-dire

la relation entre la

_{fréquence 9}

.~

~~’

et la

_longueur

d’onde A

= ~ * z

de la

_{perturbation qui}

se _propage.

Nous utiliserons la méthode

d’analyse

de substi-tution _{telle que} la définit Twiss

_{[22]. Supposons}

que les électrons du

_plasma

sont

_répartis

en faisceaux de

vitesse v, et de densité n,,, soumis à des

_{perturbations}

de

_pulsation

co et de vecteur d’onde

k,

de sorte que

l’on a, en

_négligeant

tout d’abord l’influence des

chocs :

1-’ig. 1.

Densité _{électronique proportionnelle} à celle des hachures.

Entre ces

_grandeurs

et le

_champ

_électrique,

nous

avons, dans le

système

rationalisé M. K. S.

( on

passera

I ,

au

_système

de Gauss en

_postant

=

I ),

les trois

équations

fondamentales suivantes :

.i ;

a.

_{L’équation}

de

Poisson,

qui implique

que les

charges

électriques (positives

et

_négatives)

sont

unifor-mément

_réparties,

et non localisées

(pas

d’interactions

individuelles)

Sps étant la densité de

_charge,

_qui

se réduit à - e ~’

~n, la

_charge

_d’espace

des ions

_positifs

annulant E

on aura donc

b.

_{L’équation}

de continuité ’

qui

s’écrit,

en

_{première approximation}

c.

_{L’équation}

de _Lorentz,

_qui

donne, en

_négligeant

le

_champ

_magnétique

et la correction de relativité,

soit

Prenons la

_divergence

des deux membres; il vient

D’où,

en substituant

₍₃₎

et

₍₂₎

dans

₍₁₎

et en

_posant

l’équation

de

_dispersion

Cette

_équation

est

_également

valable pour des

faisceaux d’électrons dont

_{l’équilibre}

est assuré _par

un

_{champ électrique}

extérieur leur

_imposant

un

mou-vement d’ensemble

_(tubes

à faisceaux

_mêlés);

on

retrouve

ainsi,

pour deux faisceaux

parallèles (nl, vl),

(n2, v 2), l’équation

de Haeff

_[23]

et Pierce

_[24]

Dans un

_plasma~

où

_règne

une distribution continue

de

_vitesse,

_{caractérisée par} sa fonction normalisée

I

, de sorte que l’on aura, pour le

faisceau de vitesse v., dos

( o ~ ~ % 1 ),

9/) étant la «

_fréquence

_propre » du

_plasma

de densité

électronique

n

_(Tonks

et

_Langmuir

_{[25]), l’équation}

de

_dispersion

aura la forme

_intégrale

Nous

_intégrerons

en

_supposant

VI. étant la vitesse de l’électron dans la direction k et V:D la vitesse de

phase

de

_l’onde,

et en

_négligeant

les

_{parties imaginaires}

de k et m; nous reviendrons

plus

loin sur la

signification

physique

de cette

hypo-thèse. Il vient alors

En faisant la moyenne pour toutes les valeurs de v, le terme du

_premier

degré

disparaît

dans le

dévelop-pement

entre crochets

_(isotropie

des

vitesses)

et l’on a

et,

en

_supposant,

(1) -"~ _{rI) /1 :}

Nous tiendrons

_compte

du rôle des chocs en

modi-fiant la relation c entre le

_champ

et la vitesse des

électrons; il faut alors

_l’écrire,

en conservant v _pour

représenter

la vitesse moyenne :

-d’où

et les

équations

de

_dispersion

Pour

_développer,

il faut

_également

_supposer

_{f 1}

«., de sorte que l’on aura, en

_{première approximation}

soit

Les formules

₍₇₎

et

_{(7 bis)}

ont été établies par Bohm et Gross

_[26]

de

_façon

un peu différente. La

première

d’entre elles avait _{été donnée par} Thomson

[26 bis]

dès

_1933.

Discussion de

_{l’équation}

de

_dispersion.

-Ip

_{Propagation. -}

En assimilant (1) et k à leurs

_parties

réelles,

la vitesse de

_phase

et la vitesse de _groupe sont

respectivement

.

a. Dans le cas d’un

_plasma

sans

_agitation

ther-mique

(ni chocs,

ne

_dépend

_{pas de k : toutes les}

longueurs

d’onde sont

_possibles,

mais la

_fréquence

est fixe

_{(fréquence critique}

ou propre du

plasma);

la vitesse de _groupe est

_nulle,

il

_n’y

a _pas de

propa-gation d’énergie,

celle-ci est liée au _gaz.

b. Pour

_qu’il

_y ait

_propagations

_{d’oscillations,}

il

faut,

soit deux faisceaux d’électrons de vitesse relative non nulle

_(tubes

de

_Haeff),

soit distribution continue de vitesses avec

_{agitation thermidue;}

dans

ce dernier _cas, on a

la vitesse de _groupe est

_{proportionnelle}

à T

et à I;

V.5

1

la

_fréquence

est

_toujours

inférieure à la

_fréquence

critique.

2,°

_{Amplification}

et instabilité. - a. Cette

_équation

peut

être considérée comme une

_équation

en

k,

suscep-tible,

pour certaines valeurs

données, réelles,

de la

fréquence

«,»,

d’avoir des racines

_complexes,

de la

forme k +

i 7.,

de sorte que la

perturbation variera,

dans

_l’espace,

comme _{e7.r; il y aura,} selon le cas,

affaiblissement ou

_{amplification (jusqu’à}

ce _que l’on sorte du domaine

_{d’application}

de

_{l’approximation}

linéaire);

on

_explique

ainsi le

_comportement

des tubes à faisceaux mêlés

_{(Haeff l23],}

Rocard

[28]).

b. On

_{peut également}

la considérer comme une

équation

en o

_susceptible,

_pour un mode

_spatial

imposé (k réel),

d’avoir des racines

_{(fréquences)}

complexes,

de la forme M ₊

_{i ;f;}

la

_perturbation

évoluant avec le

_temps

en un

_temps

donné,

comme

e-,""

nous dirons

qu’il

y a

instabilité,

c’est-à-dire

amor-tissement ou excitation d’oscillations selon

_{que 5}

est

positif

ou

_{négatif. L’équation (7 bis)}

montre ainsi _que l’existence de chocs amortit les oscillations avec une

constante de

_temps

_égale

à

Par

_contre,

s’il

_existe,

superposée

à un

_plasma

où la distribution des vitesses

Fig. 2.

est

maxwellienne,

un faisceau d’électrons de vitesse déterminée

_(supérieure

à la vitesse moyenne

d’agitation

thermique),

de sorte que la fonction de distribution a

l’allure de la courbe de la

_figure

9, il y a excitation

d’oscillations,

d’amplitude

limitée par la

_{non-linéarité,}

ainsi que l’ont montré Bohm et Gross

[271.

c.

_Toutefois,

Twiss

_[22]

a _{montré que} ces

considé-rations n’étaient valables _{que pour} un

_système

d’ondes stationnaires dans un

_plasma

_infini;

si l’on

_applique

le traitement b

_(Bohm

et

_Gross)

aux

_{amplificateurs}

de

_I-Iaeff,

on démontre

_qu’ils

devraient être instables.

Il en résulte que, pour faire un calcul

_correct,

il faut

supposer que la

perturbation

initiale est limitée dans

l’espace

et dans le

_temps,

et étudier l’oscillation

résul-tante à une distance r et au bout d’un

_{temps t.}

Twiss prouve ainsi la stabilité des tubes à faisceaux

mêlés.

Il est d’ailleurs

_{indispensable}

de tenir

compte

des

dimensions limitées du

_plasma;

c’est ainsi que Bohm et Gross

_[27]

_{ont pu donner} une

_explication

approxi-mative des résultats de Merrill et Webb

_{[291, qui}

ont observé que la «

_{dispersion »}

des vitesses d’un faisceau

électronique

introduit avec une vitesse initiale donnée

dans un

_plasma

_prenait

naissance en des

_points

déterminés et donnait naissance,

quelques

milli-mètres

_plus

_loin,

à des zones de fortes oscillations.

584

la relation de

dispersion

d’un

_plasma

en

_supposant

c’est-à-dire pour une vitesse des électrons faible vis-à-vis de la vitesse de l’onde. Si l’on

considère,

avec Bohm et

Gross,

le

_système

de référence mobile

dans

_lequel

l’onde est au repos, la vitesse

_{(relative) v,}

des électrons sera

_grande

et leur contribution à la densité

_{électronique}

inversement

_{proportionnelle}

à v,..

Si v

_croît,

de sorte

que

,

l,

les électrons circulent

vo

avec

l’onde;

ils ne

_peuvent

_plus

sortir des

_puits

de

potentiel

créés par la

_{perturbation,}

c’est le «

_{trapping ».}

Supposer

v ‘~ ~ ~~ revient donc à

négliger

ces

élec-trons, c’est-à-dire

à

_{supposer G (v)}

= o

_{pour v #}

V:1.

Dans le cas

contraire,

l’on ne

_peut

_plus

_distinguer

le

mouvement

_organisé

en oscillations du mouvement

d’agitation thermique :

ces électrons ne

_jouent

aucun

rôle,

la théorie est

_{inapplicable.}

A

_plus

forte

_raison,

l’on

_négligera

les électrons de vitesse

_supérieure,

dont la contribution à l’oscillation

est d’ailleurs d’autant

_plus

faible

_qu’ils

sont

_plus

rapides.

Pour une

_énergie

_{électronique}

_{déterminée,}

il existe

~

donc

_{minimum, c’est-à-dire,}

par suite de la relation de

_dispersion,

une

_longueur

d’onde

_minima,

dont on

_peut

obtenir un ordre de

_grandeur

en

postant

-

~,,

dans la relation

_{(7), qui}

s’écrit alors

On a

_pris

_{pour v la} vitesse _{moyenne d’une} distri-bution m axwellienne à soit

~ , ~~~’

. On

rappro-chera cette

_longueur

du « _{rayon de}

_Debye

»

_{[27] :}

qui

représente

la distance au delà de

laquelle,

dans

un milieu

ionisé,

les ions

_positifs

font écran à la

charge

d’espace

créée par les ions

négatifs.

On voit ainsi que le

plasma

ne se

_comporte

comme un milieu

«

_{organisable »)}

_{que pour des} dimensions

_plusieurs

fois

supérieures -

le

_multiple

variant avec les

_hypothèses

faites : voir l’article de Gabor dans

_[11]

et

_[11

à

~

la distance de

_Debye.

Conclusion. - ~ Si les considérations

précédentes

permettent,

dans une certaine mesure,

d’expliquer

par des « oscillations de

_{plasma »}

la

_{grande dispersion}

des vitesses

_{électroniques}

d’un faisceau de vitesse définie introduit dans une

_décharge,

il semble difficile de leur demander

d’expliquer

la distribution

maxwel-lienne des vitesses des électrons du _{gaz lui-même.}

Il résulte d’ailleurs des calculs de Gabor

_[11]

que la

fraction

_organisée

en oscillations de

_l’énergie

élec-tronique

d’un

_plasma

en

_{équilibre thermique}

est

beaucoup trop

faible _{pour tenir}

_compte

des

obser-vations de

_Langmuir;

cette fraction,

d’après

les

expériences

de Emeleus et de ses

_{collaborateurs,}

n’excède pas i _pour 100

_[31].

Notons enfin que, du fait que nous avons

_négligé

le

champ

magnétique,

aucune des oscillations

envi-sagées

ci-dessus n’est

_susceptible

de _rayonner. IV. - Formule de

dispersion

pour les ondes transversales.

Nous

considérons,

se

_propageant

dans le

_plasma,

une onde

_{électromagnétique}

de

_potentiel

scalaire v ->

et de

_potentiel

vectoriel

_t1;

elle satisfait aux

équa-tions de Maxwell :

-+

J

_{et ?}

o satisfont à

_{l’équation}

de continuité

et l’on a

Nous poserons, définissant ainsi la « fonction

vecto-rielle » S de

_chaque

faisceau

_{électronique}

ou _n,

v)

(S

est

_parallèle

au

_déplacement

des

_électrons)

I,’on

_{a par suite, puisque}

-+ -+ .

L’opérateur V V

est

_{l’opérateur}

«

_gradient

diver-gence »,

qu’il

ne

_faut,

à aucun

_prix,

noter

~‘2,

ce

_qui

amènerait sa confusion avec le

_laplacien,

que nous

notons d’ailleurs ici 3.

En

fait,

nous

_{négligerons l’agitation thermique,}

ne considérant que le cas d’un

_plasma

au repos, de sorte

_que

S se réduit à aS et que la relation liant

la vitesse des électrons au

_champ

s’écrit,

en tenant

compte

des chocs :

Or,

la densité

_{électronique}

ne subissant _{que de}

petites perturbations,

on aura

de la relation

précédente qui

s’écrit,

compte

tenu de cette valeur de n,

-Pour des ondes

_{longitudinales,}

et l’on retrouve la relation

_{(7 bïs),}

avec T = o. Pour des ondes

_{transversales,}

k ~S =

o, d’où la formule de

_dispersion

On en déduit l’indice de réfraction

_complexe

L’établissement de cette formule

_{classique -}

tout

au moins dans le cas

_simple

où

_f

= o - _{et que}

Darwin

[321, qui

y a consacré de

_longues

recherches,

nomme « Formule de

Sellmeyer

»

_(c’est

aussi à une

formule

_analogue,

en ce sens

_qu’elle

ne _{fait pas} inter-venir le

_champ

moléculaire de

_{polarisation,}

_que

G. Bruhat donne ce _{nom, dans} son Cours

_d’Optique

(§ 230),

n’a pas été sans susciter de

longues

contro-verses.

A la suite des travaux de Lorentz sur la

polari-sation des

_{diélectriques [33],}

différents auteurs ont cru

que le

_champ

_agissant

sur les électrons devait être

-+ _l -+ -+ -+ , ,

au lieu

de f,; 9.

étant la

_polarisation

due au

3Eo

déplacement

des

_charges

_électriques

sous l’action du

-+ .

champ

extérieur 6,

_3e0

représente

le «

_champ

molé-) e0

culaire » dû à cette

_{polarisation.}

Ceci conduit à

rem-placer

la formule

Mais,

malgré l’appui

donné par Hartree

[34]

à cette dernière

formule,

c’est la

_{première qui}

doit être

retenue,

comme l’ont confirmé Darwin

_[32],

Smerd

et Westfold

[35], [36],

Burkhardt

[17],

en _montrant,

par des moyens

ingénieux

et

_divers,

comment le

( _{terme de}

_polarisation

» devait

_{disparaître,}

dans le

cas d’un

_plasma,

de la formule de Lorentz.

Conséquences

de la formule de

_dispersion

_(9).

D’où p, q, la vitesse de

phase

de l’onde vi

= p

et son

. _C

coefficient

_{d’absorption}

~

représentant

la distance au bout de

_laquelle

l’ampli-tude de la vibration est réduite dans le

_rapport

~ .

4~e

Des

_{approximations classiques}

ont lieu pour

f

~~ ~o,

M.

Il en _{résulte que} la constante

_{diélectrique}

_relative,

au _sens de

_{l’électrostatique,}

est

_égale

à 1

;, _ = a

= i .

e0

On a _vu, en

_effet,

_que l’indice de réfraction

_complexe

(p - iq)

est défini à

_partir

de

_{la, relation}

le coefficient :7

_englobant

les conductibilités du

_type

dit

_{diélectrique}

introduites par Lorentz pour le calcul

de S) aussi bien que les conductivités

métalliques.

La constante

_{diélectrique statique}

est la

_partie

réelle pour (1) = o de la limite de

_{l’expression précédente}

(la

partie imaginaire

est

_toujours

infinie,

ce

_qui

corres- f

pond

au fait

_{qu’il n’y}

a _{pas de courant} en

_quadrature).

Selon que l’on a affaire à des électrons libres

(con-ducteurs,

plasma)

ou

_liés,

c’est-à-dire soumis à une

force de

_rappel

_{proportionnelle}

à leur

_déplacement

à

_partir

d’une

_{position d’équilibre (isolants,}

diélec-triques),

la limite

considérée,

moins i, est nulle ou

positive.

C’est seulement dans le dernier cas que l’on obtient

une constante

_{diélectrique}

relative

_supérieure

à i,

-

et que l’on

peut

faire intervenir la «

_polarisation

»

du milieu : un tel mécanisme est

_{injustifiable}

dans le

cas d’un

_plasma

et c’est la _{raison pour}

_laquelle

il ne

peut

y avoir de formule de

dispersion

du

type

Lorentz

(on

néglige

la

_polarisation

éventuelle des molécules

du

_{gaz) (1).}

Par

suite,

la densité _moyenne

_d’énergie

du

plasma

est

Pour une onde transversale se

_propageant

selon

Oz,

on a

,

L 1

586 d’où

D’après

Burkhardt

_[17]

et Westfold

_[36],

cette

énergie

se compose de deux

parties : l’énergie

rayonnée,

proportionnelle

au carré de la

_partie

réelle de

l’in-dice,

1L~.= ~op~~

et

_{l’énergie magnétique}

mutuelle de la distribution de courant tLi

(énergie

interne du

plasma);

comme on a

(2) Si le mouvement d’un électron entre deux chocs (de

fréquence moyenne f ) est donné par

-un calcul _analogue à celui du _paragraphe II montre que s

est solution de _{l’équation}

-la constante _{diélectrique statique} est alors

Dans le cas d’un plasma, il faut _prenclre

’

de sorte que lim

.--- -est

entièrement _{imaginaire (et}

1we0

in fini).

,> * >

’

é /

On calculerait de même le vecteur de

_Poynting,

dont la valeur _{moyenne est,} en

_désignant

_par n le vecteur unitaire normal au front d’onde :

On voit ainsi que la vitesse de

_propagation

de

l’énergie rayonnée

par une onde

_{monochromatique}

dans un

_plasma

est bien la vitesse de

_phase

= 3 .

’

P

Enfin,

si l’on suppose le

_plasma

en

_équilibre

ther-mique,

le coefficient

d’émission r,

est donné _par la

loi de

Kirchhof : -*

=

p2 B 1’1’

étant la brillance

Z du _corps noir à Ta.

En

_supposant

la

_longueur

d’onde assez

_grande

pour que l’on

_{puisse remplacer}

la loi de _{Planck par} la loi

de

_{Rayleigh-Jeans,}

on aura

-q est

proportionnel

à p, /

à p

mais le

rapport

des

, , , P

angles

solides mis en

_{jeu lorsque}

le

_rayonnement

passe d’un milieu d’indice i à un milieu d’indice p est

_égal

à

I ,

comme l’a noté Denisse

_[2].

De

_plus,

P2

, ,

les calculs directs de l’émission par transitions

hyper-boliques

dans un milieu

_{complètement}

ionisé

con-firment,

dans ce cas

_particulier,

cette valeur de r;;

c f.

Denisse

_[2],

Smerd et Westfold

_[35].

Je tiens à

_exprimer

ici mes

_plus

vifs remerciements

à J. L. _{Delcroix pour} son efflcace collaboration à la

mise au

_point

de cet article.

Manuscrit reçu le ~ > _juillet

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[31]

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[32] DARWIN C. G. -- Proc.

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[33] LORENTZ H. A. 2014 Loc. cit.,

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[34] HARTREE D. R. 2014 Proc. Camb. Phil.