Master 2 EADM 2011-2012 Capes Externe
UE 19 Epreuve sur dossier
05/04/2012
DOSSIER Alg 4
Thème : Congruences
L’exercice proposé au candidat
Soit n un entier naturel.
On considère les équations (F) et (G) suivantes, d’inconnue le couple d’entiers relatifs (x ; y) :
(F) : (G) :
1. Etablir que (F) n'a pas de solution.
2) a) Démontrer que, si est solution de (G), alors
b) Quels sont les restes possibles dans la division euclidienne de par 7 ? c) Quels sont les restes possibles dans la division euclidienne de par 7 ? d) Quel est l'ensemble des solutions de l'équation (G) ?
La réponse d’un élève à la question 2.b.
Pour x = 0, 3 x2 = 0, donc le reste est 0. Pour x = 1, 3 x2 = 3, donc le reste est 3.
Pour x = 2, 3 x2 = 12, donc le reste est 5. Pour x = 3, 3 x2 = 27, donc le reste est 6.
Pour x = 4, 3 x2 = 48, donc le reste est 6. Pour x = 5, 3 x2 = 75, donc le reste est 5.
Pour x = 6, 3 x2 = 108, donc le reste est 3.
On a étudié les 7 cas possibles, donc le reste de la division de 3 x2 par 7 est 0, 3, 5 ou 6.
Le travail à exposer devant le jury
1. Quelles sont les connaissances et compétences mises en jeu dans cet exercice ? 2. Analyser la réponse de l’élève à la question 2.b.
3. Rédiger une solution de la question 2.c) telle que vous la présenteriez à une classe.
4. Comment utiliseriez -.vous cet exercice pour mettre en valeur certains aspects du raisonnement logique préconisé par les programmes ?
5. Proposer plusieurs exercices sur le thème « Arithmétique : Congruences ».
