an 5 fonction et inequation

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Master MEEF Maths Capes externe

UE 2 ORAL 2

2016-2017

Dossier An 5 Thème : fonction et inéquation

Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes Question 1.

Montrer que pour tout nombre réel 𝑥 strictement positif, on a : 𝑥 − ^𝑥₂² < ln(𝑥 + 1 ) < 𝑥

Question 2.

Soit 𝑛 un entier supérieur ou égal à 3. On définit 𝑎_𝑛 = 𝑛^{𝑛 + 1} et 𝑏_𝑛 = (𝑛 + 1 )^𝑛 . Quel est le plus grand des nombres 𝑎𝑛 et 𝑏𝑛 ?

Indication : Etudier les variations de la fonction 𝑓 définie sur ] 0 ; +∞ [ par : 𝑓(𝑥) = ^ln(𝑥)_𝑥 .

Question 3.

Démontrer que pour tout réel 𝑥 positif : 1 − ^𝑥₂² ≤ cos(𝑥) ≤ 1.

Est-ce encore vrai si 𝑥 est négatif ?

Pour tout réel 𝑥 strictement positif , je pose 𝑔(𝑥 ) = 𝑥 − ^𝑥²

2 , ℎ(𝑥) = 𝑙𝑛 (𝑥 + 1) et 𝑓(𝑥) = 𝑥 En traçant les courbes de ces fonctions sur la calculatrice , je vois que : 𝑔(𝑥) < ℎ(𝑥) < 𝑓(𝑥).

Je détermine la position de la courbe de 𝑔(𝑥) par rapport à celle de ℎ(𝑥).

On a : 𝑔(𝑥) − ℎ(𝑥) = 𝑥 − ^𝑥²

2 − ln(𝑥 + 1).

Je ne vois pas comment démontrer que cette différence est négative, donc je l’admets.

Je sais que , pour tout 𝑥 > 0 , 𝑥 + 1 < 𝑒^𝑥 car 𝑒^𝑥 croît plus vite que 𝑥 donc : ln(𝑥 + 1) < ln(𝑒^𝑥) c’est-à-dire que ln(𝑥 + 1) < 𝑥.

1. Analysez la production l’élève du point de vue des compétences acquises, de la démarche et de la rédaction.

2. Proposez une correction des questions 2 et 3 telle que vous la présenteriez à des élèves de terminale S

3. Présentez deux exercices sur le thème fonction et inéquation.