Lisez ces quelques consignes avant de commencer l’examen.
Veuillez commencer par écrire en lettresMAJUSCULES votre nom et prénom surtoutesles feuilles. Les feuilles qui ne respectent pas ces consignes seront pénalisées.
L’usage de la calculatrice n’est pas autorisé.
L’examen dure 4 heures.
Veuillez vous assurer que vous comprenez la question qui vous est posée et faites attention à ce que le texte que vous écrivez y réponde explicitement (par exemple : le correcteur ne doit pas avoir à conclure lui-même).
Quand il est nécessaire de justifier, votre argumentation doit convaincre le lecteur. En l’ab- sence de justification dans un tel cas, le résultat final, même correct, n’a pas de valeur.
Veillez à faire unerédactionsoignée de vos réponses. Celle-ci sera prise en compte. Notez que nous ne lirons pas vos brouillons.
N’employezpasle dos de la feuille d’uneautre questionpour finir votre réponse !
Question 1. Calculez, si elle existe, la limite au sens large de chacune des suites suivantes. Dé-
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taillez vos calculs et énoncez les résultats que vous utilisez.
xn= −5n2+3
2+sin(n), yn= πn2+3n3+5
πn4+4n2+3, zn= (−1)n+ (−1)nn2 5n+2 .
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Question 1 (suite). Poursuivez votre réponse sur cette page.
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Question 2. Soit(xn)n∈Nla suite définie par la récurrence :
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x0=1,
xn+1= x3n 3 +xn
4.
Montrez que(xn)n∈Nconverge et déterminez la valeur de sa limite. Justifiez toutes les étapes de votre raisonnement.
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Question 3.
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(a) Soient une suite(xn)n∈N⊆Reta∈R. Définissez « (xn)n∈Nconverge versa».
(b) En utilisant la définition donnée en (a), montrez que 1+3 cos(n) +5n1/2
8n3 →1. La qualité de votre rédaction est importante.
(c) SoientC⊆Retc∈R. Définissez «cest le minimum deC».
(d) Calculez, quand ils existent, le suprémum, l’infimum, le minimum et le maximum des en- sembles suivants. Expliquez votre démarche et énoncez les résultats que vous utilisez.
A:=
n3+2
n∈N B:=n
3+2cos2(n) n2
n∈N\ {0}o
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Question 3 (suite). Poursuivez votre réponse sur cette page.
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Question 4. Soit(xn)n∈N⊆[0,+∞[une suite telle quexn→0.
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(a) Prouvez que max{xn|n∈N}existe.
(b) Le résultat reste-t-il vrai pour(xn)n∈N⊆R?
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Question 5. Soient(xn)n∈Net(yn)n∈Ndeux suites réelles.
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(a) Soit une suite(xn)n∈N⊆R. Définissez « (xn)n∈Nconverge vers−∞».
(b) Soit une suite(zn)n∈N⊆R. Définissez « (zn)n∈Nconverge vers+∞».
(c) Montrez en utilisant directementles définitions de convergence que si xn→ −∞et yn→aoù aest un réel strictement négatif alors, il existe un p∈Ntel que
xn yn
n>p soit une suite qui converge vers+∞.
(d) Le résultat reste-t-il vrai si on suppose seulementa∈R(plus forcément strictement négatif) ?
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Question 6. Soit(xn)n∈Nune suite de nombres réels qui vérifie la propriété suivante :
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∀n∈N, ∃m∈N, xn+16xm. (1)
(a) Montrez que si de plus(xn)est croissante, alorsxn→+∞.
(b) De manière générale, prouvez que (1) implique qu’il existe une sous-suite(x0n)n∈N de(xn)n∈N telle quexn0 →+∞.
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