Examen
(30 mai 2016) Section :Lisez ces quelques consignes avant de commencer l’examen.
Veuillez commencer par écrire en lettresMAJUSCULESvotre nom et prénom surtoutesles feuilles. Les feuilles qui ne respectent pas ces consignes seront pénalisées.
L’usage de la calculatrice n’est pas autorisé.
L’examen dure 4 heures.
Veuillez vous assurer que vous comprenez la question qui vous est posée et faites attention à ce que le texte que vous écrivez y réponde explicitement (par exemple : le correcteur ne doit pas avoir à conclure lui-même).
Quand il est nécessaire de justifier, votre argumentation doit convaincre le lecteur. En l’ab- sence de justification dans un tel cas, le résultat final, même correct, n’a pas de valeur.
Veillez à faire unerédactionsoignée de vos réponses. Celle-ci sera prise en compte. Notez que nous ne lirons pas vos brouillons.
N’employezpasla feuille d’uneautre questionpour finir votre réponse !
Question 1. Déterminez l’ensemble des solutions réelles de l’équation :
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∂t2u(t)−9∂tu(t)−22u(t) =sin(t).
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Question 1 (suite). Poursuivez votre réponse sur cette page.
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Section :
Question 2. Calculez le développement de Taylor d’ordre 3 enx=0 avec un reste exprimé en
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terme de petit o de la fonction f :R→Rdéfinie par : f(x) =exp sin2(x)
1−sin(x2)
.
Expliquez et justifiez les calculs que vous effectuez. Déduisez-en la valeur de la limite
x→0lim
f(x)−1 cosh(x)−1.
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Question 2 (suite). Poursuivez votre réponse sur cette page.
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Section :
Question 3. Soit l’équation sinh(λx) =√
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x+2−ex, oùλ est un paramètre réel. Montrez rigou- reusement que cette équation possède une unique solution dans]0,+∞[quel que soitλ ∈[0,+∞[.
Expliquez votre démarche, détaillez vos calculs et énoncez les résultats utilisés.
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Question 4. On considère l’application f :R→Rdéfinie par
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f(x) =
e−λx six<0
x+1 six∈[0,1]
λsin(λ(x−1)) +2 six>1, oùλ ∈Rest un paramètre.
(a) Déterminez la ou les valeurs deλ pour lesquelles f est continue sur son domaine de défini- tion. Ceci implique que, pour les valeurs deλ données, la continuité de f doit être établie.
(b) Déterminez la ou les valeurs deλ pour lesquelles f est dérivable sur son domaine de défini- tion.
Justifiez endétailtoutes vos affirmations.
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Section : Question 4 (suite). Poursuivez votre réponse sur cette page.
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Question 5. Soit l’application f :R→R :x7→sin(x) +x. En utilisant la définition en ε-δ,
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montrez que f est continue sur son domaine de définition.
INDICATION : pour tout p,q∈R, sin(p)−sin(q) =2 cos
p+q 2
sin
p−q 2
.
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Section :
Question 6. Déterminez si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Justifiez votre ré-
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ponse par un bref argument ou un contre-exemple explicite.
(a)Vrai : Faux : Soit f : R→R une fonction et a∈Dom(f). Supposons qu’il existe r>0 tel que[a−r,a+r]∩Dom(f) ={a}. Alors f est continue ena.
(b)Vrai : Faux : Soit f : R→R une fonction et a∈Dom(f). Supposons qu’il existe r,r0>0 tels que les limites lim
x∈[a−r,a[x→a
f(x)et lim
x∈]a,a+rx→a 0]
f(x)existent et sont égales. Alors lim
x→af(x) = f(a).
(c)Vrai : Faux : lim
x→0sin 1
x
=0.
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Question 7.
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(a) Énoncez le théorème de la moyenne.
(b) Soit f : R → R une application dérivable sur R\{0} et continue en 0. Montrez que si
x→0lim
x6=0
∂f(x)existe, alors f est dérivable en 0 et∂f(0) =lim
x→0x6=0
∂f(x).
(c) Soitg:R→Rla fonction définie par g(x) =
(x2sin 1x
six6=0
0 six=0.
La fonctiongest-elle dérivable en 0 ? Est-ce une contradiction avec le point précédent ?
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Section : Question 7 (suite). Si nécessaire, poursuivez votre réponse sur cette page.
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