Lisez ces quelques consignes avant de commencer l’examen.
Veuillez commencer par écrire en lettresMAJUSCULESvotre nom et prénom surtoutesles feuilles. Les feuilles qui ne respectent pas ces consignes seront pénalisées.
L’usage de la calculatrice n’est pas autorisé.
L’examen dure 4 heures.
Veuillez vous assurer que vous comprenez la question qui vous est posée et faites attention à ce que le texte que vous écrivez y réponde explicitement (par exemple : le correcteur ne doit pas avoir à conclure lui-même).
Quand il est nécessaire de justifier, votre argumentation doit convaincre le lecteur. En l’ab- sence de justification dans un tel cas, le résultat final, même correct, n’a pas de valeur.
Veillez à faire unerédactionsoignée de vos réponses. Celle-ci sera prise en compte. Notez que nous ne lirons pas vos brouillons.
N’employezpasle dos de la feuille d’uneautre questionpour finir votre réponse !
Question 1. Calculez, si elle existe, la limite au sens large de chacune des suites suivantes.
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Détaillez vos calculs et énoncez les résultats que vous utilisez.
xn=−6n2+4n+1
3n−2 , yn= −3n3+5n2+cos(n)
6n4+5n3+4n+3 , zn= (−1)n·n3+5n2+1 n2+ (−1)n·n+2 .
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Question 1 (suite). Poursuivez votre réponse sur cette page.
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Question 2. Soit(xn)n∈Nla suite définie par la récurrence :
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x0∈]0,1], xn+1= xn
2 +xn2 4.
Montrez que (xn)n∈N converge et déterminez la valeur de sa limite. Justifiez toutes les étapes de votre raisonnement.
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Question 3.
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(a) Soit une suite(xn)n∈N⊆R. Définissez «(xn)n∈Nconverge vers+∞».
(b) Soient une suite(yn)n∈N⊆Reta∈R. Définissez « (yn)n∈Nconverge versa».
(c) En utilisant la définition donnée en (a), montrez quen2+5n+1→+∞. La qualité de votre rédaction est importante.
(d) SoitC⊆Retc∈R. Définissez «cest le maximum deC».
(e) Calculez, quand ils existent, le suprémum, l’infimum et le maximum des ensembles suivants.
Expliquez votre démarche et énoncez les résultats que vous utilisez.
A:=
n
2+(−5)n n!
n∈N
o
B:=n xnyn
n∈N, (xn)n∈N⊆R, (yn)n∈N⊆R, xn→+∞et∃a∈R>0, yn→ao
.
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Question 3 (suite). Poursuivez votre réponse sur cette page.
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Question 4. Soient(xn)n∈Net(yn)n∈Ndeux suites de nombres réels. Supposons quexn→ −∞
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et∀n∈N, yn>2. Montrez en utilisant directement les définitions enε-nquexnyn→ −∞.
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Question 5. SoitA⊆Rtelle que∃(xn)⊆A,xn→1. Peut-on dire qu’alors, nécessairement,
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(a) Vrai : Faux : supA61 ? (b) Vrai : Faux : supA=1 ? (c) Vrai : Faux : supA>1 ?
Pour chaque réponse, donnez un bref argument ou un contre-exemple qui la justifie.
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Question 6.
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(a) Soit (xn)n∈N⊆R\ {0} une suite décroissante de nombres réels telle que∀δ >0, ∃n∈N,
|xn|<δ. Montrez qu’alorsxn→0.
(b) Le résultat du point précédent est-il encore valable si y on remplace « (xn)n∈N⊆R\ {0}» par «(xn)n∈N⊆R» ?
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