Cours de TS 2 IRIS TS-2-IRIS.tex
II Suites, S´ eries Num´ eriques
1) D´ efinition des Suites
a) Suite (un) de terme g´en´eralun Application !
N −→ R
n #−→ un=f(n) b) Suite (un) croissante ∀n un+1> un
c) Limite de la suite (un) un→λ signifie lim
n→+∞un =λ
d) Suites (un) et (vn) adjacentes un% vn & ∀n un < vn et (un−vn)→0
2) Suites r´ ecurrentes
a) D´efinition !
u0 donn´e un = f(un−1) b) Suites arithm´etiques !
u0 = a
un = r+un−1 un=n×r+a c) Suites g´eom´etriques !
u0 = a
un = q×un−1 un=qna
3) D´ efinition des S´ eries
a) S´erie{un}ou Σun {un} =
"
un; Sn=
#n
k=1
un
$
b) Convergence ou Divergence d’une S´erie Σun→λ signifie lim
n→+∞Sn=λ Siλ∈Rla s´erie Σun est CV Si λest infini ou n’existe pas, la s´erie Σun est DV
c) S´erie arithm´etiques Sn =a+ (a+r) + (a+ 2r) +. . .+ (a+nr) = (n+ 1)(2a+nr) 2
d) S´erie g´eom´etriques Sn=a+a q+a q2+. . .+a qn=a1−qn+1 1−q – si|q|<1 alors Σun est CV Σun→ a
1−q – si|q|!1 alors Σun est DV
♣♦♥
♠ 4 LATEX 2ε
Cours de TS 2 IRIS TS-2-IRIS.tex
4) Crit` eres de convergence
a) Comparaison `a une s´erie g´eom´etrique Siun+∼∞K qn
- si|q|<1 alors Σun est CV si|q|!1 alors Σun est DV b) Comparaison `a une s´erie de Riemann Siun+∼
∞
K nα
- siα >1 alors Σun est CV - siα"1 alors Σun est DV c) Crit`ere de convergence de D’Alembert lim
n→+∞
un+1
un
=K
- siK <1 alors Σun est CV - siK >1+alors Σun est DV - siK= 1 ? ? ?
5) S´ eries Enti` eres
a) S´erie de terme g´en´eral un=anxn Sn est un polynˆome enx.
b) Rayon de convergence.
Si une s´erie enti`ere converge enx0elle est absolument convergente pour tout xtel que :|x|<|x0| On appelleRle rayon de convergence de la s´erie, si :
– pour|x|< Relle est convergente (CV) – pour|x|> Relle est divergente (DV)
c) Exemples de recherche du Rayon de convergence.
+∞
#
n=0
xn n
! |x|<1 CV
|x|>1 DV
! x= 1 CV x=−1 semi CV
+∞
#
n=0
xn
n! R= +∞ ∀x CV ;
+∞
#
n=0
n2nxn R= 0 ∀x DV
♣♦♥
♠ 5 LATEX 2ε
