Théorie des courbes planes
Représentation explicite
La représentation explicite d’une courbe plane par une équation y = f(x) impose une restriction géométrique importante.
Une telle courbe ne peut intersecter en plus d’un point toute droite parallèle à l’axe des y.
On peut résoudre le problème de découpant la courbe en morceaux, chaque morceau pouvant être représenté par une équation y = f(x).
Exemple:
• le cercle de rayon a et centré à l’origine est représenté par 2 morceaux, définis pour −a ≤ x ≤ a:
y = p
a2 − x2 et y = −p
a2 − x2
x y
O a
−a
• Cependant pour une courbe aussi simple qu’une droite parallèle à l’axe des y, on ne peut pas trouver une telle représentation.
x y
O xo
Représentation implicite
On décrit la courbe par une équation de type Φ(x, y) = 0.
Exemple: le cercle de rayon a et centré à l’origine:
Φ(x, y) = x2 + y2 − a2 = 0
Exemple: Toute ligne droite dans le plan a une équation implicite de la forme Φ(x, y) = ax + by + c = 0
a, b, c étant des constantes; a et b n’étant jamais nuls en même temps.
Le cas b = 0 donne les droites parallèles à l’axe des y: x = −c/a
La description implicite a le désavantage qu’il faut résoudre l’équation Φ(x, y) = 0 pour un x donné.
Représentation paramétrique
Au lieu de considérer une des coordonnées comme fonction de l’autre coordonnée, on considère les 2 coordonnées comme fonction d’une 3ieme variable indépendante (appelée paramètre), notée, par exemple, par t.
Le point de coordonnées (x, y) décrit la courbe quand t varie dans un intervalle.
En général, une représentation paramétrique d’une courbe plane s’écrit de la forme:
x = x(t) = Φ(t); y = y(t) = Ψ(t) a ≤ t ≤ b
On supposera que Φ et Ψ possèdent des dérivées continues.
Exemple:
Cercle de rayon a et centré à l’origine:
x = acost; y = asint,
0 ≤ t ≤ 2π x
y
a t
Exemple:
Ellipse de demi-grand axe a et de demi-petit axe b.
Représentation implicite:
x2
a2 + y2
b2 = 1
Représentation paramétrique:
x = acost, y = b sint 0 ≤ t ≤ 2π
a b
θ x
y
tan(θ) = b
a tan(t)
Orientation d’une courbe paramétrée
A une représentation paramétrique x = x(t); y = y(t) d’un arc simple C correspond une orientation de C: celle de la direction de t croissant.
On peut aussi représenter des courbes fermées compliquées.
Cycloïde
x = a ( t − sin t ); y = a (1 − cos t ) 0 ≤ t ≤ 2 π
t x y
0 0 0
π aπ 2 a
2π 2aπ 0
0 1
00 11 0
1
2a π a π
a y
0
t
t x
C’est une courbe plane, trajectoire d’un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur une droite.
Cycloïde
x = a(t − sint); y = a(1 − cost)
0000 1111
00 11 00
11
2aπ aπ
a y
0
t
t x
cost = a − y
a ; sint = ± r
1 − a − y a
2
donc
x = aarccosa − y a
± p
a2 − (a − y)2 = aarccosa − y a
± p
(2a − y)y
x = g(y) est une fonction compliquée !
Dérivées, tangente et normale en représentation paramétrique
Soit la courbe C de représentation paramétrique suivante:
x = x(t) = Φ(t), y = y(t) = Ψ(t) On note les dérivées avec un ˙(comme Newton)
˙
x = dx
dt = ˙Φ; y˙ = dy
dt = ˙Ψ
( ˙x,y)˙ sont souvent appelées composantes de la vitesse du point P se déplaçant sur la courbe C.
Remarque: le vecteur vitesse de composantes ( ˙x,y˙) est tangent à la courbe.
Remarque: le vecteur vitesse de composantes ( ˙ x, y ˙ ) est tangent à la courbe.
Soit −→
X = −−→
OP vecteur de composantes [x(t), y(t)]
−→dX = −−−−−−→
X(t + dt) − −−→
X(t) est tangent à la courbe
O X(t+dt)
X(t) dX
P(t+dt)
P(t)
⇒
−→ dX
dt vecteur de composantes [ ˙ x, y ˙ ] est tangent à la courbe
Si x˙ 6= 0, on peut représenter la courbe localement par une équation y = f(x) en calculant t en fonction de x à l’aide de la 1iere équation, puis en écrivant y = Ψ(t(x)
On obtient donc:
dy
dx = dy dt
dt
dx = y˙
˙ x
On note α l’angle entre la tangente et l’horizontale:
tanα = dy
dx = y˙
˙ x
x x+dx y+dy
y α
Equation de la tangente à la courbe au point P ( x, y )
Soit un point M(ξ, η) sur la tangente à la courbe au point P(x, y).
On a tanα = η − y
ξ − x avec tanα = dy
dx = y˙
˙ x.
00 11
O
P
M
ξ η
x
y α
L’équation de la tangente peut donc s’écrire:
(ξ − x) ˙y − (η − y) ˙x = 0
Equation de la normale à la courbe au point P ( x, y )
Soit un point N(ξ, η) sur la normale à la courbe au point P(x, y).
On a tan(π
2 − α) = η − y
x − ξ = 1 tan(α).
00 11
O
P N
x
y α
η
ξ
L’équation de la normale peut donc s’écrire:
(ξ − x) ˙x + (η − y) ˙y = 0
Exemple: Tangente et normale au cycloïde
x(t) = a(t − sint), y = a(1 − cost)
˙
x(t) = a(1 − cost), y(t) =˙ asint
• en t = π, on a
x(π) = aπ, y(π) = 2a,x(π˙ ) = 2a,y˙(π) = 0
00 11
00 11 0000
1111
2aπ aπ
a y
0
t
t x
x=a π
y=2a
Equation de la tangente en t = π [ξ − x(π)] ˙y(π) − [η − y(π)] ˙x(π) = 0
[ξ − aπ]0 − [η − 2a]2a = 0 η = 2a
Equation de la normale en t = π [ξ − x(π)] ˙x(π) + [η − y(π)] ˙y(π) = 0
[ξ − aπ]2a+ [η − 2a]0 = 0 ξ = aπ
Longueur d’une courbe
La longueur d’une courbe est la limite de la longueur de polygones construits sur la courbe.
On suppose la courbe représentée sous la forme x = x(t), y = y(t), α < t < β
Dans l’intervalle entre α et β, on choisit des valeurs intermédiaires
α = to ≤ t1 ≤ .... ≤ tn = β
On rejoint les points Po, P1 ..., Pn−1, Pn sur la courbe correspondant à ces valeurs ti par des seg- ments de droite, obtenant ainsi un polygone.
P0 P1
P2
Pn−1 Pn
t0 t1
tn
=α
=β
La longueur de ce polygone dépend des points choisis Pi. Si on augmente le nombre de points (n → ∞) de
sorte que la longueur de l’intervalle le plus grand (ti+1, ti) tende vers zéro, alors la longueur de la courbe est définie comme la limite des périmètres de ces polygones inscrits.
P0 P1
P2
Pn−1 Pn
Pi+1 Pi
t0 t1
ti ti+1
tn
=α
=β
La longueur du polygone s’appuyant sur (Po,... ,Pn ) est:
Sn =
n−1
X
i=0
PiPi+1 =
n−1
X
i=0
p[x(ti+1) − x(ti)]2 + [y(ti+1) − y(ti)]2
On suppose que x(t)˙ et y(t)˙ existent et sont continues pour α ≤ t ≤ β. On pose ∆ti = ti+1 − ti.
La longueur du polygone s’appuyant sur (Po,... ,Pn ) est:
Sn =
n−1
X
i=0
PiPi+1 =
n−1
X
i=0
p[x(ti+1) − x(ti)]2 + [y(ti+1) − y(ti)]2
On utilise le théorème de la valeur moyenne:
∃ξi, ti ≤ ξi ≤ ti+1 tel que x(ti+1) − x(ti) = ˙x(ξi)∆ti
∃ηi, ti ≤ ηi ≤ ti+1 tel que y(ti+1) − y(ti) = ˙y(ηi)∆ti
Donc
Sn =
n−1
X
i=0
p[ ˙x(ξi)]2 + [ ˙y(ηi)]2∆ti
quand n → ∞, Sn → L = Z β
α
p[ ˙x(t)]2 + [ ˙y(t)]2 dt
Exemple: Longueur d’un cycloïde
Un cycloïde est représenté par
x(t) = a(t − sint), y = a(1− cost) On a
˙
x(t) = a(1 − cost), y(t) =˙ asint
(1 − cost) = 2 sin2 t 2
00 11
00 11 00
11
2aπ aπ
a y
0
t
t x
La longueur du cycloïde entre 0 et α est:
L(α) = Z α
0
q
[ ˙x(t)]2 + [ ˙y(t)]2dt = a Z α
0
q
((1− cost)2 + sint2dt = a Z α
0
√2 − 2 costdt
L(α) = a Z α
0
r
4 sin2 t
2dt = a Z α
0
2 sin t
2dt = 2ah
−2 cos t 2
iα
0 = 4a(1 − cos α
2 ) = 8asin2 α 4
Invariance de la longueur quand on change de paramètre
La longueur L de la courbe ne peut pas dépendre de la représentation particulière utilisée pour paramétrer C.
Si on introduit un nouveau paramètre τ, fonction de t, avec dτdt > 0 (même orientation de la courbe), la formule intégrale obtenue pour L donne la même valeur que les paramètres t ou τ soient utilisés.
On a
r dx dt
2
+ dy dt
2
=
r dx dτ
dτ dt
2
+ dy dτ
dτ dt
2
=
r dx dτ
2
+ dy dτ
2 dτ dt donc la longueur L de la courbe comprise entre α et β est
L = Z β
α
q
( ˙x(t)2 + ( ˙y(t))2 dt = Z β
α
r dx dτ
2
+ dy dτ
2 dτ
dt dt = Z b
a
r dx dτ
2
+ dy dτ
2 dτ où on a posé: τ(α) = a et τ(β) = b
Cas d’une courbe donnée par une fonction y = f ( x ) avec a ≤ x ≤ b
On peut introduire x comme paramètre.
La longueur de la courbe en- tre x = a et x = b est
L =
Z
b ar
1 + dy dx
2dx
x x+dx y+dy
y dx
ds dy
Représentation d’une courbe en coordonnées polaires.
Soit une courbe représentée par la fonction r = f(θ), α ≤ θ ≤ β.
On a x = r(θ) cos(θ), y = r(θ) sinθ.
Choisissant θ comme paramètre, on a:
dx
dθ = dr
dθ cos θ − rsinθ et dy
dθ = dr
dθ sinθ + rcos θ Donc
L = Z β
α
r dx dθ
2
+ dy dθ
2
dθ = Z β
α
r dr dθ
2
+ r2 dθ
Exemple: le cercle de rayon a et centré à l’origine r(θ) = a:
On a
L =
Z 2π
0
r dr dθ
2
+ r2dθ =
Z 2π
0
adθ = 2πa L est la longueur totale du cercle.
Additivité des longueurs
Soit C une courbe donnée par x = x(t), y = y(t), α ≤ t ≤ β où les fonctions x˙ et
˙
y sont continues.
Soit γ une valeur comprise entre α et β alors:
Z β
α
p( ˙x(t))2 + ( ˙y(t))2dt = Z γ
α
p( ˙x(t))2 + ( ˙y(t))2dt + Z β
γ
p( ˙x(t))2 + ( ˙y(t))2dt
• Les intégrales à droite de l’égalité représentant les longueurs des deux portions de la courbe en lesquelles la courbe C est divisée par le point correspondant à t = γ.
• La longueur de la courbe est donc égale à la somme des longueurs de ces portions.
• Il n’est pas nécessaire que x˙ et y˙ soient des fonctions continues. x˙ et y˙ peuvent avoir des sauts (la courbe présente des coins).
La longueur totale est la somme des longueurs des portions continues.
L’abscisse curviligne comme paramètre
• Une courbe peut avoir de multiples représentations paramétriques x = x(t), y = y(t).
Toute fonction monotone de t peut être choisie comme paramètre à la place de t.
• Dans de nombreux cas, il est intéressant d’utiliser un
"paramètre standard" défini de façon géométrique : ce paramètre sera la longueur de la portion de courbe comprise en P et un point fixe Po.
• Soit une représentation paramétrique de la courbe C x = x(t), y = y(t), avec α ≤ t ≤ β
t
s(t)
P
Po to
On introduit l’abscisse curviligne s par l’intégrale:
s = s(t) = Z t
to
p( ˙x(t′))2 + ( ˙y(t′))2dt′ avec α ≤ to ≤ β, α ≤ t ≤ β
s = s(t) = Z t
to
p( ˙x(t′))2 + ( ˙y(t′))2dt′ avec α ≤ to ≤ β, α ≤ t ≤ β Donc pour toutes valeurs t1 et t2 dans
α, β
s(t2) − s(t1) =
Z t2
t1
p( ˙x(t′))2 + ( ˙y(t′))2dt′
est la longueur de la portion de courbe située entre les points correspondant à t = t1 et t = t2, si t1 < t2 (Si t1 > t2, on aura: - longueur de la portion de courbe).
t1
t2
s(t2)−s(t1)
On a donc
ds dt =
r
dx dt
2
+ dy dt
2
s est l’abscisse curviligne mesurant la position d’une particule se déplaçant sur la courbe, s˙ = dsdt est la vitesse de la particule.
Vecteur tangent
• Le vecteur −→ T =
−→dX
ds de composante dxds, dyds
est un vecteur tangent à la courbe au point
x(s), y(s) .
• On a la relation dx
ds 2
+ dy ds
2
= 1
par définition de l’abscisse curviligne (ds2 = dx2 + dy2).
⇒ −→
T est donc normé.
O dX
P(s+ds)
P(s)
X(s+ds)
X(s)
dx
ds = dx dt
dt
ds = x˙
p( ˙x)2 + ( ˙y)2 , dy
ds = y˙
p( ˙x)2 + ( ˙y)2
Exemple: le cycloïde
Le cycloïde est représenté par
x(t) = a(t − sint), y = a(1 − cost) avec x(t) =˙ a(1−cost), y(t) =˙ asint et donc
ds
dt = p
( ˙x(t))2 + ( ˙y(t))2 = 2asin t 2
Vecteur tangent au cycloïde T~: Tx = dx
ds = sin t
2, Ty = dy
ds = cos t 2
T~(0) = [0,1]; T~(π) = [1,0]; T~(2π) = [0,−1]
πa 2a π x
y
0
Courbure, Rayon de courbure
Courbure
La courbure est un paramètre qui décrit le comportement local d’une courbe au voisinage d’un point.
x y
P α
Soit α: l’angle d’inclinaison de la courbe en un point P. La courbure de la courbe est
K = dα ds
Remarque:
La courbure de la courbe est
K = dα ds
K > 0 la fonction est convexe
K < 0 la fonction est concave.
• Cas d’une représentation paramétrique x = x(t), y = y(t): tan(α) = y˙
˙
x donc α = arctany˙
˙ x
+ nπ, n fixe
dα
dt = x˙y¨ − x¨y˙
( ˙x)2 + ( ˙y)2 (Rappel : [arctan(f(x))]′ = f′(x) 1 + f(x)2 )
Or ds
dt = p
( ˙x)2 + ( ˙y)2 donc dα
ds = K = x˙y¨ − x¨y˙ [( ˙x)2 + ( ˙y)2]3/2
Exemple: le cycloïde
K = − 1
4asin 2t < 0 ∀t ∈ [0,2π]
La courbe est concave
• Si x est le paramètre utilisé:
tan(α) = dy
dx donc α = arctandy dx
+ nπ, n fixe ⇒ dα dx =
d2y dx2
1 +
dy dx
2
Or
ds dx =
r
1 + dy dx
2
donc dα
ds = K =
d2y dx2
h1 + dydx2i3/2
Exemple
Soit la courbe définie par y = x3. Sa courbure est
K = 6x
(1 + 9x4)3/2
Pour x < 0 la fonction est concave Pour x > 0 la fonction est convexe.
• Si s est le paramètre utilisé:
tan(α) =
dy ds dx ds
⇒ d
ds tan(α) =
dx ds
d2y
ds2 − dds2x2
dy ds
dx ds
2
Or d
ds tan(α) = dα
ds [1 + tan2(α)] = dα ds
ds dx
2
On a donc
dα
ds = K = dx ds
d2y
ds2 − d2x ds2
dy ds
Rayon de courbure
Soit ρ = K1 ; |ρ| est appelé rayon de courbure au point considéré.
En tout point P de la courbe, on peut tracer un cercle tangent à la courbe en P et ayant le même rayon de courbure que la courbe. Le cercle est appelé cercle de courbure de la courbe C au point P. Son centre est le centre de courbure de la courbe C au point P.
0000 1111 00
1101
0 1
x y
(ξ,η) Q
P α
O
C
x y
P α
Q (ξ,η)
Le centre de courbure Q(ξ, η) est situé sur la normale à la courbe en P.
Exemple: le cycloïde
• Courbure:
K = − 1
4asin 2t < 0 ∀t ∈ [0,2π]
• Rayon de courbure:
|ρ| = 4asin t 2
En t = π, |ρ| = 4a
Q 0
−2a 2a
aπ 2a x
y
π
