Intensification des contraintes à l’extrémité de fissures

Intensification des contraintes à l’extrémité de fissures

CFMR - Chapitre 4

A. Zeghloul

Master Matériaux-Mécanique-Structures-Procédés

SOMMAIRE

Introduction – Concept de facteur d’intensité des contraintes K Modes de sollicitation des fissures Approche de Westergaard Expression des champs de contrainte et de déplacement Définition du FIC K et expressions des champs de contrainte et de déplacement Mode de cisaillement anti-plan

Principe de superposition Zone plastifiée à fond de fissure Méthodes pratiques de calcul du FIC – Méthode des fonctions poids

Ténacité - FIC critique Approche énergétique de Griffith Relation entre énergie de Griffith et FIC K

Mode de cisaillement anti-plan

Lorsque une structure fissurée est en mode de cisaillement anti-plan, les lèvres de la fissure se déplacent, comme le montre la figure suivante, selon une direction perpendiculaire au plan (x,y).

Le champ des déplacements est alors de la forme :

3 3

avec

3 3

( , ) u = u x u = u x y

x3

Les déformations en HPP sont données par :

13 1,3 3,1 3,1

23 2,3 3,2 3,2

1 1

( )

2 2

1 1

( )

2 2

u u u

u u u

ε ε

 = + =



 = + =



13 13 3,1

23 23 3,2

Loi de Hooke 2

2

u u

σ µε µ

σ µε µ

= =



= =



13,1 23,2

Equation d'équilibre σ +σ =0

3

0

⇒ ∆ = u

3

1 Im

_III

u Z

= µ

13 3,1

23 3,2

u u σ µ σ µ

=



 =

13 23

Im Re

III III

Z Z σ

σ

=

⇒  

 =

La fonction Z

_III

a la même forme que Z

_I

et Z

_II

:

2

III III

Z K

= πζ

K_III

est le facteur d’intensité des contraintes en mode III

Les contraintes et le déplacement en mode III sont alors donnés par :

13 23

Im Re

III III

Z Z σ

σ

=

 

 =

3

1 Im

_III

u Z

= µ

2

III III

Z K

= πζ

13

23

3

sin 2 2

cos 2 2

2 sin 2

III

III

III

K r K

r

K r

u σ θ

π θ

σ π

θ

µ π

 = −

 

 =

 

  =



TD8 : Fissure sollicitée en mode I

Corrigé du TD8

TD9 : Calcul du FIC K à partir de la fonction de Westergaard

2a

σ^∞

σ^∞ I- Montrer que la fonction de Westergaard suivante décrit

bien le chargement indiqué où la plaque infinie comporte une fissure de longueur 2a.Calculer le FICK_Ià l’extrémitéx=a

2 2

I

Z z

z a σ^∞

= −

( )

2 2 2 3

2 2 2

'

I

Z z

z a z a

σ^∞ σ^∞

= −

− −

Re Im '

y Z y Z

σ = +

lim _I

z_→∞Z =σ^∞ lim I^' 0

z Z

→∞ = _y CL vérifiée

σ z σ^∞

→∞=

lim 2 ( ) ( ) lim 2 ( )

( )( )

I I

z a z a

K z a Z z z a z

z a z a

π σ^∞ π

→ →

= − = −

− +

KI

σ π

^∞ a

⇒ =

Corrigé du TD9

b

x y

2a P

P

2 2

2 2 avec force concentrée en

( )

I

P a b

Z P z b

z b z a

π ⁻

= =

− −

b

x y

2a P

P P b

P

Chargement 1

Chargement 2 1- Montrer que la fonction de Westergaard ZIdécrit bien le chargement 1

2- calculer le FIC KIà l’extrémité x=a

3- Déterminer la fonction de Westergaard du chargement 2 4- Calculer le FIC KI du chargement 2 à l’extrémité x=a

5- Calculer à partir de 4- le FIC K_Ià l’extrémité x=a pour le chargement 3 où σ est une contrainte répartie.

6- Montrer à partir de 4- que la fn de Westergaard du chargement 3 est :

b

x y

2a

σ b

σ σ

σ

Chargement 3 II- Soit le chargement 1 d’une plaque infinie fissurée dont la

fonction de Westergaard associée est:

2 2

1 1

2 2

2 2

( ) 2 z cos b cot b z a

Z z z a a z a b

σ

π ^{− −}

    − 

 

=  −   −  − 

Re Im '

y Z y Z

σ = +

2 2

2 2

( )

I

P a b

Z π z b z a

= −

− −

Lorsque point d'application de la charge concentrée,

( )

I

z b Z iP

π z b

→

= −

1

0 0

La force concentrée est donnée par

lim lim Re

y

b b

y y

y y

b b

P

P i

P e dx dx

x b iy

ε ε

ε ε

σ π

+ +

+ +

→ − → −

 

=

∫

=

∫

 − +  lim0 2 2

( )

b

y y

b

P y

P dx

x b y

ε

π ⁺ ε +

→ −

=

∫

− +

0 0

2 2

lim arctan lim arctan

2

b

y y y

b

P x b P P

P P

y y

ε ε

ε π

π ⁺ π ⁺ π

+

→ →

−

 − 

=   = = =

  CL bien vérifiée

1- Montrer que la fonction de Westergaard Z_I décrit bien le chargement 1

Corrigé du TD9 suite

2- calculer le FIC K_Ià l’extrémité x=a

2 2

2 2

( )

I

P a b

Z ⁼π z b− z −⁻a

2 2

( ) ( 2 )

I

P a b

z a Z

a b a

ζ π ζ ζ ζ⁻

− = ⇒ =

+ − +

2 2

0

lim 2 ( ) 2

( ) 2

I I

P a b

K Z

a b a

ζ πζ ζ π

π

→

= = −

−

I

P a b K πa a b

⇒ = +

−

2 2

ou plus simplement lim 2 ( ) ( ) 2

( ) 2

I I

z a

P a b

K z a Z z

a b a

π π

π

→

= − = −

−

I

P a b K πa a b

⇒ = +

−

3- Déterminer la fonction de Westergaard du chargement 2

b

x y

2a

P

P P b

P

2 2 2 2

2 2 2 2

( ) ( )

I

P a b P a b

Z π z b z a π z b z a

− −

= +

− − + −

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

( )

I

P a b z Pz a b

Z ⁼π z −⁻a z −b ⁼π z −b z −⁻a

4- Calculer le FIC K_Ià l’extrémité x=a

2 2

2 2

lim 2 ( ) ( ) 2 2

( ) 2

I I

z a

Pa a b

K z a Z z

a b a

π π

π

→

= − = −

−

2 2

2

I

P a

K

a b π

⇒ =

−

b

x y

2a

σ b

σ σ

2 2 σ 2

a I

b

a dx

K

a x σ π

=

∫

−

b

x y

2a

P

P P b

P

2 2

2

I

P a

K

a b π

⇒ =

−

On remplace par P σdx, et on intègre de à b a

2 arccos changement de variable cos

a I

b

a x

K x a

σ a α

π

 

= −   =

5- Calcul à partir de 4- du FIC K_Ià l’extrémité x=a pour le chargement 3 où σ est une contrainte répartie

Remarque

K_I =

σ π

a

lorsque

b=

0

2 arccos

I

a b

K

σ

a

⇒ =

π

2 2

2 2 2 2

Chargement 2 2

( )

I

Pz a b

Z π z b z a

= −

− −

6- Montrer à partir de 4- que la fonction de Westergaard du chargement 3 s’écrit :

b

x y

2a

σ b

σ σ

σ

2 2

2 2

2 2

Chargement 3 _I 2 ^a

b

z a x

Z dx

z x z a

σ π

= −

−

∫

− ( )

1

Posons cos sin

cos

dx a d

x a

x a θ θ ⁻ θ θ

= −

= ⇒ 

 =

( )

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

sin cos sin

(cos sin ) cos cot

a x a

dx d

z x z a

a a

d d

z a z a z

θ θθ

θ θ θ

θ θ θ θ

− = −

− −

− −

= =

+ − − +

∫ ∫

∫ ∫

2 2

1 1

2 2

2 2

( ) 2 cos cot

I

z a

z b b

Z z z a a z a b

σ

π ^{− −}

    − 

 

=  −   −  − 

2

1 2

(1 cot ) On pose ensuite cot

avec cot 1

dt d

t dt

d t

t θ θ θ

θ θ ⁻

 = − +

= ⇒ 

= − =

 +

( )



2 2 2

2 2 2 2 cot2 2

a x a

dx d

z x z a z θ

θ

− = −

− − +

∫ ∫

( ) ( )

2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

1

1 1

a dt z a

t t dt

z a t z z a t z

 − 

 

= −

+ +

− +  − + 

∫ ∫ ∫

₁₊¹_t^{2dt= −cot−1t= −cos−1}_a^x

2 2 2 2

Posons z a z a

u t du dt

z z

− −

= ⇒ =

( )

2 2 2 2

2 2

1

2 2 2 2 2 cot

1

z a z a

z a du

dt u

z u z

z a t z

− − −

− − = − =

− + +

∫ ∫

2 2 2 2 2 2 2

2

2 2 2 2 2 2

( )

1 1 ( )

z z a t du z a z

u dt

z u z z z a t

+ − −

+ = ⇒ =

+ + −

2 2 2 2

2 2 2 2 2

1 ( )

z a du z a

z u z z a t dt

− = −

+ + −

( )

2 2 2 2

2 2

1

2 2 2 2 2 cot

1

z a z a

z a du

dt u

z u z

z a t z

− − −

− − = − =

+

− +

∫ ∫

2 2 2 2

1 1

2 2

2 2 2 2

2 2

( ) ^a cot cos

I b

x a

x b

a x z a

z z x

Z z dx u

z x z a

z a z a

σ σ

π π ^{− −}

=

=

 

−  − 

= = −

−  

−

∫

−  

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

1 1

2 2

cos et cot cos

sin 1

Bornes

cot cot 0

x x x

a t a x a a x

z a x z a

u t

z z a x

z a

b x a b u

z a b

θ θ θθ

− −

 = = = = =

 − −



− −

 = =

 −

  − 

 < < ⇒  < <

  − 



2 2

1 1

2 2

2 2

( ) 2 cos cot

I

z a

z b b

Z z z a a z a b

σ

π ^{− −}

    − 

 

=  −   −  − 

1 1

2

1 cot cos

1

dt t x

t a

− −

= − = −

∫

+

2 2 2 2

z a z a

u t du dt

z z

− −

= ⇒ =

Principe de superposition en MLR

(1) (2) (3)

total

I I I I

K = K + K + K

total

I II III

K ≠ K + K + K

total traction flexion

I I I

K = K + K

Examinons par exemple le chargement de la figure (1) ci-contre : il s’agit d’une fissure amorcée près d’un rivet dans une plaque.

(1) P

2a

σ^∞ On va utiliser les solutions du chargement vu précédemment

en TD (figuresaetb) et décomposer le chargement1.

(b) P

P

a a

(a)

P

P

a a

b

( )a I

P a b

K πa a b

= +

−

( )b I

K P

π

a

⇒ =

Décomposition du chargement 1

(1) P

2a

σ^∞

(2) (3) (4) (5)

+ = = +

(3)

(3) (1) (2) (1) (1)

2 2

I

I I I I I

K = K + K = K ⇒ K = K

(4) (5)

(3) (4) (5) (1)

2

I I

I I I I

K K

K = K + K ⇒ K = +

(1)

1

I

2

K a P

σ π a

π



∞



⇒ =  + 

 

Un exemple intéressant est représenté ci-dessous. Le chargement aest la somme des chargements bet c.

Dans le cas du chargement c, les lèvres de la fissure restent fermées et l’intensité des contraintes n’est pas transmise à l’extrémité de la fissure. On a donc :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0

a b c a b

I I I I I

K K K K K

=

= + ⇒ =

(a)

σ^∞

(c)

σ^∞ σ^∞

− (b)

σ^∞

= +

Cet exemple illustre un résultat plus général : les contraintes appliquées sur la frontière d’un solide fissuré (cas de la figure a) peuvent être déplacées sur les lèvres de la fissure (cas de la figureb) sans que le FICK_Ine change.

La figure suivante représente un solide non fissuré soumis à un chargement de tractionσ^¶(x) qui se traduit par une répartitionσ(x) sur le plan A-B.

Solide non fissuré soumis à un chargement σ^¶(x) conduisant à une répartition σ(x) sur le plan A-B.

Supposons maintenant que le solide se fissure le long du plan A-B.

Maintenir ce corps sous la contrainte σ^¶ (x)(cf. figure a) revient, via le principe de superposition, à enlever le chargement σ^¶ (x) pour le remplacer par le chargementσ(x) sur les lèvres de la fissure.

Le FICK_I est alors inchangé :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0

a b c a b

I I I I I

K K K K K

=

= + ⇒ =

Zone plastifiée à fond de fissure

Les contraintes σijau voisinage de l’extrémité d’une fissure sont de la forme :

2 ( )

ij ij

K f

σ

r

θ

=

π

Le calcul en élasticité aboutit à une singularité enr^-1/2, i.e. les contraintes tendent vers l’¶ lorsquerØ0.

où

K =K K_I

,

_II

ou

K_III

Dans les matériaux réels, les contraintes restent évidemment finies et lorsqu’elles dépassent la limite d’élasticitéσEdu matériau, il se forme une zone plastifiée à l’extrémité de la fissure.

Il importe de connaitre la taille de cette zone plastifiée pour cerner les limites d’application de la mécanique linéaire de la rupture.

Longueur de la zone plastifiée dans le plan de la fissure

L’approche la plus simple est celle d’Irwin². Cet auteur considère, en première approximation, que le contour de la zone plastifiée correspond au lieu des points où les contraintes atteignent la limite d’élasticité σE du matériau. Pour déterminer le rayonr_E pour lequel cette frontière coupe le plan d’une fissure en contraintes planes, il poseσy(r=r_E,θ⁼⁰⁾⁼σE, soit :

cos 1 sin sin3

2 2 2

2

I y

K r

θ θ θ

σ π

 

=  + 

 

( , 0) 2

I

y E E

E

r K

σ θ r σ

= = π =

1 2

2

I E

E

r K

π σ

 

⇒ =  

 

Pour représenter la distance r_E on suppose que le comportement du matériau est élastique-plastique parfait. On tronque ensuite le champ des contraintes àσ_y=σ_E^.

Répartition des contraintes élastiques et élasto- plastiques dans le plan de la fissure et en aval de

son extrémité.

Cette analyse fait cependant abstraction des forces non transmises représentées par l’aire hachurée de la figure ci-contre.

Pour tenir compte de ces forces, il convient d’assurer l’équilibre entre les deux répartitions de contraintes qui conduit à :

0 y E P _E y

dr r r dr

σ σ σ

∞ ∞

= ⋅ +

∫ ∫

0 rE

E rP ydr

σ σ

⇒ ⋅ =

∫

2 0

2 1

2 2

rE

I I I

E E P

E

K K K

dr r r

r σ

π π π σ

⇒

∫

= = = ⋅

0 rE

E rP ydr

σ ⋅ =

∫

σ

1 2

2

I E

E

r K

π σ

 

=  

 

1 _I 2 P

E

r K

π σ

 

=  

 

La distribution des contraintes dans la répartition élastoplastique pour r>r_P, est obtenue par une translation d’une distancer_Ede la répartition élastique.

Irwin rend compte de cette translation en définissant un FIC effectif K_eff qu’il obtient en augmentant la longueur de fissure de r_E, ce qui revient à considérer que la fissure a une longueur effectivea_eff=a+r_E.

r_E

r_P σy

σE

r Répartition

élastique

Répartition élasto plastique

P 2 E

r r

⇒ =

2a σ^∞ Dans le cas d’une fissure traversant une plaque infinie chargée en mode I, Le FIC sans correction est donné par :

K

I

⁼ σ π

^∞

a

Cette expression devient après correction :

2 1 2

1 1 2

eff I

E

K

σ π

a

σ

σ

∞   ∞  

 

= +  

   

 

2 2

1

2 2

I E

E E

K a

r σ

π σ σ

   ∞

=   =  

   

( )

eff

I E

K =

σ π

^∞ a+r

Une autre approche utilisée est celle de Dugdale et Barenblatt (DB). Ces auteurs considèrent une fissure de longueur a+ρ ^où ρ est la taille de la zone plastifiée. Des contraintes de compression d’intensité –σEs’exercent sur cette zone après décharge.

Le FIC effectif K_eff est ensuite calculé pour une petite fissure traversant la plaque chargée en mode d’ouverture :

( )

eff

KI =

σ π

^∞ a+

ρ

Pour le calcul de la tailleρde la zone plastifiée, DB utilisent l’expression du FIC K_Ipour le chargement considéré (cf. TD9) .

b

x y

2a

σ b

σ σ

2 arccos

σ

I

a b

K

σ

a

=

π

Barenblatt, G.I. (1959). On the equilibrium cracks due to brittle fracture. Straight-line cracks in flat plates.

Journal of Applied Mathematics and Mechanics23, 434.

Dugdale, D.S. (1960). Yielding of steel sheet containing slits. Journal of Mechanics and Physics of Solids8, 100–104.

2 2

2

( )

ADB a

I E a

a dx

K

a x

ρ

ρ

σ π ρ

+ +

= −

∫

+ −

2 arccos

DB

I E

a a

K a

σ ρ

π ρ

⇒ = − +

+

0 ( )

DB

KI = −

σ π

^∞ a+

ρ cos 2

_E a

a

πσ

ρ σ

 ∞ 

⇒ =  

+  

Le calcul de la taille ρ de la zone plastifiée s’appuie ensuite sur le principe de superposition :

2

8

I E

π

K

ρ σ

 

⇒ =  

 

2

pour

1

cos 1 1

2 2 2

DL E

E E

a

a a

σ σ

πσ ρ πσ

ρ σ σ

∞ ∞ ∞

<<

   

=  → − ≈ −  

+    

( )

eff

KI =

σ

^∞

π

a+

ρ avec cos 2

_E a

a

πσ

ρ σ

 ∞

=  

+  

cos

2

eff I

E

K

σ π

a

πσ

σ

∞

= ∞

2

1

Irwin I

P

E

r K

π σ

 

=  

 

Rq: 1 0, 312 et 0, 393 8

DB Irwin

rP

π ρ

π

^{≈ ≈ ⇒ >}

L’approche d’Irwin sous estime la distanceρet donc la correction apporté au FIC K_I, alors que l’approche de DB la surestime. S’appuyant sur l’approche Westergaard, Burdekin et Stone proposent une estimation du K_effse situant entre le modèle d’Irwin et celui de Dugdale-Barenblatt :

Burdekin, F.M. et Stone, D.E.W., « The crack opening displacement approach to fracture mechanics Yielding materials », Journal of strain Analysis 1-2 (1966)

2

8 ln cos Burdekin et Stone 2

eff

I E

E

K σ πa πσ

π σ

 ∞ 

= −  

 

Contour de la zone plastifiée en aval de l’extrémité de la fissure

On utilise ces deux critères pour déterminer le contourr_P(θ) de la zone plastifiée lorsque le chargement est en mode d’ouverture – mode 1 en état de contraintes planes ou de déformations planes.

En mode II ou III, le contour r_P(θ) de la zone plastifiée est déterminé par le critère de Von Mises qui s’écrit dans l’espace des contraintes non principales :

( ^{σ σ σ}

^x+ ^y + ^z

)

²−

³ ( σ σ σ σ σ σ τ

^{x y} + ^{y z} + ^{z x}− ^xy2 −

τ

^yz2 −

τ

^zx2

)

=

σ

^E2

(

^{1 2}

) (

^{2 2 3}

) (

^{2 3 1}

)

^{2 2}

Critère de Von Mises σ σ

− +

σ σ

− +

σ σ

− =

2 σ

_E

( )

Critère de Tresca

Max

σ σ

_I − _J =

σ

_E

Calcul de r

_P

( θ ⁾ en mode d’ouverture – mode I

2 2 2

1 2 1 2

Von Mises σ

+

σ

−

σ σ

=

σ

_E

Etat de contraintes planes σ₃⁼⁰

1

2

cos 1 sin

2 2

avec 2

cos 1 sin

2 2

2

I

I

K r K

r

θ θ

σ π

θ θ

σ π

  

=  + 

  

  

 =  − 

  



2

2 2

( ) 2 cos 1 3sin

2 2 2

VM I

P

E

r θ πσK θ θ

 

⇒ =  + 

 

( )

¹

Tresca

Max

σ σ

_I − _J =

σ σ

= _E ( ) ²₂cos² 1 sin ²

2 2 2

Tresca I

P

E

r θ K θ θ

πσ

 

⇒ =  + 

 

Etat de déformations planes

(

1 2

) (

² 2 3

) (

² 3 1

)

^{2 2}

Von Mises σ σ− + σ σ− + σ σ− =2σ_E

3 1 2

( ) 2 cos

2 2 KI

r

υ θ

σ υ σ σ

= + = π

2 2

2

2 2 2

cos 4 sin 1 2 sin 1 2 sin 2

2 2 2 2 2

I

E P

K r

θ θ υ θ υ θ σ

π

     

+ − − + − + =

     

     

 

2

2 2 2

2

cos (1 2 ) 3sin

2 2 2

VM I

P

E

r K

θ υ θ

πσ

 

⇒ =  − + 

 

2 2 2 2 2

2 2

( ) cos 1 2 sin si 0 2 arcsin(1 2 )

2 2 2

Tresca

( ) sin si 2 arcsin(1 2 ) 2

I P

E I P

E

r K

r K

θ θ

θ υ θ υ

πσ

θ θ υ θ π

πσ

  

= − + ≤ ≤ −

  

  

 = − < ≤



Contours des zones plastifiées en mode I (calcul pour υ^=0,3) en CP (rouge)et DP(bleu)

Trait continu - Critère de Von Mises Trait pointillé – Critère de Tresca

Calcul de r

_P

( θ ⁾ en mode II – Cisaillement plan

sin 2 cos sin3

2 2 2

2

sin cos cos3

2 2 2

2

cos 1 sin cos3

2 2 2

2

II x

II y

II xy

K r K

r K

r

θ θ θ

σ π

θ θ θ

σ π

θ θ θ

τ π

 = −  + 

  



=



  

= −

  

 



( )

²

(

^{2 2 2}

)

²

Von Mises σ σ σ

_x+ _y+ _z −

3 σ σ σ σ σ σ τ

_{x y}+ _{y z} + _{z x}− _xy −

τ

_yz −

τ

_zx =

σ

_E

Contours des zones plastifiées en mode I (calcul pour υ=0,3) en CP (rouge)et DP(bleu) Critère de Von Mises

Calcul de r

_P

( θ ⁾ en mode III – Cisaillement anti-plan

13

23

sin 2 2

cos 2 2

III

III

K r K

r σ θ

π σ θ

π

 = −

 

 =



( )

²

(

^{2 2 2}

)

²

Von Mises σ σ σ

_x+ _y+ _z −

3 σ σ σ σ σ σ τ

_{x y}+ _{y z} + _{z x}− _xy −

τ

_yz −

τ

_zx =

σ

_E

( )

²2

3 2

III P

E

r θ K

⇒ = πσ

Méthodes pratiques de calcul du facteur d’intensité des contraintes K

Les relations donnant les champs des contraintes et des déplacements montrent que ces champs locaux sont décrits par un paramètre unique : le FIC K_I, K_IIou K_IIIselon le mode de sollicitation.

Comment ce paramètre s’exprime en fonction des données globales : géométrie de la structure et chargement appliqué?

Les expressions du FIC Kont généralement la forme suivante :

( )

K = σ π

^∞

a f a W

Où σ^¶ est la contrainte appliquée à la structure, a la longueur (ou la demi longueur) de la fissure, W une dimension de la structure (souvent la largeur ou demi largeur) et f(a/W) un paramètre géométrique sans dimension (appelé fonction complaisance).

Lorsque la structure est de grande dimension par rapport à la taille de la fissure, f(a/W)prend une valeur constante comme dans le cas d’une plaque comportant une petite fissure sollicitée en mode I (figure 1):

( )

( ¹ )

KI =

σ π

^∞ a f a W =

2 1

La figure 2 représente l’éprouvette CCT (Central Cracked Tension specimen). La fissure n’est pas de taille négligeable par rapport à la largeur W de la plaque.

Le facteur d’intensité des contraintes, calculé par éléments finis, est donné par :

( )

1 2 2 4

( / ) cos 1 0,1 0, 96

K a f a W

a a a

f a W

W W W

σ π π

∞

−

=

 

     

=   −   +   

Une autre éprouvette très utilisée dans les essais de fatigue est l’éprouvette CT (Compact Tension specimen). Le FIC K_I pour une épaisseur d’éprouvette t est donné par :

Eprouvette CT

( )

KI =

σ π

^∞ a f a W P

σ

^∞ =Wt

La figure ci-dessous compare les fonctions complaisances f(a/W) des éprouvettes CT et CCT

L’éprouvette CT a une longueur de ligament (W-a₀) relativement importante.

Elle est très utilisée dans l’étude de la propagation des fissures de fatigue et pour déterminer la ténacité d’un matériau après pré fissuration jusqu’à une longueur de l’ordre dea/Wº0,5

Des manuels spécialisés donnent les expressions du FIC Kpour de multiples configurations de chargement^4,5,6.

Les fonctions complaisances pour les cas les plus rencontrés dans la pratique sont :

(a) (b)

(c)

Cas de la figure (a)

( )

KI =

σ π

^∞ a f a W

Cas de la figure (b)

c.

(c)

Les structures navales ou aéronautiques comportent souvent des hublots aux bords desquels des fissures peuvent s’amorcer. La figure a- présente cette configuration de fissure qui est à l’origine de l’accident survenu en 1954 en plein vol sur l’avion Comet;

le chargement est dû à la pressurisation de la cabine.

Dans ce cas on considère que la longueur effective 2a_eff de la fissure est égale à sa longueur réelleaaugmentée de la largeurLdu hublot :

2

a_eff = +a L

Une autre illustration de ce type de configuration de fissure est indiquée sur la figure b-. Il s’agit d’une fissure amorcée au fond d’une cannelure dans un cylindre sous pression interne. Une telle fissure peut provoquer l’éclatement du cylindre. Dans ce cas aussi on augmente la longueur réelle de la fissure par la profondeur de la cannelure.

Méthode des fonctions poids

Considérons une structure fissurée sollicitée en mode I sous deux conditions de chargement (1) et (2) et supposons que la solution K_I⁽¹⁾ est connue pour le chargement (1) . En s’appuyant sur des intégrales de contour indépendantes des contours d’intégration, Buekner⁷ et Rice⁸ ont montré que la solution pour le chargement (2) s’exprime en fonction de celle du chargement (1) :

K E

K T u

a d F u

a dA

I

I i

i

i i A ( )

( )

( ) ( )

2

1

1 1

= 2 ∂

∂ + ∂

∂

L

NM O

z QP

z

^Γ

Γ