Lycée Kléber PC* 2ème année
F ICHE : L IMITES ET ÉQUIVALENTS USUELS
Limites usuelles
lnx x −−−−−→
x→+∞0 xlnx−−−−−→
x→0+ 0 ln (x) x−1−−−→
x→1 1 ln (1+x) x −−−→
x→0 1
ex x −−−−−→
x→+∞ +∞ xex−−−−−→
x→−∞ 0 ex−1 x −−−→
x→0 1
De manière plus générale Soientα,βetγdesréels strictement positifs.
• En+∞:
(lnx)α xβ −−−−−→
x→+∞ 0 et eγx
xβ −−−−−→
x→+∞ +∞
• En0et−∞:
xα|lnx|β−−−→
x→0 0 et |x|αeγx−−−−−→
x→−∞ 0
Suite géométrique
an−−−−−−→ n→+∞
diverge sia∈]−∞,−1]
0sia∈]−1,1[
1sia=1 +∞sia∈]1,+∞[
Comparaison des suites de référence Soienta>1,α>0etβ>0alors :
(lnn)α= o n→+∞
³ nβ´
nβ= o n→+∞
¡an¢
an= o n→+∞(n!)
Équivalents classiques pour les suites Siun−−−−−−→
n→+∞0alors :
sinun ∼
n→+∞un tanun ∼
n→+∞un [1−cosun] ∼ n→+∞
u2n 2
ln (1+un) ∼
n→+∞un £
eun−1¤
n→+∞∼ un £
(1+un)α−1¤
n→+∞∼ αun (α∈R∗).
Comparaison des fonctions usuelles Soientα,βetγdesréels strictement positifs.
• En+∞:
(lnx)α= o x→+∞
³ xβ´
et xβ= o
x→+∞
¡eγx¢
• En0et−∞:
|lnx|β= o x→0
µ 1 xα
¶
et eγx= o
x→−∞
µ 1
|x|α
¶
Équivalents classiques pour les fonctions en0
ln (1+x) ∼
x→0x ex−1 ∼ x→0x
sinx ∼
x→0x tanx ∼
x→0x shx ∼
x→0x thx ∼ x→0x
arcsinx ∼
x→0x arctanx ∼
x→0x argshx ∼
x→0x argthx ∼ x→0x
cosx−1 ∼ x→0−x2
2 chx−1 ∼
x→0 x2
2 (1+x)α−1 ∼
x→0αx (α∈R)
De manière plus générale Sif(x)−−−−→
x→a 0alors : ln¡
1+f(x)¢
x→a∼ f(x) sin¡ f(x)¢
x→a∼ f(x) tan¡ f(x)¢
x→a∼ f(x)
cos¡ f(x)¢
−1 ∼ x→a−
¡f(x)¢2
2 ef(x)−1 ∼
x→af(x) ¡
1+f(x)¢α−1 ∼
x→aαf(x) (α∈R)
