PC Lycée Dupuy de Lôme

(1)

(2)

1 Pseudo forces Problématique

2 Référentiel en translation dans Rgal

Exemple

Force d’inertie d’entrainement

3 Référentiel en rotation dansRgal

Exemple

4 Bilan de l’étude dans R^′ Forces d’inerties Lois dansR^′

5 Dynamique Terrestre Référentiel Terrestre

Définition Valeur deω_T Force d’inertie d’ent.

Champ de pesanteur

Définition Expression Verticale

Étude dynamique

E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) 2 / 18

(3)

Pseudo forces Problématique

Deux éléments contradictoires au choix d’un référentiel

La trajectoire doit être décrite la plus simplement possible Les lois de Newton sont valables dans les référentiels galiléens

Étude dans un référentiel non galiléen

On va traduire les équations fondamentales de la dynamique pour une application dans un référentiel non galiléen.

(4)

Référentiel en translation dansR_gal _Exemple

R

R^′

a

Vitesse stabilisée

Ð→v =v0.Ð→e_x

(5)

R

R^′

a θ

Phase d’accélération uniforme

Ð→v =a0.t.Ð→e_x

Un observateur lié au train perçoit le pendule à l’équilibre. Il peut mesurer θ,aet connait le champ de pesanteurg. En déduirea0 par les lois :

de la quantité de mouvement du moment cinétique

(6)

R

R^′

m.Ð→a_e a

Ð→P

Ð→T θ

Étude dans le référentielR

(7)

R

R^′

−m.Ð→a_e

a

Ð→P

Ð→T θ

Étude dans le référentiel R^′

Le caractère non galiléen du référentiel est perçu dans ce référentiel comme l’action d’une force supplémentaire sur le système étudié.

(8)

Référentiel en translation dansR_gal Force d’inertie d’entrainement

On noteÐ→R_ext la résultante des forces extérieures appliquées au système étudié

m.Ð→a (M,R)=Ð→R_ext

(9)

m.Ð→a (M,R)=Ð→R_ext

m.

⎡⎢⎢⎢

⎢⎢⎢⎣

Ð→a (M,R^′) + Ð→a_e+ Ð→a_c

°

=Ð→0

⎤⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎦=Ð→R_ext

(10)

m.

⎡⎢⎢⎢

⎢⎢⎢⎣

Ð→a (M,R^′) + Ð→a_e+ Ð→a_c

°

=Ð→0

⎤⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎦=Ð→R_ext m.Ð→a (M,R^′)=Ð→R_ext−m.Ð→a_e

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

+Ð→ fie

(11)

m.

⎡⎢⎢⎢

⎢⎢⎢⎣

Ð→a (M,R^′) + Ð→a_e+ Ð→a_c

°

=Ð→0

⎤⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎦=Ð→R_ext m.Ð→a (M,R^′)=Ð→R_ext−m.Ð→a_e

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

+Ð→ fie

pseudo-forces

Les lois de la quantité de mouvement, du moment cinétique et de l’énergie cinétique appliquées dans un référentiel non galiléen en translation deRgal

font apparaître un terme assimilable à une force

- b Pseudo-force d’inertie d’entrainement: Ð→f_ie=−m.Ð→a_e

(12)

Référentiel en rotation dansR_gal _Exemple

b x

b b

A

(13)

b x^′ x

(14)

(k,l⁰) A^b

x^′

x θ

L’étude se fait dans le plan horizontal θ˙=ω=C^te

(15)

Bilan de l’étude dansR^′ Forces d’inerties

Forces d’inertie

Dans un référentielR^′ non galiléen tout se passe comme si le système était étudié dans un référentiel galiléen et subissait en plus des actions extérieures les pseudo-forces d’inertie

d’entraînement: Ð→f_ie=−m.Ð→a_e

Ð→f_ic=−m.Ð→a_c

Force axifuge

Il s’agit également de la force centrifuge. Elle correspond à la force

d’inertie d’entrainement dans le cas d’un référentiel R^′ en rotation dans le référentiel galiléen.

(16)

Bilan de l’étude dansR^′ _{Lois dans}R′

Les lois dansR^′ :

- b Loi de la quantité de mouvement:

m.Ð→a(M,R^′)=ÐÐ→R_ext+ Ð→f_ie+ Ð→f_ic

- b Loi du moment cinétique:

m.⎛

⎝

dÐ→L(O^′,R^′) dt

⎞

⎠=M(O^′,ÐÐ→R_ext) + M(O^′,Ð→f_ie) + M(O^′,Ð→f_ic)

-b de l’énergie cinétique:

dE_c(M,R^′)=δW(ÐÐ→R_ext,R^′) +δW(Ð→f_ie,R^′)+δW(Ð→f_ic,R^′)

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶₌₀

(17)

Dynamique Terrestre Référentiel Terrestre Définition

Les échelles de distance et temps ne sont pas respectées dans cette animation

Référentiel géocentrique Référentiel Terrestre

(18)

Dynamique Terrestre Référentiel Terrestre Définition

Il faut considérer 3 référentiels :

Le référentiel de Copernicd’origine le centre du soleil avec les axes dirigés vers 3 étoiles fixes et le référentiel Galiléen de référence Le référentielgéocentrique d’origine le centre de la Terre est en translation par rapport au référentiel de Copernic

Le référentielTerrestre est en rotation uniforme dans le référentiel de Copernic.

Référentiel Terrestre

Le référentiel Terrestre est en rotation uniforme dans le référentiel géocentrique

(19)

Dynamique Terrestre Référentiel Terrestre Valeur deω_T

Ð→Ω

z Nord

y

⊗Est λ

Dans la base B(Ð→e_x,Ð→e_y,Ð→e_z): Ð→Ω

RRRRR RRRRR RRRRR RRRRR RRR

Vitesse angulaire de rotation En 365,25 jours, la Terre effectue 366,35 rotations dans le référentiel géocentrique

b ω_T = 366,25 365,25

2.π

86400 ≃ 2.π

86400=7,27.10⁻⁵ rad.s⁻¹

(20)

Dynamique Terrestre Référentiel Terrestre Valeur deω_T

Ð→Ω

z Nord

y

⊗Est λ

Dans la base B(Ð→e_x,Ð→e_y,Ð→e_z): Ð→Ω

RRRRR RRRRR RRRRR RRRRR RRR

0

ω_T.cosλ ωT.sinλ

Vitesse angulaire de rotation En 365,25 jours, la Terre effectue 366,35 rotations dans le référentiel géocentrique

b ω_T = 366,25 365,25

2.π

86400 ≃ 2.π

86400=7,27.10⁻⁵ rad.s⁻¹

(21)

Dynamique Terrestre Référentiel Terrestre Force d’inertie d’ent.

Ð→Ω

z y

⊗ λ

∣ÐÐ→OM∣ ≪ ∣ÐÐ→HO∣ Ô⇒ ÐÐ→HM≡ÐÐ→HO

HM =

ÐÐ→HM =HM.( .Ð→e_y .Ð→e_z) b

(22)

Ð→Ω

z y

⊗ λ

bH

HM =

ÐÐ→HM =HM.( .Ð→e_y .Ð→e_z) b

(23)

Ð→Ω

z y

⊗ λ

bH

HM =R_T.cosλ

ÐÐ→HM =HM.( − sinλ.Ð→e_y + cosλ.Ð→e_z) b

(24)

Ð→Ω

z y

⊗ λ

bH

HM =R_T.cosλ

ÐÐ→HM =HM.( − sinλ.Ð→e_y + cosλ.Ð→e_z) b Ð→f_ie=m.R_T.ω_T.(−sinλ.cosλ.Ð→e_y+cos²λ.Ð→e_z)

(25)

Dynamique Terrestre Champ de pesanteur Définition

Poids d’un corps

On définit le poidsÐ→P associé à une masse m comme l’opposé de la tension du fil retenant la masse à l’équilibre dans le référentiel terrestre, le référentiel géocentrique étant supposé galiléen.

Champ de pesanteur

On définit un champ de forces Ð→g en dynamique terrestre tel que, en tout point M à la surface de la terre,

Ð→P =m.Ð→g

Ð→P Ð→T

(26)

Dynamique Terrestre Champ de pesanteur Expression

Le pendule est étudié dans le référentiel Terrestre non galiléen, le référentiel géocentrique étant supposé galiléen.

Force d’inertie d’ent. : Ð→f_ie=m.ω²_T.R_T.cosλ(−sinλ.Ð→e_y+cosλ.Ð→e_z) Force de gravitation :ÐÐÐ→F_grav =

D’après la définition du poids,Ð→P = champ de pesanteur

b

(27)

Force d’inertie d’ent. : Ð→f_ie=m.ω²_T.R_T.cosλ(−sinλ.Ð→e_y+cosλ.Ð→e_z) Force de gravitation :ÐÐÐ→F_grav = −G.m.M_T

R²_T .Ð→e_z D’après la définition du poids,Ð→P =ÐÐÐ→F_grav+ Ð→f_ie champ de pesanteur

b

(28)

Force d’inertie d’ent. : Ð→f_ie=m.ω²_T.R_T.cosλ(−sinλ.Ð→e_y+cosλ.Ð→e_z) Force de gravitation :ÐÐÐ→F_grav = −G.m.M_T

R²_T .Ð→e_z D’après la définition du poids,Ð→P =ÐÐÐ→F_grav+ Ð→f_ie champ de pesanteur

b Ð→g =−ω²_T.R_T.cosλ.sinλ.Ð→e_y−(G.MT

R²_T −ω²_T.R_T.cos²λ.Ð→e_z)

(29)

champ de pesanteur

b Ð→g =−ω²_T.R_T.cosλ.sinλ.Ð→e_y−(G.M_T

R²_T −ω²_T.R_T.cos²λ.Ð→e_z) Or G.MT

R²_T ≃9,8 m.s⁻² etω²_T.RT ≃3,4.10⁻² m.s⁻² donc Ð→g ≃−ω_T².R_T.cosλ.sinλ.Ð→e_y −G.M_T

R_T² Ð→e_z

(30)

Dynamique Terrestre Champ de pesanteur Verticale

Verticale

La direction verticale est donnée par la direction du champ de pesanteur.

y z

⊗

α

Ð→g λ

On cherche à exprimerα l’angle entre la direction radiale et la verticale

tanα= ∣Ð→g ⋅ Ð→g ⋅ ∣ =

(31)

Verticale

y z

⊗

α

Ð→g λ

tanα= ∣Ð→g ⋅Ð→ey

Ð→g ⋅Ð→e_z∣ =

(32)

Verticale

y z

⊗

α

Ð→g λ

tanα= ∣Ð→g ⋅Ð→ey

Ð→g ⋅Ð→e_z∣ = ω_T².R³_T

2.G.M.sin(2.λ)

(33)

Dynamique Terrestre Étude dynamique

PFD dans le référentiel Terrestre

La force d’entrainement est déjà prise en compte dans le poids

m.Ð→a(M,RT) =Ð→P +ÐÐ→R_ext+Ð→f_ic ÐÐ→R_ext : forces appliquées au système autres que le poids

Sauf cas particuliers, on négligera la force d’inertie de Coriolis dans l’étude des systèmes en dynamique Terrestre.

L’effet de la force de Coriolis permet d’expliquer La formation des dépressions

La déviation vers l’est des corps en chute libre