Université de Caen M1
TP n
o4 : Régression linéaire multiple 1
Exercice 1. On souhaite expliquer une variable quantitativeY à partir de10variables quantita- tives X1, . . . , X10. Pour ce faire, on considère le modèle de rlm :
Y =β0+β1X1 +. . .+β10X10 +,
où ∼ N(0, σ2). Les paramètresβ0, β1, . . . , β10 et σ sont des réels inconnus. On les estime alors avecn observations de (Y, X1, . . . , X10)par la méthode des mco. Le tableau de ce modèle de rlm renvoyé par la commande summary est donné ci-dessous :
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) • • 4.14 0.0005 ***
X1 -0.0033 0.0011 • 0.0061 **
X2 -0.0427 0.0149 -2.87 0.0092 **
X3 0.0497 0.0678 0.73 0.4722
X4 -0.5389 • • 0.1709
X5 0.1362 0.0707 1.93 0.0676 .
X6 -0.4224 • -0.39 0.7004
X7 0.0459 0.6801 0.07 0.9468
X8 • 0.1520 -0.25 0.8041
X9 -0.3626 0.5593 -0.65 •
X10 -0.5980 0.4966 -1.20 0.2419 Residual standard error: 0.5537 on 21 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.6903, Adjusted R-squared: •
F-statistic: • on 10 and 21 DF, p-value: •
Les points • représente des informations volontairement effacées.
1. Quelle est la valeur den ? 2. Donner l’emcoponctuel de β8.
3. Est-ce que la régression est hautement significative enX2 ? 4. Donner un intervalle de confiance pour β5 au niveau 95%.
5. Peut-on affirmer queβ10 6=−0.51au risque 5% ? 6. Donner la valeur duR2 ajusté.
7. Donner une estimation ponctuelle deσ2. 8. Donnerete6.
9. Donner fobs et la p-valeur du test global de Fisher. Quelle est l’hypothèse nulle associée à ce test statistique ?
C. Chesneau 1 TP no 4
Université de Caen M1
Exercice 2. On souhaite expliquer le temps en minutes (variable Y) pour approvisionner un réseau de distributeurs de boissons à partir du nombre de caisses de bouteilles placées (variable X1) et de la distance parcourue en mètres (variable X2). Le jeu de données est disponible ici :
https://chesneau.users.lmno.cnrs.fr/boisson.txt On considère le modèle de rlm :
Y =β0+β1X1 +β2X2 +,
avec ∼ N(0, σ2). Les paramètres β0, β1, β2 etσ sont des réels inconnus.
1. Mettre les données sous la forme d’une data frame w en attachant les noms X1, X2 et Y aux colonnes correspondantes.
2. Représenter les nuages de points associés à (X1, Y) et (X2, Y). Est-ce que ceux-ci laissent à penser la pertinence du modèle de rlm pour ce problème ?
3. Reproduire et comprendre l’enjeu des commandes suivantes : library(scatterplot3d)
s3d = scatterplot3d(X1, X2, Y, type = "h", highlight.3d = TRUE, angle = 65, scale.y = 0.7, pch = 16)
4. Reproduire et comprendre l’enjeu des commandes suivantes : X = cbind(1, X1, X2)
X
n = nrow(X) p = ncol(X) - 1
b = solve(t(X) %*% X) %*% t(X) %*% Y b
s2 = sum ((Y - X %*% b)^2) / (n - (p + 1)) s2
v = solve(t(X) %*% X) * s2 sqrt(diag(v))
tobs = b / sqrt(diag(v))
pvaleurs = 2 * (1 - pt(abs(tobs), n - (p + 1))) pvaleurs
R2 = 1 - sum((X %*% b - Y)^2) / sum((mean(Y) - Y)^2) R2
R2aj = 1 - ((n - 1)/(n - (p + 1))) * (1 - R2) R2aj
fobs = ((n - (p + 1)) / p) * (R2 / (1 - R2)) fobs
pvaleurfisher = pf(fobs, p, n - (p + 1), lower.tail = F) pvaleurfisher
5. Retrouver les résultats de la question précédente avec les commandes lm et summary.
6. Donner la valeur prédite de Y lorsque (X1, X2) = (8,281).
7. Représenter le graphique des résidus. Est-ce que les hypothèses standards semblent être satisfaites ?
C. Chesneau 2 TP no 4
