Modélisation et effet du recouvrement non linéaire sur le retour élastique des tôles

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retour élastique des tôles

Sami Chatti

To cite this version:

Sami Chatti. Modélisation et effet du recouvrement non linéaire sur le retour élastique des tôles. CFM 2011 - 20ème Congrès Français de Mécanique, Aug 2011, Besançon, France. �hal-03421191�

Modélisation et effet du recouvrement non linéaire sur le retour élastique des tôles

S. CHATTI^a

a. LGM, Ecole Nationale d’Ingénieurs de Monastir, Route Ibn Eljazzar 5019 Monastir, Tunisie

Résumé :

La prédiction numérique du retour élastique des tôles après mise en forme reste relativement imprécise. En particulier, le recouvrement non linéaire (dégradation du module élastique après écrouissage) est généralement non pris en compte lors des simulations numériques. Dans ce travail, nous proposons une modélisation de ce phénomène et nous montrons que l’utilisation d’un module élastique variable combiné avec de l’écrouissage cinématique non-linéaire permet de mieux simuler le retour élastique des tôles.

Abstract :

Numerical prediction of springback remains one of the major problems in sheet metal forming. The quality of springback prediction for a sheet metal forming process depends on a precise estimation of the stress distribution allover the metal sheet. In particular, the decrease of the unloading elastic modulus (non-linear recovery) with increasing plastic prestrain during stress reversals, observed by several authors, was commonly not taken into account in FE analysis. A model is proposed which takes the elastic modulus evolution with plastic prestrain and the unloading stress into account. Numerical simulations show that this model coupled with a non-linear kinematic hardening model can accurately predict the springback amount.

Mots clefs

1 Introduction

Lors de la mise en forme de tôles, la géométrie finale est modifiée dès que l'outillage est enlevé, ce qui donne lieu à une déformation supplémentaire, généralement indésirable, connu sous le nom de retour élastique. Ce phénomène est l’un des défauts majeurs qui dégrade la précision dimensionnelle d'un produit ce qui conduit à des difficultés d’assemblage des pièces. Ces dernières années, les aciers de haute résistance mécanique et les alliages d'aluminium sont de plus en plus utilisés dans les procédés de mise en forme de tôles. En raison de leurs ratios limite élastique/module d'élasticité élevés, le retour élastique devient de plus en plus important et des mesures précises de ce phénomène deviennent essentielles dans le but de concevoir un outillage approprié pour les applications industrielles. Toutefois, à ce jour la prédiction numérique du retour élastique par la méthode des éléments finis (MEF) reste relativement imprécise pour être utilisée dans la pratique. Ceci s'explique par le fait que la modélisation d’un procédé de mise en forme est complexe vue la présence des non-linéarités matérielles (lois de comportement), des non-linéarités géométriques (grandes déformations) et le problème de contact-frottement. Des modèles phénoménologiques sophistiqués, incluant l’anisotropie et l’écrouissage cinématique, ont été développés afin de bien simuler les procèdes de mise en forme ainsi que le retour élastique. En particulier, plusieurs recherches ont souligné que le module d'élasticité varie en fonction de la déformation plastique. Yamaguchi et al. [1] et Yang et al [2] ont présenté d’importants résultats expérimentaux sur la diminution du module élastique. Ils ont expliqué que ce phénomène est dû principalement au mouvement et le réarrangement des dislocations au cours de la déformation plastique.

Morestin et al. [3] al. ont testé plusieurs types d’aciers et ont noté que le module élastique perd 17,5% de sa valeur pour seulement 5% de déformation plastique pour les aciers à haute résistance mécanique (HRM).

Egalement, Cleveland et al [4] ont reporté que 7% de déformation plastique suffit à faire chuter le module élastique de 19 % pour un HRM et 11% pour un alliage d’Aluminium. Lors de l’étude du comportement cyclique d’un acier, Yoshida et al [5] ont remarqué que le module élastique n’est pas constant en déchargement et dépend non seulement de la déformation plastique mais également de la contrainte de

élastique en fonction de la déformation plastique seulement. Par des mesures microscopiques, Yu [6] a expliqué que la déformation plastique provoque le mouvement des dislocations et l’augmentation du martensite ce qui conduit à une modification du module élastique. Il a modélisé l’évolution du module élastique par une expression polynomiale. D’un autre coté et plus récemment, Vrh et al. [7] ont effectué des observations expérimentales et ont conclu que la variation du module élastique après déformation plastique est due à l’endommagement du matériau.

Dans ce travail, une expression du module d'élasticité, dépendant à la fois de la déformation plastique et de la contrainte atteinte en fin de déchargement, est proposée. Des simulations numériques de l’essai de pliage en U (Numisheet 93) sont réalisées et montrent que la prise en compte de la dégradation du module d’élasticité couplé avec de l’écrouissage cinématique non-linéaire peut mieux prédire le retour élastique.

2 Modélisation du comportement 2.1 Loi de comportement

La modélisation de la loi de comportement des tôles est de type élastoplastique orthotrope en grandes déformations. Le critère de plasticité en contraintes planes s’écrit :

( )

(

) (

) (

)

(

)

: : f

2xy z

x z y y 2 x

2 z 2 y

x + + σ + + σ − σ σ + σ σ + σ σ + σ −σ≤

σ +

= σ

−

=

σ _σσσσ H _σσσσ σ,σ,σ,

σ, (1)

Avec σσσσ est la contrainte de Cauchy (écrite sous forme objective), F, G, H et N sont les coefficients d’orthotropie et H est le tenseur de quatrième ordre de Hill, σ est la contrainte d’écrouissage isotrope, σ_x, σ_y et σ_xy sont les composantes du tenseur contrainte de Cauchy dans le plan de la tôle et σ_z est la contrainte selon la direction normale. Le critère de Swift s’écrit :

(

)

kε +ε

=

σ (2)

avec ε₀ est la limite de la déformation élastique initiale, k, n des constantes mécaniques et ε^P est la déformation plastique effective. Dans le cas de l’écrouissage cinématique, le critère (1) s’écrit :

(

) ( )

( )

f σσσσ X σ = σσσσ−X H σσσσ−X −σ≤ (3) Avec X est la contrainte cinématique. Le modèle de Lemaître-Chaboche [8] est largement utilisé pour modéliser l’écrouissage cinématique non-linéaire (NLKH) qui s’écrit:

X

X& =Cεεεε&^p−γε&^P (4)

avec C, γ sont des constantes mécaniques, εεεε&^P est le tenseur taux de déformation plastique avec ε&^P est le taux de la déformation plastique effective. Noter que dans le cas de traction dans la direction x, les équations (3) et (4) donnent :

( )

(

)

C − −γε

+ γ σ

=

σ (5)

Par conséquent les paramètres ε0, k, n, C et γ peuvent être calibrés par un essai de traction-compression.

2.2 Expression du module élastique en décharge

Dans un essai de traction-compression, Il est observé expérimentalement que la décharge élastique n’est pas linéaire mais présente une courbure comme schématisé dans la figure 1. Dans ce cas la déformation de retour peut être subdivisé selon :

εretour = (σ0−σ1)/E0 + εnl (6)

avec E0 le module élastique initial, σ0 la contrainte atteinte juste avant l’étape de retour élastique, σ1 est la contrainte résiduelle après relâchement ((σ0−σ1)/E est le recouvrement linéaire) et εnl le recouvrement non- linéaire. Il a été également observé expérimentalement [5, 6] que le module élastique diminue rapidement et

σ1

Décharge par le module initial

Décharge expérimentale σ

ε ε^p0

ε0

σ0

Recouvrement non-linéaire Recouvrement linéaire

tend vers une limite pour une déformation plastique large. Nous utilisons l’expression exponentielle [5] de l’évolution du module élastique (modèle YUM) qui s’écrit:

Eu=E0-(E0-Ea)[1-exp(−ξε0p)] (7)

Avec Eu est le module élastique lors de la décharge, Ea est le module élastique obtenu pour une déformation plastique large ε0p et ξ un paramètre qui détermine la vitesse de diminution du module élastique Eu.

Figure 1: Definition of the unloading elastic modulus

Il est important de noter que Yoshida et al [5] ont mesuré expérimentalement Eu et ont trouvé qu’il est égal au module élastique initial E0 pour σ1/σ0=1 (juste avant l’étape de décharge), et diminue en fonction de la valeur du rapport σ1/σ0. Afin de modéliser cette observation, la relation (7) est réécrite selon (modèle MYUM):

( ) ( (

) )

0 a 1

0 0

u E E E 1 1 exp

E  − −ξε









 σ

− σ

−

−

= (8)

Noter que cette relation permet d’avoir (Eu=E0) en charge (σ1=σ0) comme il a été suggéré par Ghaei et al. [9].

Le cas 3D est simplement modéliser par la relation suivante:

( ) ( (

) )

0 a 1

0 0

u E E E 1 1 exp

E  − −ξε









 σ

− σ

−

−

= (9)

avec σ₀ et σ₁ sont les contraintes équivalentes avant et après le retour élastique respectivement, et ε₀^p est la déformation plastique équivalente atteinte juste avant la phase de décharge. Ce modèle a été implanté dans logiciel de calcul par éléments finis Abaqus pour la simulation du retour élastique.

2.3 Cas de l’acier TRIP600

Dans la suite le matériau utilisé est l’acier TRIP600 dont constantes mécaniques sont données dans le tableau1 [6]. La figure 2 donne les points expérimentaux et la courbe moyenne de l’essai de traction. Cette dernière est modélisée par le modèle exponentiel (7) dont les paramètres sont donnés dans le tableau 2.

L’utilisation de l’équation (8) permet d’obtenir les courbes de la figure 3 qui représentent l’évolution du module élastique en fonction, à la fois, de la déformation plastique et de la contrainte relâchée.

Tableau 1: Constantes mécanique de l’acier TRIP600 Module d’Young (GPa) E=201

Coefficient de Poisson ν=0,3

Modèle de Swift (MPa) σ=460+600(ε^p)^0,232

Tableau 2: Propriétés élastiques E0 (GPa) Ea (GPa) ξ

201 158 7

Quatre modèles sont utilisés pour la simulation de l’essai de traction: (i) écrouissage isotrope (IH); (ii) écrouissage cinématique non linéaire (NLKH); (iii) modèle de Ushida-Yemori modifié (MUYM); et (iv) modèle combine (MUYM+NLKH). Le tableau 3 donne les paramètres calibrés de ces modèles a partir de l’essai de traction-compression (voir figure 4). Il est clair que le modèle (MUYM+NLKH) donne le résultat le plus proche de l’expérience durant la phase de relâchement et puis de compression.

Figure 2: Evolution du module élastique en fonction de la déformation plastique du TRIP600.

Figure 3: Evolution du module élastique en fonction de la déformation plastique et du rapport σ1/σ0. Tableau 3: Paramètres des modèles d’écrouissage.

Modèle Paramètres

IH σ0=460; K=600; n=0,232

NLKH C=3350, γ=10

MUYM E0=201 GPa; Ea=158 GPa;ξ=7

Figure 4: Essai de traction-compression du TRIP600

150 160 170 180 190 200 210

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30

Module élastique (GPa)

Déformation plastique Exponential model experiment [25]

150 160 170 180 190 200 210

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30

Module élastique (GPa)

ε₀^p

σ1/σ0=1 σ1/σ0=0,8 σ1/σ0=0,6 σ1/σ0=0,4 σ1/σ0=0,2 σ1/σ0=0

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800

0,119 0,121 0,123 0,125 0,127

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800

0 0,05 0,1 0,15 0,2

Contrainte (MPa)

Déformation

IH NLKH UYM

MUYM+NLKH Experimental [6]

3 Pliage en U (Numisheet’93)

L’essai de pliage en U est considéré pour étudier l’effet de la dégradation du module élastique sur le retour élastique. Les constantes matérielles utilisées sont données dans les tableaux 1, 2 et 3. La géométrie est la définition de la mesure du retour élastique sont données dans la figure 5. Les dimensions du flan sont de longueur 350 mm, de largeur 35 mm et 0,78 mm d’épaisseur. Le coefficient de frottement de tous les contacts est supposé µ=0,13 et la profondeur de descente du poinçon est 70 mm. L’effort de serrage par le serre-flan est 30 KN.

Figure 5: pliage en U ; gauche: dispositif expérimental; droite: définition des angles θ1 and θ2 utilisés pour la mesure du retour élastique.

Figure 6: Distribution de la contrainte de Von Mises ; modèle IH ; haut : charge ; bas : décharge.

Le code de calcul par éléments finis ABAQUS est utilisé pour simuler ce test. A cause de la symétrie du problème, seul la moitié de la géométrie sera considérée avec les conditions aux limites convenables. Les simulations sont divisées en deux phases. La première phase concerne le pliage par l’effet de la descente du poinçon tandisque la seconde phase s’occupe de la simulation du retour élastique. L’hypothèse de déformation plane est utilisée.

Figure 7: Evolution de la contrainte normale dans deux nœuds représentatifs (modèle IH) -800

-600 -400 -200 0 200 400 600 800

-0,04 -0,02 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 σ11(MPa)

ε₁₁ Nœud a Nœud b

x

Des tests numériques ont été conduits pour étudier l’effet du nombre d’éléments selon l’épaisseur sur la forme finale du flan. Il a été trouvé que 6 éléments sont suffisants pour avoir des résultats précis. La moitié du flan est maillée par 1500 éléments. La figure 6 donne les géométries et les distributions de la contrainte de Von Mises (en utilisant le modèle à écrouissage isotrope IH) à la fin des deux phases précitées. Dans la figure 7 sont tracées l’évolution de la contrainte normale dans les nœuds a et b (visibles dans la figure 6). Ces courbes montrent très clairement qu’il y a un chargement cyclique. Par conséquent, un modèle de comportement à écrouissage cinématique doit être utilisé. Des simulations numériques ont été conduites en utilisant les modèles d’écrouissage du tableau 3 et les angles de retour élastique sont reportés dans le tableau4.

Figure 8: Distribution a) du module élastique ; de σ₁/σ₀ (modèle MYUM+NLKH).

Il est clair que le modèle combiné MYUM+NLKH fournit le meilleur résultat en le comparant à l’expérience.

La figure 8 montre que le module élastique et le rapport σ₁/σ₀ présentent une diminution significative au niveau de la partie libre de la tôle (partie verticale lors de la phase de pliage) et au niveau des rayons des outils.

Tableau 4: Angles de retour élastique expérimentaux et numériques.

θ1(°) θ2(°)

Experimentale [6] 101,9 77,4

Ecrouissage isotrope 100,5 83,2

NLKH 98,4 84,3

MYUM + NLKH 101,2 80,2

4 Conclusion

Lors de l’essai de pliage en U, il a été remarqué qu’il existe un comportement cyclique. Par conséquent, l’écrouissage cinématique non-linéaire doit a été considéré. De plus, la prise en compte du phénomène de dégradation du module élastique permet d’améliorer significativement la prédiction du retour élastique.

References

[1] K. Yamaguchi, H. Adachi, N. Takakura, Effects of plastic strain path on Young’s modulus of sheet metals, Metals and matrials, 4, 1998, 420-425.

[2] M. Yang, Y. Akiyama, T. Sasaki, Evaluation of change in material properties due to plastic deformation, J. of Mat. Proc., 151, 2004, 232-236.

[3] F. Morestin, M. Boivin, C. Silva, Elasto plastic formulation using a kinematic hardening model for springback analysis in sheet metal forming, Journal of Materials Processing Technology, 56, 1996, 619-630.

[4] R. M. Cleveland, A. K. Ghosh, inelastic effects on springback in metals, Int. J. of Plasticity, 18, 2002, 769-785.

[5] F. Yoshida, T. Uemori, K. Fujiwara, Elastic-plastic behavior of steel sheets under in-plane cyclic tension- compression at large strain, Int J of Plasticity, 18, 2002, 633-659.

[6] H.Y. Yu, Variation of elastic modulus during plastic deformation and its influence on springback, Materials and Design, 30, 2009, 846-850.

[7] M. Vrh, M. Halilovič, B. Štok, The Evolution of Effective Elastic Properties of a Cold, Formed Stainless Steel Sheet, Experimental Mechanics, DOI 10.1007/s11340-010-9371-1, 2010.

[8] J. Lemaître, J.-L. Chaboche, Mécanique des matériaux solides, Dunod Eds, Paris, 1985.

[9] A. Ghaei , D.E. Green, Numerical implementation of Yoshida–Uemori two-surface plasticity model using a fully implicit integration scheme, Computational Materials Science, 48, 2010, 195–205.