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Médian automne 2002

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Academic year: 2022

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le 25 Octobre 2002 UTBM

MT11 CM1

M´edian

Documents et calculatrices interdits

Chaque exercice doit ˆ etre r´ edig´ e sur une feuille diff´ erente

Exercice 1 R´esoudre dans R2 :

|log(x)| − |log(y)|= 1.

Exercice 2 Quelle(s) affirmation(s) est(sont) vraie(s) ou fausse(s) ? Soit y∈R alors

i)∀ >0,∃x∈R, x6=y,|x−y|< . ii) ∃x∈R, x6=y,∀ >0,|x−y|< .

Exercice 3 Soit la suite (un)n∈N d´efinie par u0 = 2, un =ln(un−1+ 1).

1) Montrer par r´ecurrence que cette suite est d´ecroissante (indication :ln(3)≈1,098).

2) Montrer que cette suite est minor´ee. Que peut-on en d´eduire ? 3) Trouver, si elle existe, la limite de(un)n∈N.

Exercice 4 Soit la matrice

A=

1 0 2

−1 2 1 0 0 3

.

1 - Trouver une matrice P ∈ M3(R) avec que des 1 sur la diagonale telle que A.P = P.D avec

D=

1 0 0 0 2 0 0 0 3

.

2 - Trouver l’inverse de P.

3 - Exprimer A en fonction de P, D et P−1. Mˆeme chose avec A2. 4- En d´eduire une expression de An pour n ∈N.

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