Problèmes de mouvements dans un champ newtonien suivant une conique

Problèmes de mouvements dans un champ newtonien suivant une conique

I₄₀. (petites mines 1998).

Formulaire sur les ellipses.

Pour une ellipse, d’équation en coordonnées polaires par rapport à un foyer

1 cos

r p

= e

+ θ, d'excentricité e, de paramètre p, de demi-grand axe a, de demi-petit axe b et d'aire A :

2 2 2 c b2

a b c e p A a

a a

= + = = =π b

omme n de

e, epler

onsidérée

co de

ier tem

e de ntre la vi

disposer de sa

ntre le

ré ournant

t au

. Distance Terre-Soleil : rT = 1,5.10¹¹ m ; TT = 1 an = 3,16.10⁷ s ; masse de la Terre : MT = 6.10²⁴ kg ; rayon de la Terre : RT = 6,37.10⁶ m ; constante de Cavendish : G = 6,67.10^–11 N.m².kg^–2.

Le Soleil est considéré c un astre dont la répartitio masse est à symétrie sphériqu de centre S et de masse MS, très supérieure à celle MT de la Terre. Le référentiel de K (RK) = (S XYZ) centré en S et dont les axes SX, SY et SZ gardent des directions fixes est considéré comme galiléen.

La Terre sera c

mme à symétrie sphérique centre T et on suppose qu'elle ne subit que l'action du Soleil.

On considère dans un prem ps (question 1 et 2) que l'orbite terrestre est circulair centre S et de rayon rT.

1: Etablir la relation e tesse angulaire de révolution Ω_A de la Terre sur son orbite, la constante de gravitation G, rT et MS. En déduire la valeur numérique de MS.

2 : Il est utile de

tellites de surveillance du Soleil, placés constamment e le Soleil et la Terre.

On travaillera dans férentiel (R’)=(S xyZ) t autour de (SZ) par rappor

référentiel de Képler en suivant le mouvement de la Terre, toujours supposé circulaire de rayon rT, tel que T soit constamment sur la droite (Sx).

r_T

Soit P un tel satellite, assimilable à un point matériel de masse m. P doit tourner autour de S sur une orbite circulaire, de façon que S, P et T soient constamment alignés. P est donc supposé en équilibre dans le référentiel (R'), en un point tel que PTJJJG =deG_x

où eG_x

est le vecteur directeur de l'axe (Sx), voir Figure 1

2-1 : Le référentiel (R') est-il galiléen ? Effectuer le bilan des forces s'exerçant dans ce référentiel sur P, qui y est à l'équilibre, et écrire la condition d'équilibre de P relativement à (R’). En déduire une relation entre MS, MT, rT et d.

2-2 : Résoudre cette équation en d : on utilisera le fait que d r_T et M_T M_S ; on rappelle que si ε 1, alors . Calculer numériquement la valeur de d à l'équilibre.

(1+ε)α ≈1+αε

2-3 : Discuter sans calculs de la stabilité de cette position d'équilibre vis à vis d’un petit déplacement orienté vers la Terre.

3 : En réalité, l'orbite de la Terre n'est pas rigoureusement circulaire.

3-1 : Justifier que l'orbite terrestre (trajectoire de son centre T dans le référentiel de Kepler) est cependant plane ; on supposera dans la suite que ce plan, appelé écliptique, est confondu avec le plan (S XY).

La conséquence principale de la non-circularité de l'orbite terrestre est l'inégalité des durées des saisons. Il se trouve que les dates des solstices d'hiver (de l'hémisphère nord) et d'été coïncident respectivement avec le passage de la Terre au périhélie H (point de l’orbite le plus proche du Soleil) et à l’aphélie E (point de l’orbite le plus éloigné du Soleil) de son orbite : H est supposé être sur l'axe (SX) de (RK).

Les positions des équinoxes de printemps P et d'automne A coïncident aux passages de la Terre sur 1a droite (SY) perpendiculaire à la direction (SX) = (SH).

La durée de l’hiver, qui va du solstice d’hiver à l’équinoxe de printemps, est TH = 89,4 jours solaires moyens de 86 400 s, celle du printemps est TP = 93,2 jours solaires.

3-2 : Représenter l’orbite terrestre sur un schéma où figureront aussi S, H, P, E et A. Pour plus de clarté, on ne craindra pas d'en exagérer l’excentricité.

3-3 : Enoncer et justifier la loi des aires.

3-4 : Soit e l'excentricité de l'orbite terrestre. Montrer que, compte tenu de e << 1, l'aire du secteur SHP de l'ellipse est voisine de

4 ab bc

π − , a et b représentant respectivement le demi-grand axe et le demi-petit axe de l'ellipse trajectoire et c la distance du centre au foyer.

3-5 : Etablir alors la relation entre la durée de l’hiver TH, la durée TT de 1’année et l'excentricité e.

3-6 : En déduire la valeur numérique de l'excentricité e de l'orbite terrestre.

3-7 : Donc, durant la « belle saison » (printemps et été) de l'hémisphère nord, la Terre est en moyenne plus éloignée du Soleil que durant la « mauvaise saison ». Quelle caractéristique du mouvement de la Terre est cause du phénomène des saisons ?

II27.

1) Soit k une constante positive et O un point fixe dans un référentiel galiléen. Un mobile M est soumis à la force

2 r

F k u

=−r

G G

, où rG =OMJJJJG

est le rayon vecteur et u_r ^r

=r G G

est le vecteur unitaire radial des coordonnées sphériques.

Montrer que son moment cinétique ^L G

est une constante du mouvement.

2) Montrer que le mouvement a lieu dans un plan fixe à préciser.

3) Soit vG

la vitesse du mobile. Montrer que v L _r

e k

= ∧ −u G G

G G

est une constante du mouvement.

4) En multipliant scalairement membre à membre la relation précédente par rG

, déterminer l’équation en coordonnées polaires r,θ de la trajectoire.

5) On suppose e <1. Dessiner la forme de la trajectoire avec la position de O et le vecteur eG . 6) A présent k₂^{(1 )} _r

F u

r r

=− +ε

G G

, où est une longueur constante suffisamment petite. Montrer que ε de d ru^θ

= ε θ

G G

. Calculer la variation de eG

pour une variation de θ de 2 . En déduire que la trajectoire est approximativement la même qu’à la question 4, mais qu’elle tourne à chaque révolution d’un angle à préciser.

π

III33. X 1986.

On considère une particule P de masse m, animée d'un mouvement de vitesse petite par rapport à celle de la lumière par rapport à un repère d'origine O. Ce mouvement est dû à un champ de forces F rG( )G =−gradJJJJG U r( )

dérivant d'un potentiel central U r^{( )}, où rG =OPJJJG

et r =OP. A l'instant t on note respectivement v tG^{( )} , γG^{( )}t

et p tG^{( )}

la vitesse, l'accélération et la quantité de mouvement de la particule P.

1. Exprimer la force FG

et montrer qu’elle est radiale.

2. Montrer que le vecteur moment cinétique LG =rG∧pG

est conservé au cours du mouvement.

3. En déduire que la trajectoire de P est située dans un plan Π que l'on caractérisera.

4. Montrer que l'énergie mécanique ^{1 2}

E =2mv +U est une constante du mouvement.

5. Calculer L à l'aide des coordonnées polaires r,θ dans le plan Π et en déduire la loi des aires.

6. Dans toute la suite du problème, le potentiel est de la forme U r( ) r

=−αavec . On définit le vecteur de Lenz

α>0

1 r

A p L

m r

= ∧ −

α

G G G G

. a. Montrer que AG

est un vecteur constant du plan Π. b. Montrer que

2 2

1 2^{L E}2

A = + m α .

En déduire, lorsque L est fixé, une borne inférieure pour l'énergie E. c. Calculer A rG G⋅

et obtenir l'équation polaire de la trajectoire sous la forme ^{( )}

1 cos r p

θ = e

+ θ. Exprimer le paramètre et l'excentricité p e en fonction de m, α, L et E. Placer le vecteur de Lenz AG

par rapport à la trajectoire.

d. Discuter la nature de la trajectoire suivant la valeur de E.

0 E <

a. Déterminer son demi-grand axe ^a et son demi-petit axe ^b en fonction de ^m, α, L et ^E.

b. Pour une valeur fixée de l'énergie , entre quelles limites le moment cinétique L reste-t-il compris ? Calculer sa limite supérieure en fonction de , et E.

E

L0 m α

c. Préciser la trajectoire pour L =0 et pour L =L₀.

d. Calculer la période T du mouvement en fonction de m, α et a. IV₄₇.

Dans un référentiel galiléen lié à un repère cartésien ( , , , )O u u uG G G_{x y z}

, un astre de masse est immobile au point O origine de ce repère. Un mobile P de masse m se meut sous l’action de l’attraction gravitationnelle de l’astre situé en O.

M

Problèmes de mouvements dans un champ newtonien suivant une conique, page 3

1) Montrer que le moment cinétique en O du mobile est conservé et que le mobile se meut dans un plan, qu’on choisira comme le plan ( , ,O u uG G_{x y})

. On note vG1 =−v1uGx

et vG2

la vitesse du mobile très loin de O avant et après le passage près de O, b et b les distances entre O et les asymptotes du mouvement,

les coordonnées polaires du mobile à un instant t quelconque, v

1 2

,

r θ G

la vitesse à l’instant t, φ l’angle entre les asymptotes.

y φ

O x

r θ P

2) Donner trois expressions du rapport du moment cinétique à la masse en fonction des coordonnées polaires du mobile à un instant quelconque t, de v , b et de v , b .

( ), ( )

r t θt _{1 1 2 2}

3) Exprimer l’énergie du mobile.

4) Montrer que v1 =v2 et que b₁ =b₂.

5) Ecrire la projection sur l’axe Oy de la loi fondamentale de la dynamique en fonction des variables v , t, et r. En utilisant la relation de la question 2, éliminer r . En déduire :

y θ

1 1 y sin

dv GM

d =−b v θ θ

6) En déduire que ₂

1 1

tan2 GM b v φ =

7) En exprimant la conservation de l’énergie et du moment cinétique entre l’infini et le périastre, position du mobile la plus proche de l’astre, écrire l’équation déterminant la valeur r0 de r à ce périastre en fonction de b1, v1, G et M .

8) En réalité, le mobile est une boule de rayon ρ et l’astre une boule de rayon . Tous deux ont la symétrie sphérique.

R a) Pourquoi l’astre n’est il pas immobile en O ?

b) A quelle condition la théorie précédente est-elle quand même approximativement correcte ? c) Si tel est le cas, à quelle condition portant sur r0 n’y a-t-il pas collision ?

9) On tire de la Terre un projectile qui après un voyage complexe frôle Mars. En se plaçant tantôt dans le référentiel héliocentrique (lié au centre du Soleil et aux directions des étoiles), tantôt dans le référentiel marsocentrique (lié au centre de Mars et aux directions des étoiles), expliquer comment le phénomène précédent peut être utilisé pour modifier l’énergie du projectile dans le référentiel héliocentrique. Dessiner un exemple d’orientations de v et de v , dans le référentiel marsocentrique, et de la vitesse de Mars, dans le référentiel héliocentrique et préciser s’il s’agit d’une accélération ou d’un freinage dans le référentiel héliocentrique

1 2

vM

V₃₉. Aller et retour pour Vénus.

Masse du Soleil MS = 2.10³⁰ kg ; de la Terre MT = 6.10²⁴ kg ; de Vénus MV = 4,87.10²⁴ kg; constante de la

gravitation G = 6, 67.10^–11 SI ; rayon de l’orbite de la Terre rT = 1,5.10¹¹ m ; de Vénus rv = 1,082.10¹¹ m ; période de la Terre sur son orbite autour du Soleil TT = 1 an ; de Vénus TV ; rayon de la Terre RT =6,37.10⁶ m ; de Vénus Rv = 6,05.10⁶ m.

On considère les référentiels suivants :

• le référentiel de Copernic (C), formé par le centre de masse du système solaire et des directions d’étoiles choisies de façon à ce que ce référentiel soit aussi galiléen que possible ;

• le référentiel héliocentrique (H), lié au centre du Soleil et en translation par rapport à (C)

• le référentiel géocentrique (G), lié au centre de la Terre et en translation par rapport à (C)

• le référentiel vénusocentrique (V), lié au centre de Vénus et en translation par rapport à (C)

• le référentiel terrestre (T) lié à la Terre.

Si un satellite décrit une orbite elliptique autour d’un astre, on appelle périastre sa position la plus proche de l’astre et apoastre sa position la plus éloignée.

1) Expliquer que moyennant des hypothèses qu’on précisera (G) peut être considéré comme galiléen.

2) On se place dans (H). On considère que la Terre et Vénus y décrivent dans le même sens des orbites circulaires coplanaires. Calculer leurs vitesses vT et vV.

3) Le voyage aller et retour de la Terre vers Vénus le plus économique se fait en trois temps :

– à l'aller, de durée t1, une demi ellipse de Hohmann, c'est-à-dire une orbite tangente en son aphélie à l'orbite de la Terre et en son périhélie à l'orbite de Vénus ; cette ellipse est décrite dans le même sens que celui dans lequel la Terre et

Vénus tournent autour du Soleil ;

- une durée t2 passée en orbite autour de Vénus ;

- le retour sur Terre par une autre demi ellipse de Hohmann de durée t3.

3.a) Dessiner de façon qualitativement juste les orbites de la Terre et de Vénus et l’orbite de transfert. Quelle est la longueur du grand axe de l’orbite de transfert ? Donner l'équation numérique en coordonnées polaires de cette orbite de transfert.

3.b) Enoncer en beau langage la troisième loi de Kepler. Calculer en année la période de Vénus sur son orbite autour du Soleil TV.

3.c) Calculer la durée en année t1 de l'aller et celle t3 du retour.

4) A l’instant 0, le Soleil, Vénus et la Terre sont alignés dans cet ordre. La direction correspondante est choisie comme origine des abscisses angulaires θ_V et θ_T de Vénus et de la Terre.

4.a) Exprimer ces abscisses angulaires θ_V et θ_T en fonction du temps t et de T_T et TV.

4.b) Déterminer les dates t5 propices au lancer d’une mission aller et retour vers Vénus. Quel intervalle de temps t4

sépare deux fenêtres successives de tir vers Vénus ?

4.c) Déterminer les dates t6 propices au départ de Vénus. Calculer la durée t2 en année du séjour minimum en orbite autour de Vénus et la durée totale du voyage.

5) On se place dans (G). On lance depuis la surface de la Terre un mobile de masse m à la vitesse v0.

5.a) Montrer que pour que ce mobile s’écarte indéfiniment de la Terre il faut que v0 soit supérieur ou égal à une limite vLT qu’on calculera numériquement.

5.b) Exprimer la vitesse très loin de la Terre v∞ en fonction de v0 et vLT. 6) Soit un satellite sur une orbite elliptique autour d’un astre fixe de masse M.

6.a) Ecrire la conservation de l’énergie et du moment cinétique aux deux extrémités de son grand axe. En déduire que l’énergie du satellite est égale à l’énergie potentielle qu’il aurait à une distance de l’astre égale à la longueur du grand axe de son orbite.

6.b) En déduire les expressions des vitesses de ce satellite aux deux extrémités de son grand axe.

6.c) En déduire numériquement la vitesse v1 du véhicule Terre-Vénus sur son orbite de transfert à son aphélie ; 6.d) et la vitesse v2 du véhicule Terre-Vénus sur son orbite de transfert à son périhélie.

6.e) Dans quel référentiel ces résultats sont-ils valables ?

7.a) Calculer la vitesse v1' du véhicule Terre-Vénus par rapport au référentiel géocentrique sur son orbite de transfert à son aphélie.

7.b) Dans quelle direction faut-il lancer le véhicule ?

8) Calculer la vitesse de lancement v0 depuis la surface terrestre.

9) Quelle est la forme de la trajectoire du véhicule dans le référentiel vénusocentrique au voisinage de Vénus si l’on n’allume pas les moteurs ?

10) L’atmosphère de Vénus freine le véhicule seulement près du point de cette trajectoire le plus proche de Vénus, le périvénus, si bien qu’on peut considérer dans un vision simplifiée que le véhicule subit une diminution de sa vitesse au périvénus. Que devient alors sa trajectoire ? Quel est le cas favorable ? Comment est située alors cette trajectoire ?

11) Dans ce cas, montrer que sans utiliser les moteurs fusées on se rapprocherait progressivement d’une orbite circulaire autour de Vénus. Quel défaut présente cette manœuvre et pourquoi faut-il en réalité utiliser les moteurs fusée pour obtenir un orbite stable autour de Vénus permettant d’attendre la durée t2 ? A quel endroit faut-il allumer les moteurs fusée et dans quelle direction faut-il diriger leur jet ?

12) Expliquer qualitativement, mais avec précision, la manœuvre nécessaire pour reprendre la route de la Terre.

VI. L’atome, d’après centrale MP 2005.

Le problème qui suit étudie divers modèles de l’atome qui se sont succédés au début du dernier siècle. Dès la fin du XIX^esiècle, des expériences ont mis en évidence la notion d’atome contenant une charge positive, ainsi qu’une charge négative, celle-ci identifiée comme étant constituée d’électrons de charge et de masse . On connaît aussi le nombre de masse A caractéristique de chaque espèce.

−e m_e

Les valeurs numériques demandées seront calculées avec les données suivantes :

(

⁹

)

¹

4πε0 =1/ 9 10 F m⋅ ⋅ ⁻

Masse de l’électron : m_e =9,1 10⋅ ⁻³¹kg

Charge élémentaire : e =1, 6 10⋅ ⁻¹⁹C

Célérité de la lumière dans le vide : ^c =^{3 10 m s}⋅ ⁸ ⋅ ⁻¹ Constante de Planck : ^h =^{6, 63 10}⋅ ^−34SI Masse d’un atome de nombre de masse A : m_at =A×1, 67 10⋅ ⁻²⁷kg Les diverses parties sont partiellement indépendantes.

B₇₉. Champ électrique d’une boule uniformément chargée.

Une boule de centre O et de rayon aporte une charge Q positive uniformément répartie dans son volume.

1) Déterminer par un argument précis la direction du champ électrique.

3) Déterminer sa valeur maximale quand ^r varie.

C73. Généralités sur le problème à deux corps.

Soit un système S isolé constitué de deux particules A et B de masses respectives et . On étudie ce système dans un référentiel R supposé galiléen. On se donne également un point O fixe dans ce référentiel. On appelle

ma m_b

FGa

et FGb

les forces exercées par B sur A et A sur B. On suppose que leur module ne dépend que de la distance r entre les deux particules.

1) Soit C le centre de masse du système S. Déterminer, en le démontrant, le mouvement de C dans R . 2) Soit rG =ABJJJG

. Montrer que l’étude du mouvement relatif se réduit à l’étude plus simple du mouvement d’une seule particule (que l’on nommera mobile fictif) de masse et de vecteur position µ rG

soumise à la force FG_b . On donnera l’expression de . µ

3) Dans le cas particulier où m_b m_a, que vaut µ et où se trouve le centre de masse C ? 4) Montrer que la variation de l’énergie cinétique du système est égale à celle du mobile fictif.

D32. Le modèle de Thomson, ou modèle de l’électron élastiquement lié à l’atome.

En 1904, le physicien anglais Sir Joseph John Thomson (1856-1940) proposa le modèle suivant pour l’atome d’hydrogène.

• Il est constitué d’une sphère de centre O et de rayon a.

• La charge positive e de l’atome est répartie uniformément dans le volume intérieur de cette sphère.

• La sphère est supposée fixe dans un référentiel galiléen auquel on associe le repère orthonormé direct (O e e e^{, , ,}G G Gx y z)

.

• L’électron se déplace librement à l’intérieur de la sphère ; on note rG =OMJJJJG

son vecteur position.

• On néglige l’interaction gravitationnelle devant l’interaction électromagnétique.

1) Quelle est l’expression de la force ressentie par l’électron ? On posera

2 0 3

4 k e

= a

πε . 2) Montrer que le mouvement de l’électron est plan.

3) Donner la loi horaire du mouvement de l’électron pour les conditions initiales suivantes : à t =0, r^G₀ =r e₀^G_x et

0 0 z

v^G =v e^G où e^G_x est le vecteur unitaire de l’axe Ox et e^G_z le vecteur unitaire de l’axe Oz. 4) Tracer l’allure de la trajectoire, le plan de figure étant celui de la trajectoire.

5) En prenant , calculer la fréquence du mouvement et la longueur d’onde associée. Dans quel domaine du spectre électromagnétique celle-ci est-elle située ?

0,1nm a =

E₇. Invalidation du modèle de Thomson par l’expérience de Rutherford.

L’expérience réalisée en 1909 par Geiger et Marsden et interprétée en 1911 par le physicien néo-zélandais

Rutherford a été une étape capitale dans l’histoire de la physique atomique. Elle consiste à bombarder une mince feuille d’or avec les particules émises par un corps radioactif. On constate que ces particules ressortent de la feuille métallique, la majorité n’étant pas déviées, quelques unes étant déviées : on dit qu’elles sont diffusées. Quelques rares particules sont même rétrodiffusées, c’est-à-dire qu’elle sont déviées d’un angle supérieur à 90 degrés. On se place dans le référentiel du laboratoire, supposé galiléen, où la feuille d’or est fixe.

α α

On étudie, pour le moment, la diffusion d’une particule par un atome cible B. La particule α, de masse , arrive de l’infini avec une vitesse

α m_a

v^G0 (voir figure) et un paramètre d’impact b (distance minimale à laquelle elle passerait à côté de B en l’absence de toute interaction). L’atome cible

possède une masse telle que .

B mb m_b m_a

Problèmes de mouvements dans un champ newtonien suivant une conique, page 5

On néglige toute interaction gravitationnelle. L’énergie potentielle d’interaction entre la particule et l’atome cible B , distants de r , est électrostatique et de forme a priori quelconque : on la note W r et elle est prise nulle à l’infini.

α

( )

Dans le cas de l’expérience de Rutherford, les particules cibles étaient d atomes d’or (nombre de masse A= méro atomique Z = n considère que ces atomes d’or sont fixes à cause de leurs interactions avec

les autres atomes d’or du solide dont ils font partie. On suppose, comme à l’époque, que la partie essentielle de la masse de l’atome est liée à sa charge positive. Une particule α est u atome d’hélium ionisé, portant deux charges

élémentaires positives et de nombre de masse égal à 4. On admet que l’action d’un atome d’or sur cette particule α est purement électrostatique et qu’elle est plus faible que celle de la seule charge positive de l’atome d’or, les électrons de l’atome d’or compensant la majeure partie de la force exercée par la charge positive de l’atome.

es

, nu ). O

n

197 79

Pour montrer que l’existence de particules rétrodiffusées invalide le modèle de Thomson, on cherche une majoration de l’angle de déviation prévu par ce modèle. Le rayon de l’atome est a =0,1nm.

1) Avec les hypothèses précédentes sur le modèle de Thomson, la particule α perçoit une force électrostatique inférieure à une borne F_max ; évaluer numériquement F_max.

2) On donne la vitesse de la particule α incidente : 1. On suppose qu’une force

s’applique à la particule α sur une longueur 2 afin de la faire dévier. Évaluer numériquement une majoration de l’angle de déviation possible.

0 1, 6 10 m s7

v = ⋅ ⋅ ⁻ F_max

a

3) Un ivrogne décrit des pas successifs ; chaque pas possède la même longueur a et un sens aléatoire, non corrélé à celui des pas précédents ; quel est l’ordre de grandeur du déplacement de l’ivrogne au bout de N pas ?

4) En pratique, la feuille d’or utilisée comportait environ 400 plans atomiques successifs. Conclure quant à la validité du modèle de Thomson.

F26. Confrontation du modèle de Rutherford à l’expérience.

Rutherford propose dans son modèle, par rapport au modèle de Thomson, une répartition différente de la charge positive Ze : celle-ci est concentrée dans un noyau quasi-ponctuel autour duquel gravitent les électrons.

1) Pourquoi peut-on supposer avec une assez bonne approximation le noyau d’or fixe ? La discussion précédente montre que pour expliquer les déviations constatées, il faut une force plus grande que celle dans le modèle de Thomson.

Cette force est plus grande lorsque la particule α est très près du noyau. Expliquer pourquoi on peut alors négliger l’action des électrons et ne considérer que l’action du noyau sur la particule α, comme nous le ferons dans la suite.

2) Montrer que l’énergie potentielle d’interaction de la particule avec le noyau de l’atome , toujours de nature électrostatique, est dans le modèle de Rutherford de la forme . On précisera l’expression de K.

α B

( ) /

W r =K r

3) Soit r^G =BM^JJJJG le vecteur position de la particule α. On pose v^G =dr dt^G/ , p^G =m v_a^G et l^G =r^G∧p^G. Montrer que le moment cinétique l^G, exprimé en , de la particule α est constant au cours du temps. Quelle(s) conséquence(s) en déduit-on pour son mouvement ?

B

4) Quelle est la nature de la trajectoire suivie par la particule α ? Pourquoi ? (aucun calcul n’est demandé). La représenter.

5) On peut se passer de l’équation de la trajectoire pour calculer l’angle de déviation en utilisant l’intégrale première du mouvement L^G =p^G∧l^G+m Kr r_a ^G/ .

Montrer que ce vecteur est bien une constante du mouvement. _G

6.a) Déterminer la direction de L en considérant le passage au plus près du noyau.

6.b) Déterminer les composantes de L^G sur les axes de la figure précédente quand la particule est très loin du noyau.

,

x y α

6.c) En déduire la relation liant le paramètre d’impact b à l’angle de déviation (défini entre et φ 0 π) : ( )

tan / 2 b = β

φ avec ₂

a 0

K β=m v .

7) En pratique, l’expérience de Rutherford n’est pas faite avec une seule particule α, mais avec un faisceau homocinétique ; l’unité de surface perpendiculaire à l’axe Bx reçoit J particules par unité de temps.

Un détecteur permet d’étudier la statistique des déviations des particules α. On note l’angle solide sous lequel est vue, depuis la cible, la zone du détecteur comptant les particules déviées d’un angle compris entre

et .

2 sin dΩ= π φ φd φ φ+dφ

7.a) Déterminer le nombre de particules déviées par unité de temps ayant initialement un paramètre d’impact compris entre b et b , en fonction de J , b et db.

/ dN dt +db

7.b) On appelle section efficace différentielle de diffusion la quantité ^{d dN dt/}

d Jd

σ =

Ω Ω . L’exprimer en fonction de et φ.

β

7.c) Geiger et Marsden obtinrent expérimentalement une section efficace différentielle proportionnelle à ( )

1/ sin4 φ/ 2 . Commenter.

7.d) Montrer que la plus petite distance ^r_m au cours du mouvement entre le noyau et la particule α est ( )

(1 1/ sin / 2 )

rm =β + φ . Calculer l’ordre de grandeur de pour une particule α notablement déviée et d’énergie cinétique incidente 5, .

rm

3 MeV

7.e) En réalité, la loi en 1/ sin⁴(φ/ 2) n’est valable que pour des déviations . Que peut-on en déduire sur l’interaction entre la particule et le noyau suivant leur distance ? On fera ressortir une distance minimale

d’approche que l’on calculera numériquement pour les particules α précédentes dans le cas .

0 150

φ<φ = ° α

0

rm φ=φ₀

7.f) Donner l’ordre de grandeur actuel de la taille du noyau atomique. Commenter les résultats précédents.

G₂₉. Modèle semi-quantique de Bohr.

Avant de s’intéresser à la structure de l’atome, on avait déterminé que chaque atome (sous le coup d’une excitation) était capable de rayonner une onde électromagnétique (parfois appartenant au spectre visible). Pour l’atome

d’hydrogène, les longueurs d’onde caractéristiques de ces rayonnements vérifient la loi expérimentale de Balmer-

Rydberg ¹ _H ¹_{2 2}

np

R n p

⎛ ⎞⎟

= ⎜⎜⎜ − ⎟⎟⎟

λ ⎝ ⎠

1

2 2

1/ 1/

p n n p

E −E =Y L − L

p

où n et sont des entiers positifs ( ) et est la constante de Rydberg. On souhaite retrouver théoriquement ce résultat en s’intéressant à l’atome d’hydrogène.

p n <p R_H

1) Dans le modèle de Rutherford, il est possible d’envisager une trajectoire circulaire de rayon R de l’électron autour du noyau fixe. Calculer la vitesse v correspondant à cette orbite en fonction de ε₀, m_e, e et R.

2) Montrer que la force électrique ressentie par l’électron dérive d’une énergie potentielle que l’on explicitera. En déduire l’énergie mécanique ^E.

3) On numérote par deux entiers n et deux orbites circulaires distinctes d’énergies mécaniques respectives et . On note et les moments cinétiques respectifs par rapport au noyau. Montrer que

, où ^Y est une constante que l’on explicitera en fonction de ^e, et .

p E_n

Ep L_n L_p

( )

ε0 m_e

4) En tenant compte de résultats connus en 1913 (théorie du corps noir, théorie de l’effet photoélectrique), Bohr a posé la relation bien connue aujourd’hui : entre énergie et fréquence. De plus, il a posé la condition de quantification du moment cinétique suivante pour les orbites circulaires (où est la constante réduite de Planck et n un entier positif).

p n n

E −E =hν

L =n= = =h/ 2( π)

Montrer que ces deux relations permettent de retrouver la loi expérimentale de Balmer-Rydberg. En déduire une expression de la constante de Rydberg R_H en fonction de ε₀, m_e, e, c et =. Faire l’application numérique.

5) Quelle est la différence relative entre la valeur réelle de et le résultat précédent, noté , si l’on tient compte que le noyau n’a pas de raison d’être immobile et si on utilise le formalisme du problème à deux corps ? Faire

l’application numérique.

RH R_∞

H₁₁. Modèle de Bohr et théorie quantique.

Une action en physique, pour un système donné, est une grandeur caractéristique de ce système ayant pour unité celle de la constante de Planck. Ainsi est appelée une action. On peut déterminer une action en

combinant des paramètres pertinents pour la description des phénomènes physiques en jeu. Un système dont l’action caractéristique admet une valeur proche de = est un système pour lequel on ne peut plus faire abstraction des

phénomènes quantiques. Par contre, si sa valeur est très supérieure à =, alors l’étude du système relève de la physique classique.

1, 05 10⁻34SI

= ⋅

=

1) Rappeler l’unité de cette constante = dans le système international.

2) Un circuit oscillant de capacité , d’inductance et parcouru par un courant d’intensité d’amplitude relève-t-il de la physique quantique ?

10⁻10F 10⁻⁴H 1mA

3) Examinons maintenant l’atome d’hydrogène. Son énergie d’ionisation est . Son spectre, par ailleurs, est caractérisé par une longueur d’onde minimale . L’atome d’hydrogène relève-t-il de la physique

quantique ?

2 10⋅ ⁻18J 100 nm

λ=

4) Dans le modèle quantique de l’atome d’hydrogène, de quelle manière décrit-on le comportement de l’électron ? 5) Conclusion : à partir de ces exemples, préciser le rôle joué par les modèles dans les sciences physiques. On se demandera en particulier si l’on peut dire d’un modèle qu’il est vrai ou faux.

VII₃₁. Tir depuis la Terre.

Un mobile P de masse m se meut à proximité de la Terre. Soit O le centre de la Terre supposée sphérique, de masse ^M et de rayon ^R. On note ^vG la vitesse de ^P, ^G la constante de Cavendish, ^rG =^OPJJJG

et ^uG =^{r r}G^/ .

1) Définir le référentiel géocentrique et discuter son caractère galiléen. Dans la suite, on se placera dans le référentiel géocentrique et non dans le référentiel terrestre et on considérera le référentiel géocentrique comme galiléen.

Problèmes de mouvements dans un champ newtonien suivant une conique, page 7

2) Exprimer la force FG

subie par P. 3) Montrer que le moment cinétique ^L

G

de calculé en ^O est une constante du mouvement et que ^P se meut dans un plan fixe à préciser.

P 4) Montrer qu’à FG

est associée une énergie potentielle E_p ou que FG

en dérive et exprimer , en convenant que est nul à l'infini.

Ep

Ep

5) En coordonnées polaires ( ,r θ), l’équation de la trajectoire de P est

1 cos

r p

= e

+ θ, où p est une constante positive et ^e une constante positive ou nulle. A quelle condition sur ^e la trajectoire est-elle une ellipse ?

6) Dans ce dernier cas, donner les expressions en fonction de et e des coordonnées polaires de son périgée et de son apogée A .

p ( , )r₁ θ₁

A ( , )r₂ θ₂ ′

7) Démontrer que l’énergie est

2 E GMm

=− a où ^2a =^AA′ est la longueur du grand axe de l'ellipse.

On pourra raisonner comme suit. Soient et les vitesses de P en et A . Quelles sont leurs directions ? Exprimer le moment cinétique L en O et l'énergie totale E du mobile P en fonction de m, M , G, et lorsque ce mobile est en et en fonction de , , G, et v lorsqu’il est en A .

v1 v₂ A ′

r1 v₁

A m M r_{2 2} ′

Du point C de la surface terrestre, on lance un projectile avec la vitesse vG_C

faisant l'angle avec l'horizontale. Ce projectile retombe sur la surface terrestre en D avec la vitesse

γ vGD

faisant l'angle δ avec l'horizontale. Toutes ces grandeurs sont définies par rapport au référentiel géocentrique et non par rapport au référentiel terrestre. Les points C et D sont les données du problème et on recherche les vitesses de lancement et de retombée. On néglige le freinage de l'air.

8) Précisez le plan dans lequel il faut faire le lancement.

9) Donner le tableau de variation de ^{( )}

1 cos

r p

= e θ +

θ. Justifier que la trajectoire est un arc d'ellipse et non de parabole ou d'hyperbole. Quelle est la relation entre les coordonnées polaires des points C et D, soit et ? En déduire quelle droite porte le grand axe de l'ellipse.

θC θ_D 10) Montrer que v_C doit être inférieur à une borne v_L qu'on précisera.

11) Exprimer v_D en fonction dev_C. 12) Exprimer δ en fonction de . γ

13) On étudie les trajectoires possibles pour donné et variable. Montrer que la longueur 2 du grand axe de l'ellipse est fixée.

vC γ a

14) Se souvenant que l'ellipse est le lieu des points dont la somme des distances à ses deux foyers est égale à 2 , montrer par une construction géométrique que, selon la valeur de l’énergie qu’on a choisi, il peut y avoir deux, une ou zéro trajectoires possibles pour aller de C à D.

a E

15) On suppose désormais que l'un des foyers de l'ellipse est au milieu du segment CD. Montrer que cette procédure est la plus économique parmi les procédures permettant d'atteindre ^D, c'est-à-dire qu'elle rend vC minimum.

16) Montrer qu’alors

( )

1 1/ sin / 2

C L

v = v

+ α , où α est l’angle ⁽ . Tracer sommairement le graphe de .

, ) OC OD

C( )

v α

17) On rappelle que la tangente en P à une ellipse de foyers et F est perpendiculaire à la bissectrice de l'angle . Exprimer en fonction de α.

F ′

FPFn′ γ

18) On veut lancer de la Terre un projectile pour qu’il retombe à 1 km. Quelle valeur de faut-il choisir pour que la vitesse de lancement soit la plus petite possible ? A quelle vitesse faut-il le lancer ? Faites le calcul numérique. On

donne .

γ 10 m .s 2

g = ⁻

19) On veut lancer de la Terre un projectile pour qu’il retombe aux antipodes. Quelle valeur de choisir ? A quelle vitesse faut-il le lancer ? Faites le calcul numérique. On donne le rayon terrestre .

γ 6, 4.10 m6

R=

Réponses

I. 1)

2 3 30

2

4 ^T 2.10 kg

S

T

M r

GT

= π = ; 2-1) non ;

( )

2 2 3

1 0

T T

S T T

M r

M d r d r

− + − =

−

d ;

2-2) ^{1, 5.10 m9}

3

T T S

d r M ; 2-3) probablement instable ; 3-1) voir cours ; 3-2) voir ci-contre ; 3-3) l’aire balayée par le rayon vecteur est proportionnelle au temps ; 3-5)

M

⎛ ⎞⎟

= ⎜⎜⎜⎝ ⎟⎟⎠=

1 4

H T

T e

; 3-6) e ; 3-7) l’axe des Pôles n’est pas perpendiculaire au plan de l’écliptique.

T = −

π =0, 0164

S H

P

O B

A P

E H

II. 1), 2) et 3) voir cours ; 4)

2

1 cos

p L

e p mk

= =

+ θ

r ; 5) voir ci-contre ;

O eG y

x

6) e ^e _y

p πε u

=

∆G G

; rotation de πε/p par révolution.

III. 1) en coordonnées sphériques F ^Uu_r r

=−∂

∂

G G

; 2), 3) et 4) voir cours ;

5) LG =mr u²θG_z ; L ² 2d m =r θ = dS

t ; 6.b)

2

2 2

E m ; 6.c) p L ;

L

≥ − α = ²/αm 2 ²₂

1 L E

e A ;

= = +m

α AG

pointe vers le périhélie ; 6.d) voir cours ; 7.a)

a 2 ; E

=− α

2

b L ; 7.b)

= mE

−

2

0 0 ; 7.c) segment dont une

extrémité est en O ; cercle de centre O ; 7.d)

2 L L m

E

≤ ≤ = − α

3

2 ma

T = π . α

ir = =mb v =mb v ; 3)

IV. 1) vo cours ; 2) L_O mr²θ _{1 1 2 2} ¹₂ ² GMm

E mv

= − r ; 5) dv^y GMm₂ sin

m dt =− r θ ;

1 1

2 b v

r =

θ ; 6) intégr à

7)v r_{1 0} + 0 a) a re attiré

par le mob ; c) >ρ ;

oir ci-contre.

en au voisinage de la Terre en négligeant les forces de marée dues au So

er de

0 1 12 2

2GMr −b v = ; 8) st

ile ; b) m M r +R

9) v

V. 1) (G) galilé

−∞ +∞:

2 2

0

vGM

vG1

vG2

vG2

vG1

vGM

Exemple d’accélération Exemple de freinage

T S

V leil et à la Lune ; 2) T ^{29800 m .s 1}

T

v = ^GMr ^S = ⁻ ; 3510 1

V GMS

v = r = 0 m .s =

V

− ; 3.a) voir figure ; ^{2a r}_T +^r_V ; 1,2572 1011

1 0,16189 cos

r ×

= + θ (en mètres) ; 3.b)

3/2 V T 061

T =T ^V 264 an

T

r r

⎛ ⎞⎟

⎜ ⎟ =

⎜ ⎟

⎜⎝ ⎠ ;

3.c)

3/2

0, 40 rT

+ ⎞⎟⎟⎟ =

1 3 an

2 2

T V

T

T r t t

⎛⎜ r

= = ⎜⎜⎝ ⎠ ; 4.a) V ²

V

t T

θ = π et T ² T

t ;

4.b

T θ = π

) première fenêtre de tir : ₅ ^{0, 847}

Problèmes de mouvements dans un champ newtonien suivant une conique, page 9

1, 34 an

1 1

0, 613 1

t = =

− ; ₄ = 1 =

1, 584 an

1 1

0, 613 1 t

−

4.c = ; durée totale voyage ^t +^t −^t = ^s ;

;

) t6 =1, 4256 mod 1, 584 ; ^t du ^an

5.a)

2 1,27 an _{6 3 5} 2, 07

2 1

11200 m

v_LT ^T .s

T

GM R

= = − ; 5.b)v_∞ = v²₀ −v_LT² ; 6.a) ₁² ₂²

1 2

1 1

2 2

GMm GMm

E mv m

L =

r v r

= − = − ;

mr v1 1 =mr v2 2 ;

1 2 2

GMm G

=− Mm

E =−r r a

+ ; 6.b) 1

1

2 1

v = GM⎛⎜⎜⎜⎝r − ⎟⎟a⎠⎟^⎞ ; 2

2

2 1

v GM

r a

⎛ ⎞⎟

= ⎜⎜⎜⎝ − ⎟⎟⎠ ;

6.c) ₁ 2 _S ^{1 1} 27300 m .s⁻¹ ; 6.d

T T V

v GM

r r r

⎛ ⎞⎟

= ⎜⎜⎜⎝ − + ⎟⎟⎠= ) ₂ 2 _S ^{1 1} 37850 m ¹

V T V

v GM

r r r

⎛ ⎞⎟

= ⎜⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎠= ; 6.e) dans

érentiel héliocentrique ; 7.a) v₁′=v₁ −v_T =− .s⁻¹ ; 7.b) tirer dans le direction contraire au m de la Terre autour du Soleil ; 8)

.s⁻

−

le réf 2500 m ouvement

2 _LT2 11500 m .s 1

v = v′ +v = ⁻ ; 9) une branche d'hyperbole ; 10) ellipse tangente perbole selon laquelle la sonde

0 1

en son périvénus à la branche d'hy est arrivée.

VI.

B. 1) EG =E r u^{( )}G_r

; 2) si r >a, E = ^Q ₂ ; sir <a, E = ^Qr ₃ 4πε0a ; 3)

4πε0r ^max 4 ₀ ²

E Q

= a

πε . C. 1) C a un mouvement rectiligne uniforme ; 2) ¹ = +

µ ^{1 1} m^a ;

a b

m m ; 3) µ centre de m

r asse voisin de B.

D. 1) =−

x z

O FG kG

; 2) voir cours ; 3) ω= k m/ ;

0cos 0 z 0sinω

ω

y v t ; 4) voir ci-contre ;

5)

x =r ωt = = 1 15

2, 53 10 Hz 2

f k

= m = ⋅

π ; c 119 nm

λ= f = (ultraviolet).

E. 1)

2 6

max 2

0

2 3, 64 10⋅ N 4

F Ze

a

= = −

πε ; 2) F^max₂²a 4, ₄

max 3 10 rad

mv

φ = = ⋅ − ; 3) de l’ordre dex Na ;

4) déviation inférieure à 400×4, 3 10⋅ ⁻⁴ =8, 6 10⋅ ⁻³rad .

noyau est beaucoup p oche ; 2)

F. 1) m_b m_a ; lus pr

2 0

2 4 K = Ze

πε ; 3) voir co présentée ci-contre ; 6.a) parallèle à l’axe de l’hyperbole ; 6. =m v u

urs ; 4) branche d’hyperbole re

b) G _a^{2 2}₀G_y +m Kua Gx

L ; 7.a) ² bdbJ

dt = π ; 7.b) dN

( )

2

4 s d d

σ β

Ω= in⁴ φ/ 2 ; 7.c) accord avec le modèle de Rutherford ; 7.d) rm ⎛¹ ₍¹ ₎⎞

sin / 2 ⎟

⎟⎟

⎜ ⎠

⋅ ; 7.e) la lo rce n’est valable q r_m = ⋅10⁻ m ; 7.f) ou

mètres.

G. 1)

=β⎜⎜⎝ + φ ⎟ ;

β=2,15 10⁻¹⁴m i de fo ue sir >r_m0 ; ₀ 4,37 ¹⁴ 10⁻¹⁴ 10⁻¹⁵

2 0 e

e m R v = 4

πε ; 2)

2

0 0

4 8

p

e

πε r πε

e2

E E

=− =− R ; 3)

4 2 20

32 m ee

Y = π ε

4 7 1

3 2 3 0

1, 09 10 m 64

H m ee

R =

c

= ⋅ −

π ε = ; 5) remplacer par

4) m_e ^{e p}

e

m m

p

µ = + , d’où

m m

5, 44 10 4

H e

e p

R R m

R m m

∞ −

∞

−

e propre

=− =− ⋅

+ .

H. 1) = s’exprime en J s. ; 2) périod T =2π LC =6⋅10⁻⁷s ; énergie de la bobine

2 1

1 5 10 J

E = 2Li = ⋅ ⁻¹ , donc ET = ⋅ ⁻ J s⋅ ; 3) s, d’où .

ce rre et s fixe ; galiléen au voisinag nt les forces de

marée ; 2)

3 10 17 T =λ/c =3 10⋅ ⁻¹⁶ WT_i =6 10⋅ ⁻³⁴J s⋅ VII. 1) ntre de la Te directions d’étoile e de la Terre, en négligea

2

F GMmu

=− r

G G

; 3) P se meut dans le plan fixe passant par O et perpendiculaire à LG_O ;

4) _p GMm

E =− r ; 5) 0≤e<1 ; 6) périgée : ₁ 0, ₁ 1 r p θ = = e

+ ; apogée : ₂ , ₂ 1 r p θ =π = e

− ; 8) dans le plan OCD ; 9) θ_C =−θ_D ; le grand xe de l’ellipse est la bissectrice de a CODⁿ ;

10) ²GM

R =v^C ; 12) δ= oyer est à

cercles de centres C et D et de rayon 2a−R

pent en 7)

C L

v <v = ; 11) v ; 14) l’autre f

de deux

se cou 2, 1 ou 0 points ; 1

D γ

l’intersection , qui

4 π − α

γ= ; 18) C e α est petit, γπ/ 4 ;

omm 100 m .s 1

vC gx = ⁻ ; 19) γ =0 ; 8 km .s 1

Rg = ⁻

vC =

vC

O

α

L/ 2 v

π

Corrigé

I.

1) Appliquons la loi fondamentale de la dynamique à la Terre :

( )

( )

2 11 3

3 3

2 2 30

2 3 7 2 11

4 1, 5.10

2 2.10 kg

3,16.10 6, 67.10

S T S T

T AT A S

T T T

GM M GM r

M r M

T G

r r ⁻

π ×

⎛ π ⎞⎟

= Ω Ω = =⎜⎜⎜⎝ ⎟⎟⎠ = × =

2-1) (R') n’est pas galiléen, car en rotation de vitesse angulaire Ω_A par rapport à (R_K), qui lui est galiléen avec une bonne approximation. A l’équilibre de P dans (R'), la somme des forces d’attraction du Soleil et de la Terre et de la force centrifuge est nulle :

( ) ( )

( )

2 2 2

2 2 3

0

1 0

T S

A T T

T T

S T T

GM m GM m

m r d

d r d

M r d

M d r d r

− + Ω − =

−

− + − =

−

2-2)

( )

( ) ²

2 2 2 2

2 3 2 2

1 1 1 2 1 3

T T

S T T T T T T T

M d d r d d d d d d d

M r d r r r r r r

− 3

T T3

d

r r

⎡ ⎤

− ⎢⎛⎜ ⎞⎟ ⎛⎜ ⎞⎟⎥ ⎡⎛⎜ ⎞⎟ ⎛⎜ ⎞⎤⎟

= − − = ⎢⎣⎜⎜⎝ − ⎟⎟⎠ −⎜⎜⎝ − ⎟⎟⎠⎥⎦ ≈ ⎢⎢⎣⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎠−⎜⎜⎝ − ⎟⎟⎠⎥⎥⎦ =

si on considère que M_T/M_S et d r/_T sont petits.

1, 5.10 m9

3

T T S

d r M M

⎛ ⎞⎟

= ⎜⎜⎜⎝ ⎟⎟⎠=

2-3) Si P s’écarte de sa position d’équilibre dans la direction de la Terre, la Terre l’attire davantage, le Soleil l’attire moins et la force centrifuge augmente ; chacun de ces trois effets tend à l’écarter davantage, donc on a l’impression que l’équilibre est instable. En réalité, la force de Coriolis dévie le mouvement et on ne peut pas conclure sans tenir compte de son influence.

3-1) Soit LG

le moment cinétique orbital de la Terre par rapport à S dans (RK). Comme la Terre n’est soumise qu’à l’attraction du Soleil, qui est radiale, dL 0

r F dt = ∧ =

G G G G

, donc LG

est indépendant du temps. Comme LG =STJJJG∧mvG , LG ⊥STJJJG

, donc T se meut dans le plan passant par S perpendiculaire à LG

, plan qui est fixe dans (RK).

DS : mouvements dans un champ newtonien suivant une conique, page 11

3-2) Voir ci-contre

3-3) L’aire balayée par le rayon vecteur est proportionnelle au temps En effet, l’aire balayée pendant dt est 1 1

2 2

Ldt r dr r vdt 2

= ∧ = ∧ = m

dS S H

P

O B

A P

E H

JJG G

G G

3-4) L’aire du secteur HSP est la différence des aires de OBH et OBSP.

L’aire de OBH est le quart de celle de l’ellipse, soit πab/ 4.

L’aire OBSP est approximativement celle bc d’un rectangle dont l’un des cotés est petit et l’autre est OB . D’où la formule proposée.

OS =c =b

3-5) / 4 1 1

4 4

H

H T T

ab bc ab T bc e

T T T ab

π − π

= ⇒ = − = −

π π.

3-6) 1 89, 4

0, 0164 4 365,25

e=π⎛⎜⎜⎜⎝ − ⎞⎟⎟⎟⎠=

3-7) Les saisons sont dues à ce que les plans de l’équateur et de l’écliptique font un angle de 23°27', d’où un durée du jour maximale le 21 juin dans l’hémisphère nord (pointE) et minimum le 21 décembre (point H). Le schéma ci-contre montre que le Soleil est moins longtemps au dessus de l’horizon du point M de la Terre quand le Soleil est au point H de l’écliptique.

P

M

plan de l’horizon de M mouvement diurne du Soleil au Solstice d’hiver équateur

écliptique

H