Dynamique Dynamique Dynamique Dynamique

Lionel GRILLET Lycée B FRANKLIN

Dynamique Dynamique Dynamique Dynamique

Terminale Si

Terminale Si

Repère Galiléen Repère Galiléen

Pour nos études

Un repère fixe par rapport à la terre sera supposé galiléen Pour nos études

Un repère fixe par rapport à la terre sera supposé galiléen

Repère absolu Repère fixe par rapport à l’univers (???)

Repère de Copernic

ou

Repère héliocentrique

Repère fixe par rapport au système solaire

Repère de Galiléen Repère en translation rectiligne uniforme par rapport au repère de Copernic

Définitions

Dynamique du point Dynamique du point

Enoncé

Soit un point Matériel P, de masse m , en mouvement par rapport à un repère galiléen R

, alors la somme des efforts extérieurs qui agissent sur la particule est égale à sa masse multipliée par son accélération.

Principe fondamental de la dynamique = 2

loi de Newton

Mathématiquement

Portrait par Enoch Seeman en 1726

Attention

!

( / )

( / ) 0 F ext P  F P Rg 

 ^{  }

« Force » d’inertie F P R_i( / _g)  m ( /P R_g)

Pseudo Pb de statique

( / ) ( /

) F ext P   m P R

 ^{ }

Exemple simple

La Chute libre

(sans frottement)

Exemple simple

La Chute libre

(sans frottement)

(S)

P    ( M R /

)

(R

)

Un point matériel S de masse m qui tombe…

( )

z t

P    mgz 

Accélération

  ( M R /

)   z t z ( )  

Le PFD donne :

( /

) P m M R    

( )

z t   g



soit

z 

Paramétrage :

z t ( )

Vous le saviez déjà !

L’accélération et donc la vitesse ainsi que la durée de la chute sont indépendants de la masse du solide

Vous le saviez déjà !

L’accélération et donc la vitesse ainsi que la durée de la chute sont indépendants de la masse du solide

Accélération de pesanteur Accélération de pesanteur

Exemple intéressant

Le Pendule

Exemple intéressant

Le Pendule

Soit une particule de masse m reliée au bâti par un fil de masse négligeable.

Déterminons l’équation du mouvement

Problème

0 1

( , ) x x   ( ) t Etude cinématique

Efforts extérieurs

Paramétrage de la position

OG R x    

Accélération



2

1 1

( / G R

) R x R y n t

 

 

        

  



 

( / G R

) R x R y

n t

 

 

        

    

Poids de la particule Tension du fil

P mg x    

T     T x 

( ) t



x 

x 

y 

y 

O

P 

G

T 

(S) (R

)

 ^

 ^

Le Pendule Le Pendule

Point de vue mécanique du point Point de vue mécanique du point

PFD appliqué à G dans son mvt/Rg

( /

) P T      m G R 

( /

) P T      m G R 

On projette sur la base

 x y  

,



x 

cos

mg     T mR  

Sur

y 

 mg sin   mR  

Sur

2

1 1

( / G R

) R x  R y 

  ( / G R

)   R x  



 R y   

        

équation qui donne la tension du fil T

C’est l’équation du mouvement

( ) t



x 

x 

y 

y 

O

P 

G

T 

(S) (R

)

 ^

 ^

Le pendule Le pendule

Point de vue mécanique du Solide Point de vue mécanique du Solide

Graphe des liaisons

On note (1) l’ensemble constitué de la particule (S), de masse m et du fil, de masse négligeable

Bilan des forces





pes

0

G

P mg x T      

  

 

 

 



 

, (01)

0

(01)

G O

T R avec M z

M

 

 

    

 

 

  



Action de pesanteur

Forces d’inertie Liaison pivot





(1/ ) 0

G g

in

G

m R

T      

  

 

 





0

1

P 





inertie

F 

2

1 1

( / G R

) R x  R y 

  ( / G R

)   R x  



 R y   

         ( ) t



x 

x 

y 

y 

O

P 

G

T 

(S) (R

)

 ^

 ^

Dans un premier temps on définie le torseur des forces d’inertie Dans un premier temps on définie le torseur des forces d’inertie

Moment d’inertie de S /

Moment d’inertie

de S / O z,0 Accélération angulaire Accélération

angulaire

Le pendule Le pendule

Appliquons le « pseudo » PFS

 ^T

 ^{    T}

^{ T}

^{  0}

L’équation de moment en O en projection sur z donne

0 0

( /1) (0 /1)

O O

M  pes   z  M   z 

( /1)

0 M in

z

     0

dP mR

 t

  

2

1 1

( / G R

) R x  R y 

  ( / G R

)   R x  



 R y   

         ( ) t



x 

x 

y 

y 

O

P 

G

T 

(S) (R

)

 ^

 ^

d

On ne cherche pas les inconnues de la pivot donc on utilise la condition

(01)

0 M 

  z 

sin

mgR  mR 

   

Moment dynamique Moment dynamique

sin

0

Rmg  mR 

   

  

 





 

 

) /

(

/

g O

d O

R

S

S R

D

R

 ^



Torseur Dynamique

définition

Torseur Dynamique

définition

Rg

Soit un système S de masse M en mouvement par rapport à un repère galiléen Le torseur dynamique de S/Rg s’écrit en un point O quelconque  :

moment dynamique en O.

moment dynamique en O.

Résultante dynamique Résultante dynamique

d g

B g

A

S R  S R AB R 

 ( / )   ( / )  



Bien entendu, on a, pour tous points

A

B

Difficulté

!

Dynamique du solide Dynamique du solide

  T

  D



 ^{ } T

  D





Principe Fondamental de la Dynamique ( PFD )

Enoncé

Soit un Solide (S), de masse M et de centre d’inertie G, en mouvement par rapport à un repère galiléen R

, alors la somme des torseurs des efforts extérieurs qui agissent sur (S) est égale au torseur dynamique de (S) dans son mouvement par rapport à Rg

Mathématiquement

( / )

F ext S  R

 ^{ }

Théorème de la Résultante Dynamique – (TRD)

Théorème du Moment Dynamique – (TMD)

,

( / )

( /

) A M ext S  S R

  ^  ^

Résultante Dynamique

Démonstration

Résultante Dynamique

Démonstration

M_i

O

i

( ) t



 ^

 ^

x 

y 

x 

(S)

  ^{( / )}

0

i

i

M g

i

M

d        S R   

 

 



En tout point Mi,





 ^{ }

i

D   d

On pose

( / ) ( / )

d g Mi g

i

R S R ^      ^ S R

Résultante dynamique

( / ) ( / )

d g G g

R S R   M   S R

( / ) ( / )

d g G g

R S R   M   S R

Résultante dynamique =

Masse de (S) *Accélération du centre d’inertie de (S)



Démonstration

Moment dynamique

« 2D »

Moment dynamique

« 2D »

M_i

O

i

( ) t



 ^

 ^

x 

y 

x 

(S)

Restrictions Restrictions

 Problème plan

 Solide en rotation autour d’un axe fixe

( / ) ( / )

O g O i g

i

S R M R

 ^    ^

( , )0 0

( / )

O

S R

I

z

  

   

( , )O z0

I

( , ) O z 

( , ) O z 

0

2 ( , )O z

i

I

   R

Démonstration

Moment dynamique

« 3D »

Moment dynamique

« 3D »

  



2

, 0

( / ) ( / )

j

j j

j

G g j s j s

j

C g C z

C

S R x y x x

d S R I z

     

 

    

 

  

  





    

  

Restrictions Restrictions

 Solide en rotation autour d’un axe fixe

 Plan de symétrie de (S)

Modèle : Le solide (S) est un « empilement » de sections S_j On note

C_j

O

z

z



C_j G_j

x

x 

j j 0

OC    z z 

j j j S

C G   x x  

D’après ce qui précède, on peut écrire, en tout point

C

 

 0

/ 2

, 0

( / ) ( / )

g

G g

S R

O g O z xz s xz s

O

M S R

D  S R I  z P x  P  y

  

 

    

    



      

 O x z , ,  



xz j j

j

P    x z

Avec Produit d’inertie

( , ) O z 

Démonstration

Moment dynamique

Analyse du moment d’inertie

Moment dynamique

Analyse du moment d’inertie

Cas général d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ( , ) O z 

Pour lancer ou arrêter un solide en rotation, il faut lutter sur l’axe de rotation contre un « couple d’inertie » proportionnel

 à l’accélération angulaire

 au moment d’inertie

 ^



 ( ) I

S



    

2 2

, 0

( / )

O

S R

I

z P

P

x

P

P

y

  

                

Moment d’inertie du solide (S) autour de l’axe Représente la répartition de la masse autour de l’axe

_{O z}, ₀( ) I  S





2

,

( )

O z

i

I

S    R

( , ) O z 

( , ) O z 

Moment dynamique

Analyse des produits d’inertie

Moment dynamique

Analyse des produits d’inertie

« couples » d’inertie  l’axe de rotation.

Pas de couple  l’axe de rotation.

Si la masse est « mal » répartie.

Si la masse est bien répartie.

= le centre d’inertie de chacune des sections est sur l’axe de rotation

L’axe est dit principal d’inertie

Le solide est équilibré dynamiquement



    

2 2

, 0

( / )

O

S R

I

z P

P

x

P

P

y

  

                

= le centre d’inertie de chacune des sections n’est pas sur l’axe de rotation

La direction des couples tourne avec le solide Proportionnel :  à l’accélération angulaire

 à la vitesse angulaire

 aux produits d’inertie

VIBRATIONS

Paramètres d’inertie

Remarques

Paramètres d’inertie

Remarques

Mécanique du point et Mécanique du solide Masse du solide : M en kg

Position du centre d’inertie : G Masse du solide : M en kg

Position du centre d’inertie : G Mécanique du solide

Moment d’inertie et Produit d’inertie : en kg.m

Moment d’inertie et Produit d’inertie : en kg.m

Un repère étant lié au solide, on peut définir

 3 moments d’inertie : un pour chaque axe

I I

I I

I I

 3 produits d’inertie

xz i i zx

i

P    x z  P ^{P P}

^{P P}

^{P P}

Car symétrique

I

I

I

I

I

I

ou

Ces 6 termes permettent de calculer les moments d’inertie et les produits d’inertie pour n’importe quel autre axe.

Ces 6 termes permettent de calculer les moments d’inertie et les produits d’inertie pour n’importe quel autre axe.

Paramètres d’inertie

sous MOTIONWORKS

Paramètres d’inertie

sous MOTIONWORKS

Un repère lié au solide est créé en même temps que la liaison

Pour chaque corps en mouvement

Position du centre d’inertiePosition du centre d’inertie

Masse Masse

Moments d’inertie Moments d’inertie

Produits d’inertie Produits d’inertie

Dynamique

à savoir parfaitement Dynamique

à savoir parfaitement

Le PFD    T

  D



Solide en translation rectiligne

 

 



 

   

 0

) / (

/







g G

d G R S

R S M

D R

g

Torseur dynamique définit en G (centre d’inertie)

 



 





 









 

d g G

d G R

S

OG R

R S M

D R

g



 

) / (

/

En un point O quelconque

Solide en Rotation

Autour d’un axe fixe

 



 





 





 

u I

R D S

u C g

C C R

S _g

  









/

( / )

0

Torseur dynamique définit en C

 ^{C , u } 

) , (Cu

I

Le solide sera toujours équilibré

Et si possible « sentir » la chose