Cours 2: Canal de transmission sans fil

Cours 2: Canal de transmission sans fil

Communications sans fil, M2 ISIM 2012-2012

Iryna Andriyanova

Tuesday, October 16, 12

Canal sans fil = canal aux évanouissements

Le canal sans fil se caractérise par les variations en temps et en fréquence :

♦ évanouissements à grande

échelle (distance, grandes obstacles)

♦ évanouissements à petite échelle (interférence des trajets multiples entre l’émetteur et le récepteur)

Tse and Viswanath: Fundamentals of Wireless Communication 22

Time Channel Quality

Figure 2.1: Channel quality varies over multiple time scales. At a slow scale, channel varies due to large-scale fading effects. At a fast scale, channel varies due to multipath effects.

junction with the transmitted signal, to find the electromagnetic field impinging on the receiver antenna. This would have to be done taking into account the obstructions

¹

caused by ground, buildings, vehicles, etc. in the vicinity of this electromagnetic wave.

Cellular communication in the USA is limited by the Federal Communication Com- mission (FCC), and by similar authorities in other countries, to one of three frequency bands, one around 0.9 GHz, one around 1.9 GHz, and one around 5.8 GHz. The wave- length Λ(f ) of electromagnetic radiation at any given frequency f is given by Λ = c/f , where c = 3 × 10

⁸

m/s is the speed of light. The wavelength in these cellular bands is thus a fraction of a meter, so to calculate the electromagnetic field at a receiver, the locations of the receiver and the obstructions would have to be known within sub- meter accuracies. The electromagnetic field equations are therefore too complex to solve, especially on the fly for mobile users. Thus, we have to ask what we really need to know about these channels, and what approximations might be reasonable.

One of the important questions is where to choose to place the base stations, and what range of power levels are then necessary on the downlink and uplink channels.

To some extent this question must be answered experimentally, but it certainly helps to have a sense of what types of phenomena to expect. Another major question is what types of modulation and detection techniques look promising. Here again, we need a sense of what types of phenomena to expect. To address this, we will construct stochastic models of the channel, assuming that different channel behaviors appear with different probabilities, and change over time (with specific stochastic properties).

We will return to the question of why such stochastic models are appropriate, but for

1

By obstructions, we mean not only objects in the line-of-sight between transmitter and receiver, but also objects in locations that cause non-negligible changes in the electromagnetic field at the receiver; we shall see examples of such obstructions later.

Tuesday, October 16, 12

Modèle physique du canal sans fil

Tuesday, October 16, 12

Espace libre, 1 émetteur + 1 récepteur

• Signal émis par E:

• Location de R:

• Champ électrique à R :

SIC Pro - Cours 1 - Communications sans fils

So on compte les bits par les paquets de k bits, on peut aussi d´efinir le taux d’erreurs paquets (TEP ou PER, Packet Error Rate en anglais) comme

T EP = #paquets rec¸us erron´es

#paquets rec¸us .

2 Mod`ele physique du canal sans fils

Le canal de transmission mobile sans fils se caract´erise par les variations en temps et en fr´equence.

Les variations se divisent en deux grandes parties:

• ´evanouissement `a grande ´echelle: d ˆu `a la perte d’amplitude du signal `a cause de la distance et des grandes obstacles;

• ´evanouissement `a petite ´echelle: d ˆu `a l’interf´erence des multiples trajets entre l’´emetteur et le r´ecepteur.

L’´evanouissement `a grande ´echelle est `a prendre en compte lors de la plannification des r´eseaux mobiles. L’´evanouissement `a petite ´echelle est `a prendre en compte lors de la construction de l’´emetteur et du r´ecepteur.

Les canaux sans fils op`erent par la radioation ´electromagnetique de l’´emetteur au r´ecepteur.

Nous allons consid´erer quelques cas de la propagation de l’onde ´electromagnetique.

2.1 Espace libre, ´emetteur et r´ecepteur fixes

Soit le signal x(t) = cos 2⇡f

₀

t est ´emis ( e(t) = 1 ). Alors le champ ´electrique au r´ecepteur `a la location u = (r, ✓ , ) au temps t est

E(f, t, u) = ↵

_s

(✓. , f

₀

) cos 2⇡ f

₀

(t r/c)

r ,

c – vitesse de lumi`ere,

↵

_s

– patterne de radiation de l’antenne

f

₀

r/c – variation de phase `a cause de d´elai de propagation 1/r – ´evanouissement d’amplitude avec la distance

Mod`ele physique du canal sans fils 5

SIC Pro - Cours 1 - Communications sans fils

So on compte les bits par les paquets de k bits, on peut aussi d´efinir le taux d’erreurs paquets (TEP ou PER, Packet Error Rate en anglais) comme

T EP = #paquets rec¸us erron´es

#paquets rec¸us .

2 Mod`ele physique du canal sans fils

Le canal de transmission mobile sans fils se caract´erise par les variations en temps et en fr´equence.

Les variations se divisent en deux grandes parties:

• ´evanouissement `a grande ´echelle: d ˆu `a la perte d’amplitude du signal `a cause de la distance et des grandes obstacles;

• ´evanouissement `a petite ´echelle: d ˆu `a l’interf´erence des multiples trajets entre l’´emetteur et le r´ecepteur.

L’´evanouissement `a grande ´echelle est `a prendre en compte lors de la plannification des r´eseaux mobiles. L’´evanouissement `a petite ´echelle est `a prendre en compte lors de la construction de l’´emetteur et du r´ecepteur.

Les canaux sans fils op`erent par la radioation ´electromagnetique de l’´emetteur au r´ecepteur.

Nous allons consid´erer quelques cas de la propagation de l’onde ´electromagnetique.

2.1 Espace libre, ´emetteur et r´ecepteur fixes

Soit le signal x(t) = cos 2⇡f

₀

t est ´emis ( e(t) = 1 ). Alors le champ ´electrique au r´ecepteur `a la location u = (r, ✓, ) au temps t est

E (f, t, u) = ↵

_s

(✓. , f

₀

) cos 2⇡f

₀

(t r/c)

r ,

c – vitesse de lumi`ere,

↵

_s

– patterne de radiation de l’antenne

f

₀

r/c – variation de phase `a cause de d´elai de propagation 1/r – ´evanouissement d’amplitude avec la distance

Mod`ele physique du canal sans fils 5

SIC Pro - Cours 1 - Communications sans fils

So on compte les bits par les paquets de k bits, on peut aussi d´efinir le taux d’erreurs paquets (TEP ou PER, Packet Error Rate en anglais) comme

T EP = # paquets rec¸us erron´es

# paquets rec¸us .

2 Mod`ele physique du canal sans fils

Le canal de transmission mobile sans fils se caract´erise par les variations en temps et en fr´equence.

Les variations se divisent en deux grandes parties:

• ´evanouissement `a grande ´echelle: d ˆu `a la perte d’amplitude du signal `a cause de la distance et des grandes obstacles;

• ´evanouissement `a petite ´echelle: d ˆu `a l’interf´erence des multiples trajets entre l’´emetteur et le r´ecepteur.

L’´evanouissement `a grande ´echelle est `a prendre en compte lors de la plannification des r´eseaux mobiles. L’´evanouissement `a petite ´echelle est `a prendre en compte lors de la construction de l’´emetteur et du r´ecepteur.

Les canaux sans fils op`erent par la radioation ´electromagnetique de l’´emetteur au r´ecepteur.

Nous allons consid´erer quelques cas de la propagation de l’onde ´electromagnetique.

2.1 Espace libre, ´emetteur et r´ecepteur fixes

Soit le signal x(t) = cos 2⇡ f

₀

t est ´emis ( e(t) = 1 ). Alors le champ ´electrique au r´ecepteur `a la location u = (r, ✓ , ) au temps t est

E (f, t, u) = ↵

_s

(✓ . , f

₀

) cos 2⇡ f

₀

(t r/c)

r ,

c – vitesse de lumi`ere,

↵

_s

– patterne de radiation de l’antenne

f

₀

r/c – variation de phase `a cause de d´elai de propagation 1/r – ´evanouissement d’amplitude avec la distance

Mod`ele physique du canal sans fils 5

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So on compte les bits par les paquets de k bits, on peut aussi d´efinir le taux d’erreurs paquets (TEP ou PER, Packet Error Rate en anglais) comme

T EP = # paquets rec¸us erron´es

# paquets rec¸us .

2 Mod`ele physique du canal sans fils

Le canal de transmission mobile sans fils se caract´erise par les variations en temps et en fr´equence.

Les variations se divisent en deux grandes parties:

• ´evanouissement `a grande ´echelle: d ˆu `a la perte d’amplitude du signal `a cause de la distance et des grandes obstacles;

• ´evanouissement `a petite ´echelle: d ˆu `a l’interf´erence des multiples trajets entre l’´emetteur et le r´ecepteur.

L’´evanouissement `a grande ´echelle est `a prendre en compte lors de la plannification des r´eseaux mobiles. L’´evanouissement `a petite ´echelle est `a prendre en compte lors de la construction de l’´emetteur et du r´ecepteur.

Les canaux sans fils op`erent par la radioation ´electromagnetique de l’´emetteur au r´ecepteur.

Nous allons consid´erer quelques cas de la propagation de l’onde ´electromagnetique.

2.1 Espace libre, ´emetteur et r´ecepteur fixes

Soit le signal x(t) = cos 2⇡f

₀

t est ´emis ( e(t) = 1 ). Alors le champ ´electrique au r´ecepteur `a la location u = (r, ✓ , ) au temps t est

E (f, t, u) = ↵

_s

(✓ . , f

₀

)

r cos 2⇡ f

₀

(t r/c) c – vitesse de lumi`ere,

↵

_s

– patterne de radiation de l’antenne

f

₀

r/c – variation de phase `a cause de d´elai de propagation 1/r – ´evanouissement d’amplitude avec la distance

Mod`ele physique du canal sans fils 5

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So on compte les bits par les paquets de k bits, on peut aussi d´efinir le taux d’erreurs paquets (TEP ou PER, Packet Error Rate en anglais) comme

T EP = #paquets rec¸us erron´es

#paquets rec¸us .

2 Mod`ele physique du canal sans fils

Le canal de transmission mobile sans fils se caract´erise par les variations en temps et en fr´equence.

Les variations se divisent en deux grandes parties:

• ´evanouissement `a grande ´echelle: d ˆu `a la perte d’amplitude du signal `a cause de la distance et des grandes obstacles;

• ´evanouissement `a petite ´echelle: d ˆu `a l’interf´erence des multiples trajets entre l’´emetteur et le r´ecepteur.

L’´evanouissement `a grande ´echelle est `a prendre en compte lors de la plannification des r´eseaux mobiles. L’´evanouissement `a petite ´echelle est `a prendre en compte lors de la construction de l’´emetteur et du r´ecepteur.

Les canaux sans fils op`erent par la radioation ´electromagnetique de l’´emetteur au r´ecepteur.

Nous allons consid´erer quelques cas de la propagation de l’onde ´electromagnetique.

2.1 Espace libre, ´emetteur et r´ecepteur fixes

Soit le signal x(t) = cos 2⇡f₀t est ´emis ( e(t) = 1 ). Alors le champ ´electrique au r´ecepteur `a la location u = (r,✓, ) au temps t est

E(f, t,u) = ↵_s(✓. , f₀)

r cos 2⇡f₀(t r/c) c– vitesse de lumi`ere,

↵_s – patterne de radiation de l’antenne

f₀r/c – variation de phase `a cause de d´elai de propagation 1/r – ´evanouissement d’amplitude avec la distance

Mod`ele physique du canal sans fils 5

E

R

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So on compte les bits par les paquets de k bits, on peut aussi d´efinir le taux d’erreurs paquets (TEP ou PER, Packet Error Rate en anglais) comme

T EP = #paquets rec¸us erron´es

# paquets rec¸us .

2 Mod`ele physique du canal sans fils

Le canal de transmission mobile sans fils se caract´erise par les variations en temps et en fr´equence.

Les variations se divisent en deux grandes parties:

• ´evanouissement `a grande ´echelle: d ˆu `a la perte d’amplitude du signal `a cause de la distance et des grandes obstacles;

• ´evanouissement `a petite ´echelle: d ˆu `a l’interf´erence des multiples trajets entre l’´emetteur et le r´ecepteur.

L’´evanouissement `a grande ´echelle est `a prendre en compte lors de la plannification des r´eseaux mobiles. L’´evanouissement `a petite ´echelle est `a prendre en compte lors de la construction de l’´emetteur et du r´ecepteur.

Les canaux sans fils op`erent par la radioation ´electromagnetique de l’´emetteur au r´ecepteur.

Nous allons consid´erer quelques cas de la propagation de l’onde ´electromagnetique.

2.1 Espace libre, ´emetteur et r´ecepteur fixes

0 Soit le signal x(t) = cos 2⇡ f

₀

t est ´emis ( e(t) = 1 ). Alors le champ ´electrique au r´ecepteur `a la location u = (r, ✓, ) au temps t est

E (f, t, u) = ↵

_s

(✓ . , f

₀

)

r cos 2⇡ f

₀

(t r/c) c – vitesse de lumi`ere,

↵

_s

– patterne de radiation de l’antenne

f

₀

r/c – variation de phase `a cause de d´elai de propagation 1/r – ´evanouissement d’amplitude avec la distance

Mod`ele physique du canal sans fils 5

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So on compte les bits par les paquets de k bits, on peut aussi d´efinir le taux d’erreurs paquets (TEP ou PER, Packet Error Rate en anglais) comme

T EP = #paquets rec¸us erron´es

#paquets rec¸us .

2 Mod`ele physique du canal sans fils

Le canal de transmission mobile sans fils se caract´erise par les variations en temps et en fr´equence.

Les variations se divisent en deux grandes parties:

• ´evanouissement `a grande ´echelle: d ˆu `a la perte d’amplitude du signal `a cause de la distance et des grandes obstacles;

• ´evanouissement `a petite ´echelle: d ˆu `a l’interf´erence des multiples trajets entre l’´emetteur et le r´ecepteur.

L’´evanouissement `a grande ´echelle est `a prendre en compte lors de la plannification des r´eseaux mobiles. L’´evanouissement `a petite ´echelle est `a prendre en compte lors de la construction de l’´emetteur et du r´ecepteur.

Les canaux sans fils op`erent par la radioation ´electromagnetique de l’´emetteur au r´ecepteur.

Nous allons consid´erer quelques cas de la propagation de l’onde ´electromagnetique.

2.1 Espace libre, ´emetteur et r´ecepteur fixes

Soit le signal x(t) = cos 2⇡ f

₀

t est ´emis ( e(t) = 1 ). Alors le champ ´electrique au r´ecepteur `a la location u = (r, ✓, ) au temps t est

E (f, t, u) = ↵

_s

(✓. , f

₀

)

r cos 2⇡ f

₀

(t r/c) c – vitesse de lumi`ere,

↵

_s

– patterne de radiation de l’antenne

f

₀

r/c – variation de phase `a cause de d´elai de propagation 1/r – ´evanouissement d’amplitude avec la distance

Mod`ele physique du canal sans fils 5

Tuesday, October 16, 12

Espace libre, récepteur mobile

Tse and Viswanath: Fundamentals of Wireless Communication 24

there changes the electric field in the vicinity of u, but this is taken into account by the antenna pattern of the receive antenna.

Now suppose, for the given u, that we define

H (f ) := α(θ , ψ, f )e

^{−j2πf r/c}

r . (2.3)

We then have E

_r

(f, t, u) = ! !

H (f )e

^{j2πf t}

"

. We have not mentioned it yet, but (2.1) and (2.2) are both linear in the input. That is, the received field (waveform) at u in response to a weighted sum of transmitted waveforms is simply the weighted sum of responses to those individual waveforms. Thus, H (f ) is the system function for an LTI (linear time-invariant) channel, and its inverse Fourier transform is the impulse response. The need for understanding electromagnetism is to determine what this system function is. We will find in what follows that linearity is a good assumption for all the wireless channels we consider, but that the time invariance does not hold when either the antennas or obstructions are in relative motion.

2.1.2 Free space, moving antenna

Next consider the fixed antenna and free space model above with a receive antenna that is moving with speed v in the direction of increasing distance from the transmitting antenna. That is, we assume that the receive antenna is at a moving location described as u(t) = (r(t), θ , ψ) with r (t) = r

₀

+ vt. Using (2.1) to describe the free space electric field at the moving point u(t) (for the moment with no receive antenna), we have

E (f, t, (r

₀

+ vt, θ , ψ)) = α

_s

(θ, ψ, f ) cos 2πf (t −

^r_c⁰

−

^vt_c

)

r

₀

+ vt . (2.4)

Note that we can rewrite f (t − r

₀

/c − vt/c) as f (1 − v/c)t − f r

₀

/c. Thus, the sinusoid at frequency f has been converted to a sinusoid of frequency f (1 − v/c); there has been a Doppler shift of − f v/c due to the motion of the observation point.

³

Intuitively, each successive crest in the transmitted sinusoid has to travel a little further before it gets observed at the moving observation point. If the antenna is now placed at u(t), and the change of field due to the antenna presence is again represented by the receive antenna pattern, the received waveform, in analogy to (2.2), is

E

_r

(f, t, (r

₀

+vt, θ, ψ)) = α(θ, ψ , f ) cos 2π f !

(1 −

^v_c

)t −

^r_c⁰

"

r

₀

+ vt . (2.5)

This channel cannot be represented as an LTI channel. If we ignore the time varying attenuation in the denominator of (2.5), however, we can represent the channel in

3The reader should be familiar with the Doppler shift associated with moving cars. When an ambulance is rapidly moving toward us we hear a higher frequency siren. When it passes us we hear a rapid shift toward lower frequencies.

Tse and Viswanath: Fundamentals of Wireless Communication 24

there changes the electric field in the vicinity of u, but this is taken into account by the antenna pattern of the receive antenna.

Now suppose, for the given u, that we define

H (f ) := α(θ, ψ, f )e

^{−j2πf r/c}

r . (2.3)

We then have E

_r

(f, t, u) = ! !

H (f )e

^{j2πf t}

"

. We have not mentioned it yet, but (2.1) and (2.2) are both linear in the input. That is, the received field (waveform) at u in response to a weighted sum of transmitted waveforms is simply the weighted sum of responses to those individual waveforms. Thus, H (f ) is the system function for an LTI (linear time-invariant) channel, and its inverse Fourier transform is the impulse response. The need for understanding electromagnetism is to determine what this system function is. We will find in what follows that linearity is a good assumption for all the wireless channels we consider, but that the time invariance does not hold when either the antennas or obstructions are in relative motion.

2.1.2 Free space, moving antenna

Next consider the fixed antenna and free space model above with a receive antenna that is moving with speed v in the direction of increasing distance from the transmitting antenna. That is, we assume that the receive antenna is at a moving location described as u(t) = (r(t), θ, ψ) with r(t) = r

₀

+ vt. Using (2.1) to describe the free space electric field at the moving point u(t) (for the moment with no receive antenna), we have

E (f, t, (r

₀

+ vt, θ, ψ)) = α

_s

(θ , ψ, f ) cos 2πf (t −

^r_c⁰

−

^vt_c

)

r

₀

+ vt . (2.4)

Note that we can rewrite f (t − r

₀

/c − vt/c) as f (1 − v/c)t − f r

₀

/c. Thus, the sinusoid at frequency f has been converted to a sinusoid of frequency f (1 − v/c); there has been a Doppler shift of − f v/c due to the motion of the observation point.

³

Intuitively, each successive crest in the transmitted sinusoid has to travel a little further before it gets observed at the moving observation point. If the antenna is now placed at u(t), and the change of field due to the antenna presence is again represented by the receive antenna pattern, the received waveform, in analogy to (2.2), is

E

_r

(f, t, (r

₀

+vt, θ , ψ )) = α(θ, ψ , f ) cos 2π f !

(1 −

^v_c

)t −

^r_c⁰

"

r

₀

+ vt . (2.5)

This channel cannot be represented as an LTI channel. If we ignore the time varying attenuation in the denominator of (2.5), however, we can represent the channel in

3The reader should be familiar with the Doppler shift associated with moving cars. When an ambulance is rapidly moving toward us we hear a higher frequency siren. When it passes us we hear a rapid shift toward lower frequencies.

SIC Pro - Cours 1 - Communications sans fils

2.2 Espace libre, r´ecepteur mobile

Soir le r´ecepteur bouge avec la vitesse v de l’´emetteur. r = r

₀

+ vt, et

E (f, t, u(t)) = ↵

_s

(✓. , f ) cos 2⇡f

₀

(t r

₀

/c vt/c)

r

₀

+ vt .

On observe le d´ecalage de Doppler de f v/c `a cause du mouvement du r´ecepteur. Notons aussi que l’attenuation d´epend du temps t.

2.3 Emetteur et r´ecepteur fixes, obstacle fixe

La distance entre l’´emetteur et le r´ecepteur ´etant ´egale `a r, soit il y a un obstacle `a reflection parfaite

`a distance d de l’´emetteur et `a distance d r du r´ecepteur (le r´ecepteur se trouve entre l’´emetteur et l’obstacle). Alors on a

E (f, t, u) = ↵

_s

(✓. , f ) cos 2⇡f (t r/c) r

↵

_s

(✓. , f ) cos 2⇡ f (t (2d r)/c)

2d r .

Le signal rec¸u est la superposition de deux ondes, toutes les deux de fr´equence f . la diff´erence de phase entre elles

✓ =

✓ 2⇡ f (2d r)

c + ⇡

◆ 2⇡ f r

c = 2⇡f (d r)

c + ⇡.

Si ✓ est multiple de:

– 2⇡; alors le signal rec¸u est fort (patterne d’interf´erence constructif)

– k⇡ avec k impaire; alors le signal rec¸u est attenu´e (patterne destructif)

Les patternes d’interf´erences d´ependent aussi de f . Pour r fixe, si f change de 1

2

✓ 2d r c

r c

◆

1

, alors les deux patternes s’´echangent. la quantit´e

T

_d

= 2d r c

r c

est appel´ee l’´etalement du d´elai (”delay spread”) et repr´esente la diff´erence entre les delais de propagation de deux ondes. Les patternes d’interf´erence ne changent pas beaucoup si le change- ment en fr´equence est beaucoup plut petit que 1/T

_d

. 1/T

_d

est donc appel´e la bande passante coh´erente.

Mod`ele physique du canal sans fils 6

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2.2 Espace libre, r´ecepteur mobile

Soir le r´ecepteur bouge avec la vitesse v de l’´emetteur. r = r ₀ + vt , et

E (f, t, u(t)) = ↵ _s (✓. , f ) cos 2⇡ f ₀ (t r ₀ /c vt/c)

r ₀ + vt .

On observe le d´ecalage de Doppler de ^f

⁰

_c ^v `a cause du mouvement du r´ecepteur. Notons aussi que l’attenuation d´epend du temps t .

2.3 Emetteur et r´ecepteur fixes, obstacle fixe

La distance entre l’´emetteur et le r´ecepteur ´etant ´egale `a r , soit il y a un obstacle `a reflection parfaite

`a distance d de l’´emetteur et `a distance d r du r´ecepteur (le r´ecepteur se trouve entre l’´emetteur et l’obstacle). Alors on a

E (f, t, u) = ↵ _s (✓. , f ) cos 2⇡ f (t r/c) r

↵ _s (✓. , f ) cos 2⇡ f (t (2d r)/c)

2d r .

Le signal rec¸u est la superposition de deux ondes, toutes les deux de fr´equence f . la diff´erence de phase entre elles

✓ =

✓ 2⇡ f (2d r)

c + ⇡

◆ 2⇡ f r

c = 2⇡ f (d r)

c + ⇡ .

Si ✓ est multiple de:

– 2⇡ ; alors le signal rec¸u est fort (patterne d’interf´erence constructif)

– k ⇡ avec k impaire; alors le signal rec¸u est attenu´e (patterne destructif)

Les patternes d’interf´erences d´ependent aussi de f . Pour r fixe, si f change de 1

2

✓ 2d r c

r c

◆ ₁ , alors les deux patternes s’´echangent. la quantit´e

T _d = 2d r c

r c

est appel´ee l’´etalement du d´elai (”delay spread”) et repr´esente la diff´erence entre les delais de propagation de deux ondes. Les patternes d’interf´erence ne changent pas beaucoup si le change- ment en fr´equence est beaucoup plut petit que 1/T _d . 1/T _d est donc appel´e la bande passante coh´erente.

Mod`ele physique du canal sans fils 6

- décalage de Doppler de

- l’atténuation dépend du temps

avec E R

v

Tuesday, October 16, 12

Emetteur + récepteur + obstacle

Tse and Viswanath: Fundamentals of Wireless Communication 25

terms of a system function followed by translating the frequency f by the Doppler shift −f v/c. It is important to observe that the amount of shift depends on the frequency f. We will come back to discussing the importance of this Doppler shift and of the time varying attenuation after considering the next example.

The above analysis does not depend on whether it is the transmitter or the receiver (or both) that are moving. So long as r(t) is interpreted as the distance between the antennas (and the relative orientations of the antennas are constant), (2.4) and (2.5) are valid.

2.1.3 Reflecting wall, fixed antenna

Consider Figure 2.2 below in which there is a fixed antenna transmitting the sinusoid cos 2πf t, a fixed receive antenna, and a single perfectly reflecting large fixed wall. We assume that in the absence of the receive antenna, the electromagnetic field at the point where the receive antenna will be placed is the sum of the free space field coming from the transmit antenna plus a reflected wave coming from the wall. As before, in the presence of the receive antenna, the perturbation of the field due to the antenna is represented by the antenna pattern. An additional assumption here is that the presence of the receive antenna does not appreciably affect the plane wave impinging on the wall. In essence, what we have done here is to approximate the solution of

!

"

#

$

%& ' ( %

& ' (

!

" "

Wall Transmit

Antenna

receive antenna r

d

Figure 2.2: Illustration of a direct path and a reflected path.

Maxwell’s equations by a method called ray tracing. The assumption here is that the received waveform can be approximated by the sum of the free space wave from the sending transmitter plus the reflected free space waves from each of the reflecting obstacles.

In the present situation, if we assume that the wall is very large, the reflected wave at a given point is the same (except for a sign change) as the free space wave that would exist on the opposite side of the wall if the wall were not present (see Figure 2.3). This means that the reflected wave from the wall has the intensity of a free space wave at a distance equal to the distance to the wall and then back to the receive antenna, i.e., 2d − r. Using (2.2) for both the direct and the reflected wave, and assuming the same SIC Pro - Cours 1 - Communications sans fils

2.2 Espace libre, r´ecepteur mobile

Soir le r´ecepteur bouge avec la vitesse v de l’´emetteur. r = r₀ + vt, et

E(f, t,u(t)) = ↵_s(✓. , f) cos 2⇡f₀(t r₀/c vt/c)

r₀ + vt .

On observe le d´ecalage de Doppler de ^f0_c^v `a cause du mouvement du r´ecepteur. Notons aussi que l’attenuation d´epend du temps t.

2.3 Emetteur et r´ecepteur fixes, obstacle fixe

La distance entre l’´emetteur et le r´ecepteur ´etant ´egale `a r, soit il y a un obstacle `a reflection parfaite

`a distance d de l’´emetteur et `a distance d r du r´ecepteur (le r´ecepteur se trouve entre l’´emetteur et l’obstacle). Alors on a

E(f, t, u) = ↵_s(✓. , f₀) cos 2⇡f₀(t r/c) r

↵_s(✓. , f₀) cos 2⇡f₀(t (2d r)/c) 2d r

Le signal rec¸u est la superposition de deux ondes, toutes les deux de fr´equence f. la diff´erence de phase entre elles

✓ =

✓2⇡f(2d r)

c + ⇡

◆ 2⇡f r

c = 2⇡f(d r)

c + ⇡.

Si ✓ est multiple de:

– 2⇡; alors le signal rec¸u est fort (patterne d’interf´erence constructif)

– k⇡ avec k impaire; alors le signal rec¸u est attenu´e (patterne destructif)

Les patternes d’interf´erences d´ependent aussi de f. Pour r fixe, si f change de 1

2

✓2d r c

r c

◆ 1

, alors les deux patternes s’´echangent. la quantit´e

T_d = 2d r c

r c

est appel´ee l’´etalement du d´elai (”delay spread”) et repr´esente la diff´erence entre les delais de propagation de deux ondes. Les patternes d’interf´erence ne changent pas beaucoup si le change- ment en fr´equence est beaucoup plut petit que 1/T_d. 1/T_d est donc appel´e la bande passante coh´erente.

Mod`ele physique du canal sans fils 6

Le signal est la superposition de deux ondes, avec la différence respective des phases:

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2.2 Espace libre, r´ecepteur mobile

Soir le r´ecepteur bouge avec la vitesse v de l’´emetteur. r = r₀ + vt, et

E(f, t,u(t)) = ↵_s(✓. , f) cos 2⇡f₀(t r₀/c vt/c)

r₀ + vt .

On observe le d´ecalage de Doppler de ^f0_c^v `a cause du mouvement du r´ecepteur. Notons aussi que l’attenuation d´epend du temps t.

2.3 Emetteur et r´ecepteur fixes, obstacle fixe

La distance entre l’´emetteur et le r´ecepteur ´etant ´egale `a r, soit il y a un obstacle `a reflection parfaite

`a distance d de l’´emetteur et `a distance d r du r´ecepteur (le r´ecepteur se trouve entre l’´emetteur et l’obstacle). Alors on a

E(f, t, u) = ↵_s(✓. , f₀) cos 2⇡f₀(t r/c) r

↵_s(✓. , f₀) cos 2⇡f₀(t (2d r)/c) 2d r

Le signal rec¸u est la superposition de deux ondes, toutes les deux de fr´equence f. la diff´erence de phase entre elles

✓ =

✓2⇡f₀(2d r)

c + ⇡

◆ 2⇡f₀r

c = 2⇡f₀(d r)

c + ⇡

Si ✓ est multiple de:

– 2⇡; alors le signal rec¸u est fort (patterne d’interf´erence constructif)

– k⇡ avec k impaire; alors le signal rec¸u est attenu´e (patterne destructif)

Les patternes d’interf´erences d´ependent aussi de f. Pour r fixe, si f change de 1

2

✓2d r c

r c

◆ 1

, alors les deux patternes s’´echangent. la quantit´e

T_d = 2d r c

r c

est appel´ee l’´etalement du d´elai (”delay spread”) et repr´esente la diff´erence entre les delais de propagation de deux ondes. Les patternes d’interf´erence ne changent pas beaucoup si le change- ment en fr´equence est beaucoup plut petit que 1/T_d. 1/T_d est donc appel´e la bande passante coh´erente.

Mod`ele physique du canal sans fils 6

La différence est multiple de : - le signal renforcé

, impaire - le signal attenué

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2.2 Espace libre, r´ecepteur mobile

Soir le r´ecepteur bouge avec la vitesse v de l’´emetteur. r = r

₀

+ vt, et

E (f, t, u(t)) = ↵

_s

(✓. , f ) cos 2⇡f

₀

(t r

₀

/c vt/c)

r

₀

+ vt .

On observe le d´ecalage de Doppler de

^f0_c^v

`a cause du mouvement du r´ecepteur. Notons aussi que l’attenuation d´epend du temps t.

2.3 Emetteur et r´ecepteur fixes, obstacle fixe

La distance entre l’´emetteur et le r´ecepteur ´etant ´egale `a r, soit il y a un obstacle `a reflection parfaite

`a distance d de l’´emetteur et `a distance d r du r´ecepteur (le r´ecepteur se trouve entre l’´emetteur et l’obstacle). Alors on a

E (f, t, u) = ↵

_s

(✓. , f

₀

) cos 2⇡f

₀

(t r/c) r

↵

_s

(✓. , f

₀

) cos 2⇡f

₀

(t (2d r)/c) 2d r

Le signal rec¸u est la superposition de deux ondes, toutes les deux de fr´equence f . la diff´erence de phase entre elles

✓ =

✓ 2⇡f

₀

(2d r)

c + ⇡

◆ 2⇡f

₀

r

c = 2⇡f

₀

(d r)

c + ⇡

Si ✓ est multiple de:

– 2⇡; alors le signal rec¸u est fort (patterne d’interf´erence constructif)

– k⇡ avec k impaire; alors le signal rec¸u est attenu´e (patterne destructif)

Les patternes d’interf´erences d´ependent aussi de f . Pour r fixe, si f change de 1

2

✓ 2d r c

r c

◆

₁

, alors les deux patternes s’´echangent. la quantit´e

T

_d

= 2d r c

r c

est appel´ee l’´etalement du d´elai (”delay spread”) et repr´esente la diff´erence entre les delais de propagation de deux ondes. Les patternes d’interf´erence ne changent pas beaucoup si le change- ment en fr´equence est beaucoup plut petit que 1/T

_d

. 1/T

_d

est donc appel´e la bande passante coh´erente.

Mod`ele physique du canal sans fils 6

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2.2 Espace libre, r´ecepteur mobile

Soir le r´ecepteur bouge avec la vitesse v de l’´emetteur. r = r

₀

+ vt, et

E (f, t, u(t)) = ↵

_s

(✓. , f ) cos 2⇡ f

₀

(t r

₀

/c vt/c)

r

₀

+ vt .

On observe le d´ecalage de Doppler de

^f0_c^v

`a cause du mouvement du r´ecepteur. Notons aussi que l’attenuation d´epend du temps t.

2.3 Emetteur et r´ecepteur fixes, obstacle fixe

La distance entre l’´emetteur et le r´ecepteur ´etant ´egale `a r, soit il y a un obstacle `a reflection parfaite

`a distance d de l’´emetteur et `a distance d r du r´ecepteur (le r´ecepteur se trouve entre l’´emetteur et l’obstacle). Alors on a

E (f, t, u) = ↵

_s

(✓. , f

₀

) cos 2⇡ f

₀

(t r/c) r

↵

_s

(✓. , f

₀

) cos 2⇡ f

₀

(t (2d r)/c) 2d r

Le signal rec¸u est la superposition de deux ondes, toutes les deux de fr´equence f . la diff´erence de phase entre elles

✓ =

✓ 2⇡ f

₀

(2d r )

c + ⇡

◆ 2⇡ f

₀

r

c = 2⇡ f

₀

(d r )

c + ⇡

Si ✓ est multiple de:

– 2⇡ ; alors le signal rec¸u est fort (patterne d’interf´erence constructif)

– k ⇡ avec k impaire; alors le signal rec¸u est attenu´e (patterne destructif)

Les patternes d’interf´erences d´ependent aussi de f . Pour r fixe, si f change de 1

2

✓ 2d r c

r c

◆

1

, alors les deux patternes s’´echangent. la quantit´e

T

_d

= 2d r c

r c

est appel´ee l’´etalement du d´elai (”delay spread”) et repr´esente la diff´erence entre les delais de propagation de deux ondes. Les patternes d’interf´erence ne changent pas beaucoup si le change- ment en fr´equence est beaucoup plut petit que 1/T

_d

. 1/T

_d

est donc appel´e la bande passante coh´erente.

Mod`ele physique du canal sans fils 6

SIC Pro - Cours 1 - Communications sans fils

2.2 Espace libre, r´ecepteur mobile

Soir le r´ecepteur bouge avec la vitesse v de l’´emetteur. r = r

₀

+ vt, et

E (f, t, u(t)) = ↵

_s

(✓. , f ) cos 2⇡f

₀

(t r

₀

/c vt/c)

r

₀

+ vt .

On observe le d´ecalage de Doppler de

^f0_c^v

`a cause du mouvement du r´ecepteur. Notons aussi que l’attenuation d´epend du temps t.

2.3 Emetteur et r´ecepteur fixes, obstacle fixe

La distance entre l’´emetteur et le r´ecepteur ´etant ´egale `a r, soit il y a un obstacle `a reflection parfaite

`a distance d de l’´emetteur et `a distance d r du r´ecepteur (le r´ecepteur se trouve entre l’´emetteur et l’obstacle). Alors on a

E (f, t, u) = ↵

_s

(✓. , f

₀

) cos 2⇡f

₀

(t r/c) r

↵

_s

(✓. , f

₀

) cos 2⇡f

₀

(t (2d r)/c) 2d r

Le signal rec¸u est la superposition de deux ondes, toutes les deux de fr´equence f . la diff´erence de phase entre elles

✓ =

✓ 2⇡f

₀

(2d r)

c + ⇡

◆ 2⇡f

₀

r

c = 2⇡f

₀

(d r )

c + ⇡

Si ✓ est multiple de:

– 2⇡; alors le signal rec¸u est fort (patterne d’interf´erence constructif)

– k⇡ avec k impaire; alors le signal rec¸u est attenu´e (patterne destructif)

Les patternes d’interf´erences d´ependent aussi de f . Pour r fixe, si f change de 1

2

✓ 2d r c

r c

◆

₁

, alors les deux patternes s’´echangent. la quantit´e

T

_d

= 2d r c

r c

est appel´ee l’´etalement du d´elai (”delay spread”) et repr´esente la diff´erence entre les delais de propagation de deux ondes. Les patternes d’interf´erence ne changent pas beaucoup si le change- ment en fr´equence est beaucoup plut petit que 1/T

_d

. 1/T

_d

est donc appel´e la bande passante coh´erente.

Mod`ele physique du canal sans fils 6

Tuesday, October 16, 12

Emetteur + récepteur + obstacle (2)

Les patternes d’interférence changent : - avec la distance

- avec la fréquence porteuse

Tse and Viswanath: Fundamentals of Wireless Communication 25

terms of a system function followed by translating the frequency f by the Doppler shift −f v/c. It is important to observe that the amount of shift depends on the frequency f. We will come back to discussing the importance of this Doppler shift and of the time varying attenuation after considering the next example.

The above analysis does not depend on whether it is the transmitter or the receiver (or both) that are moving. So long as r(t) is interpreted as the distance between the antennas (and the relative orientations of the antennas are constant), (2.4) and (2.5) are valid.

2.1.3 Reflecting wall, fixed antenna

Consider Figure 2.2 below in which there is a fixed antenna transmitting the sinusoid cos 2πf t, a fixed receive antenna, and a single perfectly reflecting large fixed wall. We assume that in the absence of the receive antenna, the electromagnetic field at the point where the receive antenna will be placed is the sum of the free space field coming from the transmit antenna plus a reflected wave coming from the wall. As before, in the presence of the receive antenna, the perturbation of the field due to the antenna is represented by the antenna pattern. An additional assumption here is that the presence of the receive antenna does not appreciably affect the plane wave impinging on the wall. In essence, what we have done here is to approximate the solution of

!

"

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$

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!

" "

Wall Transmit

Antenna

receive antenna r

d

Figure 2.2: Illustration of a direct path and a reflected path.

Maxwell’s equations by a method called ray tracing. The assumption here is that the received waveform can be approximated by the sum of the free space wave from the sending transmitter plus the reflected free space waves from each of the reflecting obstacles.

In the present situation, if we assume that the wall is very large, the reflected wave at a given point is the same (except for a sign change) as the free space wave that would exist on the opposite side of the wall if the wall were not present (see Figure 2.3). This means that the reflected wave from the wall has the intensity of a free space wave at a distance equal to the distance to the wall and then back to the receive antenna, i.e., 2d − r. Using (2.2) for both the direct and the reflected wave, and assuming the same

SIC Pro - Cours 1 - Communications sans fils

2.2 Espace libre, r´ecepteur mobile

Soir le r´ecepteur bouge avec la vitesse v de l’´emetteur. r = r

₀

+ vt , et

E (f, t, u(t)) = ↵

_s

(✓ . , f ) cos 2⇡ f

₀

(t r

₀

/c vt/c)

r

₀

+ vt .

On observe le d´ecalage de Doppler de

^f0_c^v

`a cause du mouvement du r´ecepteur. Notons aussi que l’attenuation d´epend du temps t .

2.3 Emetteur et r´ecepteur fixes, obstacle fixe

La distance entre l’´emetteur et le r´ecepteur ´etant ´egale `a r , soit il y a un obstacle `a reflection parfaite

`a distance d de l’´emetteur et `a distance d r du r´ecepteur (le r´ecepteur se trouve entre l’´emetteur et l’obstacle). Alors on a

E (f, t, u) = ↵

_s

(✓ . , f

₀

) cos 2⇡ f

₀

(t r/c) r

↵

_s

(✓ . , f

₀

) cos 2⇡f

₀

(t (2d r )/c) 2d r

Le signal rec¸u est la superposition de deux ondes, toutes les deux de fr´equence f . la diff´erence de phase entre elles

✓ =

✓ 2⇡ f

₀

(2d r)

c + ⇡

◆ 2⇡f

₀

r

c = 2⇡ f

₀

(d r )

c + ⇡

Si ✓ est multiple de:

– 2⇡ ; alors le signal rec¸u est fort (patterne d’interf´erence constructif)

– k⇡ avec k impaire; alors le signal rec¸u est attenu´e (patterne destructif)

r = c 4f

₀

Les patternes d’interf´erences d´ependent aussi de f . Pour r fixe, si f change de

f = 1 2

✓ 2d r c

r c

◆

₁

, alors les deux patternes s’´echangent. la quantit´e

T

_d

= 2d r c

r c

Mod`ele physique du canal sans fils 6

SIC Pro - Cours 1 - Communications sans fils

2.2 Espace libre, r´ecepteur mobile

Soir le r´ecepteur bouge avec la vitesse v de l’´emetteur. r = r

₀

+ vt, et

E (f, t, u(t)) = ↵

_s

(✓. , f ) cos 2⇡ f

₀

(t r

₀

/c vt/c)

r

₀

+ vt .

On observe le d´ecalage de Doppler de

^f0_c^v

`a cause du mouvement du r´ecepteur. Notons aussi que l’attenuation d´epend du temps t.

2.3 Emetteur et r´ecepteur fixes, obstacle fixe

La distance entre l’´emetteur et le r´ecepteur ´etant ´egale `a r, soit il y a un obstacle `a reflection parfaite

`a distance d de l’´emetteur et `a distance d r du r´ecepteur (le r´ecepteur se trouve entre l’´emetteur et l’obstacle). Alors on a

E (f, t, u) = ↵

_s

(✓. , f

₀

) cos 2⇡f

₀

(t r/c) r

↵

_s

(✓ . , f

₀

) cos 2⇡ f

₀

(t (2d r )/c) 2d r

Le signal rec¸u est la superposition de deux ondes, toutes les deux de fr´equence f . la diff´erence de phase entre elles

✓ =

✓ 2⇡ f

₀

(2d r)

c + ⇡

◆ 2⇡ f

₀

r

c = 2⇡f

₀

(d r )

c + ⇡

Si ✓ est multiple de:

– 2⇡ ; alors le signal rec¸u est fort (patterne d’interf´erence constructif)

– k⇡ avec k impaire; alors le signal rec¸u est attenu´e (patterne destructif)

r = c 4f

₀

Les patternes d’interf´erences d´ependent aussi de f . Pour r fixe, si f change de

f = 1 2

✓ 2d r c

r c

◆

1

, alors les deux patternes s’´echangent. la quantit´e

T

_d

= 2d r c

r c

Mod`ele physique du canal sans fils 6

SIC Pro - Cours 1 - Communications sans fils

2.2 Espace libre, r´ecepteur mobile

Soir le r´ecepteur bouge avec la vitesse v de l’´emetteur. r = r

₀

+ vt , et

E (f, t, u(t)) = ↵

_s

(✓. , f ) cos 2⇡f

₀

(t r

₀

/c vt/c)

r

₀

+ vt .

On observe le d´ecalage de Doppler de

^f0_c^v

`a cause du mouvement du r´ecepteur. Notons aussi que l’attenuation d´epend du temps t .

2.3 Emetteur et r´ecepteur fixes, obstacle fixe

La distance entre l’´emetteur et le r´ecepteur ´etant ´egale `a r , soit il y a un obstacle `a reflection parfaite

`a distance d de l’´emetteur et `a distance d r du r´ecepteur (le r´ecepteur se trouve entre l’´emetteur et l’obstacle). Alors on a

E (f, t, u) = ↵

_s

(✓. , f

₀

) cos 2⇡f

₀

(t r/c) r

↵

_s

(✓ . , f

₀

) cos 2⇡ f

₀

(t (2d r )/c) 2d r

Le signal rec¸u est la superposition de deux ondes, toutes les deux de fr´equence f . la diff´erence de phase entre elles

✓ =

✓ 2⇡f

₀

(2d r )

c + ⇡

◆ 2⇡ f

₀

r

c = 2⇡ f

₀

(d r)

c + ⇡

Si ✓ est multiple de:

– 2⇡ ; alors le signal rec¸u est fort (patterne d’interf´erence constructif)

– k⇡ avec k impaire; alors le signal rec¸u est attenu´e (patterne destructif)

r = c 4f

₀

Les patternes d’interf´erences d´ependent aussi de f . Pour r fixe, si f change de

f = 1 2

✓ 2d r c

r c

◆

₁

, alors les deux patternes s’´echangent. la quantit´e

T

_d

= 2d r c

r c

Mod`ele physique du canal sans fils 6

distance de cohérence

étalement de délai

Tuesday, October 16, 12