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Equation des ondes et valeurs propres du laplacien

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Equation des ondes et valeurs propres du laplacien

Nicolas Popoff

October 8, 2019

(2)

Qu’est-ce que c’est qu’une EDP?

Une´equation aux d´erivees partiellesa pour inconnue unefonction de plusieurs variables.

Elle reliela fonctionet ses d´eriv´ees (partielles).

C’est un domaine tr`es riche :

Chaque domaine dela physique am`ene son EDP.

Il y a presque autant d’outils que d’EDP!!

Pour ´etudier une EDP, il faut des connaissances enAnalyse, G´eom´etrie, alg`ebre lin´eaire, calcul scientifique...

Axes d’´etudes :

Qualitatif(existence et unicit´e des solutions, stabilit´e...) Quantitatif (Solutions explicites, analyse asymptotique...) Num´erique.

Et apr`es, il faut revenir au mod`ele et aller versles applications!

(3)

Des d´ eriv´ ees partielles

Si on a une fonction qui d´epend `a la fois du temps et de l’espace, c’est une fonction dedeux variables

u :R×R→R, (x,t)7→u(x,t).

On peut d´efinir ses d´eriv´ees partielles :

1 On fixex0∈R, alors t7→u(x0,t) est une fonctionsur R.

2 On peut la d´eriver! La d´eriv´ee au pointt0 est not´ee

∂u

∂t(x0,t0).

3 On a d´efini une nouvelle fonction de deux variables ∂u∂t. De mˆeme, on peut d´efinir ∂u∂x et les d´eriv´ees secondes ∂x2u2 et ∂x∂t2u .

(4)

Un calcul qui va servir

Exo : Soitu(x,t) =cos(ωt)f(x). Alors

2u

∂x2 =cos(ωt)f00(x) et ∂2u

∂t2 =−ω2cos(ωt)f(x)=−u(x,t).

Ce n’est pas toujours aussi simple!

(5)

L’´ equation des ondes

Propagation d’une perturbationu :

2u

∂t2(x,t) =c22u

∂x2(x,t),

Variable d’espace (1d) : x ∈R. Variable de temps : t ≥0.

Vitesse caract´eristique : c >0.

On la compl`ete par une perturbation initialeu(x,0) =u0(x) avec u0 une fonction donn´ee.

Il faut pr´eciser dans quel espace vit la solution.

EDP tr`es simplifi´ee : Elle estlin´eaire.

Pas d’amortissement.

On ne vit pas en 1d.

(6)

Un mod` ele pour les vagues

D´ecrit la hauteuru d’une petite vagueunidirectionnelle dans une mer deprofondeur h0 faible avecc =√

gh0. Six ∈R, les solutions sont de la forme

u(x,t) =f(x−ct) +g(x+ct), f etg deux fonctions

Des solutions tr`es importantes :

ei(kx±wt), ω la pulsation etk la fr´equence spatiale avecc = ω k. Elles sont `a la base de l’analyse de Fourier et permet de

d´ecomposer des ondes pour des mod`eles plus compliqu´es (profondeur variable, dissipation...).

(7)

L’´ equation des ondes en domaine born´ e

On consid`ere une cavit´e 1d ferm´ee de taille L, peu profonde.

Ph´enom`ene de seiche : oscillations de la surface.

On observe des solutions stationnaires de fr´equences particuli`ere.

Soitu(t,x) la hauteur de l’eauau tempst et au pointx :









2u

∂t2(x,t) =c22u

∂x2(x,t),

u(x,0) =u0(x) (perturbation initiale u0)

∂u

∂x(0,t) = ∂u

∂x(L,t) = 0 (parois r´eflechissantes) Un mod`ele similaire : la corde vibrante

c = qT

µ avec T la tension etµ la masse lin´eique.

La corde est attach´ee au bord : u(0,t) =u(L,t) = 0.

Applications en accoustique.

(8)

Approche en domaine born´ e

On ne peut plus poserξ±=x±ct car x ∈[0,L].

Pour faire simple, posonsc = 1.

On cherche quand mˆemeune solution particuli`ereen variables s´epar´ees :

u(x,t) =f(x)cos(ωt).

On calcule... u est solution de l’EDP si et seulement si

−f00(x) =ω2f(x).

(9)

Un probl` eme aux valeurs propres

On ajoute lesconditions au bord :

on cherche donc `a d´eterminer ω ET f 6= 0 tels que ( −f00(x) =ω2f(x) sur [0,L],

f0(0) =f0(L) = 0.

Solutions : f(x) =Acosωx+Bsinωx.

Conditions au bord :

f0(0) =f0(L) = 0 =⇒B = 0 etωsin(ωL) = 0.

On trouve que (ω,f) est de la forme ωn= nπ

L avec n∈N et fn(x) = cos(ωnx).

On dit qu’on a r´esolu un probl`eme aux valeurs propres.

Un musicen vous dira qu’on a trouv´e les harmoniques...

(10)

D´ etour : le spectre d’une matrice

Pour une matrice carr´eeA∈MN(R), on peut chercher sesvaleurs propreset ses vecteurs propres:

Trouverλ∈RET X ∈Rn\ {0}tels que AX =λX

Les trouver permet ded´ecortiquer A(diagonalisation...).

Il y a au plusN solutions pour λ: c’est le spectrede la matrice A.

Ici, si on poseE ={f ∈C([0,L]),f0(0) =f0(L) = 0}et A:f 7→ −f00,

Alors E est un e.v. etA est un endomorphismede E.

On a trouv´e une infinit´e de valeurs propres pourA...c’est normal : E est de dimension infinie!

(11)
(12)

R´ esolution du probl` eme par s´ eries de Fourier

Solution explicite :

u(x,t) =X

n≥1

Ancos(nπt

L )cos(nπx L ).

Les coefficient An sont lescoefficients de Fourierde la position initiale u0.

C’est lasuperposition d’harmonique.

Pour aller au bout

Pr´ecisez la convergence de la s´erie,et la r´egularit´e de la fonction trouv´ee.

Y a-t-il d’autres solutions? Il faut montrer :

1 Avec une donn´eeu0convenable, toutes les solutions sontL2.

(13)

Nous ne vivons pas en 1d...

Lesωn formele spectrede cette cavit´e. Il ne d´epend que deL...

L’´equation des ondes en dimensionn est

2u

∂t2(x,t) =c2∆u(x,t), ∆u =

n

X

i=1

2u

∂x2.

Alors pour l’oc´ean, il faut prendrex ∈R2. Mais nous ne vivons pas en 2d non plus...

Conditions au bord :

Membrane vibrante : u = 0 (Dirichlet).

Bassin ferm´e : ∇u·n = 0 (Neumann).

(14)

les valeurs propres du laplacien

Introduisons l’op´erateur laplacien

A:u 7→ −∆u :=−∂2u

2x − ∂2u

2y.

Le spectre deA est une suite (ωn)n∈N de nombres tels qu’il existe un6= 0 v´erifiant les conditions au bord et

Aunnun.

Le spectred´epend de laforme de Ω (pas explicite du tout...) Question (M. Kac, 1966) :

Peut-on entendre la forme d’un tambour?

Autrement dit : Ω7→(ω ) est-elle injective?

(15)

Cocotte et flˆ eche

R´eponse n´egative par Gordon and coauteurs (1991) :

Figure: Cocotte et flˆeche : deux tambours isospectraux

Construction depuis des quadrilat`eres sym´etris´es sur le plan hyperbolique...Beaucoup de g´eometrie et d’alg`ebre cach´e derri`ere!

Pour des tambours plus r´eguliers, la question reste ouverte!

(16)

Les probl` emes inverses

C’est un probl`eme inverse :

En entendant le son, reconstruire la forme du tambour?

Autres probl`emes inverses : `a partir d’observation de la solution d’une EDP en surface, peut-on connaˆıtre les coefficients de l’EDP `a l’int´erieur d’un objet?

Nombreuses applications :

Tomographie (d´et´ection de tumeur).

G´eologie (nappe d’eaux, gisements de p´etrole).

Sismologie (recherche de l’´epicentre).

Cosmologie.

(17)

Optimisation de forme

Une question :

Lord Rayleigh dans the theory of sound(1877):

Fixez l’aire du tambour Ω, quelle forme minimiseω1? En d’autres termes : quelle forme de tambour ala fr´equence fondamentale la plus basse?

R´eponse de Faber and Krahn (1923):

Ce sont les tambours circulaires.

Il existe de nombreux autres probl`emes d’optimisation de forme non r´esolus, par exemple : avec une condition au bord mixte

∇u·n =αu, α∈R fix´e.

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Comparaison des deux mod` eles

Pour r´esoudre ∂t2u2 = ∂x2u2, il est pertinent de r´esoudre formellement

2f

∂x2 =λf.

Si x∈R,alorsu(x) =eikx et λ=−k2 sont toujours

solutions (on a ´ecart´e u(x) =ekx). La fr´equence k peut varier continuement dans R.

Si x est dans une domaine born´e avec condition au bord,λne peut prendre que desvaleurs discrˆetes(une suite).

Dans les deux cas, les autres solutions se d´eduisent par superposition(besoin de th´eor`emes...).

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D’autres EDP

On a vu deux´equations des ondes lin´eaire.

Il en existe bien d’autres :

Equations desvaguesplus complexes (Tsunami, Houle).

Equations de Maxwell(Electromagnetisme).

Elles appartiennent `a la grande famille des EDP hyperboliques.

Les autres familles sont (en gros)

EDP elliptique (Equation de Laplace).

EDP paraboliques (Equation de la chaleur, diffusion).

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