Equation des ondes et valeurs propres du laplacien
Nicolas Popoff
October 8, 2019
Qu’est-ce que c’est qu’une EDP?
Une´equation aux d´erivees partiellesa pour inconnue unefonction de plusieurs variables.
Elle reliela fonctionet ses d´eriv´ees (partielles).
C’est un domaine tr`es riche :
Chaque domaine dela physique am`ene son EDP.
Il y a presque autant d’outils que d’EDP!!
Pour ´etudier une EDP, il faut des connaissances enAnalyse, G´eom´etrie, alg`ebre lin´eaire, calcul scientifique...
Axes d’´etudes :
Qualitatif(existence et unicit´e des solutions, stabilit´e...) Quantitatif (Solutions explicites, analyse asymptotique...) Num´erique.
Et apr`es, il faut revenir au mod`ele et aller versles applications!
Des d´ eriv´ ees partielles
Si on a une fonction qui d´epend `a la fois du temps et de l’espace, c’est une fonction dedeux variables
u :R×R→R, (x,t)7→u(x,t).
On peut d´efinir ses d´eriv´ees partielles :
1 On fixex0∈R, alors t7→u(x0,t) est une fonctionsur R.
2 On peut la d´eriver! La d´eriv´ee au pointt0 est not´ee
∂u
∂t(x0,t0).
3 On a d´efini une nouvelle fonction de deux variables ∂u∂t. De mˆeme, on peut d´efinir ∂u∂x et les d´eriv´ees secondes ∂∂x2u2 et ∂x∂t∂2u .
Un calcul qui va servir
Exo : Soitu(x,t) =cos(ωt)f(x). Alors
∂2u
∂x2 =cos(ωt)f00(x) et ∂2u
∂t2 =−ω2cos(ωt)f(x)=−u(x,t).
Ce n’est pas toujours aussi simple!
L’´ equation des ondes
Propagation d’une perturbationu :
∂2u
∂t2(x,t) =c2∂2u
∂x2(x,t),
Variable d’espace (1d) : x ∈R. Variable de temps : t ≥0.
Vitesse caract´eristique : c >0.
On la compl`ete par une perturbation initialeu(x,0) =u0(x) avec u0 une fonction donn´ee.
Il faut pr´eciser dans quel espace vit la solution.
EDP tr`es simplifi´ee : Elle estlin´eaire.
Pas d’amortissement.
On ne vit pas en 1d.
Un mod` ele pour les vagues
D´ecrit la hauteuru d’une petite vagueunidirectionnelle dans une mer deprofondeur h0 faible avecc =√
gh0. Six ∈R, les solutions sont de la forme
u(x,t) =f(x−ct) +g(x+ct), f etg deux fonctions
Des solutions tr`es importantes :
ei(kx±wt), ω la pulsation etk la fr´equence spatiale avecc = ω k. Elles sont `a la base de l’analyse de Fourier et permet de
d´ecomposer des ondes pour des mod`eles plus compliqu´es (profondeur variable, dissipation...).
L’´ equation des ondes en domaine born´ e
On consid`ere une cavit´e 1d ferm´ee de taille L, peu profonde.
Ph´enom`ene de seiche : oscillations de la surface.
On observe des solutions stationnaires de fr´equences particuli`ere.
Soitu(t,x) la hauteur de l’eauau tempst et au pointx :
∂2u
∂t2(x,t) =c2∂2u
∂x2(x,t),
u(x,0) =u0(x) (perturbation initiale u0)
∂u
∂x(0,t) = ∂u
∂x(L,t) = 0 (parois r´eflechissantes) Un mod`ele similaire : la corde vibrante
c = qT
µ avec T la tension etµ la masse lin´eique.
La corde est attach´ee au bord : u(0,t) =u(L,t) = 0.
Applications en accoustique.
Approche en domaine born´ e
On ne peut plus poserξ±=x±ct car x ∈[0,L].
Pour faire simple, posonsc = 1.
On cherche quand mˆemeune solution particuli`ereen variables s´epar´ees :
u(x,t) =f(x)cos(ωt).
On calcule... u est solution de l’EDP si et seulement si
−f00(x) =ω2f(x).
Un probl` eme aux valeurs propres
On ajoute lesconditions au bord :
on cherche donc `a d´eterminer ω ET f 6= 0 tels que ( −f00(x) =ω2f(x) sur [0,L],
f0(0) =f0(L) = 0.
Solutions : f(x) =Acosωx+Bsinωx.
Conditions au bord :
f0(0) =f0(L) = 0 =⇒B = 0 etωsin(ωL) = 0.
On trouve que (ω,f) est de la forme ωn= nπ
L avec n∈N et fn(x) = cos(ωnx).
On dit qu’on a r´esolu un probl`eme aux valeurs propres.
Un musicen vous dira qu’on a trouv´e les harmoniques...
D´ etour : le spectre d’une matrice
Pour une matrice carr´eeA∈MN(R), on peut chercher sesvaleurs propreset ses vecteurs propres:
Trouverλ∈RET X ∈Rn\ {0}tels que AX =λX
Les trouver permet ded´ecortiquer A(diagonalisation...).
Il y a au plusN solutions pour λ: c’est le spectrede la matrice A.
Ici, si on poseE ={f ∈C∞([0,L]),f0(0) =f0(L) = 0}et A:f 7→ −f00,
Alors E est un e.v. etA est un endomorphismede E.
On a trouv´e une infinit´e de valeurs propres pourA...c’est normal : E est de dimension infinie!
R´ esolution du probl` eme par s´ eries de Fourier
Solution explicite :
u(x,t) =X
n≥1
Ancos(nπt
L )cos(nπx L ).
Les coefficient An sont lescoefficients de Fourierde la position initiale u0.
C’est lasuperposition d’harmonique.
Pour aller au bout
Pr´ecisez la convergence de la s´erie,et la r´egularit´e de la fonction trouv´ee.
Y a-t-il d’autres solutions? Il faut montrer :
1 Avec une donn´eeu0convenable, toutes les solutions sontL2.
Nous ne vivons pas en 1d...
Lesωn formele spectrede cette cavit´e. Il ne d´epend que deL...
L’´equation des ondes en dimensionn est
∂2u
∂t2(x,t) =c2∆u(x,t), ∆u =
n
X
i=1
∂2u
∂x2.
Alors pour l’oc´ean, il faut prendrex ∈R2. Mais nous ne vivons pas en 2d non plus...
Conditions au bord :
Membrane vibrante : u = 0 (Dirichlet).
Bassin ferm´e : ∇u·→n = 0 (Neumann).
les valeurs propres du laplacien
Introduisons l’op´erateur laplacien
A:u 7→ −∆u :=−∂2u
∂2x − ∂2u
∂2y.
Le spectre deA est une suite (ωn)n∈N de nombres tels qu’il existe un6= 0 v´erifiant les conditions au bord et
Aun=ωnun.
Le spectred´epend de laforme de Ω (pas explicite du tout...) Question (M. Kac, 1966) :
Peut-on entendre la forme d’un tambour?
Autrement dit : Ω7→(ω ) est-elle injective?
Cocotte et flˆ eche
R´eponse n´egative par Gordon and coauteurs (1991) :
Figure: Cocotte et flˆeche : deux tambours isospectraux
Construction depuis des quadrilat`eres sym´etris´es sur le plan hyperbolique...Beaucoup de g´eometrie et d’alg`ebre cach´e derri`ere!
Pour des tambours plus r´eguliers, la question reste ouverte!
Les probl` emes inverses
C’est un probl`eme inverse :
En entendant le son, reconstruire la forme du tambour?
Autres probl`emes inverses : `a partir d’observation de la solution d’une EDP en surface, peut-on connaˆıtre les coefficients de l’EDP `a l’int´erieur d’un objet?
Nombreuses applications :
Tomographie (d´et´ection de tumeur).
G´eologie (nappe d’eaux, gisements de p´etrole).
Sismologie (recherche de l’´epicentre).
Cosmologie.
Optimisation de forme
Une question :
Lord Rayleigh dans the theory of sound(1877):
Fixez l’aire du tambour Ω, quelle forme minimiseω1? En d’autres termes : quelle forme de tambour ala fr´equence fondamentale la plus basse?
R´eponse de Faber and Krahn (1923):
Ce sont les tambours circulaires.
Il existe de nombreux autres probl`emes d’optimisation de forme non r´esolus, par exemple : avec une condition au bord mixte
∇u·→n =αu, α∈R fix´e.
Comparaison des deux mod` eles
Pour r´esoudre ∂∂t2u2 = ∂∂x2u2, il est pertinent de r´esoudre formellement
∂2f
∂x2 =λf.
Si x∈R,alorsu(x) =eikx et λ=−k2 sont toujours
solutions (on a ´ecart´e u(x) =ekx). La fr´equence k peut varier continuement dans R.
Si x est dans une domaine born´e avec condition au bord,λne peut prendre que desvaleurs discrˆetes(une suite).
Dans les deux cas, les autres solutions se d´eduisent par superposition(besoin de th´eor`emes...).
D’autres EDP
On a vu deux´equations des ondes lin´eaire.
Il en existe bien d’autres :
Equations desvaguesplus complexes (Tsunami, Houle).
Equations de Maxwell(Electromagnetisme).
Elles appartiennent `a la grande famille des EDP hyperboliques.
Les autres familles sont (en gros)
EDP elliptique (Equation de Laplace).
EDP paraboliques (Equation de la chaleur, diffusion).