L’irrationalité du nombre e

Jérôme Von Buhren http://vonbuhren.free.fr

L’irrationalité du nombre e

Introduction

L’objectif de ce problème est de démontrer le résultat suivant.

Théorème (Euler, 1737) : Le nombre e n’est pas un nombre rationnel.

On considère les suites (S_n)n∈Net (T_n)n∈N^∗ définies par

∀n∈N, S_n=

n

X

k=0

1

k! et ∀n∈N^∗, T_n=S_n+ 1 n·n!.

I. Convergence des suites (S

) et (T

)

1. Montrer que la suite (S_n) est strictement croissante.

2. Montrer que la suite (T_n) est strictement décroissante.

3. En déduire que les suites (S_n) et (T_n) convergent vers une même limite que l’on note`∈R. 4. Justifier queS<sub>n</sub><`<T_npour toutn∈N^∗.

II. Détermination de la limite de (S

) et (T

)

Dans cette partie, on montre que la limite commune des suites (S_n) et (T_n) est e.

1. Montrer par récurrence que

∀n∈N, e−S_n= 1 n!

Z ₁

0

(1−t)ⁿexp(t) dt.

2. On introduit la fonctionf : [0, 1]→Rdéfinie par f(t)=(1−t) exp(t). En effectuant une étude de fonction, montrer que 06^f(t)61 pour toutt∈[0, 1].

3. Montrer que pour toutn∈N^∗, on a

06^e−Sn6 ¹ n·n!. 4. En déduire que les suites (S_n) et (T_n) convergent vers e.

5. Déterminer une valeur approchée à 10⁻⁶prés du nombre e.

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Jérôme Von Buhren http://vonbuhren.free.fr

III. Conclusion

Dans cette partie, on suppose que e est un nombre rationnel. Par définition, il existe donc un couple d’entiers (p,q)∈(N^∗)²tel que e=p/q.

1. Montrer que 0<q!(e−S_q)<1 et queq!(e−S_q)∈Z. 2. Conclure que e n’est pas un nombre rationnel.

Fin

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