Les fonctions d’un groupe G vers un corps K forment une alg`ebre F(G,K) associative et commutative pour la multiplication point par point : (f g)(x) =f(x)g(x)

4. Alg`ebres de Hopf et fonctions sym´etriques

4.1. Alg`ebres de Hopf associ´ees `a un groupe. Les fonctions d’un groupe G vers un corps K forment une alg`ebre F(G,K) associative et commutative pour la multiplication point par point : (f g)(x) =f(x)g(x). Elle forment aussi une cog`ebre pour le coproduit (∆f)(x, y) =f(xy) (on identifie un produit tensoriel f ⊗g avec la fonction de deux variables f(x)g(y)). Ce coproduit est coassociatif :

(139) (∆⊗I)(f)(x, y, z) =f(xyz) = (I⊗∆)(f)

puisque la multiplication du groupe est associative. Il n’est cocommutatif que si le groupe est commutatif.

Ces op´erations sont compatibles : ∆(f g) = ∆(f)∆(g). La convolution des endo- morphismes d’une big`ebre est d´efinie par

(140) F ⋆ G(h) =m◦(F ⊗G)◦∆(h)

o`u m est la multiplication. L’unit´e de l’alg`ebre est interpr´et´ee comme un homomor- phismeu: K→ Hqui envoie 1∈Ksur 1H. Si on traduit les propri´et´es de cette unit´e sous forme de diagramme commutatif, on obtient la notion deco¨unit´e. La transpos´ee de l’unit´e est donc ma co¨uniy´e du dual. Dans le cas des alg`ebres gradu´ees dont la composante homog`ene de degr´e 0 est de dimension 1, l’application ”terme constant”

est une co¨unit´e. Si ǫ est la co¨unit´e, la composition u◦ǫ est l’´el´ement neutre de la convolution. L’inverse de l’identit´e pour la convolution (lorsqu’il existe) est appel´e antipode.

F(G,K) est donc une big`ebre. Elle poss`ede de plus un antipode :S(f)(x) =f(x⁻¹).

C’est donc une alg`ebre de Hopf.

Ces consid´erations sont valables pour les groupes finis, les groupes compacts, et les groupes de s´eries formelles que nous allons consid´erer (pour les groupes infinis en g´en´eral il peut y avoir des difficult´es techniques avec les produits tensoriels).

Lorsque cette notion a un sens, on peut se limiter aux fonctions polynomiales sur le groupe. Dans le cas des groupes de Lie, on obtient le dual de leurs alg`ebres enveloppantes.

Exercice - On prend comme groupe G le groupe additif (K,+), et on se limite aux fonctions polynomiales :H=Fpol(G,K) =K[x].

(i) Calculer le coproduit ∆(xⁿ).

(ii) Notonshϕ, fi=φ(f) l’´evaluation d’une forme lin´eaireϕ∈ H^∗sur une fonctionf. Le produit de convolution surH^∗ est d´efini par

hϕ ⋆ ψ, fi=hϕ⊗ψ,∆fi.

Soitanla base duale dexⁿ,i.e.,hap, x^qi=δpq. Calculerap⋆ aq et en d´eduire que an= _n!¹a^⋆n₁ . (iii) Montrer quea_n 7→aˆ_n = ^t_n!ⁿ est un isomorphisme d’alg`ebres H^∗ →K[[t]], et qu’une forme lin´eaireϕest envoy´ee sur

ˆ ϕ=X

n≥0

ϕn

tⁿ n!. En d´eduire que siϕ(0)6= 0,ϕest inversible pour la convolution.

(iv) Quel est l’antipode deH? (v) Le coproduit surH^∗ est d´efini par

h∆ϕ, f⊗gi=hϕ, f gi.

Calculer ∆a_n. Montrer que si ϕest un caract`ere deH i.e., un homomorphisme d’alg`ebres, ∆ϕ= ϕ⊗ϕ, et et ˆϕ=e^λt, o`uλ=ϕ(x). En d´eduire la structure du groupe des caract`eres deH.

(vi) G´en´eraliser ce qui pr´ec`ede au groupe additif deK^d.

(vii) On prend maintenant pourGle groupe multiplicatifK^×. Soitδ le coproduit correspondant.

Calculerδxⁿ.

(vi) Calculer la convolutionϕ ⋆ ψde deux formes lin´eaires.

(viii) On pose ˜ϕ=P

n≥0ϕntⁿ. Quelle est l’op´eration sur les s´eries formelles entqui correspond

`a la convolution ?

(ix) Le coproduitδa-t-il un antipode ?

4.2. Groupes de s´eries formelles. Consid´erons les deux groupes

(141) G₀(K) ={a(x) =X

n≥0

a_nxⁿ|a₀ = 1, a_i ∈K} muni du produit des s´eries et

(142) G₁(K) ={A(x) =X

n≥0

anxⁿ⁺¹|a₀= 1, ai ∈K} muni de la composition des s´eries.

D´efinissons les fonctions coordonn´ees pour les deux groupes

(143) h_n(a) =h_n(A) =a_n

Dans les deux cas, on consid`ere quehn est de poids n.

On se limitera aux fonctions polynomiales en les h_n. Pour G₀, le coproduit est donn´e par

(144) ∆₀h_n =

n

X

i=0

h_i⊗h_n−i

et pourG₁

(145) ∆1hn =

n

X

i=0

hi⊗H_n−i⁽ⁱ⁺¹⁾ o`u H_n−i⁽ⁱ⁺¹⁾ est le terme de poids n−idans (P

khk)ⁱ⁺¹.

Dans le cas de G₀, la structure obtenue est isomorphe `a l’alg`ebre de Hopf des fonctions sym´etriques. Dans le cas de G₁, elle est appel´ee alg`ebre de Fa`a di Bruno. Il est ´egalement utile de la voir comme une seconde structure de Hopf sur les fonctions sym´etriques.

4.3. L’alg`ebre de Hopf des fonctions sym´etriques. Les fonctions sym´etriques sont des ”polynˆomes” en une infinit´e de variables X = (x<sub>i</sub>)<sub>i≥1</sub>. Elles forment une alg`ebreSym(X) librement engendr´ee par les fonctions sym´etriques ´el´ementairesen = en(X), d´efinies par la s´erie g´en´eratrice

(146) E(t;X) =Y

i≥1

(1 +tx_i) =X

n≥0

e_ntⁿ

´egalement not´eeλ_t(X). Un autre syst`eme de g´en´erateurs est donn´e par les fonctions sym´etriques compl`etes hn (somme de tous le monˆomes de degr´en)

(147) H(t;X) =Y

i≥1

1 1−txi

=X

n≥0

hntⁿ

´egalement not´ee σt(X). Ces deux familles engendrent Sym_Z(X) sur les entiers (ce qui est important en th´eorie des repr´esentations ou en topologie alg´ebrique). Si on s’autorise des coefficients rationnels, les sommes de puissances

(148) pn =X

i≥1

xⁿ_i

forment ´egalement une famille de g´en´erateurs libres, ce qu’on peut voir grace aux formules de Newton

(149) H(t;X) = exp

( X

n≥1

pn(X)tⁿ n

)

=E(−t;X)⁻¹

´equivalentes `a la r´ecurrence

(150) nh_n =h_n−1p₁+h_n−2p₂+· · ·+p_n.

Exercice - D´emontrer ces identit´es.

Ainsi, les h_λ = h_λ1h_λ2· · ·h_λr, o`u λ parcourt les partitions de n, forment une base de la composante homog`enes Symn. Il en est de mˆeme pour eλ et pλ.

Une autre base naturelle est form´ee des fonctions sym´etrique monomiales (151) mλ = Σx^λ (somme des permutations distinctes du monˆome x^λ).

Exercice - Calculerh_n, e_n, p_n sur les basese, h, p, mpourn≤4. Montrer que le coefficient de m_µ dansh_λ est ´egal au nombre de matrices d’entiers ≥ 0 dont les sommes par lignes forment la partitionλet les sommes par colonnes la partitionµ.

On montre facilement l’identit´e

(152) Y

i,j≥1

1

1−x_iy_j =X

λ

m_λ(X)h_λ(Y).

Exercice - Le faire.

Le membre gauche est appel´e noyau de Cauchy. Le produit scalaire de Hall est d´efini par

(153) hmλ, hµi=δλµ.

Les bases adjointes sont alors caract´eris´ees par la propri´et´e

(154) Y

i,j≥1

1 1−xiyj

=X

λ

uλ(X)vλ(Y)⇔ huλ, vµi=δλµ. Ceci montre en particulier que la base adjointe de pµ est

(155) p^∗_µ = pµ

z_µ o`u z_µ = 1^m1m₁!2^m2m₂!· · ·n^mnm_n! pour _mu= 1^m12^m2· · ·n^mn.

Exercice - D´emontrer ces affirmations.

Les fonctions de Schur, qu’on peut d´efinir par les d´eterminants de Jacobi-Trudi

(156) sλ = det (hλi+j−i)

forment une base orthonormale.

Exercice - Calculer les fonctions de Schur pourn≤4 et v´erifier quelques produits scalaires.

La caract´eristique chρ de Frobenius d’une repr´esentation ρ du groupe sym´etrique de caract`ere χest d´efinie par

(157) χ(σ) =hch_ρ, p_µio`u µ est le type cyclique deσ.

Les fonctions de Schur sont les caract´eristiques de repr´esentations irr´eductibles. Les h_λ sont celles des repr´esentations permutationnelles : le produit scalaire hh_λ, p_µi est

´egal au nombre de mots d’´evaluationλfix´es par une permutation de type µ(donc la trace de la permutation ici).

En effet, si σ est la permutation canonique de type cyclique µ = 1^m12^m2· · · (les points fixes sont 1,2, . . . m₁, les 2-cycles sont (m₁+ 1, m₁+ 2), etc. la somme des mots w de longueurn tels que wσ=w est

(158) A_µ := (a₁+a₂+· · ·+a_n)^m1(a²₁+· · ·+a²_n)^m2· · ·(aⁿ₁ +· · ·+a_n)^mn Le nombre de mots d’´evaluationλfix´es parσ est donc ´egal au coefficient dem_λ dans l’image commutative (ai 7→ xi) de Aµ, qui est ´egale `a pµ(X). Ce nombre est donc bien ´egal au produit scalaire hh_λ, p_µi.

Les repr´esentations permutationnelles nous fournissent donc un caract`ere (non irr´eductible) pour chaque partition de n, donc autant que de classes de conjugaison, et donc autant que de caract`eres irr´eductibles. Ils sont lin´eairement ind´ependants, les caract`eres irr´eductibles en sont donc des combinaisons lin´eaires.

La th´eorie g´en´erale montre que si une fonction centrale est de carr´e scalaire 1, c’est au signe pr`es un caract`ere irr´eductible. Les fonctions de Schur sont de carr´e scalaire 1, et leur valeur sur l’identit´e pⁿ₁ sont positives, ce sont donc les caract´eristiques des repr´esentations irr´eductibles.

Le coproduit de Sym est d´efini par

(159) ∆f =f(X+Y)

o`u X+Y d´enote la r´eunion disjointe de deux alphabets identiques. On a ainsi (160) σt(X+Y) =σt(X)σt(Y), c’est `a dire ∆hn =

n

X

i=0

hi⊗hn−i.

C’est donc bien le coproduit associ´e au groupe G₀.

Exercice - Calculer les coproduits dee_n, p_n, m_µ.

On v´erifie facilement que

(161) hf g, hi=hf ⊗g,∆hi

c’est `a dire que Sym est autoduale.

Il est commode d’identifier un alphabet `a la somme formelle de ses ´el´ements. On peut ainsi d´efinir l’alphabet nX par

(162) σ_t(nX) =σ_t(X)ⁿ

o`u n n’a d’ailleurs pas besoin d’ˆetre un entier positif. On a, pour un scalaire α,

(163) p_n(αX) =αp_n(X)

Exercice - Calculerhk(nX) pourk≤k.

Montrer que le coproduit de l’alg`ebre de Fa`a di Bruno est donn´e par

∆1h_n(X) =

n

X

k=0

h_k(X)⊗h_n−k((k+ 1)X).

4.4. La s´erie de Lagrange sym´etrique. Etant donn´ee une s´erie´

(164) ϕ(x) =X

n≥0

ϕnxⁿ (ϕ₀6= 0) nous recherchons les coefficients g_n de la s´erie

(165) u(t) =X

n≥0

gntⁿ⁺¹ =tg(t) qui v´erifie

(166) t= u

ϕ(u).

On peut supposer sans perte de g´en´eralit´e queϕ0= 1 et que

(167) ϕ(u) =X

n≥0

hn(X)uⁿ = Y

n≥1

(1−uxn)⁻¹ =:σu(X)

est la s´erie g´en´eratrice des fonctions sym´etriques compl`etes d’un alphabet infiniX. En effet, les hn(X) sont alg´ebriquement ind´ependantes, et σu(X) est une s´erie formelle g´en´erique.

Avec les notations pr´ec´edentes,

(168) g_n = 1

n+ 1h_n((n+ 1)X)

Sur cette expression, il est ´evident que g_n est positive sur les fonctions h_µ, c’est donc la caract´eristique d’une repr´esentation permutationnelle du groupe sym´etrique S_n.

La preuve combinatoire vue pr´ec´edemment montre que le coefficient deh_λ dansg_n est ´egal au nombre de fonctions de parking croissantes dont l’´evaluation r´eordonn´ee forme la partitionλ. Ainsi,gn est la caract´eristique de Frobenius de la repr´esentation de S_n sur les fonctions de parking de longueur n.

Les premi`eres valeurs sont

g0= 1, g1 =h1, g2 =h2+h11, g₃=h₃+ 3h₂₁+h₁₁₁,

g₄=h₄+ 4h₃₁+ 2h₂₂+ 6h₂₁₁+h₁₁₁₁. (169)

Les 3 fonctions de parking croissantes correspondant `a h₂₁ sont 112,113,122. Plus g´en´eralement, si l’on pose

(170) g^r=X

n≥0

g_n^(r), alors

(171) g^(r)_n = r

n+rhn((n+r)X).

De mˆeme,

(172) logg= X

n≥1

1

nh_n(nX).

Soit µ= 1^a12^a2· · ·n^an. Le coefficient de hµ(X) dansg^x est

(173) Ga(x) := x

n+xmµ(n+x) =

n

Y

i=1

1

ai!·(x+n−1)_ℓ(µ)−1 o`u xest un scalaire, et a= (a₁, a₂, . . .).

Exercice - V´erifier cette expression.

Commeg^x+y =g^xg^y, on al’identit´e de convolution raffin´ee

(174) Ga(x+y) = X

b+c=a

Gb(x)Gc(y).

qui g´en´eralise l’identit´e d’Abel.

4.5. R´esolution g´en´erale des ´equations alg´ebriques de tous les degr´es. Mel- lin a obtenu au moyen de r´esultats d’analyse avanc´es (sur les s´eries hyperg´eom´etriques multivari´ees) une s´erie enx₁, . . . , xn pour lasolution principale (celle qui vaut 1 pour x₁ =· · ·=x_n = 0) de l’´equation

(175) y^p+x₁y^m1 +· · ·+xny^mn−1 = 0 (p > m₁, . . . , mp).

Suite `a une question de Louck pr´esent´ee `a un s´eminaire de Combinatoire en 1988, plusieurs preuves combinatoires en ont ´et´e produites. Nous reparlerons plus loin de celle de Strehl, qui g´en´eralise en particulier le r´esultat de Kreweras et Moszkowski pr´ec´edemment mentionn´e. Paule en a donn´e une preuve n’utilisant que l’inversion de Lagrange ordinaire. Elle n’a pas ´et´e publi´ee, mais elle ressemble probablement `a ce qui suit.

On peut r´ecrire l’´equation sous la forme

(176) y= [1−(x₁y^m1 +· · ·+x_py^mn)]^1p et en d´efinissant un alphabet virtuel Ξ par

(177) h_mi(Ξ) =−x_i, i= 1, . . . , n, h_n(Ξ) = 0 autrement, on se ram`ene `a la s´erie de Lagrange sym´etrique usuelle

(178) y =X

n≥0

h_n 1

pΞ

yⁿ

pour l’alphabet ¹_pΞ, dont la solution v´erifie (179) y^u = 1 +X

n≥1

u n+uhn

n+u p Ξ

= 1 +X

n≥1

X

α⊢n

u n+umα

n+u p

hα(Ξ).

Il suffit donc d’appliquer les d´eveloppement des fonctions monomiales d’un ´el´ement binomial

(180) Pour α= 1^a12^a2· · ·n^an, m_α(t) =

ℓ(α) a₁, . . . , a_n

t ℓ(α)

ce qui donne pour le coefficient de hα(Ξ) dans (??), sir=ℓ(α) etn=|α|

(181) 1

p^r

n

Y

i=1

1 ai!·u

r−1

Y

j=1

(u+n−jp)

et il ne reste plus qu’`a remplacer lesh_n par leur sp´ecialisation pour obtenir la formule de Mellin

(182)

y^u = 1 +uX

r≥1

(−1)^r p^r

X

a₁+a₂+···+an=r

Qr−1

j=1(u+m₁a₁+· · ·+mnan−jp)

a₁!a₂!· · ·an! x^a₁¹· · ·x^a_nⁿ On peut maintenant remplacer les entiers mi par des param`etres arbitraires.

On peut aussi arriver `a la solution en posant d(x) =y(−x)^p et v_i=m_i/p. Chu [?]

donne une interpr´etation combinatoire int´eressante des coefficients. On peut dire que le coefficient de x^a dans d compte les partitions non-crois´ees ayant ai blocs de taille v_i. Il compte ´egalement les codes polonais ne contenant que les v_i, donc des arbres n’ayant que des noeuds d’arit´esv_i, et les puissances dedcompteront les forˆets de tels arbres.