MODELISATION DES EFFORTS
Torseurs des efforts transmissibles dans les liaisons mécaniques
Chapitre 3
EXERCICES
Feuille n°5 CORRECTION
______________________________________________________________
EEXEXXEEERRRCCICIICCCEEE 111
Pour chacune des liaisons proposées entre les solides, donner son nom, son centre, son axe (s’il existe), le torseur des efforts transmissibles (mettre X , Y, Z, L, M , N) et le torseur cinématique (mettre ωx, ωy,
ωz, vx, vy, vz).
Torseurs
Symbole 3D Nom Centre Axe DDL
(barrer ceux qui sont bloqués) Statique cinématique
Pivot A x
T
XR
XT
YR
YT
ZR
Z
N Z
M Y
0 X
A
0 0
0 0
x 0
A
ω
Pivot
glissant A x
T
XR
XT
YR
YT
ZR
Z
N Z
M Y
0 0
A
0 0
0 0
vx
x
A
ω
Pivot
glissant D y
T
XR
XT
YR
YT
ZR
Z
N Z
0 0
L X
D
0 0
v 0 0
y y D
ω
Pivot
glissant E z
T
XR
XT
YR
YT
ZR
Z
0 0
M Y
L X
E
z
E z v
0 0
0 0 ω
Ponctuelle A z
T
XR
XT
YR
YT
ZR
Z
0 Z
0 0
0 0
A
0 v v
z y y
x x
A ω
ω ω
Glissière B y
T
XR
XT
YR
YT
ZR
Z
N Z
M 0
L X
B
0 0
v 0
0 0
y B
Glissière H x
T
XR
XT
YR
YT
ZR
Z
N Z
M Y
L 0
H
0 0
0 0
v
0 x
H
Appui plan J z
T
XR
XT
YR
YT
ZR
Z
0 Z
M 0
L 0
J
0 v 0
v 0
z y x
J ω
x y
z
A
x y
z
J
H
x y
z
B
x y
z y x
z
A E
x y
z
x y
z
D
x y
z
A
EEXEXXEEERRRCCICIICCCEEE 222
On donne le schéma cinématique d’un mécanisme d’un vérin de relevage de train d'atterrissage d'avion.
Il n’est pas utile de savoir comment il fonctionne ; seules les liaisons vont nous intéresser.
Chargement extérieur :
Un couple moteur est appliqué en J sur l’arbre (1) :
{ }
0 R m
J m
0 0
0 0
C 0
C
=
Le train d’atterrissage exercice en O' sur l’arbre de sortie (7) un effort :
{ }
0 7 R T 7
T 7 T
' O 7 T
N 0
0 Y
0 X
F
=
→
→
→
→
Seul le poids propre de (4) est considéré :
{ }
0 R 4
G 4
0 0
0 g
m
0 0
P
4
⋅
−
=
______________________________________________________________
Sur feuille de copie :
a) Faire le graphe des liaisons.
Utiliser les numéros de classes d’équivalence mis sur le schéma (de 0 à 7).
Nommer « Lij » la liaison entre les classes i et j.
Faire apparaître le chargement extérieur sur le graphe des liaisons.
b) Pour chaque liaisons, donner son nom, son centre, son axe s’il existe.
L01 = PIVOT d’axe (F, X0)
L12 = HELICOIDALE d’axe (D, X0) L23 = ROTULE de centre C
L34 = PIVOT GLISSANT d’axe (C, X2) L45 = PIVOT GLISSANT d’axe (G, X2) L56 = PIVOT d’axe (A, Z0)
L06 = PIVOT d’axe (O, Z0) L02 = GLISSIERE d’axe (E, X0) L07 = PIVOT d’axe (O’, Z0) L74 = PIVOT d’axe (B, Z0)
Pour la suite, il est indispensable de préciser les repères dans lesquels sont écrits les torseurs.
On utilisera systématiquement le repère local de la liaison.
c) Isoler chaque système et faire le BAME sous forme torsorielle :
{S1} = {6}, {S2} = {5}, {S3} = {5 + 6}, {S4} = {3}, {S5} = {4}, {S6} = {3 + 4}, {S7} = {3 + 4 + 5 + 6}, {S8} = {1}.
On isole le système
{S1} = {6}
.Le système isolé est soumis à 2 efforts, un en O et un en A :
Effort de (0) sur (6) au point O avec la PIVOT d’axe (O, Z0) :
{ }
(( )) (( ))(0 6) R0
O
6 0 O 6
0 O
6 0 O 6
0 O
O 6 0
0 Z
M Y
L X
O
=
→
→
→
→
→
→
Effort de (5) sur (6) au point A avec la PIVOT d’axe (A, Z0) :
{ }
(( )) (( ))(5 6) R0
A
6 5 A 6
5 A
6 5 A 6
5 A
A 6 5
0 Z
M Y
L X
A
=
→
→
→
→
→
→
______________________________________________________________
On isole le système
{S2} = {5}
.Le système isolé est soumis à 2 efforts, un en O et un en A :
Effort de (6) sur (5) au point A avec la PIVOT d’axe (A, Z0) :
{ }
(( )) (( ))(6 5) R0
A
5 6 A 5
6 A
5 6 A 5
6 A
A 5 6
0 Z
M Y
L X
A
=
→
→
→
→
→
→
Effort de (4) sur (5) au point G avec la PIVOT GLISSANT d’axe (G, X2) :
{ }
( ) ( )(4 5) G(4 5) R2
G
5 4 G 5
4 G G 5 4
N Z
M Y
0 0
G
=
→
→
→
→
→
On isole le système
{S3} = {5 + 6}
.Le système isolé est soumis à 2 efforts, un en O et un en A :
Effort de (0) sur (6) au point O avec la PIVOT d’axe (O, Z0) :
{ }
(( )) (( ))(0 6) R0
O
6 0 O 6
0 O
6 0 O 6
0 O
O 6 0
0 Z
M Y
L X
O
=
→
→
→
→
→
→
Effort de (4) sur (5) au point G avec la PIVOT GLISSANT d’axe (G, X2) :
{ }
( ) ( )(4 5) G(4 5) R2
G
5 4 G 5
4 G G 5 4
N Z
M Y
0 0
G
=
→
→
→
→
→
On isole le système
{S4} = {3}
.Le système isolé est soumis à 2 efforts en C :
Effort de (2) sur (3) au point C avec la ROTULE de centre C :
{ }
(( ))(2 3) R0
C 3 2 C
3 2 C
C 3 2
0 Z
0 Y
0 X
C
=
→
→
→
→
Effort de (4) sur (3) au point C avec la PIVOT GLISSANT d’axe (C, X2) :
{ }
( ) ( )(4 3) C(4 3) R2
C
3 4 C 3
4 C C 3 4
N Z
M Y
0 0
C
=
→
→
→
→
→
On isole le système
{S
5} = {4}
. Le système isolé est soumis à 4 efforts : Poids propre :
{ }
0 R 4
G 4
0 0
0 g
m
0 0
P
4
⋅
−
=
Effort de (5) sur (4) au point G avec la PIVOT GLISSANT d’axe (G, X2) :
{ }
( ) ( )(5 4) G(5 4) R2
G
4 5 G 4
5 G G 4 5
N Z
M Y
0 0
G
=
→
→
→
→
→
Effort de (7) sur (4) au point B avec la PIVOT d’axe (B, Z0) :
{ }
(( )) (( ))(7 4) R0
B
4 7 B 4
7 B
4 7 B 4
7 B
B 4 7
0 Z
M Y
L X
B
=
→
→
→
→
→
→
Effort de (3) sur (4) au point C avec la PIVOT GLISSANT d’axe (C, X2) :
{ }
( ) ( )(3 4) C(3 4) R2
C
4 3 C 4
3 C G 4 3
N Z
M Y
0 0
C
=
→
→
→
→
→
______________________________________________________________
On isole le système
{S6} = {3 + 4}
. Le système isolé est soumis à 4 efforts : Poids propre :
{ }
0 R 4
G 4
0 0
0 g
m
0 0
P
4
⋅
−
=
Effort de (5) sur (4) au point G avec la PIVOT GLISSANT d’axe (G, X2) :
{ }
( ) ( )(5 4) G(5 4) R2
G
4 5 G 4
5 G G 4 5
N Z
M Y
0 0
G
=
→
→
→
→
→
Effort de (7) sur (4) au point B avec la PIVOT d’axe (B, Z0) :
{ }
(( )) (( ))(7 4) R0
B
4 7 B 4
7 B
4 7 B 4
7 B
B 4 7
0 Z
M Y
L X
B
=
→
→
→
→
→
→
Effort de (2) sur (3) au point C avec la ROTULE de centre C :
{ }
(( ))(2 3) R0
C 3 2 C
3 2 C
C 3 2
0 Z
0 Y
0 X
C
=
→
→
→
→
On isole le système
{S7} = {3 + 4 + 5 + 6}
. Le système isolé est soumis à 4 efforts : Poids propre :
{ }
0 R 4
G 4
0 0
0 g
m
0 0
P
4
⋅
−
=
Les efforts entre (3) et (4) existent.
On a
{ C
3→4}
et{ C
4→3}
Mais ils sont intérieurs au système isolé.
Ils se compensent mutuellement et donc on les ignore.
Effort de (0) sur (6) au point O avec la PIVOT d’axe (O, Z0) :
{ }
(( )) (( ))(0 6) R0
O
6 0 O 6
0 O
6 0 O 6
0 O
O 6 0
0 Z
M Y
L X
O
=
→
→
→
→
→
→
Effort de (7) sur (4) au point B avec la PIVOT d’axe (B, Z0) :
{ }
(( )) (( ))(7 4) R0
B
4 7 B 4
7 B
4 7 B 4
7 B
B 4 7
0 Z
M Y
L X
B
=
→
→
→
→
→
→
Effort de (2) sur (3) au point C avec la ROTULE de centre C :
{ }
(( ))(2 3) R0
C 3 2 C
3 2 C
C 3 2
0 Z
0 Y
0 X
C
=
→
→
→
→
On isole le système
{S8} = {1}
.Le système isolé est soumis à 3 efforts :
Couple moteur de (0) sur (1) au point J :
{ }
0 R m
J m
0 0
0 0
C 0
C
=
Effort de (0) sur (1) au point F avec la PIVOT d’axe (F, X0) :
{ }
(( )) ( )(0 1) F(0 1) R0
F
1 0 F 1
0 F
1 0 F
F 1 0
N Z
M Y
0 X
F
=
→
→
→
→
→
→
Effort de (2) sur (1) au point F avec l’HELICOIDALE d’axe (D, X0) :
{ }
(( )) (( ))(2 1) D(2 1) R0
D
1 2 D 1
2 D
1 2 D 1
2 D
D 1 2
N Z
M Y
L X
D
=
→
→
→
→
→
→
→ avec
