Lycée Paul Rey Denis Augier
Ex 112 et 113 page 344
Ex 113 page 344
On considère les droites pABq et pA1B1q n’ont coplanaires. ∆ leur perpendiculaire commune. H et H1 l’intersection de ∆ respectivement avec pABqetpA1B1q. Soient M etM1 deux points respectivement sur pABq et pA1B1q.
On note P et P1 les plans orthogonales à ∆ passant respectivement par H et H1. Ces deux plans sont donc parallèles et contiennent respectivement M etM1. Si l’on noteN le projeté de M sur P1, on obtient :
M M12 “ pÝÝÑM N `ÝÝÝÑ
N M1q2 “M N12 `2ÝÝÑM N ¨ÝÝÝÑ N M1 looooomooooon
0
`N1M12 ěM N2 “H H12
L’égalitéH H1 “M N vient du fait que les droites pM Nqet pH H1q sont coplanaires car parallèles et que dans ce plan M N H1H est un rectangle.
On a donc montrer que la plus courte distance entre deux points respectivement de pABq et pA1B1q est la distance H H1. C’est ce que l’on définie comme étant la distance entre deux droites.
Ex 112 page 344 Question 3, 4 et 5.
3.a. On a pABq K pCDq et pBEq K pCDq donc pABEq K pCDq. Comme pAA1q Ă pABEq, on a pAA1q etpCDq sont orthogonales orpAA1q K pBEqdonc pAA1q K pBCDq.
3.b. D’après la question précédente pAA1q et pBDq. Par ailleurs les côtés opposés sont orthogonaux donc pACq et pBDq sont orthogonales. AinsipAA1Cq K pBDq. Donc pCHq etpBDq orthogonales.
Maintenant comme H est l’orthocentre de pABEq, on a pEHq hauteur et donc pEHq et pABq orthogonales.
Donc pEHq etpABq orthogonales et pABq et pCDq orthogonales donc pH CDq K pABq donc pCHq etpABq sont orthogonales.
Donc pCHq K pABDq. DoncpCHq est la hauteur issue de C. De même on montre quepDHq est la hauteur issue de D. On a montrer plus haut que pAHq “ pAA1qest la hauteur issue de A.
Comme ces trois hauteur se coupent en H la quatrième passe aussi par H. 4. et 5. voir corrigé du livre.
Donc les
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