Chapitre 1
Nombres relatifs
Objectifs :
• Savoir comparer deux nombres relatifs
• Savoir repérer un point dans le plan
• Connaître la règle des signes pour les nombres relatifs
• Savoir additionner, soustraire, multiplier et diviser des nombres relatifs
• Savoir placer un nombre sur une droite graduée
I. Repérage sur une droite graduée Définition :
On appelle droite graduée une droite sur laquelle on fixe :
• Un point appelé origine de la droite graduée
• Un sens
• Une unité de longueur que l'on reporte régulièrement à partir de l'origine.
Chaque point est repéré par un nombre relatif unique appelé l'abscisse du point.
Exemple :
Le point B a pour abscisse - 2,5. Le point C a pour abscisse 2,5 et l’abscisse du point A est 4. On note aussi A ( 4 ).
Place le point D d'abscisse - 5 sur la droite graduée.
Exercices d’application :
Donne les abscisses des points suivants :
Exercices d’application :
Place les points d’abscisses données sur l’axe.
II. Comparaison de nombres relatifs
Exercice d’introduction :
Règle 1 :
Tout nombre négatif est inférieur à tout nombre positif ( sauf 0 qui est à la fois positif et négatif).
Exemple :
( - 5 ) < ( + 10 )
car ( - 5 ) est négatif alors que ( + 10 ) est positif
Règle 2 :
Si deux nombres sont positifs, alors le plus petit est celui qui est le plus petit sans les signes.
Exemple :
( + 6 ) < ( + 8 )
car 6 est bien plus petit que 8
Règle 3 :
Si deux nombres sont négatifs, alors le plus petit est celui qui est le plus grand sans les signes.
Exemple :
- 15 < - 10
car 10 est bien plus petit que 15 ou alors
« Il fait plus froid à – 15° qu’à – 10°. »
Exercices d’application :
Recopie et compare les nombres suivants :
III. Repérage dans le plan
Définition :
Deux droites graduées, de même origine et perpendiculaires forment un repère orthogonal du plan.
La droite horizontale est appelée l'axe des abscisses. La droite verticale est appelée l'axe des ordonnées.
Remarque :
Dans un repère du plan, chaque point peut-être repéré par deux nombres relatifs appelés les coordonnées du point. Le premier nombre cité est toujours l'abscisse du point et le second est l'ordonnée.
Exemple : Dans ce repère orthogonal :
A a pour abscisse 4 et ordonnée 2 A ( + 4 ; + 2 )
B a pour abscisse -3,5 et ordonnée 0 B ( - 3,5 ; 0 )
C a pour abscisse 2 et ordonnée -3 C ( 2 ; - 3 )
D a pour abscisse -3 et ordonnée 1 D ( - 3 ; 1 )
IV. Addition de nombres relatifs
Propriété :
Pour additionner deux nombres de même signe,
• on écrit le signe commun aux deux nombres
• on écrit la somme des nombres sans les signes.
Exemples :
( + 3 ) + ( + 7 ) = + ( 3 + 7 ) = + 10 ( - 4 ) + ( - 7 ) = - ( 4 + 7 )= - 11
Propriété :
Pour additionner deux nombres de signes contraires :
• on écrit le signe du nombre qui a la plus grande valeur sans le signe.
• on écrit la différence entre le nombre le plus grand et le nombre le plus petit sans les signes
Exemples :
( + 2 ) + ( - 3 ) = - ( 3 – 2 ) = - 1 ( + 8 ) + ( - 6 ) = + ( 8 – 6 ) = + 2 ( - 4 ) + ( + 12 ) = + ( 12 – 4) = + 8 ( - 15 ) + ( + 8 ) = - ( 15 – 8 ) = - 7
V. Soustraction de nombres relatifs
Propriété :
Soustraire un nombre relatif revient à ajouter son opposé.
Exemples :
( - 5 ) - ( + 20 ) = ( - 5 ) + ( - 20 ) = - 25 Soustraire ( + 20 ), c'est ajouter ( - 20 ).
( - 3 ) - ( - 18 ) = ( - 5 ) + ( + 18 ) = + 15 Soustraire ( - 18 ), c'est ajouter ( + 18 ).
IV. Multiplication de nombres relatifs
Propriété : (Règle des signes)
Le produit de deux nombres relatifs de même signe est positif.
Le produit de deux nombres relatifs de signes contraires est négatif.
Méthode :
Pour multiplier deux nombres relatifs :
• On applique la règle des signes
• Et on multiplie les nombres sans leur signe
Exemples :
( - 5 ) x ( - 3 ) = + ( 5 x 3 ) = 15 ( - 6 ) x ( + 2 ) = - ( 6 x 2 ) = - 12
Écritures simplifiées :
• ( - 3 ) x 4 peut s'écrire – 3 x 4
• On ne peut pas écrire 2 signes consécutivement, donc on utilise des parenthèses.
On n'écrit pas 3 x – 4 mais 3 x ( - 4 )
• On peut supprimer le signe multiplier devant une parenthèses.
( - 5 ) ( - 2 ) = 10
Propriété :
Un produit de nombres relatifs ne dépend pas de l'ordre des calculs.
Exemples :
( - 9 ) ( - 2 ) ( - 3 ) = 18 ( - 3 ) = - 54 ( - 9 ) ( - 2 ) ( - 3 ) = ( - 9 ) x 6 = - 54
Propriété : (Règle des signes)
Un produit de nombres relatifs non nuls est :
• positif si le nombre de facteurs négatifs est pair .
• négatif si le nombre de facteurs négatifs est impair .
Exemples :
( - 2 ) x 3 x ( - 5 ) = + ( 2 x 3 x 5 ) = 30 ( - 3 ) x ( - 4 ) x ( - 5 ) = - ( 3 x 4 x 5 ) = - 60
V. Division de nombres relatifs
Propriété :
Pour calculer le quotient de deux nombres relatifs, on applique la même règle des signes que pour la multiplication et on effectue la division.
Exemples :
= 7 ; = - 12,5 ; = - 5 ; ≈ 0,3333.
VI. Organisation d’un programme de calcul
Dans une succession d'opérations sur les nombres relatifs, on effectue d'abord les calculs entre parenthèses, puis les multiplications et les divisions, enfin les additions et les soustractions.
Lorsqu'il y a égalité de priorité, on effectue les calculs de la gauche vers la droite.
Exemple :
A = 7 - ( 3 – 5 ) x 4 = 7 - ( - 2 ) x 4 = 7 - ( - 8 ) = 7 + 8 = 15
