TD sur: Statistique inf´ erentielle
Exercices ` a chercher
. Exercice 1 :
Pour ´evaluer rapidement les r´esultats obtenus par ses 200 ´el`eves, un professeur d´ecide de corriger quelques copies tir´ees au hasard. Il admet que les notes suivent une loi normale de variance 4.
1. Le professeur corrige un ´echantillon de 32 copies et trouve une moyenne de 11. Quel est l’intervalle de confiance `a 95% de la moyenne des 200 copies ?
2. Combien de copies le professeur doit-il corriger s’il veut situer la moyenne dans un intervalle de confiance d’amplitude 2 avec un risque 5% ?
. Exercice 2 :
Contrairement aux id´ees re¸cues, l’´epinard n’est pas l’aliment le plus riche en fer. La lentille, par exemple, en apporte davantage. Pour v´erifier ces propos, on a proc´ed´e `a des analyses de fer sur10
´echantillons d’´epinard et 10 ´echantillons de lentilles. Les r´esultats (teneur en fer en mg pour 100g de produit frais) sont indiqu´es dans le tableau suivant :
Echantillon´ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Epinard´ 2.64 2.75 2.82 2.72 2.66 2.59 2.83 2.7 2.67 2.62 Lentille 9.02 9.08 8.82 8.94 8.95 9.11 9.14 9.02 9.04 8.85
1. Calculer la teneur moyenne en fer, la valeur m´ediane et l’´ecart-type pour les ´epinards et les lentilles.
2. D´eterminer un intervalle de confiance de `a 95% pour la moyenne pour les ´epinards et les lentilles.
3. R´ealiser un graphique qui permet d’illustrer le propos initial.
Exercices ` a faire pendant la classe
- Exercice 3 :
On souhaite comparer les tailles d’une mˆeme type de plants de tomates effectu´es sur des sols de diff´erentes natures.
On d´esigne par A, B, C, D les populations constitu´ees par les plants sur le sol de type respectifs 1,2,3,4. Elles sont constitu´ees chacune de plus de 10 000 plants. Pour tout entier naturel non nul i, on noteXi la variable statistique :taille de l’individu (en mm) i `a 5 mois apr`es plantation.
1. Les donn´ees sur la populationAsont d´ej`a connues. On sait que la moyenne et l’´ecart type de XA (pour toute la population A) sont : µA = 570 et σA= 152. On mesure au hasard dans A un ´echantillon de 250 individus et on note M la moyenne de cette ´echantillon.
(a) Donner un intervalle de confiance deM de niveau de confiance 0,95.
(b) Quelle devrait ˆetre la taille minimale de l’´echantillon `a consid´erer pour que M soit une estimation de µA `a 10mm pr`es pr`es avec une confiance de 0,99 ?
2. Dans la populationB, la taille moyenne empirique d’un´echantillon EB de 250 individus est mB = 555.Peut-on dire a priori qu’il y a une diff´erence significative entre les tailles moyennes des deux cat´egoriesA et B?
3. La taille moyenne µC dans la population C n’est pas connue. Pour l’estimer, on a choisi au hasard un ´echantillonEC. Le tableau suivant repr´esente la distibution statistique surEC de la taille en mm.
x 100−300 300−400 400−500 500−600 600−700 700−900
ni 10 19 30 38 31 22
Donner une estimation de la taille moyenne µC de la population C avec la confiance 0,95%
et dire si on peut dire, avec une confiance de 95% s’il y a une diff´erence significative de taille entre les populations A etC.
4. Concernant le population D, quelqu’un de bien intentionn´e avait d´ej`a fait les caluls avant nous. La personne en question a obtenu une moyenne mD = 507, un ´ecart-type sD = 170 et un intervalle de confiance `a 95% de la moyenne th´eorique µD : ID = [480,534]. Peut-on affirmer qu’il y a une diff´erence de taille moyenne entre les populations C etD?
