d sont bien d´efinies et continues sur O (c.`a.d., ∂x∂fj k ∈C(O

Universit´e Bordeaux I 2009-2010

Analyse 2 (MHT 302)

Compl´ements du cours N. 1 : le crit`ere de la diff´erentiabilit´e d’une application

Par d´efaut, l’espace en question est R^d muni de la norme euclidienne.

Soit (e_k)_k=1,...,d ((e⁰_j)_j=1,...,d1) une base orthonormale de R^d (R^d1) fix´ee.

Th´eor`eme 1 Soit O ⊂ R^d un ouvert et f : O → R^d1 une applica- tion. Alors f est de la classe C¹ sur O (f ∈ C¹(O,R^d1)) ssi toutes les d´eriv´ees partielles

∂f_j

∂x_k, j = 1, . . . , d1, k = 1, . . . , d sont bien d´efinies et continues sur O (c.`a.d., _∂x^∂fj

k ∈C(O)).

D´emonstration. Pour simplifier, soit d₁ = 1. Rappelons que pour A∈ L(R^d,R)

||A||_o = sup

x∈R^d,||x||61

|Ax|,

et, en particulier, |Ax|6||A||_o||x||.

”⇒” (la direction facile). Commef ∈C¹(O,R), nous avons que f est diff´erentiable surO, et les r´esultats du cours impliquent que _∂x^∂f

k

existent pour tous k. La continuit´e de _∂x^∂f

k (∀k) est la seule chose `a v´erifier. En effet, pour x, y ∈O on a

∂f

∂x_k(x)− ∂f

∂x_k(y)

= |(f⁰(x)−f⁰(y))ek|

6 ||f⁰(x)−f⁰(y)||o →0 (x→y).

” ⇐ ”. Soit x ∈ O et h ∈ B(0, ε) tel que x+ε ∈ B(x, ε) ⊂ O.

Posons

x⁰ =x, x^k =x⁰+

k

X

i=1

h_ie_i,

1

o`u h = (h₁, . . . , h_d)^t. On d´efinit A(x)h =

d

X

k=1

∂f

∂x_k (x)h_k; le but est de montrer que A(x) = f⁰(x). Nous avons

f(x+h)−f(x) =

d

X

k=1

(f(x_k)−f(xk−1)) =

d

X

k=1

(f(xk−1+h_ke_k)−f(xk−1))

=

d

X

k=1

hk

Z 1

0

∂f

∂x_k(xk−1+t·hkek)dt,

o`u nous venons d’utiliser la formule de Leibniz (i.e., la formule fon- damentale du calcul int´egral) en R¹. Donc

f(x+h)−f(x)−A(x)h =

d

X

k=1

h_k Z 1

0

∂f

∂x_k(xk−1+t·h_ke_k)− ∂f

∂x_k(x)

dt.

Notons l’expression `a droite par εx(h) ; chaque int´egrale sous la

somme est not´ee parB_k. Nous voulons d´emontrer que lim_h→0||ε_x(h)||₁/||h||= 0. Alors, par Cauchy-Schwarz :

|ε_x(h)|=

d

X

k=1

h_kB_k

6

d

X

k=1

B_k²

!^1/2 _d X

k=1

h²_k

!^1/2

6

d

X

k=1

r∈[0,hmax_k]

∂f

∂x_k(xk−1+re_k)− ∂f

∂x_k(x)

2!^1/2

· ||h||

6

d

X

k=1

max

y∈B(x,ε)

∂f

∂x_k(y)− ∂f

∂x_k(x)

2!1/2

· ||h||

=: α(h)· ||h||,

et ´evidemment α(h) → 0 par la continuit´e de _∂x^∂f

k (c’est une racine d’une somme o`u chaque terme va vers 0) quand 06 ||h|| < ε →0.

Q.E.D.

Corollaire 1 Si toutes les d´eriv´ees partielles _∂x^∂fj

k(j = 1, . . . , d₁, k= 1, . . . , d) sont bien d´efinies et continues sur O, on a f ∈D(O,R^d1).

D´emonstration est ´evidente, carf ∈C¹(O,R^d1)⇒f ∈D(O,R^d1).

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