À rendre le 14 septembre 2020

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À rendre le 14 septembre 2020

PARTIE I : Étude d’une fonction définie par la somme d’une série

On s’intéresse dans cette partie, pour toutx∈R, à la série X

n∈N^∗

(−1)ⁿ⁺¹ n^x .

1. Justifier que, pour tout x∈R⁻, la série X

n∈N^∗

(−1)ⁿ⁺¹

n^x diverge.

2. Soitx∈R^+∗.On note, pour toutn∈N^∗, u_n=

n

X

k=1

(−1)^k+1 k^x .

a. Montrer que les suites (u2p)p∈N^∗ et (u2p−1)p∈N^∗ sont adjacentes, puis en déduire qu’elles convergent vers une même limite notéeS(x).

b. En déduire : ∀ε >0, ∃n0∈N^∗\ ∀n>n0, |un−S(x)|6ε.

c. Justifier alors que la série X

n∈N^∗

(−1)ⁿ⁺¹

n^x converge et que l’on a :S(x) =

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹ n^x . d. Justifier : ∀p∈N^∗, u2p6S(x)6u2p+16u_2p−1.

e. En déduire : ∀n∈N^∗, |S(x)−un|6 1 (n+ 1)^x.

On pourra séparer les casnpair etnimpair.

f. En déduire une fonction Scilab qui, étant donnés deux réelsx >0etε >0,renvoie une valeur approchée deS(x)àεprès.

3. Soient x∈R^+∗ et p∈N^∗.Montrer :

2p

X

k=1

(−1)^k+1

k^x =

p

X

k=1

1

(2k−1)^x − 1 2^x

p

X

k=1

1

k^x  puis :

2p

X

k=1

(−1)^k+1

k^x =

2p

X

k=1

1 k^x− 1

2^x−1

p

X

k=1

1 k^x.

4. On pose, pour toutn∈N^∗, vn=

2n

X

k=1

(−1)^k+1

k .

a. Soitn∈N^∗.Montrer, en utilisant la question3. : vn=

2n

X

k=n+1

1 k = 1

n

n

X

k=1

1 1 + ^k_n. b. En déduire la convergence et la limite de la suite(v_n)_n∈N∗, puis la valeur deS(1).

5. On admet que

+∞

X

n=1

1 n² = π²

6 .Déterminer la valeur deS(2).

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PARTIE II (pour les 5/2) : Étude d’une fonction définie par une intégrale On rappelle que la fonctionΓest définie sur]0; +∞[par : ∀x∈]0; +∞[, Γ(x) =

Z +∞

0

t^x−1e^−tdt.

On rappelle également l’égalité suivante : ∀n∈N^∗, Γ(n) = (n−1)!.

6. Soitx∈R.Montrer que l’intégraleZ +∞

0

t^x

1 +e^tdt converge si et seulement six >−1.

On pose, pour tout réelxde]−1; +∞[, I(x) = Z +∞

0

t^x 1 +e^tdt.

7. Soitx∈]−1; +∞[.On définit la fonctiongx:]0; +∞[, t7→ t^x 1 +e^t.

a. Montrer : ∀n∈N^∗, ∀t∈R^+∗, gx(t) = (−1)ⁿgx(t)e^−nt+

n

X

k=1

(−1)^k+1t^xe^−kt.

b. Justifier, pour toutk∈N^∗,que l’intégraleZ +∞

0

t^xe^−ktdtconverge et que l’on a :

Z +∞

0

t^xe^−ktdt= 1

k^x+1Γ(x+ 1).

c. Montrer que, pour tout n ∈N^∗, l’intégrale Z +∞

0

gx(t)e^−ntdt converge, puis que la limite de Z +∞

0

g_x(t)e^−ntdt, lorsque l’entierntend vers+∞, est égale à 0.

d. En déduire la relation : I(x) =S(x+ 1)Γ(x+ 1), où la fonctionS a été définie dans la partieI.

8. En utilisant la partieI., déterminer la valeur deI(1).

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