Sur un site internet, on peut consulter le tableau suivant :
Indicateur des taux fixes pour un prêt immobilier 15 ans 20 ans 25 ans Taux A 3,65 % 3,70 % 3,85 % Taux B 3,85 % 3,90 % 4,05 % Taux C 4 % 4,05 % 4,20 %
On rappelle que le montant a, en euros, de chacune des n annuités dans le cas d'un emprunt à annuités constantes de E euros, avec un intérêt de i est :
a = E × n
) i 1 ( 1
i −
+
−
Monsieur Durand et monsieur Feux souhaitent emprunter 150 000 euros pour acheter un appartement.
1. a. Monsieur Durand choisit le taux A sur 15 ans.
Donc E = 150 000 , i = 3,65 % = 0,0365 et n = 15.
Le montant de l'annuité est a = 150 000 × 15 ) 0365 , 0 1 ( 1
0365 , 0 + −
− = 13 163,08 euros.
Le montant de la mensualité est a
12 = 1 096,92 euros.
Le coût total du crédit est de 15 a = 197 446,20 euros.
b. Monsieur Feux choisit le taux B sur 20 ans, Donc E = 150 000 , i = 3,90 % = 0,039 et n = 20.
Le montant de l'annuité est a = 150 000 × 20 ) 039 , 0 1 ( 1
039 ,
0 −
+
− = 10 939,75 euros.
Le montant de la mensualité est a
12 = 911,65 euros.
Le coût total du crédit est de 20 a = 218 795 euros.
2. Monsieur Durand gagne 3 400 euros par mois et monsieur Feux gagne 3 100 euros par mois.
La banque refuse le dossier si la mensualité dépasse 30 % du salaire mensuel.
a. 30 % du salaire mensuel de monsieur Durand représente 30
100 × 3400 = 1 020 euros.
Or 1 020 < 1 096,92. Donc le dossier de monsieur Durand sera refusé.
30 % du salaire mensuel de monsieur Feux représente 30
100 × 3100 = 930 euros.
Or 930 > 911,65. Donc le dossier de monsieur Feux sera accepté.
b. Pour que son dossier soit accepté par la banque, monsieur Durand doit donc augmenter la durée de l'emprunt. Pour un emprunt sur 20 ans avec le taux A, on a
E = 150 000 , i = 3,7 % = 0,037 et n = 20.
Le montant de l'annuité est a = 150 000 × 20 ) 037 , 0 1 ( 1
037 ,
0 −
+
− = 10 746,06 euros.
Le montant de la mensualité est a
12 = 895,51 euros.
Or 895,51 < 1 020. Donc le dossier sera accepté.
E2 ( 5 points ).
Le tableau suivant donne la répartition des internautes par continent pour les années 2001, 2002, 2003 et 2004 en millions d'individus.
Il est incomplet. Pour le remplir, il faut utiliser les réponses aux différentes questions.
Zone 2001 2002 2003 2004 Taux moyen annuel Estimation 2005
Amérique du Nord 166,7 182,6 196 243 13 % 274,6
Amérique latine 24,8 33,3 40,6 47,3 24 % 58,7
Afrique / Moyen Orient 8,4 11,4 21,3 31,2 55 % 48,4
Asie du pacifique 125,9 187,2 298 375,5 44 % 540,7
Europe 143,3 190,9 221,1 252,5 21 % 305,5
1. Le taux d'évolution en Asie du pacifique entre 2003 et 2004 vaut 26 %.
Calculer le nombre d'internautes en Asie du pacifique en 2004 signifie appliquer la formule 298 × ( 1 + 26 % ) = 298 × 1,26 = 375,48.
Le nombre d'internautes en Asie du Pacifique en 2004 est d'environ 375,5 millions.
2. En prenant pour base 100, le nombre d'internautes en Europe en 2001, on obtient un indice 133,2 pour l'année 2002.
Tableau de proportionnalité
2001 2002 indices 100 133,2 nombres 143,3 x
Calculer le nombre d'internautes, à 10-1 près, en Europe en 2002 cela signifie rechercher x tel que x = 143,3 × 133,2 × 1
100 ≈ 190,87.
Le nombre d'internautes en Europe en 2002 est proche de 190,9 millions.
3. Pour l'Amérique du Nord le taux t annuel moyen entre 2001 et 2004 vérifie : 166,7 × ( 1 + t )3 = 243
⇔ ( 1 + t )3 = 2430
1667 ⇔ 1 + t = 3
1
7 , 166
243
⇔ t = 3
1
7 , 166
243
− 1 ≈ 0,13385 = 13 %
Pour l'Afrique / Moyen Orient, le taux annuel moyen t entre 2001 et 2004 vérifie 8,4 × ( 1 + t )3 = 31,2
⇔ ( 1 + t )3 = 312
84 ⇔ 1 + t =
( )
31284 31 ⇔ t =( )
31284 31 − 1 ≈ 0,54866 = 55 % Classement des cinq zones par ordre croissant de taux moyens annuels d'évolution.Amérique du Nord ( 13 % ) / Europe ( 21 % ) / Amérique latine ( 24 % ) / Asie du Pacifique ( 44 % ) / Afrique Moyen Orient ( 55 % ).
4. Un organisme utilise le taux moyen annuel pour estimer le nombre d'internautes dans les cinq zones en 2005.
Calculons ces cinq prévisions.
Pour l'Amérique du Nord 243 × ( 1 + 13 % ) ≈ 274,6 Pour l'Amérique latine 47,3 × ( 1 + 24 % ) ≈ 58,7 Pour l'Afrique Moyen Orient 31,2 × ( 1 + 55 % ) ≈ 48,4 Pour l'Asie du Pacifique 375,5 × ( 1 + 44 % ) ≈ 540,7 Pour l'Europe 252,5 × ( 1 + 21 % ) ≈ 305,5
La méthode choisie est approximative car le taux est un taux moyen sur 3 ans et ne reflète pas le taux d'évolution entre 2004 et 2005.
Un nouveau logiciel permet de filtrer les messages sur une messagerie électronique.
Les concepteurs l'ont testé pour 1 000 messages et voici leurs conclusions : 70 % des messages entrants sont indésirables ;
95 % des messages indésirables sont éliminés ; 2 % des messages bienvenus sont éliminés.
On note B, l'événement : " le message est bienvenu ".
On note I, l'événement : " le message est indésirable ".
On note E, le message : " l'événement est éliminé ".
On note C, l'événement : " le message est conservé ".
1. Complétons le tableau suivant :
Nombre de messages indésirables
Nombre de messages
de bienvenue Total
Nombre de messages
éliminés 95 % × 700 = 665 2 % × 300 = 6 665 + 6 = 671 Nombre de messages
conservés 700 − 665 = 35 300 − 6 = 294 294 + 35 = 329 Total 70 % × 1 000 = 700 1 000 − 700 = 300 1 000
2. Un message est envoyé ; utiliser le tableau précédent pour calculer les probabilités demandés ci-dessous Les résultats seront donnés à 10-3 près.
a. Il y a 294 messages bienvenus sur 329 messages conservés. Donc PC ( B ) = 294
329 ≈ 0,894.
Il y a 665 messages éliminés sur 700 messages indésirables. Donc PI ( E ) = 665 700 = 0,950.
b. Il y a 6 messages de bienvenus qui sont éliminés sur un total de 1 000 messages.
Donc P ( B ∩ E ) = 6
1000 = 0,006.
Il y a 665 messages indésirables qui sont éliminés sur un total de 1 000 messages.
Donc P ( E ∩ I ) = 665
1000 = 0,665.
c. Il y a 665 messages indésirables sur 671 messages éliminés.
Donc PE ( I ) = 665
671 ≈ 0,991.
Donc la probabilité pour que le message soit indésirable sachant qu'il est éliminé est de 0,991.
d. Il y a 35 messages qui sont conservés et indésirables.
Donc P ( C ∩ I ) = 35
1000 = 0,035.
Donc la probabilité pour que le message soit conservé et indésirable est égale à 0,035.
E4 ( 7 points ).
Monsieur Durand dirige une entreprise familiale qui fabrique des montres de luxe depuis cinquante ans.
Il part à la retraite et confie l'entreprise à son fils Vincent.
Dès la première semaine, Vincent demande à un collaborateur un compte rendu de l'activité journalière de l'usine ; celui-ci lui remet le document 1.
Partie 1 : En lisant graphiquement les deux courbes du document 1, répondre aux questions suivantes : 1. Le nombre maximum de montres produites en une journée est égal à 10.
2. Le coût de production de 6 montres est égal à 6 000 €.
Le coût de production de 8 montres est égal à 6 500 €.
3. Pour obtenir une recette de 6 000 euros, il faut vendre 6 montres.
4. Pour que le bénéfice soit strictement positif, il faut que la courbe représentant les recettes soit strictement au dessus de celle représentant le coût de production.
Donc il faut vendre 7, 8, 9 ou 10 montres par jour pour que l'usine fasse un bénéfice.
Document 1
0 2 4 6 8 10 12
0 2 4 6 8 10 12
nombre de montres
milliers d'euros
coût de productions ( milliers d'euros) recettes ( milliers d'euros )
bénéficiaire. Il convoque son collaborateur qui lui remet le document 2 en page n ° 3, dressé à l'aide d'un tableur.
Partie 2 : En utilisant le tableau du document 2, répondons aux questions suivantes : 1. Le coût de production pour 5 montres est égal à 5 875 €.
Le coût de production pour 14 montres est égal à 15 280 €.
2. La recette pour 12 montres est égale à 12 000 €.
3. Avec 6 215 euros, on peut fabriquer 7 montres.
4. Pour que l'entreprise soit bénéficiaire, il faut que la recette soit strictement supérieure au coût de production. Donc l'entreprise doit vendre entre 7 et 13 montres.
5. On a entré dans la cellule B2 la formule :
=0.01*A2^3-0.135*A2^2+0.7*A2+4.5 Que l'on a recopié jusqu'à la cellule B19.
La formule en B18 sera
=0.01*A18^3-0.135*A18^2+0.7*A18+4.5
La valeur dans la cellule B18 sera égale à 0,01 × 163 − 0,135 × 16² + 0,7 × 16 + 4,5 = 22,1.
Cette valeur correspond au coût de production de 16 montres, en milliers d'euros.
La formule en B19 sera
=0.01*A19^3-0.135*A19^2+0.7*A19+4.5
La valeur dans la cellule B19 sera égale à 0,01 × 173 − 0,135 × 17² + 0,7 × 17 + 4,5 = 26,515.
Cette valeur correspond au coût de production de 17 montres, en milliers d'euros.
Document 2
A B C
1 nombre de montres Coût de production ( en milliers d'euros ) Recette ( en milliers d'euros )
2 0 4.5 0
3 1 5.075 1
4 2 5.44 2
5 3 5.655 3
6 4 5.78 4
7 5 5.875 5
8 6 6 6
9 7 6.215 7
10 8 6.58 8
11 9 7.155 9
12 10 8 10
13 11 9.175 11
14 12 10.74 12
15 13 12.755 13
16 14 15.28 14
17 15 18.375 15
18 16 16
19 17 17
La troisième semaine, Vincent se préoccupe de savoir combien il faut vendre de montres par jour pour que le bénéfice soit maximum. Cette fois-ci le collaborateur décide de traiter le problème de façon algébrique.
Il propose de désigner par x, le nombre de montres vendues dans la journée, par C ( x ) le coût de production de x montres et par R (x ) la recette pour x montres vendues. De plus, on a :
C ( x ) = 0,01x3 − 0,135 x² + 0,7 x + 4,5 et R ( x ) = x.
On désigne par B ( x ), le bénéfice réalisé par l'entreprise dans une journée.
Partie 3 : Dans cette partie, il s'agit de répondre aux questions suivantes de façon algébrique : 1. Le bénéfice est la différence entre la recette et le coût de production.
Donc B ( x ) = R ( x ) − C ( x ) = x − ( 0,01x3− 0,135 x² + 0,7 x + 4,5 ) = − 0,01 x3 + 0,135 x² + 0,3 x − 4,5.
2. Calculons B ' ( x ) = − 0,01 × 3x² + 0,135 × 2x + 0,3 = − 0,03 x² + 0,27 x + 0,3.
Or − 0,03 ( x − 10 ) ( x + 1 ) = − 0,03 × ( x² − 10x + x − 10 ) = − 0,03x² + 9x + 0,3.
Donc B ' ( x ) = − 0,03 ( x − 10 ) ( x + 1 )
3. Etudiions le signe de B ' ( x ) sur l'intervalle [ 0 ; 17 ].
x 0 10 17
− 0,03 − −
x − 10 − 0 +
x + 1 + +
B ' ( x ) + 0 −
Sur l'intervalle [ 0 ; 10 [, B ' ( x ) est strictement positif.
Sur l'intervalle ] 10 ; 17 ], B ' ( x ) est strictement négatif.
Pour x = 10 alors B ' ( x ) est nul.
4. Dressons le tableau de variation de la fonction B sur l'intervalle [ 0 ; 17 ].
x 0 10 17
signe de B ′ + 0 −
2 B
− 4,5 − 9,515
5. Le nombre de montres qu'il faut vendre pour que l'entreprise réalise un bénéfice maximum est de 10.
