Évaluation Mathématiques 1- Proportionnalités
Exercice 1 (1,5 pts )
Dans une classe de CM2 il y a 26 élèves. Le professeur demande à chaque élève d’aller inscrire son prénom dans un tableau en fonction du nombre d’enfants dans sa famille. Pour récapituler les résultats, le professeur efface les prénoms et les remplace par leur effectif.
On obtient :
Nombre d’enfants n Nombre d’élèves Pourcentage d’élèves dont la famille comporte n enfants.
1 5 = 5*100/26 = 19,23 => 19,2%. X
2 10 =10*100/26 = 38,46 => 38,5%. X
3 6 X = 6*100/26 = 23,08 => 23,1%. X
4 5 = 5*100/26 = 19,23 => 19,2%. X
5 et plus 0 = 0*100/26 = 0%
a. Recopier et compléter le tableau (les résultats sont arrondis au dixième) b. Combien d’élèves ont au moins deux frères et sœurs ?
6 + 5 = 11
c. Un nouvel élève arrive en cours d’année. Il a deux sœurs. Cocher les cases du tableau dans lesquelles les nombres vont changer
X
Dans la colonne 2 : Le nombre d’élèves étant d’une famille de 3 enfants Dans la colonne 3 : tous les calculs (0 compris ou non) car maintenant il faut diviser par 27 au lieu de 26
Exercice 2 (1,5 point)
Dans la figure ci-après se trouvent deux graduations régulières d'une même droite, l'une au- dessus (appelée ici « graduation supérieure »), l'autre en dessous (appelée ici « graduation inférieure »).
Par exemple, le nombre 2 de la graduation supérieure correspond au nombre 14 de la graduation inférieure.
1. Quel est le nombre de la graduation inférieure correspondant au nombre 12 sur la graduation supérieure ?
Le nombre de la graduation inférieure correspondant au nombre 12 sur la graduation supérieure est 18
2. Pour les questions suivantes, les réponses seront justifiées.
1) Quel est le nombre de la graduation inférieure correspondant au nombre 2007 sur la graduation supérieure ?
La droite est graduée de 1 en 1 sur la partie supérieure alors que la partie inférieure est graduée de 0,4 en 0,4, car 1 unité correspond à 5 graduations.
Sur la graduation supérieure, 10 + 2 = 12.
Le nombre de la graduation inférieure correspondant au nombre 2007 sur la graduation supérieure est 816, car le 0 de la graduation
supérieure correspond à 13,2 sur la graduation inférieure et 13,2 + 2007 × 0,4 = 816.
2) Quel est le nombre de la graduation supérieure correspondant au nombre 0 sur la graduation inférieure ?
Si on part du point 0 sur l’échelle du haut correspond à 14-2*0,4= 13,2 Il y a donc 33 graduations entre 13,2 et 0 sur l’échelle du bas (13,2/0,4)
ð La graduation supérieure correspondant à 0 sur la graduation inférieure est -33.
Exercice 3
Le granite est une roche cristalline formée d'un mélange hétérogène de quatre éléments : quartz, feldspath, biotite et minéraux secondaires.
1) Un bloc de granite est composé de : - 28% de quartz,
- 53% de feldspath, - 11 % de biotite,
- 19,2 dm3 de minéraux secondaires.
Calculer le volume de ce bloc.
Le pourcentage de minéraux secondaires est égal à 100 – (38+53+11) = 8%
Sachant que 8% correspond à 19,2 dm3 le volume de ce bloc (100%) est donc de 100*19,2/8 = 240 dm3
Vérification
- quartz 28% => 28*19,2/8 = 67,2
- feldspath 53% => 53*19,2/8 = 127,2 dm3 - biotite 11% => 11*19,2/8 = 26,4
- minéraux secondaires 19,2
total : 67,2+127,2+26,4+19,2 = 240 dm3 2) Un mètre cube de ce granite a une masse de 2,6 tonnes.
Calculer la masse du bloc de granite considéré dans la question 1.
1 m3 pèse 2,6 tonnes or 1 m3 = 1000 dm3
1000 dm3 pèse 2,6 tonnes => 240 dm3 pèse 240*2,6/1000=0,624 tonnes soit 624 kg.
Exercice 4
Vous faites un voyage aller et retour en voiture entre deux villes distantes de 1000 kilomètres.
À l'aller, vous roulez à la vitesse moyenne de 120 km à l'heure et vous consommez 10 litres de carburant aux 100 km.
Au retour, les conditions de circulation sont telles que vous roulez à la vitesse moyenne de 60 km à l'heure et vous consommez 8 litres aux 100 km.
Les distances parcourues à l'aller et au retour sont les mêmes.
1) Quelle est la consommation moyenne sur l'ensemble du parcours ?
Aller : 10l pour 100km => 100l pour 1000km Retour : 8l pour 100km => 80l pour 1000km
Total consommation : 180l pour 2000km => 180*100/2000 = 9 Consommation sur l’ensemble du parcours : 9l aux 100 km.
Ou vu que la distance est la même on peut juste faire la moyenne entre 8l/100km et 10L/100km => 9l aux 100 km
2) Quelle est la vitesse moyenne sur l'ensemble du parcours ?
Aller : vitesse 120km/h
km 120 1000
Durée (min) 60 x
ð pour faire les 1000km il faut x=1000*60/120 = 500min
Retour : 60 km/h
km 60 1000
Durée (min) 60 1000
ð pour faire les 1000km du retour il faut 1000min Total : on cherche la vitesse moyenne
ð Durée totale du parcours est de 1500 minutes
km x 2000
Durée (min) 60 1500
ð La vitesse moyenne est donc de 2000*60/1500=80. La vitesse moyenne est de 80km/heure.
Aire, Périmètre, etc.
Exercice 5
La figure ci-dessous est composée :
§ d'un triangle isocèle ABC, rectangle en B,
§ de trois demi-cercles ayant ses côtés pour diamètres.
1) À l'aide de la règle et du compas, reproduire cette figure (laisser apparents les traits de construction).
2) Sachant que AC = 7 cm, calculer a) l’aire du triangle ABC
b) le périmètre du triangle ABC c) l'aire totale des surfaces grisées
(au mm2 près).
a- aire du triangle ABC
d’après Pythagore AC2 = CB2 + AB2 = 2 AB2
AB2 = AC2/ 2 = 72/2= 49/2 = 24,5 => AB = √24,5 = 4,95 ð aire du triangle = AB2 / 2 = 49/4 = 12,25 cm2 b- périmètre de ABC
7 + 2* 4,95 = 16,9 cm
c- méthode 1 (la mienne .. mais il y en a surement d’autres)
aire du petit cercle complet (diamètre AB) – (aire du demi grand cercle (diamètre AC) – aire du triangle)
A1 (aire petit cercle) = π × r2 = π × 24,5/4 = 6,125 π A2 (aire demi gd cercle) = π × R2 = π × 3,52 = 6,125 π
Aire de la surface grisée = 6,125 π – (6,125 π – 12,25) = 12,25 cm2
Exercice 6
On donne les informations suivantes à propos de la figure ci-dessous :
• ABCD est un carré de 6 cm de côté ;
• les points I, J, K, L sont les milieux respectifs des côtés [AB], [BC], [CD], [DA] ;
• les points M et N appartiennent au segment [IL] et sont tels que les longueurs LM, MN, NI sont égales ;
• les points P, R, S, T, U, V sont placés de manière analogue sur les segments [IJ], [JK], [KL] ;
• le point O est le centre du carré ABCD.
1) En justifiant les réponses :
a. déterminer la nature du triangle AIL,
ABCD est un carré => DAB est un angle droit => I étant le milieu de AB et L le milieu de AD l’angle LAI est rectangle de plus I milieu de AB => AI = AB/2 = 3 cm et J milieu de AD => AJ= 3cm => AIL est un triangle isocèle rectangle en A
b. calculer la longueur LM. Vérifier qu'on peut écrire le résultat sous la forme √a cm, où a est un nombre entier,
LI2 = AI2 + AL2 or LI2 = 32 + 32 = 18 => LI = √18 = 3√2 Or LM = MN = NI = a =>
LI = 3a on a donc LM = 1/3 (3√2) = √2 c. déterminer la nature du quadrilatère IJKL.
En découpant ABCD par les milieux j’obtiens 4 carrés AIOL, IBJO, OJCK et OKDL.
OI=OL=3cm et IOL triangle isocèle rectangle en O on a donc LIO = OLI = 45° on fait pareil pour le triangle IOJ => LIJ = LIO + OIJ = 45 + 45 =90° Or par le théorème des milieux on sait que IL est parallèle à BD et JK parallèle à BD et de la même façon KL parallèle à AC et IJ parallèle à AC => KL parallèle à IJ => IJKL losange. Or un losange qui a un angle droit est un carré.
IJKL est un carré
2) Montrer que l'aire du carré ABCD est le double de l'aire du quadrilatère IJKL.
Aire ABCD = 62 = 36 cm2
On a montré que LI = 3√2 => aire IJKL = (3√2)2 =9*2 =18 cm2 => l’aire de ABCD est le double de l’aire de IJKL
3) Les aires des triangles ALM, AMN, ANI sont-elles égales ? Justifier.
L’aire d’un triangle = (bas*hauteur)/2 or les 3 bases sont égales et valent √2 et les 3 hauteurs sont identiques et sont égalent à O’A avec O milieu de IL.
De ce fait les aires des triangles ALM, AMN et ANI sont égales.
Exercice 7 (3 points)
Une piste d'athlétisme est formée de huit couloirs. La largeur de chaque couloir est de 1,22 mètre. Chacun des neuf bords des huit couloirs est composé de deux lignes droites de 100
mètres et de deux demi-cercles. Le couloir 1 est celui le plus à l'intérieur, le 8 étant celui le plus à l'extérieur. Le bord intérieur du couloir 1 est composé de deux lignes droites de 100 mètres et de deux demi-cercles de rayon 31,83 mètres. Dans tout l’exercice on négligera la largeur des bandes de peinture délimitant les couloirs. Pour les courses de sprint (100 m, 200 m ou 400 m), il y a huit coureurs et chacun occupe un couloir. Un coureur devant rester dans son couloir tout au long de la course, on considère que la distance qu'il parcourt est celle correspondant à la ligne la plus intérieure de son couloir.
1. Vérifier que la distance d’un tour de piste complet parcourue par le coureur du couloir 1 est d’environ 400 m.
La piste 1 est formée d'un cercle de rayon r = 31,83 m et de deux lignes droites de longueurs 100 m.
Donc L1 = 2πr + 2 × 100 = 2π × (31,83 m) + 2 × (100 m) = 2π × 31,83 + 2 × 100 m) ≈ 399,993 m L1 ≈ 400 m.
2. Dessiner le couloir n°1 (avec ses deux bords) à l’échelle 1/1200. Indiquer les calculs effectués pour réaliser la construction. On étudie dans les questions ci- dessous la configuration d’une course de 200 m.
La longueur 31,83 m en taille réelle est représentée par la longueur 1 /1200 × 31,83 m = 1 /1200 × 31,83×1 m = 1 /1200 × 31,83×100 cm
= 1 /12 × 31,83 cm = 2,6525 cm
De même le rayon incluant la largeur du couloir devient 1 / 1200 × (31,83 + 1,22) m = 1 / 12 × 33,05 cm ≈ 2,75416 cm De même les 100 m seront représentés par une longueur de 1/1200 × 100 m = 1 /12 × 100 cm = 25 /3 cm = 8,333 . . . cm
3. Expliquer pourquoi il y a un décalage au départ d’une course de 200 m comme sur la photographie ci-dessous :
Les coureurs situés à l'extérieur du virage parcourent une plus grande distance, dans le virage, que les coureurs situés plus à l'intérieur
Exercice 7 (3 points)
Sur la figure ci-dessous, qui n’est pas dessinée en vraie grandeur, C est un cercle de centre O et de rayon 5 cm. Le segment [AB] est un diamètre de ce cercle. Les points M et N sont les intersections du cercle C avec la médiatrice du segment [OB]. Le point I est le milieu de [OB]. Le point S est le symétrique du point M par rapport au point O.
1. Quelle est la nature du triangle OMB ? Justifier.
Puisque M appartient à la médiatrice de [OB], OM = MB, autrement dit OMB est isocèle en M.
Puisque [OB] et [OM] sont des rayons de C, OMB est isocèle en O.
Finalement OMB est équilatéral
2. Calculer la valeur exacte de l’aire du rectangle AMBS.
AMBS étant un rectangle : donc l’aire de (AMBS) = 2 × l’aire de (AMB) (IM) étant une hauteur de AMB l’aire de (AMBS) = 2 × 1/2 × AB × IM Déterminons IM.
IBM est rectangle en I, donc, d'après le théorème de Pythagore : IB2 + IM2 = MB2 . Nous en déduisons successivement :
IB2 + IM2−IB2 = MB2−IB2 IM2 = MB2− IB2
Or OMB étant équilatéral MB = OB = 5 cm, et I étant le milieu de [OB], IB = 5/2 = 2,5 cm, donc IM2 = 52 − 2,5 2 = 18,75
IM est une longueur donc un nombre positif d'où, nécessairement, IM = 5/2 * √ 3 cm.
Ainsi l’aire de (AMBS) = AB × IM = 10 × 5/2 ×√ 3 = 25√ 3 cm2 A (AMBS) = 43,3 cm2 .
Exercice 8 (1,5 points)
C1 et C2 ont pour diamètres respectifs [RU] et [UE] avec RU = 2 cm ; UE = 3 cm et UG = 2,4 cm.
Les triangles ROU et UGE sont rectangles respectivement en O et en G.
a. Que peut-on en déduire pour les droites (RO) et (GE) ?
Les droites (RO) et (GE) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (OG) donc les droites (RO) et (GE) sont parallèles.
En effet, si un triangle est inscrit dans un cercle et a pour côté un diamètre de ce cercle alors ce triangle est rectangle. Le diamètre est son hypoténuse.
b. Calculer UO.
D’après le Théorème de Thalès UO/UG = UR/UE => UO= UG (UR/UE)
=> UO=2,4 (2/3) = 1,6 c. Calculer GE
D’après le théorème de Pythagore UE2 = EG2 + GU2 => GE2 = UE2 – GU2 GE2 = 9 – 5,76 = 3,24 => GE = √3,24=1,8
Exercice 9 (1,5 points)
Vaiana a d'abord posé sur le sol, à partir du cocotier, des noix de coco régulièrement espacées à chacun de ses pas, puis elle s'est ensuite placée exactement comme indiqué sur le croquis, au niveau de la septième noix de coco (en partant du cocotier).
Sachant qu’elle mesure 1,71 m, calculer la hauteur du cocotier en expliquant clairement la démarche.
Soit A la première noix de coco
B les pieds de Vaiana et C le sommet de sa tête D le pied du cocotier et E son sommet.
D’après le théorème de Thalès : !"!# = !$!% = #%"$ => DE * AB = AD*BC => 3DE = 10 * 1,71
=> DE = &'∗&,*&
+ = 5,7m Le cocotier mesure 5,7m
