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HEC - ESSEC 2020
Un problème consacré à l’étude de la blockchain du bitcoin, plus précisément on s’intéresse à l’étude de ladouble dépensepar groupe mal intentionné.
? Partie I - deux résultats généraux
• Recherche d’une écriture intégrale de P(X ≤ Y) puis P(X −θ) ≤ Y) pour des variables aléatoires à densité.
• Inégalité de Boole :P
+∞
[
k=1
Bk
!
≤
+∞
X
k=1
P(Bk).
Prérequis. Densité de deuxième année. Lois discrètes usuelles. Probas d’unions infinies (pre- mière année).
? Partie II - une compétition entre deux groupes
Évolution des victoires entre deux groupes qui cherchent à résoudre des problèmes le plus vite possible. Simulation informatique.
Prérequis.Couples et vecteurs aléatoires discrets. Lois discrètes usuelles. Formule du binôme.
? Partie III - la blockchain
Calcul de la probabilité que le groupeA soit déclaré vainqueur dans la stratégie de la partie I.
Prérequis.Probas discrètes. Combinaison. Calculs techniques à la fin.
ESSEC 2020
Un problème consacré à la notion de biais par la taille.
? Partie I - exemples discrets
• Exemple du nombre d’enfants par famille. Loi binômiale.
• Loi de Poisson.
• Le paradoxe du temps d’attente du bus.
Prérequis.Lois discrètes usuelles. Couples aléatoires.
? Partie II - propriétés du biais par la taille
• Deux propriétés importantes dans le cas des variables à densité.
• Notion de loi biaisée par la taille. Stabilité par la somme.
Prérequis.Densités de deuxième année. Couples et vecteurs aléatoires.
? Partie III - application en statistique
Un compagnie d’électricité cherche à estimer le rapportθentre le bénéfice des paiements anticipés et la consommation réelle.
• Étude (hors programme) d’une variable aléatoire à valeurs dans un ensemble de parties. Dé- nombrement.
• Simulation informatique du choix aléatoire d’une partie àm éléments dans un ensemble à n éléments.
• Obtention d’un premier estimateur biaisé puis d’un deuxième estimateur sans biais.
Prérequis. Combinaisons, dénombrement, variables aléatoires. Très difficile (sans doute très peu de candidats auront abordé cette partie).
