Autour des résultats d'annulation cohomologique de Scorichenko

Autour des résultats d'annulation cohomologique de Scorichenko

Aurélien DJAMENT

Juillet 2009

Résumé

Le principal objectif de ces notes est de rendre disponible la démonstration de Scorichenko ([Sco00]), non publiée, de l'isomorphisme entre homologie des foncteurs etK-théorie stable à coecients polynomiaux sur un anneau quelconque. Plus précisément, on donne la démons- tration de l'étape clef (dans sa formulation cohomologique), la plus originale, de l'argument de Scorichenko, qui consiste en un résultat d'annulation (co)homologique général extrêmement frappant. (Franjou et Pirashvili donnent dans [FP03] tous les arguments de la démonstration de Scorichenko, hormis ce qui concerne le résultat d'annulation en question, qui n'y est établi que dans le cas particulier nettement plus simple des anneaux de dimension au plus1.) Nous montrons aussi comment d'autres résultats d'annulation cohomologique connus peuvent être obtenus et généralisés par la même méthode.

Dans toute cette note,k désigne un anneau commutatif de base xé. On se donne également une catégorie additiveA(essentiellement) petite.

SiCest une catégorie (essentiellement) petite, on noteC −Modla catégorie des foncteurs deC vers la catégorie, notéeMod, desk-modules à gauche. (En fait, pour beaucoup de notre propos, la catégorie but Modpeut être remplacée par une catégorie abélienne assez gentille par exemple une catégorie de Grothendieck avec assez de projectifs.)

La catégorie C −Mod est abélienne ; c'est une catégorie de Grothendieck (cf. [Gab62], par exemple). Un ensemble de générateurs projectifs en est donné par les P_c^C = k[Hom_C(c,−)] (k- linéarisation du foncteur ensemblisteHom_C(c,−)), oùc parcourt les objets deC(ou un squelette) : on dispose d'un isomorphismeHom_C−Mod(P_c^C, F)'F(c)naturel enc∈ObC etF∈ObC −Mod.

1 Foncteurs polynomiaux

Pour toutd∈N, on notet_d l'endofoncteurA7→A^⊕(d+1) deAet τ_d l'endofoncteur de précom- position part_d deA −Mod. SiI est une partie de l'ensemble d={0,1, . . . , d}, on noteu_I (resp.

p_I) la transformation naturelle id → t_d (resp. t_d → id) donnée par le morphisme A → A^⊕(d+1) (resp.A^⊕(d+1)→A) dont lai-ème composanteA→Aest l'identité sii−1∈I et0 sinon.

On dénit les eets croisés de degrédcomme les transformations naturelles

crd=X

I⊂d

(−1)^|I|(uI)_∗:id→τd

(où|I|désigne le cardinal deI) et

cr_d^op=X

I⊂d

(−1)^|I|(pI)_∗:τd→id.

On note que le foncteurtd, donc égalementτd, est auto-adjoint.

Un objetFdeA−Modest dit polynomial de degré au plusdsicrd(F) = 0, condition équivalente à cr^op_d (F) = 0et impliquant cri(F) = 0pour i≤d. (Cette condition est également équivalente au fait que ∆^d+1_X (F) = 0 pour tout X dans un ensemble E d'objets de A tel que tout objet de A

∗CNRS, laboratoire de mathématiques Jean Leray (Nantes) ; aurelien.djament@univ-nantes.fr

soit facteur direct d'une somme directe nie d'éléments de E, où l'on note ∆X le noyau de la transformation naturelle de la précomposition par − ⊕X vers l'identité induite par la projection canoniqueY ⊕X Y. Cette dénition est usuellement employée, avecE={A}, lorsqueAest la catégorie des modules à gauche projectifs de type ni sur un anneau A, par exemple.)

Notation 1.1. On noteκd le conoyau de crd.

2 Le critère d'annulation cohomologique de Scorichenko

Toutes les dénitions et propositions de cette section sont dues à Scorichenko ([Sco00]).

Dénition 2.1. Un foncteur F ∈ ObA −Mod vérie la condition (AH)^d_n (où d et n sont des entiers naturels) si, pour tout 0≤i≤n, le morphisme crd(κⁱ_d(F)) :κⁱ_d(F)→τdκⁱ_d(F) est injectif (où l'exposantiindique lai-ème itération du foncteurκd). Si cette condition est vériée pour tout n, nous dirons queF satisfait la condition(AH)^d.

Proposition 2.2. Supposons queF est un foncteur vériant la condition(AH)^d_n etAun foncteur polynomial de degré au plus d. AlorsExtⁱ(A, F) = 0 pouri≤n.

Démonstration. On raisonne par récurrence surn, supposant la conclusion vériée pour les foncteurs satisfaisant (AH)^d_n−1 (pourn >0). Dans la suite exacte longue de cohomologie associée à la suite exacte courte0→F−−−−→^crd(F) τ_dF →κ_dF →0, les morphismes

cr_d(F)_∗: Extⁱ(A, F)→Extⁱ(A, τ_dF)

sont nuls, puisqu'ils s'identient par adjonction à

(cr_d^op(A))^∗: Extⁱ(A, F)→Extⁱ(τ_dA, F).

L'hypothèse de récurrence fournissantExtⁱ(A, F) = 0et Extⁱ(A, κdF) = 0 pour i < n, on en déduit bienExtⁿ(A, F) = 0 comme souhaité.

On noteM(A) (resp.M₀(A)) la sous-catégorie de A dont les morphismes sont les monomor- phismes scindés (resp. les morphismes nuls et les monomorphismes scindés) deA.

Notonsθ:A −Mod→M0(A)−Modle foncteur de restriction.

Dénition 2.3. On dit qu'un foncteurF deA −Modvérie la condition(RM)^d si le morphisme θ(cr_d(F)) :θ(F)→θ(τ_d(F))deM₀(A)−Modest un monomorphisme scindé.

Lemme 2.4. La condition (RM)^d implique la condition(AH)^d.

Démonstration. Comme le foncteurθest dèle, la condition(RM)^d implique(AH)^d₀. Il sut donc d'établir que si F vérie (RM)^d, alors il en est de même pour κ_dF. Cela sera une conséquence immédiate du lemme suivant.

Lemme 2.5. 1. Il existe une transformation naturelle involutive γ : τ_d² → τ_d² telle que γ ◦ τd(crd) =crd(τd).

2. Disons qu'un morphisme f :F →G, où F et G sont deux foncteurs vériant (RM)^d pour lesquels on a choisi des rétractionsrF :θτd(F)→θF etrG :θτd(G)→θG aux eets croisés, est(RM)^d-compatible si le diagramme

θτdF ^θτd(f) //

r_F

θτdG

r_G

θF ^θ(f) //θG

commute.

Le noyau et le conoyau d'un tel morphisme vérient la propriété(RM)^d.

3. Si F vérie la propriété (RM)^d, il en est de même pour τdF; de plus on peut choisir les rétractions de sorte quecr (F) :F →τ F soit(RM)^d-compatible.

Démonstration. Le foncteurτ_d² s'identie à la précomposition par l'endofoncteurA7→A⊗

Z

Z^d⊗Z^d deA. On vérie facilement que la précomposition par l'involution intervertissant les deux derniers facteurs procure la transformation naturelleγ souhaitée.

Le deuxième point est immédiat.

Pour la dernière assertion, on constate que le morphisme

θτ_d²F−−→^θγF θτ_d²F −−−−→^τd(rF) θF

(dans la dernière èche, on a encore écrit, par abus,τdpour le foncteur analogue déni surM0(A)− Mod) fournit une rétraction convenable àθcrd(τd(F)). La(RM)^d-compatibilité provient de ce que crd est dénie à partir de la précomposition par des morphismes appartenant àM0(A).

Proposition 2.6. Soient F etA des objets deA −Mod. On suppose que F vérie la condition (RM)^d et queA est polynomial de degré au plusd. AlorsExt^∗(A, F) = 0.

Démonstration. C'est une conséquence immédiate du lemme 2.4 et de la proposition 2.2.

Remarque 2.7. On a bien sûr un énoncé d'annulation analogue en homologie, en remplaçant les groupes d'extensions par des groupes de torsion. L'énoncé originel de Scorichenko en est une variante en termes de bifoncteurs et de leur homologie (de Hochschild).

Remarque 2.8. Pour les résultats de cette section, la catégorie butModpeut être une catégorie de Grothendieck avec assez de projectifs arbitraire.

Remarque 2.9. Si l'on a Ext^∗_A−Mod(A, F) = 0 pour tout foncteur polynomial A (sans restriction de degré), alors la même annulation vaut lorsque A est analytique, i.e. colimite (qu'on peut sup- poser ltrante, les foncteurs polynomiaux formant une sous-catégorie épaisse) de sous-foncteurs polynomiaux. Cela se déduit de la suite spectrale cohomologique associée aux colimites ltrantes.

Cette annulation sur les foncteurs analytiques vaudra donc dans tous les exemples traités dans la suite de cette note.

3 Le théorème de comparaison homologique de Scorichenko

Notonsα:A −Mod→M(A)−Modle foncteur de restriction. On donne ici la démonstration, due à Scorichenko, du résultat suivant :

Théorème 3.1. Soient A et F deux A-modules à gauche, A étant supposé polynomial. Le mor- phisme naturel

Ext^∗_A−Mod(A, F)→Ext^∗_M(A)−Mod(α(A), α(F)) induit par la restriction est un isomophisme.

Démonstration. On peut supposer que A et F sont nuls en 0, puisque le foncteur constant k = P₀^M(A)est projectif dansM(A)−Mod.

Le foncteurαpossède un adjoint à droiteβ :M(A)−Mod→ A −Mod, dont nous noterons R^∗β les foncteurs dérivés à droite. L'adjonction entre le foncteur exactαet le foncteur β se dérive en une suite spectrale convergente

E₂^p,q = Ext^p_A−Mod(A,R^qβ(X))⇒Ext^p+q_M(A)−Mod(α(A), X).

Par conséquent, le théorème sera démontré si l'on établit que Ext^∗_A−Mod(A,(R^∗βαF)/F) = 0 (l'unitéF →βαF de l'adjonction est injective car le foncteurαest exact et dèle).

Par le lemme de Yoneda, le foncteurβ est donné par

β(X)(a) = Hom_M(A)−Mod(αP_a^A, X) ; plus généralement on a Rⁱβ(X)(a) = Extⁱ_M(A)−Mod(αP_a^A, X).

Noter queR^∗β(X)est commeX, nul en0.

Soitd∈N. On dénit une transformation naturelle graduée ξ:θτdR^∗βα(F)→θR^∗βα(F)

de la manière suivante : pour tout objetadeA, ξa est le morphisme ξa: Ext^∗_M(A)−Mod(αP_t^A

d(a), αF)→Ext^∗_M(A)−Mod(ασ^d_aP_t^A

d(a), ασ^d_aF)→Ext^∗_M(A)−Mod(αP_a^A, αF) où la première èche est induite par l'endofoncteur exact Mσ^d_a de M(A)−Mod donné par la précomposition par− ⊕a^⊕d, qui vérie la propriétéMσ_a^d◦α=α◦σ_a^d, oùσ_a^dest la précomposition analogue sur A −Mod, et la seconde èche est induite par la précomposition par le morphisme P_a^A=Z[Hom_A[(a,−)]→σ^d_aP_t^A

d(a)=Z[Hom_A(a⊕a^⊕d,− ⊕a^⊕d)]induit par le foncteur− ⊕a^⊕d et la postcomposition par l'épimorphisme naturel scindéσ_a^dF F (déduit des projections canoniques b⊕a^⊕db).

Avant toute chose, remarquons que le diagramme

τd(F)(a) ^p{0}(a) //

F(a)

τ_dR^∗βα(F)(a)

ξ_a //R^∗βα(F)(a)

(1)

dont les èches verticales sont données par l'unité de l'adjonction commute, parce quep_{0}(a)peut se voir comme la composée

τ_dF(a)'Hom_A−Mod(P_t^A

d(a), F)→Hom_A−Mod(σ^d_aP_t^A

d(a), σ^d_aF)→Hom_A−Mod(P_a^A, F)'F(a) dénie de manière analogue à ξ_a.

Vérions que les applications linéairesξ_a sont fonctorielles ena∈ObM₀(A).

Sif :a→b est un monomorphisme scindé, g:b →a une rétraction def eta⁰ un objet deA tel queb'a⊕a⁰ et quef,g s'identient respectivement à l'injectiona ,→a⊕a⁰ et à la projection standard a⊕a⁰avia cet isomorphisme, le diagramme suivant

Ext^∗_M(A)−Mod(αP_t^A

d(a), αF) //

f∗

Ext^∗_M(A)−Mod(ασ^d_aP_t^A

d(a), ασ^d_aF) //

f∗

Ext^∗_M(A)−Mod(αP_a^A, αF)

f∗

Ext^∗_M(A)−Mod(ασ_a^dP_t^A

d(b), ασ_a^dF)

l

k

++V

VV VV VV VV VV VV VV VV VV

Ext^∗_M(A)−Mod(αP_t^A

d(b), αF) //

jhhhhhhhhhh33 hh

hh hh hh h

Ext^∗_M(A)−Mod(ασ_b^dP_t^A

d(b), ασ_b^dF) //Ext^∗_M(A)−Mod(αP_b^A, αF) commute, où les lignes horizontales sont les èches dénissantξ_a etξ_b,j est induit par le foncteur exact Mσ^d_a, k par les morphismeσ^d_aF F et P_a^A→σ_a^dP_t^A

d(a) décrits plus haut et l est induit par le morphisme Mσ^d_a0 (utiliser l'isomorphisme σb ' σa⁰◦σa déduit de l'isomorphisme b 'a⊕a⁰ et l'analogue avec Mσ). Cela établit la naturalité deξrelativement àf.

Il ne reste donc plus, pour voir queξ dénit une transformation naturelleθ◦τd(R^∗βα(F))→ θ(R^∗βα(F)), qu'à constater la naturalité deξrelativement aux morphismes nuls, qui découle de la nullité en0 de tous les foncteurs considérés.

Examinons maintenant la compositionξ◦θ(crd(R^∗βα(F))). Pour cela, on considère, pourI⊂d, le diagramme commutatif

Ext^∗(αP_a^A, αF) ^(uI)∗ //

Ext^∗(αP_t^A

d(a), αF)

Ext^∗(ασ_a^dP_a^A, ασ_a^dF) //Ext^∗(ασ_a^dP_t^A

d(a), ασ_a^dF) //Ext^∗(αP_a^A, αF)

(où les groupes d'extensions sont pris dans la catégorie M(A)−Modet les èches verticales sont induites par le foncteur exactMσ_a^d) qui explicite la composition

R^∗βα(F)(a)−−−→^(uI)∗ τdR^∗βα(F)(a)−→^ξa R^∗βα(F)(a). (2) Sa ligne inférieure est induite par la postcomposition par l'épimorphisme canoniqueασ^d_aF αF et la précomposition par le morphisme composé

αP_a^A→ασ^d_aP_t^A_d(a)→ασ_a^dP_a^A (3) [f]7→[f⊕a^⊕d]7→[(f ⊕a^⊕d)◦u_I] = [f ◦u₀, u₁, . . . , u_d] (pourf ∈Hom_A(a, b))

(où l'on a écrituI = (u0, u1, . . . , ud)).

On distingue ensuite les cas suivants.

1. I = {0}. Notre èche est alors induite par l'injection canonique de foncteurs id ,→ σ_a^d, qui provient elle-même du morphisme canonique de foncteurid→Mσ_a^d (données par l'injection canoniqueb ,→b⊕a^⊕d). Par conséquent, la composition

Ext^∗(αP_a^A, αF)→Ext^∗(ασ_a^dP_a^A, ασ_a^dF)→Ext^∗(αP_a^A, ασ^d_aF)

coïncide avec la postcomposition par le morphisme naturelαF →ασ^d_aF induit parF ,→σ^d_aF. Comme la postcomposition de morphisme par l'épimorphisme canonique σ^d_aF αF est l'identité, on voit que la composée (2) égale l'identité dans le cas qu'on considère.

2. I=∅. Le morphisme (2) est alors nul, puisqueR^∗βα(F)est nul en0.

3. I /∈ {{0},∅}. Le morphisme(f◦u0, u1, . . . , ud)est alors toujours un monomorphisme scindé (il exitei≥1 tel queui =ida) ; autrement dit, le morphisme (3) se factorise par l'inclusion deMσ_a^dPa^M(A)dansασ_a^dP_a^A. On peut par conséquent former un diagramme commutatif

Ext^∗(αP_a^A, αF) //

Ext^∗(ασ_a^dP_a^A, ασ^d_aF) //

Ext^∗(αP_a^A, αF)

Ext^∗(Pa^M(A), αF) //Ext^∗(Mσ_a^dPa^M(A), ασ^d_aF)

55j

jj jj jj jj jj jj jj

dont la ligne supérieure a pour composée (2) et dont les deux èches verticales sont induites par le foncteur exactMσ^d_a. On en déduit facilement que (2) coïncide avec

R^∗βα(F)(a)→F(a)−−−−→^F(u0) F(a),→R^∗βαF(a).

Cela montre que le morphismeθτd(R^∗βα(F)/F)→θ(R^∗βα(F)/F)induit parξ(le diagramme commutatif (1) en justie l'existence) est une rétraction de l'eet croisé θcr_d(R^∗βα(F)/F). La proposition 2.6 permet de conclure.

Remarque 3.2. On a un énoncé analogue en termes de groupes de torsion ou d'homologie de Hoch- schild de bifoncteurs.

4 Autres résultats d'annulation cohomologique déduits du cri- tère général

On commence par donner une généralisation d'un résultat classique dû à Franjou, qui traite le cas oùAest la catégorie des espaces vectoriels de dimension nie sur un corps ni.

Théorème 4.1. Soientaun objet de AetP¯_a^A=Ker(P_a^A→P₀^A)le projectif réduit deA −Mod associé à a. Alors

Ext^∗_A−Mod(F,P¯_a^A) = 0 siF ∈ObA −Modest polynomial.

Démonstration. Considérons le foncteurZ[−] :Ab→Abnoyau de l'idéal d'augmentationZ[−]→ Z. Pour tout d∈N, on dénit un morphisme θτdZ[−]→θZ[−]en envoyant [x0, . . . , xd]−[0]sur [x0]−[0]si les xi sont non nuls pour i >0 et sur 0 sinon. C'est une rétraction de θcrd(Z[−]), de sorte queZ[−]vérie la propriété(RM)^d. Mais cette propriété étant stable par précomposition par un foncteur additif, on en déduit queP¯_a^A=Z[−]◦Hom_A(a,−)la satisfait également, de sorte que la proposition 2.6 donne le résultat.

Supposons maintenant donné un foncteurT deAvers la catégorieEns_∗ des ensembles pointés.

Notons AT la catégorie des couples (a, t), où a est un objet de A et t un élément de T(a), les morphismes de (a, t) vers (b, u) étant les morphismes f : a → b de A tels que T(f)(t) = u. Le foncteur AT → A (a, t) 7→ a induit un foncteurιT : A −Mod → AT −Mod qui possède un adjoint à gauche exactωT tel que

ωT(X)(a) = M

t∈T(a)

X(a, t).

On dénit un autre foncteur exact λT : AT −Mod → A −Mod comme la précomposition par le foncteur A → AT a 7→ (a,∗) (où l'on note ∗ le point de base de T(a)). On dispose d'une transformation naturelle injective évidente λT ,→ωT.

Théorème 4.2. Sous l'hypothèse

(H) le morphisme naturel T(A)∨T(B)→T(A⊕B) est injectif

(où∨désigne la somme dans la catégorieEns_∗), l'inclusion naturelleλT(X),→ωT(X)induit pour toutX ∈ObAT −Modet toutF ∈ObA −Modpolynomial un isomorphisme

Ext^∗_A−Mod(F, λT(X))'Ext^∗_A−Mod(F, ωT(X)).

Démonstration. En remplaçantXpar son quotient par le sous-objetX⁰déni parX⁰(a, t) =X(a,∗) sit=∗,0 sinon, on se ramène au cas oùλ_T(X) = 0.

Soitd∈N. On dénit un morphismeξ:θτ_dω_T(X)→θω_T(X)comme suit : pour tout objeta deA,

ξ_a: M

u∈T(a^⊕(d+1))

X(a^⊕(d+1), u)→ M

t∈T(a)

X(a, t)

a pour composanteX(a^⊕(d+1), u)→X(a, u)le morphisme induit parp_{0}:a^⊕(d+1)→a(projection sur le premier facteur) siT(i_{0}) :T(a)→T(a^⊕(d+1))envoietsuru(ce qui entraîneT(p_{0})(u) =t puisquep_{0}◦i_{0}=ida),0sinon. Le fait queξ est bien une transformation naturelle de foncteurs depuisM0(A)provient de ce queλT(X) = 0(qui assure la naturalité relativement aux morphismes nuls) et de l'hypothèse (H) (qui implique que T transforme un monomorphisme scindé en une injection).

La composée

θωT(X)−−−→^(uI)∗ θτdωT(X)−→^ξ θωT(X)

est nulle pourI6={0}, car l'hypothèse(H)implique que les images deT(uI) :T(a)→T(a^⊕(d+1)) et T(u_{0}) ne se rencontrent qu'en le point de base, de sorte que la nullité de λT(X) permet de conclure.

PourI={0}, cette composée égale l'identité. Le foncteurωT(X)vérie donc l'hypothèse(RM)^d (pour toutd), d'où la conclusion par la proposition 2.6.

Un cas particulier important est celui oùAest une catégorie abélienne (ou plus généralement une catégorie additive où tout morphisme se factorise, de manière unique à isomorphisme près, comme un épimorphisme suivi d'un monomorphisme, ce qui permet de disposer de la notion d'image) et le foncteurT =Grassocie à un objetadeAl'ensemble de ses sous-objets (i.e. le quotient de l'ensemble des monomorphismes de butapar l'action à gauche tautologique du groupeAut_A(a)), pointé par le sous-objet nul. La propriété(H)est clairement vériée. Mais on peut obtenir en fait mieux que le résultat donné par le théorème précédent. On introduit quelques notations supplémentaires à cet eet.

SoitE(A) la sous-catégorie des épimorphismes (non nécessairement scindés) deA. On dispose de foncteurs r : AGr → E(A) (a, t)7→ t et s : A ×E(A) → AGr (a, x)7→ (a⊕x, x). On note σ: AGr−Mod→ A ×E(A)−Mod'Fct(A,E(A)−Mod)(catégorie des foncteurs de Avers E(A)−Mod) la précomposition pars. Nous dirons qu'un foncteurXdeAGr−Modest polynomial si σ(X) l'est (la dénition d'un foncteur polynomial dansFct(A,E(A)−Mod)est la même que dansA −Mod=Fct(A,Mod)). On dénit enn un endofoncteurν deAGr par

ν(X)(a, t) = M

u∈Gr(t)

X(a, u),

où un morphismef : (a, t)→(a⁰, t⁰)induitν(X)(f)ayant pour composanteX(a, u)→X(a⁰, u⁰)le morphisme induit par f si f(u) = u⁰, 0 sinon. On remarque queν est un sous-foncteur deιω (on omet les indicesGr) noter queιω(X)(a, t) =L

u∈Gr(a)X(a, u).

Théorème 4.3. Sous les hypothèses précédentes, si X et Y sont deux objets deA_Gr−Mod, X étant supposé polynomial, le morphisme naturel

Ext^∗_AGr−Mod(X, ν(Y))→Ext^∗_AGr−Mod(X, ιω(Y))−^'→Ext^∗_A−Mod(ω(X), ω(Y))

(où la première èche est induite par l'inclusion ν(Y),→ ιω(Y) et la seconde est l'isomorphisme déduit de l'adjonction entre les foncteurs exactsι etω) est un isomorphisme.

Démonstration. Montrons d'abord que le morphisme naturel Ext^∗_B(F, σν(Y))→Ext^∗_B(F, σιω(Y))

est un isomorphisme lorsqueF ∈ObBest polynomial, où l'on a poséB=Fct(A,E(A)−Mod). Pour cela, on dénitZ ∈ObFct(AGr,E(A)−Mod)par

Z(a, t)(u) = M

v∈Gr(a⊕u) Im(v,→a⊕ua)=t

Y(a⊕u, v),

l'eet sur les morphismes étant déni comme pour ν. On constate que λ(Z) =σν(Y) tandis que ω(Z) = σιω(Y), de sorte que le théorème 4.2 implique notre assertion. Ici on a encore noté ω et λles variantes àFct(AGr,E(A)−Mod)des foncteurs initialement dénis surFct(AGr,Mod), ce qui n'aecte pas la validité du théorème 4.2 en vertu de la remarque 2.8 (on peut aussi déduire directement le résultat dont on a besoin du théorème 4.2 sous sa forme minimale par un argument standard de suite spectrale).

Le foncteurs est adjoint à gauche au foncteur m:A_Gr → A ×E(A) (a, t)7→(a, t), de sorte que le foncteur σ est adjoint à droite à la précomposition µ par m. Par conséquent, ce que nous venons d'établir montre que

Ext^∗_AGr−Mod(X, ν(Y))→Ext^∗_AGr−Mod(X, ιω(Y)) est un isomorphisme pourX =µ(F), oùF ∈ObB est polynomial.

On utilise alors les observations suivantes :

1. les foncteurs µetσpréservent les foncteurs polynomiaux ;

2. la coünité µσ(X)→X de l'adjonction est surjective (elle provient en eet des morphismes (a⊕t, t)→(a, t)deAGrde composantes l'identité deaet l'inclusion detdansa; ce sont des épimorphismes scindés), ce qui permet de construire une résolution simpliciale exacte du type

· · · →(µσ)ⁿ(X)→ · · · →(µσ)²(X)→µσ(X)→X→0 (cf. [Dja07], Ÿ 7.2 pour plus de détail sur cette résolution).

La comparaison des suites spectrales associées par application deExt^∗(−, ν(Y))etExt^∗(−, ιω(Y)) permet donc de déduire le cas général requis du cas oùX est dans l'image du foncteurµprécédem- ment traité.

Le cas où A est la catégorie des espaces vectoriels de dimension nie sur un corps ni est le théorème 10.2.1 de [Dja07].

Références

[Dja07] A. Djament Foncteurs en grassmanniennes, ltration de Krull et cohomologie des foncteurs , Mém. Soc. Math. Fr. (N.S.) (2007), no. 111, p. xx+213.

[FP03] V. Franjou & T. Pirashvili StableK-theory is bifunctor homology (after A. Scori- chenko) , in Rational representations, the Steenrod algebra and functor homology, Panor.

Synthèses, vol. 16, Soc. Math. France, Paris, 2003, p. 107126.

[Gab62] P. Gabriel Des catégories abéliennes , Bull. Soc. Math. France 90 (1962), p. 323448.

[Sco00] A. Scorichenko Stable K-theory and functor homology over a ring , Thèse, Evans- ton, 2000.