L'objectif de ce problème est de présenter dans un cadre ensembliste la distance de Hamming ainsi qu'un exemple de code de Hamming 1 .

(1)

MPSI B 2009-2010 DS 4 29 juin 2019

Ce devoir en 4 heures comprend en plus de ce problème une partie algorthmique (1h30) sur la représentation de Zeckendorf.

L'objectif de ce problème est de présenter dans un cadre ensembliste la distance de Hamming ainsi qu'un exemple de code de Hamming ¹ .

Pour tout ensemble ni E , on notera ]E son cardinal (nombre d'éléments).

Partie I. Diérence symétrique.

Dans cette partie Ω désigne un ensemble ni. Pour toute partie X de Ω , le complémentaire de X dans Ω est noté X et la fonction caractéristique de X est notée 1 X .

∀x ∈ Ω, 1 X (x) =

( 1 si x ∈ X 0 sinon

On dénit dans P (Ω) une opération (notée ∆ ) appelée diérence symétrique par :

∀(X, Y ) ∈ P(Ω) × P(Ω) : X ∆ Y = (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Y )

1. a. Vérier les propriétés suivantes et les traduire dans le vocabulaire des opérations : (P1) ∀(X, Y ) ∈ P(Ω) × P(Ω) : X ∆ Y = Y ∆ X

(P2) ∀X ∈ P(Ω) : X ∆ ∅ = ∅ ∆ X = X

(P3) ∀X ∈ P(Ω) : X ∆ X = ∅

b. Montrer que :

∀(X, Y ) ∈ P(Ω) ² , ∀x ∈ Ω, x ∈ X ∆ Y ⇔ 1 X (x) + 1 Y (x) ≡ 1 mod 2.

Fig. 1: Diérence symétrique

1

d'après http ://fr.wikipedia.org/wiki/Code_de_Hamming

2. a. Montrer que

∀(X, Y ) ∈ P(Ω) × P(Ω) : X ∆ Y = X ∪ Y

∪ (X ∩ Y )

b. Soient X , Y , Z trois parties de Ω . Exprimer X ∆(Y ∆ Z ) comme une union de parties deux à deux disjointes, chacune de ces parties étant une intersection de trois. En déduire l'associativité de ∆.

c. Soient X 1 , X 2 , · · · , X p des parties de Ω et x un élément de Ω . Montrer que x ∈ X ₁ ∆ · · · ∆ X _p ⇔ 1 _X

₁

(x) + · · · + 1 _X

_p

(x) ≡ 1 mod 2.

Comme ∆ est associative, il est inutile d'écrire des parenthèses dans X 1 ∆ · · · ∆ X p .

3. Dans cette question A , B , C sont des parties quelconques de Ω . a. Montrer que A ∆ B ⊂ A ∪ B et que :

A ∆ B = ∅ ⇒ A = B b. Simplier (A ∆ C ) ∆ ( C ∆ B) et A ∆ ((A ∆ C ) ∆ ( C ∆ B)) .

4. Pour tout élément u ∈ Ω et toute partie X de Ω , on note X u = {u} ∆ X . a. Préciser X _u .

b. Soit B une partie quelconque de Ω . Montrer que :

](X u ∩ B) ≡

( ](X ∩ B) + 1 si u ∈ B

](X ∩ B) si u / ∈ B mod 2.

5. Ici Ω contient n éléments. Pour tout A ⊂ Ω , on désigne par P A l'ensemble des parties X de Ω telles que

](X ∩ A) ≡ 0 mod 2 a. Montrer que ]P A = 2 ⁿ⁻¹ lorsque A est non vide.

b. Soient A ₁ et A ₂ deux parties non vides et distinctes de Ω . Montrer que ] (P A

₁

∩ P A

₂

) = 2 ⁿ⁻²

c. Soient A ₁ et A ₂ A ₃ trois parties non vides, deux à deux distinctes de Ω . On suppose de plus que A ₃ n'est pas incluse dans A ₁ ∪ A ₂ . Montrer que

] (P A

₁

∩ P A

₂

∩ P A

₃

) = 2 ⁿ⁻³

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai S0904E

(2)

MPSI B 2009-2010 DS 4 29 juin 2019

Partie II. Distance de Hamming.

On reprend les notations de la section précédente et on dénit la distance de Hamming d(X, Y ) entre deux parties X et Y de Ω par

∀(X, Y ) ∈ P(Ω) × P(Ω) : d(X, Y ) = ](X ∆ Y ).

1. Montrer que d(A, B) = 0 entraîne A = B pour toutes parties A et B de Ω . 2. Montrer l'inégalité triangulaire :

∀(A, B, C) ∈ (P (Ω)) ³ : d(A, B) ≤ d(A, C) + d(C, B)

3. Soit C ⊂ Ω et k ∈ N, on dénit la H-sphère de centre C et de rayon k (notée S (C, k) ) et la H-boule de centre C et de rayon k (notée B(C, k) ) par :

∀X ∈ P(Ω),

( X ∈ S (C, k) ⇔ d(C, X) = k X ∈ B(C, k) ⇔ d(C, X) ≤ k

On note n le nombre d'éléments de Ω . Quel est le nombre d'éléments d'une sphère de rayon k ? Quel est le nombre d'éléments d'une boule de rayon k ?

Partie III. Communiquer sûrement c'est organiser le délayage.

Dans cette partie E désigne un ensemble à p éléments. On imagine un système de trans- mission qui émet des parties X de E vers un récepteur. Mais de petites erreurs peuvent survenir lors de la transmission et de temps en temps le X reçu n'est pas tout à fait le X émis. Pour remédier à cela, on va transformer (coder) le X en Φ(X ) de sorte que chaque Φ(X) soit isolé puis transmettre le Φ(X) . Si une petite erreur survient lors de la transmission, le récepteur saura la repérer et éventuellement la corriger ou demander une nouvelle émission. Il devra ensuite décoder le φ(X ) en X .

On suppose donc l'existence d'un ensemble F à n éléments contenant E , de k ∈ N et d'une application Φ de P (E) dans P (F ) telle que :

∀(X, Y ) ∈ P(E), X 6= Y ⇒ d(Φ(X ), Φ(Y )) > k où d désigne la distance de Hamming dans P (F ) .

1. Que signie pour Φ le fait que k soit supérieur ou égal à 0 ? 2. On suppose k non nul et pair. Montrer que :

∀(X, Y ) ∈ P(E) ² , X 6= Y ⇒ B(Φ(X), k

2 ) ∩ B(Φ(Y ), k 2 ) = ∅

3. a. On suppose k = 2 . Montrer que n + 1 ≤ 2 ^n−p . Quelle est la plus petite valeur possible pour n si p = 4 ?

b. On suppose k = 4 . Former une inégalité que doivent vérier p et n . Quelle est la plus petite valeur possible pour n si p = 4 ?

Partie IV. Code de Hamming.

L'objet de cette section est de donner un exemple de fonction Φ vériant les propriétés de la section III. Ici, E est un ensemble à 4 éléments et F est un ensemble à 7 éléments contenant E . On note

E = {d 1 , d ₂ , d ₃ , d ₄ } F = {d 1 , d ₂ , d ₃ , d ₄ , p ₁ , p ₂ , p ₃ } Certaines parties de F , notées A ₁ , A ₂ , A ₃ , vont jouer un rôle particulier :

A ₁ = {d 1 , d ₂ , d ₄ , p ₁ } A ₂ = {d 1 , d ₃ , d ₄ , p ₂ } A ₃ = {d 2 , d ₃ , d ₄ , p ₃ } On dénit une fonction φ de P (E) dans P (F ) la manière suivante.

∀X ∈ P(E), Φ(X ) déni par :



 

 

 

 

Φ(X) ∩ E = X

p 1 ∈ Φ(X ) ⇔ ] (X ∩ {d 1 , d 2 , d 4 }) impair p ₂ ∈ Φ(X ) ⇔ ] (X ∩ {d ₁ , d ₃ , d ₄ }) impair p 3 ∈ Φ(X ) ⇔ ] (X ∩ {d 2 , d 3 , d 4 }) impair 1. Calculer Φ(∅) , Φ(E) , Φ({d 1 }) , Φ({d 1 , d 2 , d 4 }) .

2. Montrer que, pour toute partie X de E et tout entier i entre 1 et 3, A _i ∩Φ(X ) contient un nombre pair d'éléments.

3. Montrer que, pour toute partie non vide Z de F :

]Z ≤ 2 ⇒ ∃i ∈ {1, 2, 3} tel que ] (A i ∩ Z) = 1 4. Soient A , U , V des parties quelconques de F , montrer que

](A ∩ U ) − ](A ∩ V ) ≡ ] (A ∩ (U ∆ V )) mod 2

5. Montrer que pour toutes parties (de E ) X et Y distinctes , la distance de Hamming entre Φ(X ) et Φ(Y ) est strictement plus grande que 2 .

6. (hors barême) ² Soit Z une partie de F . Montrer qu'il existe une partie X de E telle que Z = Φ(X ) si et seulement si ](A 1 ∩ Z) , ](A 2 ∩ Z) , ](A 3 ∩ Z ) sont pairs.

2

pour aller plus loin, il est bien plus commode d'utiliser la présentation classique des codes correcteurs à base d'algèbre linéaire sur le corps à deux éléments

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

2

Rémy Nicolai S0904E

L'objectif de ce problème est de présenter dans un cadre ensembliste la distance de Hamming ainsi qu'un exemple de code de Hamming 1 .

MPSI B 2009-2010 DS 4 29 juin 2019

Ce devoir en 4 heures comprend en plus de ce problème une partie algorthmique (1h30) sur la représentation de Zeckendorf.

L'objectif de ce problème est de présenter dans un cadre ensembliste la distance de Hamming ainsi qu'un exemple de code de Hamming 1 .

Pour tout ensemble ni E , on notera ]E son cardinal (nombre d'éléments).

Partie I. Diérence symétrique.

Dans cette partie Ω désigne un ensemble ni. Pour toute partie X de Ω , le complémentaire de X dans Ω est noté X et la fonction caractéristique de X est notée 1 X .

∀x ∈ Ω, 1 X (x) =

( 1 si x ∈ X 0 sinon

On dénit dans P (Ω) une opération (notée ∆ ) appelée diérence symétrique par :

∀(X, Y ) ∈ P(Ω) × P(Ω) : X ∆ Y = (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Y )

1. a. Vérier les propriétés suivantes et les traduire dans le vocabulaire des opérations : (P1) ∀(X, Y ) ∈ P(Ω) × P(Ω) : X ∆ Y = Y ∆ X

(P2) ∀X ∈ P(Ω) : X ∆ ∅ = ∅ ∆ X = X

(P3) ∀X ∈ P(Ω) : X ∆ X = ∅

b. Montrer que :

∀(X, Y ) ∈ P(Ω) 2 , ∀x ∈ Ω, x ∈ X ∆ Y ⇔ 1 X (x) + 1 Y (x) ≡ 1 mod 2.

Fig. 1: Diérence symétrique

d'après http ://fr.wikipedia.org/wiki/Code_de_Hamming

2. a. Montrer que

∀(X, Y ) ∈ P(Ω) × P(Ω) : X ∆ Y = X ∪ Y

∪ (X ∩ Y )

b. Soient X , Y , Z trois parties de Ω . Exprimer X ∆(Y ∆ Z ) comme une union de parties deux à deux disjointes, chacune de ces parties étant une intersection de trois. En déduire l'associativité de ∆.

c. Soient X 1 , X 2 , · · · , X p des parties de Ω et x un élément de Ω . Montrer que x ∈ X 1 ∆ · · · ∆ X p ⇔ 1 X

(x) + · · · + 1 X

(x) ≡ 1 mod 2.

Comme ∆ est associative, il est inutile d'écrire des parenthèses dans X 1 ∆ · · · ∆ X p .

3. Dans cette question A , B , C sont des parties quelconques de Ω . a. Montrer que A ∆ B ⊂ A ∪ B et que :

A ∆ B = ∅ ⇒ A = B b. Simplier (A ∆ C ) ∆ ( C ∆ B) et A ∆ ((A ∆ C ) ∆ ( C ∆ B)) .

4. Pour tout élément u ∈ Ω et toute partie X de Ω , on note X u = {u} ∆ X . a. Préciser X u .

b. Soit B une partie quelconque de Ω . Montrer que :

](X u ∩ B) ≡

( ](X ∩ B) + 1 si u ∈ B

](X ∩ B) si u / ∈ B mod 2.

5. Ici Ω contient n éléments. Pour tout A ⊂ Ω , on désigne par P A l'ensemble des parties X de Ω telles que

](X ∩ A) ≡ 0 mod 2 a. Montrer que ]P A = 2 n−1 lorsque A est non vide.

b. Soient A 1 et A 2 deux parties non vides et distinctes de Ω . Montrer que ] (P A

∩ P A

) = 2 n−2

c. Soient A 1 et A 2 A 3 trois parties non vides, deux à deux distinctes de Ω . On suppose de plus que A 3 n'est pas incluse dans A 1 ∪ A 2 . Montrer que

] (P A

∩ P A

∩ P A

) = 2 n−3

1

MPSI B 2009-2010 DS 4 29 juin 2019

Partie II. Distance de Hamming.

On reprend les notations de la section précédente et on dénit la distance de Hamming d(X, Y ) entre deux parties X et Y de Ω par

∀(X, Y ) ∈ P(Ω) × P(Ω) : d(X, Y ) = ](X ∆ Y ).

1. Montrer que d(A, B) = 0 entraîne A = B pour toutes parties A et B de Ω . 2. Montrer l'inégalité triangulaire :

∀(A, B, C) ∈ (P (Ω)) 3 : d(A, B) ≤ d(A, C) + d(C, B)

3. Soit C ⊂ Ω et k ∈ N, on dénit la H-sphère de centre C et de rayon k (notée S (C, k) ) et la H-boule de centre C et de rayon k (notée B(C, k) ) par :

∀X ∈ P(Ω),

( X ∈ S (C, k) ⇔ d(C, X) = k X ∈ B(C, k) ⇔ d(C, X) ≤ k

On note n le nombre d'éléments de Ω . Quel est le nombre d'éléments d'une sphère de rayon k ? Quel est le nombre d'éléments d'une boule de rayon k ?

Partie III. Communiquer sûrement c'est organiser le délayage.

On suppose donc l'existence d'un ensemble F à n éléments contenant E , de k ∈ N et d'une application Φ de P (E) dans P (F ) telle que :

∀(X, Y ) ∈ P(E), X 6= Y ⇒ d(Φ(X ), Φ(Y )) > k où d désigne la distance de Hamming dans P (F ) .

1. Que signie pour Φ le fait que k soit supérieur ou égal à 0 ? 2. On suppose k non nul et pair. Montrer que :

∀(X, Y ) ∈ P(E) 2 , X 6= Y ⇒ B(Φ(X), k

2 ) ∩ B(Φ(Y ), k 2 ) = ∅

3. a. On suppose k = 2 . Montrer que n + 1 ≤ 2 n−p . Quelle est la plus petite valeur possible pour n si p = 4 ?

b. On suppose k = 4 . Former une inégalité que doivent vérier p et n . Quelle est la plus petite valeur possible pour n si p = 4 ?

Partie IV. Code de Hamming.

L'objet de cette section est de donner un exemple de fonction Φ vériant les propriétés de la section III. Ici, E est un ensemble à 4 éléments et F est un ensemble à 7 éléments contenant E . On note

E = {d 1 , d 2 , d 3 , d 4 } F = {d 1 , d 2 , d 3 , d 4 , p 1 , p 2 , p 3 } Certaines parties de F , notées A 1 , A 2 , A 3 , vont jouer un rôle particulier :

A 1 = {d 1 , d 2 , d 4 , p 1 } A 2 = {d 1 , d 3 , d 4 , p 2 } A 3 = {d 2 , d 3 , d 4 , p 3 } On dénit une fonction φ de P (E) dans P (F ) la manière suivante.

∀X ∈ P(E), Φ(X ) déni par :



 

 

 

 

Φ(X) ∩ E = X

p 1 ∈ Φ(X ) ⇔ ] (X ∩ {d 1 , d 2 , d 4 }) impair p 2 ∈ Φ(X ) ⇔ ] (X ∩ {d 1 , d 3 , d 4 }) impair p 3 ∈ Φ(X ) ⇔ ] (X ∩ {d 2 , d 3 , d 4 }) impair 1. Calculer Φ(∅) , Φ(E) , Φ({d 1 }) , Φ({d 1 , d 2 , d 4 }) .

2. Montrer que, pour toute partie X de E et tout entier i entre 1 et 3, A i ∩Φ(X ) contient un nombre pair d'éléments.

3. Montrer que, pour toute partie non vide Z de F :

]Z ≤ 2 ⇒ ∃i ∈ {1, 2, 3} tel que ] (A i ∩ Z) = 1 4. Soient A , U , V des parties quelconques de F , montrer que

](A ∩ U ) − ](A ∩ V ) ≡ ] (A ∩ (U ∆ V )) mod 2

5. Montrer que pour toutes parties (de E ) X et Y distinctes , la distance de Hamming entre Φ(X ) et Φ(Y ) est strictement plus grande que 2 .

6. (hors barême) 2 Soit Z une partie de F . Montrer qu'il existe une partie X de E telle que Z = Φ(X ) si et seulement si ](A 1 ∩ Z) , ](A 2 ∩ Z) , ](A 3 ∩ Z ) sont pairs.

L'objectif de ce problème est de présenter dans un cadre ensembliste la distance de Hamming ainsi qu'un exemple de code de Hamming ¹ .

∀(X, Y ) ∈ P(Ω) ² , ∀x ∈ Ω, x ∈ X ∆ Y ⇔ 1 X (x) + 1 Y (x) ≡ 1 mod 2.

c. Soient X 1 , X 2 , · · · , X p des parties de Ω et x un élément de Ω . Montrer que x ∈ X ₁ ∆ · · · ∆ X _p ⇔ 1 _X

(x) + · · · + 1 _X

4. Pour tout élément u ∈ Ω et toute partie X de Ω , on note X u = {u} ∆ X . a. Préciser X _u .

](X ∩ A) ≡ 0 mod 2 a. Montrer que ]P A = 2 ⁿ⁻¹ lorsque A est non vide.

b. Soient A ₁ et A ₂ deux parties non vides et distinctes de Ω . Montrer que ] (P A

) = 2 ⁿ⁻²

c. Soient A ₁ et A ₂ A ₃ trois parties non vides, deux à deux distinctes de Ω . On suppose de plus que A ₃ n'est pas incluse dans A ₁ ∪ A ₂ . Montrer que

) = 2 ⁿ⁻³

∀(A, B, C) ∈ (P (Ω)) ³ : d(A, B) ≤ d(A, C) + d(C, B)

∀(X, Y ) ∈ P(E) ² , X 6= Y ⇒ B(Φ(X), k

3. a. On suppose k = 2 . Montrer que n + 1 ≤ 2 ^n−p . Quelle est la plus petite valeur possible pour n si p = 4 ?

E = {d 1 , d ₂ , d ₃ , d ₄ } F = {d 1 , d ₂ , d ₃ , d ₄ , p ₁ , p ₂ , p ₃ } Certaines parties de F , notées A ₁ , A ₂ , A ₃ , vont jouer un rôle particulier :

A ₁ = {d 1 , d ₂ , d ₄ , p ₁ } A ₂ = {d 1 , d ₃ , d ₄ , p ₂ } A ₃ = {d 2 , d ₃ , d ₄ , p ₃ } On dénit une fonction φ de P (E) dans P (F ) la manière suivante.

p 1 ∈ Φ(X ) ⇔ ] (X ∩ {d 1 , d 2 , d 4 }) impair p ₂ ∈ Φ(X ) ⇔ ] (X ∩ {d ₁ , d ₃ , d ₄ }) impair p 3 ∈ Φ(X ) ⇔ ] (X ∩ {d 2 , d 3 , d 4 }) impair 1. Calculer Φ(∅) , Φ(E) , Φ({d 1 }) , Φ({d 1 , d 2 , d 4 }) .

2. Montrer que, pour toute partie X de E et tout entier i entre 1 et 3, A _i ∩Φ(X ) contient un nombre pair d'éléments.

6. (hors barême) ² Soit Z une partie de F . Montrer qu'il existe une partie X de E telle que Z = Φ(X ) si et seulement si ](A 1 ∩ Z) , ](A 2 ∩ Z) , ](A 3 ∩ Z ) sont pairs.