Proposition de corrigé des tests OFM du 7 octobre 2015 Exercice 1 :
Nous ne voyons pas d’autres méthodes que l’énumération des triplets d’élèves répondant au problème (c’est-à-dire ne comportant qu’une fois chaque association de deux élèves) :
Triplets qui contiennent l’élève 1 :
1 2 3 ; 1 4 5 ; 1 6 7 ; 1 8 9 ; 1 10 11 ; 1 12 13 ; 1 14 15
Triplets qui contiennent l’élève 2 (et qui n’est pas déjà compté et dont les associations n’ont pas été comptées) : 2 4 6 ; 2 5 7 ; 2 8 10 ; 2 9 11 ; 2 12 14 ; 2 13 15
Triplets qui contiennent l’élève 3 (…) :
3 4 7 ; 3 5 6 ; 3 8 11 ; 3 9 10 ; 3 12 15 ; 3 13 14 Triplets qui contiennent l’élève 4 (…) :
4 8 12 ; 4 9 13 ; 4 10 14 ; 4 11 15 Triplets qui contiennent l’élève 5 (…) : 5 8 13 ; 5 9 12 ; 5 10 15 ; 5 11 14 Triplets qui contiennent l’élève 6 (…) : 6 8 14 ; 6 9 15 ; 6 10 12 ; 6 11 13 Triplets qui contiennent l’élève 7 (…) : 7 8 15 ; 7 9 14 ; 7 10 13 ; 7 11 12 Le stage a donc duré 35 jours !
Pour plus de clarté, on pouvait compléter un tableau de ce type et compter le nombre de cases intérieures non grisées (on voit plus facilement les associations déjà utilisées) :
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 3 5 7 9 11 13 15
2 6 7 10 11 14 15
3 7 6 11 10 15 14
4 12 13 14 15
5 13 12 15 14
6 14 15 12 13
7 15 14 13 12
Exercice 2 :
En prenant 3 chiffres x, y et z, les nombres formés peuvent s’écrire par exemple 100x+10y+z.
En les additionnant : 100 + 10 + +100 + 10 + +100 + 10 + +100 + 10 + +100 + 10 + +100 + 10 +
= 100(2 + 2 + 2) + 10(2 + 2 + 2) + 2 + 2 + 2
= 222( + + )
Le total étant égal à 4884, on obtient : + + = 4884/222 = 22
Les triplets de trois entiers distincts (dans l’ordre décroissant) donnant une somme égale à 22 sont : 9 8 5 et 9 7 6 Solution : 985 et 976
Exercice 3 :
On calcule tout d’abord la hauteur issue de A dans le triangle ABF : On obtient = 6√5
On calcule alors l’aire de l’hexagone (deux fois l’aire de ABF + l’aire de BCEF) : 24 + 2 ×√× = 24 + 144√5 Cette aire est égale, d’après l’énoncé, à 36.
Après avoir égalisé les deux expressions de l’aire et résolu l’équation, on obtient = 12√5 soit = 720
Exercice 4 :
Il semble que l’on retombe systématiquement sur 5 pour tout nombre supérieur ou égal à 5 mais la démonstration nous échappe.
Ce problème ressemble à la conjecture de Syracuse (non démontrée à ce jour…) Exercice 5 :
1) Prenons le cas ! pair. Fixons " et # dans l’ensemble $1; !&. D’après l’énoncé : ' (
) (*+
− -∈ ℤ et ' ( ) (*+
− 1 ∈ ℤ donc par différence, 1− -∈ ℤ Or 1 ∈ <−1
2 ;1
2= et - ∈ <−1 2 ;1
2= donc 1− - ∈ >−1; 1? et comme 1− -∈ ℤ, alors 1− -∈ B−1; 0; 1C Absurde : Supposons qu’il existe un couple ("; #) tel que 1− -≠ 0 : 1− -= 1 ou 1− -= −1. Ce qui signifie que 1 =+ et - = −+ (ou le contraire mais la démonstration serait identique) Notons F = ' (
) (*+
= ' ( ) (*+(G+
HIJKL∈ℤ
+ += ' ( ) (*+(G
HIJKM∈ℤ
+ = ⋯ = ' ( ) (*+(G)
HIJKO∈ℤ
+ )
En additionnant ces n égalités, on obtient : !F = P++ P+ ⋯ + P)+ ++ + ⋯ + )= P++ P+ ⋯ + P)+ F Et donc, (! − 1)F = P++ P+ ⋯ + P)= P ∈ ℤ
Autre écriture de S : F = ' (
) (*+
= ' ( ) (*+(G1
HIJQ∈ℤ
+ 1 = R +1 2
On obtient alors : (! − 1)F = P ⇔ (! − 1) TR ++U = P ⇔ (! − 1)(2R + 1) = 2P Or ! est pair donc ! − 1 est impair ainsi que 2R + 1 donc (! − 1)(2R + 1) est impair
Et comme 2P est pair, on obtient une égalité impossible et donc une contradiction de l’hypothèse énoncée au départ : Il n’existe pas de couple ("; #) tel que 1− -≠ 0 et donc tous les ( sont égaux.
2) Pour ! = 5, on obtient par exemple +=+, =+, V=+, =+ et = −+
Ces 5 nombres ne sont pas tout égaux et répondent au problème… La règle démontrée au 1) ne s’applique donc pas au cas ! impair.
Exercice 6 :
Le nombre d’élèves s’écrit sous la forme + 5 ou ( + 7) où et sont des nombres entiers naturels.
On a donc l’égalité :
+ 5 = + 7 ⇔ Z +7 2[
−49
4 − = 5 ⇔ Z +7 2[
− =69
4 ⇔ Z − +7
2[ Z + +7 2[ =69
4
⇔ ]2 − 2 + 7H^^^I^^^J
∈ℤ
_ ]2 + 2 + 7H^^^I^^^J
∈ℕ
_ = 69 = 1 × 69 = 3 × 23 Deux possibilités :
a 2 − 2 + 7 = 12 + 2 + 7 = 69b ⇔ a − = −3 + = 31b ⇔ a = 17 = 14b
Ou
a 2 − 2 + 7 = 32 + 2 + 7 = 23b ⇔ a − = −2 + = 8 b ⇔ a = 5 = 3b
La première possibilité donne 294 élèves, la seconde en donne 30.
Exercice 7 :
D’après Pythagore dans le triangle ALF rectangle en F, avec c =+V et d =V, on obtient cd =√V On calcule le cosinus de l’angle dans le triangle ALF :
cos =d cd =
23
√53
= 2
√5=2√5 5
On l’utilise dans le triangle ONF pour calculer NF : cos =ed
fd = 16
fd donc fd = 16 cos =
16 2√55
= 5
12√5=√5 12 On cherche une mesure de l’angle g :
hfdi = j − g = j − 2 donc g = 2 Ainsi cos g = cos(2) = 2 cos() − 1 =3
5 = fd
fR ⇒ fR =
√512 35
=5√5 36 Puis par Pythagore, dR =√5
9
L’aire demandée est égale à l’aire du carré LFHJ moins 4 fois l’aire du triangle NFM : = q√5
3 r
− 4 ×1 2 ×√5
12 ×√5 9 =5
9 − 5 54 =25
54 Exercice 8 :
On remarque tout d’abord que 9++ 1 = 9 × 1 × 7 + 1 = 64 = 8= (1 + 7)= (++ ) Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel non nul !, 9))s++ 1 = ()+ )s+) L’initialisation a été faite ci-dessus.
Hérédité : supposons que, pour un certain entier naturel non nul !, 9))s++ 1 = ()+ )s+) Montrons que 9)s+)s+ 1 = ()s++ )s)
A B
D C
E F
G
H
I J
K L
M N
O g
On part de ∶ ))s= )s+ − 1 ⇒ )s+)s=)s+()s+ − 1)
) =))s+()s+ − 1) )
⇒ 9)s+)s=9))s+()s+ − 1)
) =u
vw
(()+ )s+)− 1)()s+ − 1)
) =()+ 2))s++ )s+ − 1)()s+ − 1) )
=))s+ + 2))s+V + )s+ − )s+ − )− 2))s+− )s+ + 1 )
=))s+ + 2))s+V + )s+ − 2)s+ − )− 2))s++ 1 )
⇒ 9)s+)s+ 1 =))s+ + 2))s+V + )s+ − 2)s+ − 2))s++ 1 )
Or ()s++ )s)= q)s++)s+ − 1 ) r
= q))s++ )s+ − 1
) r
=())s++ )s+ − 1) )
=))s+ + )s+ + 1 + 2))s+V − 2)s+ − 2))s+
)
D‘où l’égalité attendue…
