D30006. Un solide bien mesuré
Un parallélépipède a un volume de 216 cm3 et 216 cm2 comme somme des aires de ses faces. Que peut-on en déduire ?
Solution
Dans un parallélépipède rectangle d’arêtesa, b, c, de volume abc=V et de surfaceS= 2bc+ 2ca+ 2ab, le rapport S/√3
216V2 est la moyenne arithmé- tique de √3
V /a,√3 V /b,√3
V /c, au moins égale à la moyenne géométrique 1.
L’égalité n’est atteinte que par le cube (a=b=c,V =a3,S= 6a2).
A partir d’un parallélépipède non rectangle, on peut rendre les arêtes per- pendiculaires aux faces en remplaçant une face par la projection sur son plan de la face opposée ; cette opération (à faire successivement sur deux directions de faces, pour obtenir un parallélépipède rectangle) conserve le volume en réduisant la surface. La minoration de S3/(216V2) par 1 vaut donc pour tout parallélépipède.
On en conclut que le solide de l’énoncé, pour lequelS3= 216V2, est un cube (d’arête 6 centimètres).
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