E582 − Le trésor de La Buse [***** à la main]
Problème proposé par Gwenaël Robert
En l'an 1730, juste avant d'être pendu haut et court, le célèbre pirate Olivier Levasseur jeta un cryptogramme dans la foule en s'écriant : « Mon trésor à qui saura le prendre ! »
Il y a peu de temps, Diophante est enfin parvenu à déchiffrer ce texte. Il apparaît que La Buse aurait enterré son fabuleux magot quelque part sur une île circulaire ou à ses alentours. Sur le pourtour de cette île, comme sur chaque île qu'il investissait, il fit dresser un certain nombre de postes de guet.
Les longueurs des arcs de cercle entre deux postes de guet adjacents, exprimées en hectomètres, prenaient les valeurs entières de 1 au nombre de postes de guet (1)
La Buse avait coutume de dissimuler son trésor au croisement à angle droit de deux droites joignant chacune deux postes de guet.
Avant de dissimuler sa fortune, il envoya donc Triple-Buse, son fidèle mais pas bien malin second, œuvrer à la construction des postes. Ce dernier respecta bien les différentes distances demandées, mais, ne sachant pas leur ordre précis, les distribua au hasard.
A force de recherches, Diophante a localisé pas moins de quatre îles circulaires sur lesquelles La Buse s'est rendu et où le trésor pourrait se trouver... La première comptait 9 postes de guet. Les autres en avaient 13 , 15 et 18. Seulement Diophante est pingre et n'a les fonds nécessaires que pour une seule expédition.
C'est alors que Zig intervient, éliminant trois îles parmi les quatre en quelques minutes de réflexion.
Q₁ : Lesquelles ? Et comment a-t-il fait ?
Et Puce de surenchérir.... Très astucieux en effet ! Sur cette île, La Buse était certain de pouvoir dissimuler son trésor, quels que soient les choix de Triple-Buse.
Q₂ : Comment Puce a-t-il pu affirmer ceci en quelques minutes de plus ? Q₃ : Est-on assuré que le pirate ait pu cacher son trésor sur la terre ferme ?
(1) C'est ainsi que sur un îlot circulaire d'un kilomètre de circonférence, il y aurait eu au
maximum quatre postes de guet et les distances entre les postes successifs auraient été, par exemple, de 1,4,3,2 hectomètres.
Nota :Il est évident que, s'il ne disposait pas d'outil de calcul avancé, La Buse, comme tout bon capitaine de l'époque, maîtrisait les notions élémentaires de géométrie.
Solution proposée par Marie-Christine Piquet
En préambule ;
Par analogie avec les angles parmi lesquels 2 angles A & B sont complémentaires ( A + B = pi/2) ou supplémentaires (A + B = pi) , on considérera que 2 arcs A & B de longueur A + B = p sont complémentaires et 2 arcs A + B = 2p sont supplémentaires et où 2p est la longueur du périmètre de l'ile .
Par la suite toute égalité concernera uniquement des longueurs d'arcs exprimées en hm . Les posi- tions angulaires ne concerneront donc que les cordes sous-tendant
ces arcs . Les arcs élémentaires sont les arcs ayant servi à la construction du cercle ( A1 , A2 , ... A15
) . Les arcs composés sont tous les autres ( A i +..+ A j ).
Tout d'abord , si 2 cordes d'un polygone sont perpendiculaires elles peuvent se couper :
a) sur le cercle et dans ce cas AB + BC = AC = p ; les 2 cordes AB et BC forment un angle droit et le trésor peut être en B comme sur 12 autres points sur ce cercle.
b) à l'intérieur du cercle ; dans ce cas les 4 postes A , B , C et D sont placé dans cet ordre et AC + BD > p ; et AC + BD = p + 2BC (1) . Les arcs AB & CD sont alors complémentaires .
c) à l'extérieur du cercle ; dans ce cas AB + CD < p ; et AB + CD = p - 2BC (2) Q1 : La parole est à Zig .
Si 2 postes de guet sont diamétralement opposés sur une ile possédant n postes , on peut affirmer que La Buse dispose d'au moins n - 2 endroits pour cacher son trésor .
Dans ce cas les cachettes peuvent être situées sous les n - 2 postes de guet . Et cela n'est possible que si le demi-périmètre p est un nombre entier.
Si on calcule le périmètre de chacune des 4 iles : 2p = n.(n+1)/2 . Pour que le demi-périmètre p soit entier , n ou n+1 doit nécessairement être multiple de 4 .
La Buse n'a donc pas pu cacher son trésor sur les iles possédant 9 , 13 et 18 postes de guet ( leur demi périmètre étant respectivement p = ( 22.5 , 45.5 , 85.5 ) .
Seule l'ile aux 15 postes ( de demi périmètre entier 15 x 16 / 4 = 60 hm ) a pu intéresser La Buse . En effet , supposons que sur une des 3 iles "impossibles" 2 cordes AC et BD soient perpendicu- laires . Dans le sens horaire , A , B , C , D sont 4 points du cercle . Les 2 cordes AC et BD se cou- pent sur l'ile dans ce cas . On peut donc affirmer , concernant les arcs , que AC + BD = p + 2BC (1) ; p est donc un entier puisque les arcs ont tous des longueurs entières.
Maintenant si les cordes AB et CD se coupent en mer , alors : AB + CD = p - 2BC (2) . p doit être entier . Cela confirme l'impossibilité concernant les 3 iles précitées.
Q2 : La parole est à Puce . En quelques minutes il a surement du argumenter plus simplement que ce qui va suivre .
_Deux cordes perpendiculaires peuvent effectivement se couper en mer . Imaginons les 4 points A , B , C , D dans le sens horaire. On récupère la seconde formule (2) :
AB + CD = p - 2BC . Comme dans ce cas p = 60 est un nombre pair , alors AB et CD doivent nécessairement avoir même parité .
Prenons un exemple : AB = 13 et CD = 27 => BC = (60 - 40)/2 = 10 . Les 4 postes de guet A , B , C & D sont ainsi disposés :
AB = 6 + 7 = 13 , BC = 1 + 9 = 10 et CD = 13 + 14 = 27 . On peut affirmer que les cordes AB
& CD sont perpendiculaires et se coupent en mer.
La Buse , cherchant deux cordes à angle droit peut s'y prendre ainsi :
Il cherche un arc AB de longueur n < p ( p assez proche de n ) ne contenant pas l'arc élémentaire p-n à une de ses extrémités . S'il existe un arc composé p-n à l'extérieur de l'arc AB cela fonctionne- ra tout pareil .
Sur le dessin ci-dessous l'arc AD mesure 6 + 7 + 1 + 9 + 13 + 14 = 50 = 60 - 10 = p - 10 et con- tient l'arc composé BC = 1 + 9 = 10 . Les 2 cordes AB et CD sont donc perpendiculaires . En appli- quant la formule (2) La Buse peut cacher son trésor en mer.
Sur le même dessin on voit en bas un arc DR de longueur : 4 + 8 + 15 + 11 + 12 = 50 . L'arc BC mesure 1 + 9 = 10 . Les 2 cordes RC et BD sont aussi perpendiculaires .
La Buse peut cacher son trésor sur l'ile .
Toujours sur le même dessin , l'arc composé : GH = 7 + 1 + 9 + 13 + 14 + 4 + 8 = 56 contient à l'intérieur son complément KL = 60 - 56 = 4 .
On peut tout de suite en conclure que les cordes GK et LH de longueurs respectives 7 + 1 + 9 + 13 + 14 = 44 et 8 sont perpendiculaires . Mais à gauche il existe aussi un arc élémentaire et complé- mentaire UV de longueur 10 extérieur à l'arc AD de longueur 6 + 7 + 1 + 9 + 13 + 14 = 50 . Et donc UV + AD = p = 60
Les cordes UA et VD se coupent à angle droit elles aussi . ( formule (1) ). Mais tout ceci n'est pas une démonstration .
On considère maintenant des iles sur lesquelles aucun poste de garde ne sont diamétralement oppo- sés.
Si on considère une ile à 4 postes (n = 4): 2p = 10 et p = 5 . Prenons le grand arc 4 ; ou l'arc com- plémentaire 1 est voisin et le trésor est sur le cercle , ou l'arc 1 est en face
et la corde reliant les origines coupe à angle droit celle joignant les extrémités . Dans ce cas le trésor est à l'intérieur du cercle . Dans tous les cas il est sur terre.
Si l'ile possède 7 postes : n = 7 , 2p = 28 et p = 14 . On prend toujours le grand arc 7 avec l'un de ses voisins ( b = 5 par exemple) ; 7 + 5 = 12 .
Ou l'arc complémentaire 2 est voisin et dans ce cas le trésor est sur le cercle , ou l'arc complémen- taire 2 ne touche pas l'arc composé 12 et dans ce cas le trésor est à l'intérieur du cercle .
Si l'ile possède 8 postes : n = 8 , 2p = 36 et p = 18 . On choisit le grand arc 8 . Si on l'additionne à l'un de ses voisins b , le complément de l'arc composé 8 + b
est 18 - 8 - b = 10 - b . 1) Si b > 2
a) Les arc 10 - b et 8 + b sont adjacents et le trésor est caché sous un poste de garde . b) Les 2 arcs ne sont pas adjacents et le trésor est caché à l'intérieur de l'ile .
2) Si l'arc 8 est encadré par les 2 arcs 1 & 2 , on somme les 3 arcs pour obtenir l'arc composé 8 + 1 + 2 = 11 ; on choisit alors l'arc 7 = 18 - 11 .
a) Les 2 arcs sont adjacents et le trésor est sous un poste
b Les 2 arcs ne sont pas adjacents et le trésor est à l'intérieur de l'ile .
Si l'ile possède 11 , 12 , 15 , 16 , 19 , 20 .... postes , là ça commence à se compliquer.
Avec n = 7 on peut partitionner en 4 quarts de cercle . Les zones sont les suivantes : A : 7 ; B : 1 + 6 ; C : 2 + 5 ; D : 3 + 4
La configuration d'origine est donc 7 , 1 , 6 , 2 , 5 , 3 , 4
Au départ les 2 cordes sont 2 diamètres perpendiculaires . Ensuite on peut effectuer des transferts sans modifier l'équerrage des cordes .
1) On vide la zone D dans la zone opposée B . Il reste ainsi 3 zones : A : 7 ; B : 1 + 3 + 4 + 6 ; C : 2 + 5
2) On échange entre les 2 zones A & C : A : 2 ; B : 1 + 3 + 4 + 6 ; C : 5 + 7
3) On recrée la zone D en piochant dans la zone opposée B : A : 2 ; B : 1 + 3 + 4 ; C : 5 + 7 ; D : 6
4) On peut maintenant effectuer 4 transferts d'un arc d'une zone vers la zone voisine dans le sens direct ici : 2 de A ---> D , 3 de B ---> A , 7 de C ---> B et 6 de D --> C .
On obtient : A : 3 ; D : 2 ; C : 5 + 6 & B : 1 + 4 + 7 . Les 2 cordes sont toujours perpen- diculaires .
5) On vide la zone A dans la zone opposée C : D : 2 ; C : 3 + 5 + 6 ; B : 1 + 4 + 7 6) On échange entre les 2 petites zones B et D : D : 1 + 2 ; B : 4 + 7 ; C : 3 + 5 + 6 7) On recrée la zone A en piochant dans la zone C : A : 6 ; B : 4 + 7 ; C : 3 + 5 ; D : 1 + 2 On arrive à ce stade à la configuration : 6 , 4 , 7 , 3 , 5 , 1 , 2
Avec n = 15 on peut procéder de la même façon : la configuration d'origine est celle ci : A : 15 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ; B : 6 + 11 + 13 ; C : 8 + 10 + 12 ; D : 7 + 9 + 14
La configuration est la suivante : 15 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 11 , 13 , 8 , 10 , 12 , 7 , 9 , 14 . Les 2 cordes passent par le centre et sont perpendiculaires .
1) On peut tout de suite effectuer l'opération 4) effectuée ci dessus . On déplace dans le sens di- rect 15 de A vers B , 14 de B vers C , 11 de C vers D et 10 de D vers A.
Ce qui donne : A : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 14 ; B : 6 + 13 + 15 ; C : 8 + 11 + 12 ; D : 7 + 9 + 10 . les zones A & C et B & D restent complémentaires .
A partir de là on peut supprimer une des 4 zones afin de transformer une zone en demi cercle , puis effectuer des échanges entre les 2 petites zones etc....
A partir d'une configuration quelconque on doit être en mesure d'effectuer le chemin inverse , il me semble .
Avec n = 7 ( p/2 = 7 ) ; n = 15 (p/2 = 30) , n = 11 (p/2 = 33) le quart de cercle est un entier . Pour n = 12 par exemple , on doit partir avec une configuration de départ un peu différente qui ne peut être 4 quart de cercle ( 39/2 n'étant pas entier ), mais toujours avec des zones opposées complémen- taires . ex 17 , 23 , 22 , 16
les zones opposées sommant 39 .
Q3 : Puisque en effectuant des permutations , des rotations d'arcs élémentaires , des suppressions de zones et des échanges entre zones complémentaires ,
le point d'intersection des 2 cordes reste toujours sur l'ile . Il peut y avoir évidemment plusieurs autres solutions ( voir le dessin ) .
