Classe de quatrième Les puissances
1. Notation a
na) Définitions et vocabulaire
a est un nombre relatif non nul.
a0=1 Exemple : 70=1 a1=a Exemple : 71=7
Si n ≥ 2 alors an=a×a×a....×a ( produit de n facteurs égaux à a) Exemple : 23=2×2×2=8 an est la puissance de a, d’exposant n et on lit « a puissance n ».
Remarque : a² est le carré de a et a3 est le cube de a.
a−1=1
a (l’inverse de a se note 1a ou a-1) Exemple : 2−1=12 ; −5−1=−51 =−15
Si n ≥ 0 alors a– n= 1
a×a××a= 1
an (l’inverse de an ) Exemple : 4−2= 1 42
b) Des pièges à éviter
–24 et –24 3×72 et 3×72 532 et 532
La puissance s’adresse au nombre placé juste devant elle ou bien placé entre parenthèses.
La puissance est toujours prioritaire sur les autres opérations.
Signe d'une puissance
Pour tout nombre entier relatif n,
Si a est positif, alors anest positif.
Si a est négatif, alors anest négatif.
2. Utiliser les puissances de 10
a) Écriture décimale des puissances de 10
10-4 10-3 10-2 100 101 102 106
0,000 1 0,01 0,1 1 100 1 000 1 000 000 000
Conclusion :
10n = 10...0 avec n zéros
10-n = 0,0...01 avec n chiffres après la virgule.
b) Règle de calcul
Pour tout nombres relatifs a et b, pour tous les nombres entiers m et n, positifs, négatifs ou nuls, on a : 10m×10n=10mn Exemple : 103×102=1032=105
10m
10n=10m−n Exemple : 109
107=109−7=102 10−3
10−5=10−3−−5=10−35=102
10m
n=10m×n Exemple :
102
3=102×3=106
10−3
4=10−3×4=10−12c) Écriture scientifique
On utilise les puissances pour écrire des nombres décimaux et pour les comparer.
Exemple :
21375=2137,5×10=2137,5×101 0,0032=0,032×0,1=0,032×10–1 21375=213,75×100=213,75×102 0,0032=3,2×0,001=3,2×10–3
21375=2,1375×… … 21375=0,0021375×…..
Définition :
L’écriture scientifique d’un nombre est de la forme a×10n où a est un décimal ayant 1 seul chiffre différent de 0 avant la virgule.
Exemple : 21375=2,1375×104 et 0,0032=3,2×10–3 Comparer, encadrer des nombres décimaux :
Exemple : un nombre de la forme a×1012 est compris entre 1012 et 1013 car a est compris entre 1 et 10.
3. Priorités opératoires
Attention, quand une expression comporte des puissances, on calcule en priorité : 1-Les calculs entre parenthèses
2-Les puissances
3-Les multiplications et les divisions Exemples :
A=50−3×42 A=50−3×16 A=50−48 A=2
B=5−32 B=5−9 B=−4
C=5−32 C=5×9 C=45
