Puissances
Quatrième (cycle 4)
I Puissances d’exposants positifs
Soitaun nombre réel etnun nombre entier naturel, avecn≥2.
• Le produita×a× · · · ×a
| {z }
nfacteurs
denfacteurs est une puissance dea. On la nommeapuissancenouaexposantn:
a×a×a× · · · ×a
| {z }
nfacteurs
=an
• Cas particuliers :
• a0=1 pour tout réeladifférent de 0 (a6=0) ;
• a1=a;
• a2se litaau carré ouapuissance 2 ;
• a3se litaau cube ouapuissance 3 . Définition 1(Puissance)
3×3×3×3
| {z }
4 facteurs
=34=81 (−2)×(−2)×(−2)
| {z }
3 facteurs
=(−2)3= −8 10×10×10×10×10
| {z }
5 facteurs
=105=100 000
Exemple
Soitnun entier naturel, avecn≥1 alors : 10n=1 0· · ·0
| {z }
nzéros
Propriété 1(Puissance de 10)
103=1 000 (mille) 106=1 000 000 (1 million)
109=1 000 000 000 (1 milliard)
Exemple
II Puissances d’exposants négatifs
Soitaun nombre réel non nul (a6=0) etnun nombre en- tier.
• a−ndésigne l’inverse deanet donc : a−n= 1
an
• Cas particuliers :
• a−1= 1 a1
=1
a . C’est l’inverse dea. Définition 2(Puissance d’exposants négatifs)
2−4= 1 24= 1
16 (−5)−2= 1
(−5)2= 1 25
(10)−3= 1 103
= 1
1000=0, 001
Exemple
Quatrième (cycle 4) Puissances
Soitnun entier naturel, avecn≥1 alors : 10−n= 1
1 0· · ·0
| {z }
nzéros
=0, 0· · ·0
| {z }
nzéros
1
Propriété 2(Puissance de 10 d’exposants négatifs)
10−3=0, 001 1 millième
10−6=0, 000001 (1 millionième)
Exemple
III Puissances de 10 et préfixes
* (1 milliardième)
Préfixe giga méga kilo hecto déca unité déci centi milli micro nano
Symbole G M k h da d c m µ n
10n 109 106 103 102 101 100=1 10−1 10−2 10−3 10−6 10−9
milliard million mille cent dix dixième centième millième millionième *
IV Complément sur le nom des grands nombres
Les grands nombres comme 1 000 000 ou 1 000 000 000, ... ou en général 103n, avecnentier naturel, portent des noms particuliers comme : million, milliard, billion, trillion, quadrillion, billiard, trilliard, quadrilliard, etc...
Si million et milliard représentent respectivement 106et 109dans tous les cas, il n’est pas du tout pareil pour les autres : billion peut représenter 109ou 1012suivant le pays dans lequel il est employé ou même l’époque.
Il y a en fait principalement deux systèmes utilisés :
• L’échelle latine courteemployée aux USA, de plus en plus en Grande-Bretagne. Elle était également employée en France au XVIIIe siècle.
• L’échelle latine longueemployée en Europe continentale, comme en France ou en Belgique.
Au niveau mondial cependant, l’échelle courte devient de plus en plus employée au détriment de l’échelle longue.
Nombre échelle courte (USA) échelle longue (France)
106 million
109 billion milliard
1012 trillion billion
1015 quadrillion ou quatrillion billiard
1018 quintillion trillion
1021 sextillion trilliard
1024 septillion quadrillion ou quatrillion 1027 octillion quadrilliard ou quatrilliard
1030 nonillion quintillion
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