G133. Jeu de piste
Dix-huit enfants qui ont tous des prénoms différents, participent collectivement à un jeu de piste. Chacun de leurs prénoms a été écrit sur un morceau de papier et les dix-huit papiers ont été placés à leur insu sous dix-huit pierres facilement identifiables. A tour de rôle, chaque enfant soulève neuf pierres pour relever les noms écrits sur les neuf papiers.
Le jeu est gagné par le groupe des dix-huit enfants si chacun d'eux retrouve son propre prénom. Si l'un quelconque ou plusieurs d'entre eux échouent, tout le groupe perd.
Les enfants ont le droit de se concerter avant le début du jeu pour définir ensemble une éventuelle stratégie mais au cours du jeu ils ne communiquent jamais entre eux et ne laissent aucun signe particulier lorsqu'ils soulèvent les pierres et les remettent à leur place. Le moniteur qui contrôle le bon déroulement des opérations note les prénoms dévoilés par chaque enfant.
Avec les notions de calcul des probabilités qu'il a encore en mémoire, le moniteur est convaincu que la probabilité de gain du groupe d'enfants est très faible car il assimile le jeu à la répétition de dix-huit épreuves indépendantes entre elles, chacune étant assimilée au tirage exhaustif de neuf boules dans une urne qui en contient dix-huit marquées des prénoms. Mais il oublie qu'il y a un Pascal en herbe qui permet à tout le groupe d'enfants d'avoir plus d'une chance sur trois de gagner.
Quels sont les raisonnements respectifs du moniteur et du Pascal en herbe ? Source : d'après Peter Bro Miltersen
Solution
Proposée par Fabien Gigante
Généralisons le problème à enfants pouvant chacun soulever pierres. On se limitera aux cas 2 . D’après le raisonnement du moniteur, chaque enfant a une probabilité de trouver son prénom, et le groupe ne gagne alors qu’avec une faible probabilité . Pour 18 et 9, on trouve 1 262144 .
Le Pascal en herbe numérote les enfants et les pierres de 1 à , et note le numéro de l’enfant dont le prénom est écrit sous la pierre . Il demande à chaque enfant numéro de soulever d’abord la pierre numéro , puis, s’il n’y trouve pas son prénom, la pierre numéro en utilisant l’information ainsi découverte, et ainsi de suite, jusqu’à la pierre numéro dans le pire des cas.
Selon cette méthode, l’enfant numéro trouve son prénom en retournant un nombre de pierres égal à la longueur du cycle engendré par dans la permutation . Si la permutation ne contient que des cycles de longueur au plus égale à , alors le groupe gagne. Dans le cas contraire, le groupe perd.
Calculons tout d’abord la probabilité , qu’une permutation de longueur contienne au moins un cycle de longueur exactement . Si on suppose que 2 , il ne peut y avoir plus d’un cycle de longueur exactement , et se décompose alors de façon unique en ce cycle de longueur et une permutation quelconque des éléments restants. On choisit les éléments : possibilités. On choisit le cycle de longueur : 1! possibilités. On choisit la permutation de longueur : ! possibilités. Soit :
, !
! ! 1! !1
! 1
Reste alors à calculer la probabilité , qu’une permutation de longueur ne contienne que des cycles de longueur au plus égale à . En supposant que 2 , le conclusion découle du résultat précédant :
, 1 , !
1 1
!
Pour 18 et 9, on obtient une probabilité ",# 1 $ % " & 0,33386 1 3 .
La stratégie du Pascal en herbe permet donc à tout le groupe d'enfants d'avoir plus d'une chance sur trois de gagner.
