Numéro de place Numéro d’inscription Nom Prénom

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Signature

Épreuve : Physique 1 PC

Ne rien porter sur cette feuille avant d’avoir complètement rempli l’entête Feuille

Question 1

𝑥 𝑦

𝐽

𝑀 ₁

𝑀 ₂ 𝐿

rayon incident

𝜃

Lame d’air équivalente

Figure A

Ne rien écrire dans la partie barrée

luametatex 2.0808 20210105 LMTX

P036-DR/2021-03-13 11:52:04

Question 11

Figure B

Question 24

Électromagnétisme Mécanique des fluides

Champ électrique 𝐸 ⃗⃗⃗⃗⃗

Profondeur de peau 𝛿 évolution en 1

√ 𝜔

Cas 𝛿 → 0

conducteur parfait 𝜎 ₀ → ∞

Figure C

Formulaire et données

L’espace est rapporté au trièdre direct (𝑂, ⃗ 𝑒 _𝑥 , ⃗ 𝑒 _𝑦 , ⃗ 𝑒 _𝑧 ). On donne, en coordonnées cartésiennes, les opérateurs

— gradient : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ grad 𝜉 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∇(𝜉) = ∂𝜉

∂𝑥 𝑒 _𝑥 ⃗ + ∂𝜉

∂𝑦 𝑒 _𝑦 ⃗ + ∂𝜉

∂𝑧 𝑒 _𝑧 ⃗ ;

— divergence : div ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∇ ⋅ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸 = ∂𝐸 _𝑥

∂𝑥 + ∂𝐸 _𝑦

∂𝑦 + ∂𝐸 _𝑧

∂𝑧 ;

— rotationnel : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ rot ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∇ ∧ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸 = ( ∂𝐸 _𝑧

∂𝑦 − ∂𝐸 _𝑦

∂𝑧 ) ⃗ 𝑒 _𝑥 + ( ∂𝐸 _𝑥

∂𝑧 − ∂𝐸 _𝑧

∂𝑥 ) ⃗ 𝑒 _𝑦 + ( ∂𝐸 _𝑦

∂𝑥 − ∂𝐸 _𝑥

∂𝑦 ) ⃗ 𝑒 _𝑧 ;

— laplacien scalaire : Δ(𝜉) = ∇ ² (𝜉) = ∂ ² 𝜉

∂𝑥 ² + ∂ ² 𝜉

∂𝑦 ² + ∂ ² 𝜉

∂𝑧 ² ;

— laplacien vectoriel : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Δ( ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸) = ∇ ² ( ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸) = Δ(𝐸 _𝑥 ) ⃗ 𝑒 _𝑥 + Δ(𝐸 _𝑦 ) ⃗ 𝑒 _𝑦 + Δ(𝐸 _𝑧 ) ⃗ 𝑒 _𝑧 .

On rappelle par ailleurs que

— le rotationnel d’un gradient est nul : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ rot(⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ grad 𝜉) = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∇ ∧ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∇(𝜉) = ⃗ 0;

— la divergence d’un rotationnel est nulle : div(⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ rot ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸) = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∇ ⋅ (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∇ ∧ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸) = ⃗ 0;

— ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ rot( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴 ∧ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵) = (div ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴 − (div ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴)⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵 + (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵 ⋅ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ grad) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴 − ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴 ⋅ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ grad)⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵;

— ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ rot(⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ rot ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴) = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ grad(div ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴) − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Δ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴).

Eau Air

Masse volumique (kg⋅m

) 𝜌 _𝑒 = 1,0 × 10 ³ 𝜌 _𝑎 = 1,3

Viscosité dynamique (Pa⋅s) 𝜂 _𝑒 ≈ 1,0 × 10 ^–3 𝜂 _𝑎 ≈ 1,8 × 10 ^–5