A. Le cˆ able coaxial

Devoir de Sciences Physiques n

2 du 04-10-2021

— Solutions —

Probl` eme n

1 – Proc´ ed´ es de transmission d’un signal

A. Le cˆ able coaxial

Le cˆable coaxial parfait

1.Le courant circulant dans l’ˆame revient par la gaine vers le g´en´erateur de tension.

2.On applique la loi des maillesu(x, t) = Λdx^∂i(x,t)_∂t +u(x+ dx, t). En divisant par dx, on fait apparaˆıtre la d´eriv´ee de la tension et donc l’´equation diff´erentielle : ^∂u_∂x=−Λ^∂i_∂t . Pour l’autre ´equation diff´erentielle, on ´ecrit la loi des nœuds i(x, t) =i(x+ dx, t) + Γdx^∂u(x+dx,t)_∂t . On commence par ´ecrire que ^∂u(x+dx,t)_∂t ≃ ^∂u(x,t)_∂t pour

´eliminer les termes d’ordres sup´erieurs `a 1 et, toujours en divisant par dx, on arrive alors `a la seconde ´equation diff´erentielle : _∂x^∂i =−Γ^∂u_∂t .

3. On d´erive la premi`ere ´equation selon xpour obtenir ^∂_∂x^2u2 = −Λ_∂x^{∂ ∂i}_∂t

. Comme le temps t et l’espace x sont des param`etres ind´ependants, on peut permuter les op´erations de d´erivation et ´ecrire ^∂_∂x^2u2 =−Λ_∂t^∂ _∂x^∂i

. On utilise alors la seconde ´equation diff´erentielle pour finir en ´ecrivant l’´equation de D’Alembert: ^∂_∂x^2u2 = ΛΓ^∂_∂t^2u2 = _v¹2

∂²u

∂t². La c´el´erit´e des ondes dans le cˆable coaxial est : v= √¹

ΛΓ . Sur le plan dimensionnel,vest bien une vitesse. ΛΓ s’exprime en H F m⁻². Pour d´eterminer l’unit´e associ´ee `a H F, on reprend les relations de base de l’´electrocin´etiqueu=L_dt^di pour la bobine eti =C^du_dt pour le condensateur. On peut donc constater sur le plan dimensionnel que ^LC_t2 est sans dimension. Le produit H F est donc un temps au carr´e.v est donc bien une vitesse en m·s⁻¹.

4.Les d´eriv´ees secondes se calculent tr`es facilement : <sup>∂</sup><sub>∂t</sub><sup>2u</sup>2 =−ω<sup>2</sup>uet <sup>∂</sup><sub>∂x</sub><sup>2u</sup>2 =−k<sup>2</sup>u. On a donc−k<sup>2</sup>=−<sup>ω</sup><sub>c</sub><sup>22</sup>. La relation de dispersion est k<sup>2</sup>=<sup>ω</sup><sub>v</sub>2<sup>2</sup> dans le cas du cˆable id´eal. On appelle cette relation, relation de dispersion malgr´e le fait que, dans le cas pr´ecis, il y ait propagation sans dispersion puisque la vitesse de phasevϕ=<sup>ω</sup><sub>k</sub> =v est ind´ependante de la pulsation de l’onde. Toutes les composantes du paquet d’ondes se propagent `a la mˆeme vitesse. Il y a deux solutions oppos´ees pour k dans cette relation de dispersion, l’une correspondant `a une propagation `axcroissant `a savoirk=^ω_v >0 pour la forme expj(ωt−kx) et l’autre pourxd´ecroissant.

5.On utilise l’´equation diff´erentielle^∂u_∂x =−Λ^∂i_∂t. Tout d’abord, on a^∂u_∂x =−ρjk(i0expj(ωt−kx)+i1expj(ωt+

kx)) =−ρjki. Comme ^∂i_∂t =jωi, on peut en d´eduire queρk= Λω. Avec l’expression de _ω^k =v, on trouve que ρ=q

Λ

Γ =Zc . ρest l’imp´edance caract´eristique du cˆable coaxial. Elle s’exprime en Ω. En effet, sur le plan dimensionnel, on voit queu+=ρi0 dans les expressions fournies pour la tension complexe. En se basant sur la loi d’Ohm,ρne peut ˆetre qu’une r´esistance qui s’exprime en Ω.

6. L’imp´edance de bout de cˆable est d´efinie par Z = ^u(d,t)_i(d,t). On commence donc par ´ecrire que l’imp´edance de bout de cˆable est Z = Z_cⁱ_i^{0exp−jkd−i1expjkd}

0exp−jkd+i1expjkd. En d´eveloppant, on obtient (Z +Z_c) expjkdi1 = (Z_c − Z)i0exp−jkd. Il est alors possible d’isoleri1 en fonction dei0 : i1=i0Z_c−Z

Z_c+Z exp−2jkd. 7.On aZ(x) = ^exp−jkx−

Zc−Z

Zc+Zexp−jk(2d−x) exp−jkx+^Zc−Z

Zc+Zexp−jk(2d−x). Cette imp´edance sera ind´ependante dexsi l’on a Z =Z_c . Cela provoque une simplification de tous les termes et il reste alorsZ(x) =Z_c ∀x. On ai1= 0. Il n’y a plus d’onde r´efl´echie en bout de cˆable. Toute la puissance transmise `a l’imp´edance de bout de cˆable est absorb´ee.

Le cˆable coaxial avec pertes

8.La r´esistance dR=rdxa pour origine la r´esistance ´electrique du fil de cuivre constituant l’ˆame du cˆable coaxial. Le cuivre est un tr`es bon conducteur mais sa conductivit´e ´electrique n’est pas pour autant infinie.

9. La loi des nœuds est toujours la mˆeme. Par contre la loi des mailles doit ˆetre compl´et´ee avec le terme provenant de la pr´esence de la r´esistance ´electrique :−^∂u∂x =ri+ Λ^∂i_∂t. Si l’on d´erive cette ´equation par rapport

`

a x, on obtient−^∂∂x^2u2 =r_dx^di + Λ_∂x^{∂ ∂i}_∂t

. Toujours en permutant les d´eriv´ees spatiale et temporelle, on arrivera

`a injecter la loi des nœuds et on obtiendra sans aucune difficult´e la nouvelle ´equation de propagation des ondes de tension et de courant dans le cˆable coaxial : ^∂2_∂x^u(x,t)2 = ΛΓ^∂2u(x,t)_∂t2 +rΓ^∂u(x,t)_∂t .

10.La relation de dispersion est : k²=^ω_v2² −jrΓω . On constate qu’elle est complexe. Cela signifie que le vecteur d’ondekest n´ecessairement complexe lui aussi. Il y aura propagation, dispersion mais aussi modification de l’amplitude. Cette modification ne peut qu’ˆetre une att´enuation puisque nous savons que les r´esistances sont des ´el´ements passifs qui dissipent de l’´energie par effetJoule. L’amplitude du signal va diminuer au cours de la propagation.

11. Avec la forme propos´ee par l’´enonc´e, on voit que l’expression de la tension complexe devient u = u0expj(ωt−αx+jβx). En d´eveloppant, on arrive `a u(x, t) =u0exp−βxexpj(ωt−αx) . Le terme α ex- prime la propagation de l’onde dans un terme de phase classique de la forme ωt−αx alors que le terme β repr´esente l’att´enuation. En effet, si α > 0, la propagation s’effectue `a x croissant, l’amplitude ne peut que diminuer. Il faut donc queβ >0.

12. On a P(x) = ¹₂ℜ(u0exp−βxexpj(ωt−kx)i0exp−βxexp−j(ωt−kx)). On trouve donc que P(x) =

1

2u0i0exp−2βx = P0exp−2βx. On peut donc ´ecrire que ln_P(x)^P0 = 2βx. L’att´enuation lin´eique est donc : A= _{ln 10}²⁰ β .

13.Nous savons que k² = ^ω_v2² −jrΓω. On peut factoriser pour ´ecrire que k² = ^ω_v2²

1−^rΓvω²

. En utilisant la relation d´efinissant la c´el´erit´ev des ondes, on peut encore ´ecrire que k² = ^ω_v2² 1−j_Λω^r

. Comme r≪ Λω, on peut passer `a la racine en travaillant sur un d´eveloppement limit´e. On ´ecrit donc quek= ^ω_v 1−j_2Λω^r

en ne consid´erant que la solution dont la partie r´eelle est positive, ce qui correspond `a une propagation dans le sensxcroissant comme cela ´etait souhait´e. En d´eveloppant l’expression pr´ec´edente et en utilisant l’expression de v pour la partie imaginaire, on arrive `a k = ^ω_v −j^r₂q

Γ

Λ. L’expression du coefficient d’att´enuation est donc : β= ^r₂q

Γ

Λ . Il est sans doute pr´ef´erable de faire apparaˆıtre l’imp´edance caract´eristique pour conclure queA= _{ln 10}¹⁰ rq

Γ

Λ =_{ln 10}¹⁰ _Z^r_c.

14.Ce ph´enom`ene est l’ effet de peau . Les ondes ´electriques ne vont se propager que dans une faible ´epaisseur de conducteur `a sa surface, ´epaisseur d’autant plus faible que la fr´equence est ´elev´ee. Cela r´eduit la section de l’´ecoulement des charges et influence n´ecessairement la r´esistance ´electrique et donc l’att´enuation du signal.

L’ordre de grandeur de cette faible ´epaisseur est fix´ee par la grandeur physique que l’on appelle l’´epaisseur de peau.

B. La fibre optique

G´en´eralit´es

15.Les lois deSnell-Descartesrelatives `a la r´eflexion et `a la r´efraction de la lumi`ere disent que les rayons incident, r´efl´echi et r´efract´e sont contenus dans le plan d’incidence form´e par le rayon incident et la normale au dioptre. L’angle de r´eflexion est ´egal `a l’angle d’incidence. Pour la r´efraction, l’angle de r´efraction est li´e `a l’angle d’incidence par la loi : n1sini1=n2sini2 .

16. Ce dispositif est tr`es int´eressant pour v´erifier la loi des sinus car lorsque le rayon lumineux entre (ou sort, cela d´epend du sens d’utilisation) dans le demi-cylindre, il n’y a pas d’effet de r´efraction puisque le rayon arrive toujours selon la normale. On peut donc concentrer son attention sur un seul ph´enom`ene de r´efraction sur la face plane. Comme cela est propos´e sur le sch´ema, on s’int´eresse `a la r´efraction du plexiglas vers l’air d’indice plus faible. On peut donc mettre en ´evidence le ph´enom`ene de r´eflexion totale si l’angle d’incidence d´epasse la condition nsini = nasin^π₂ = na. On utilise un laser car le faisceau est fin, peu divergent et tr`es monochromatique (cela ´evite les ph´enom`enes de dispersion que l’on met facilement en ´evidence lorsqu’on utilise de la lumi`ere blanche). Voir le sch´ema de la figure 1.

La fibre optique `a saut d’indice

x y

bO

air

air plexiglas

laser

i1

r1=i1

i2

Figure1 – V´erification des lois deDescartes

doit donc avoir cosi1 < q

1−ⁿ_n^2g2_c. Ainsi, on doit observer sinθ < nc

q

1−ⁿ_n^2g2_c. Cela conduit `a la condition : sinθ <q

n²_c−n²_g . L’angle limite d’entr´ee dans la fibre est donc θL = arcsinq

n²_c−n²_g. On trouve comme valeur num´eriqueθL= 12,2˚.

18.Le rayon qui traverse le plus rapidement la fibre est celui qui parcourt le moins de chemin `a savoir celui qui suit l’axe de la fibre optique. Cela correspond `a θ= 0. La vitesse de propagation estv= _n^c_c, la longueur `a parcourir estL. La dur´ee est donc : T1=^nc_c^L .

19. Le rayon qui met le plus de temps est celui qui est le plus inclin´e par rapport `a l’axe optique. C’est celui qui est `a la limite de la r´eflexion totale. Comme il fait un angleθ0avec l’axe optique, pour chaque portion parcourue de longueurxsur l’axe de la fibre, il parcourt une distance _cos^x_θ

0. Mˆeme si son trajet est une succession de segments droits, l’angleθ0 est conserv´e. La distance totale parcourue est donc _cos^L_θ

0. La vitesse est toujours v=_n^c

c. Enfin, comme cosθ0= sini1,lim= ⁿ_n^g

c, on aura une dur´ee T2=ⁿ_n^2cL

gc .

20.L’intervalle de temps estδT =T2−T1=^L_c(ⁿ_n^2c_g−nc) = ^nc_c^L(ⁿ_n^c_g−1). Or, nous savons que_n

g

nc

2

= 1−2∆

avec ∆ ≪ 1. On peut effectuer les calculs en d´eveloppement limit´e pour ´ecrire que ⁿ_n^g_c = 1−∆ mais aussi

nc

ng = 1 + ∆. Cela nous permet de trouver l’expression attendue : δT =^nc_c^L∆ . On trouve num´eriquement que

∆≃10⁻²et avec les valeurs num´eriques, on peut conclure que : δT = 5µs.

21.En sortie de la fibre, l’allure de l’impulsion sera toujours de type gaussien . Elle sera par contre d’amplitude plus faible et sera plus large sur le plan temporel. Sa dur´ee de sortie sera d’environ :τs≃τe+δT.

22. Si τe n´egligeable devant δT, alors τs ≃ δT. La fr´equence maximale qui va ´eviter le recouvrement des impulsions sera donc : fmax=_δT¹ = 0,2 MHz .

23. Le produit B = Lmax×f est la bande passante de la fibre optique. Or, nous venons de montrer que δT = ^nc_c^L∆. On a donc _n^c

c∆ = _δT^L =Lf. La bande passante de la fibre optique est donc : B= _n^c

c∆ . Cette bande passante est homog`ene `a une vitesse, on trouveB= 2×10⁹m·s⁻¹.

La fibre optique `a gradient d’indice

24.Par d´efinition du gradient, on a −−→grad n=^∂n_∂y~ey=^dn_dy~ey puisque l’indice de r´efraction ne d´epend que de y. La formule nous montre facilement quen(y) est croissant avecy poury <0 et d´ecroissant pour y >0. Le gradient est donc orient´e vers le haut pour y < 0 et vers le bas pour y >0. On constate que la courbure du rayon lumineux est toujours dans le sens du gradient.

25.Si on applique `a chaque dioptre successivement, la loi de Descartes de la r´efraction, on obtient alors nj−1sinij−1=njsinij =nj+1sinij+1. Comme nous l’avons d´ej`a fait avec deux angles compl´ementaires `aπ/2, on constate que sini(y) = cosϕ. On peut donc g´en´eraliser et proposer le fait que n(y) cosϕ(y) = Cte. La loi de Descartes`a l’entr´ee de la fibre est nasinθ =ncsinθ0. Si l’on applique la loi de conservation `a l’entr´ee, on anccosθ0 =n(y) cosϕ(y). Par d´efinition de la tangente, on a tanϕ= ^dy_dx. En passant au carr´e, on obtient tan²ϕ=_cos^sin22^ϕϕ =_cos¹2ϕ−1. Or, cos²ϕ=^n2c_n^cos2(y)^2θ0. Cela permet d’´ecrire que

dy dx

2

= _n(y)

nccosθ0

2

−1 . 26.Si l’on d´erive par rapport `a x l’´equation diff´erentielle pr´ec´edente, on arrive `a 2_dx^d2y2

dy

dx = ^2n(y)

dn dy

dy dx

n²_ccos²θ0 . On peut simplifier par 2^dy_dx. On d´erive de la mˆeme fa¸con, l’expression fournie pour n²(y). On obtient 2n(y)^dn_dy =

−4n²_c∆_r^y2

c. Il ne reste plus qu’`a remplacer dans la premi`ere ´equation diff´erentielle. On obtient alors l’´equation demand´ee : _dx^d2y2 =−(rccos^2∆θ0)²y . La solution de l’´equation diff´erentielle est de forme harmonique : y(x) = Acos_cos^√2∆_θ

0

x

rc +Bsin_cos^√2∆_θ

0

x

rc. On d´etermine les constantes d’int´egration en utilisant les conditions en x = 0

`

a savoir y(x = 0) = 0 et ^dy_dx

_x=0 = tanθ0. La premi`ere condition impose que A = 0, ce qui permet d’´ecrire que y(x) = Bsin_cos^√2∆_θ

0

x

rc. En d´erivant, on obtient ^dy_dx = B_rc^√_cos^2∆_θ

0cos_cos^√2∆_θ

0

x

rc. En utilisant la condition en x= 0, on arrive `a ^dy_dx

_x=0 = tanθ0 = _r^√2∆

ccosθ0. On en d´eduit l’expression B = ^rc√^sinθ0

2∆ . La solution est alors : y(x) = ^rc√^sinθ0

2∆ sin_cos^√2∆_θ

0

x

rc. Le rayon lumineux coupe l’axe desx`a chaque fois que la phase est incr´ement´ee de π. On peut donc exprimer la distanceddemand´ee selon : d= ^πr√^ccosθ0

2∆ . 27.Nous avons vu que sinθL=q

n²_c−n²_g. L’ouverture num´erique ne d´epend que des indices du cœur et de la gaine. On a donc : ON =q

n²_c−n²_g . Dans les deux types de fibres propos´ees, on a le mˆeme indice de gaine et le mˆeme indicenc sur l’axe de la fibre. L’ouverture num´erique sera donc la mˆeme. Cette ouverture num´erique nous informe rapidement de la marge de r´eglage que l’on a pour faire entre le faisceau laser dans la fibre optique.

28.Nous venons de rappeler que ON =q

n²_c−n²_g = sinθL. Or, la loi de Descartes `a l’entr´ee de la fibre impose que sinθL = ncsinθ0. On en d´eduit que sinθ0 =

q

1−ⁿn^2g2_c. Mais par la relation fondamentale de la trigonom´etrie, on ´ecrit que sinθ0 =√

1−cos²θ0. Cela permet de conclure que cosθ0 = ⁿ_n^g_c. `A partir de cette expression, on peut calculer le nouvel ´etalement temporel de l’impulsion : δT<sup>′</sup>= 2,5 ns . C’est 2 000 fois plus court que δT, la fibre pourra accepter une fr´equence maximale 2 000 fois plus ´elev´ee. L’am´elioration est due au fait que les rayons qui arrivent avec l’angle maximal dans la fibre n’iront pas jusqu’`a la gaine, le gradient d’indice va les rabattre vers l’axe. Ils passent plus de temps de parcours dans des milieux d’indice plus proches denc que cela n’´etait le cas pour la fibre `a saut d’indice.

Le multiplexage par longueurs d’onde

29. Le multiplexage par longueurs d’onde est avantageux par rapport `a une transmission avec une seule longueur d’onde car mˆeme si les ondes se superposent temporellement, elles ne vont pas interf´erer entre-elles puisqu’elles poss`edent des longueurs d’ondes diff´erentes.

30.Les composants sont r´eciproques car s’ils peuvent superposer plusieurs longueurs d’onde, ils vont aussi ˆetre capables de faire le contraire : ils vont s´eparer plusieurs longueurs d’ondes qui arriveraient superpos´ees.

31.On utilise le principe du r´eseau en se basant sur la loi de Bragg de la diffraction par le r´eseau. Cette loi donne les angles sous lesquels ´emergent des rayons lumineux (les ordres) pour un ´eclairage r´ealis´e sous une

Pertes associ´ees `a l’usage de la fibre optique

32.On raisonne en r´egime permanent. La puissance qui entre enxcorrespond `a la puissance qui sort enx+ dx additionn´ee de la puissance absorb´ee. Cette puissance absorb´ee est proportionnelle au rapport des surfaces entre la section efficace totale et la section de la fibre optique en supposant que son ´eclairage soit total et uniforme.

La puissance absorb´ee est ´evidemment aussi proportionnelle `a la puissance qui entre enx. Pour ´ecrire l’´equation traduisant ces propos, il faut encore ´evaluer le nombre d’impuret´es pr´esentes entrexetx+ dx. La concentration volumique ´etantnv et le volumeSdx, on en anvSdx. Pour chacune, on compte une section efficaceσ puisque l’´enonc´e nous dit qu’il n’y a pas de superposition des sections efficaces microscopiques. La puissance absorb´ee est donc dPabs=P(x)<sup>nvSdxσ</sup><sub>S</sub> . On a doncP(x) =P(x+ dx) +P(x)<sup>nvSdxσ</sup><sub>S</sub> . L’´equation diff´erentielle `a laquelle ob´eit la puissance est donc ^dP_dx +σnvP(x) = 0 . Sa solution est ´el´ementaire puisqu’en x= 0, on a P(x= 0) =P0. On trouve :P(x) =P0exp−nvσx.

33.Le calcul de l’att´enuation lin´eique de puissance lumineuse entre le point d’entr´ee de la fibre en x= 0 et un point d’abscissesxest trivial puisque ln_P(x)^P0 =nvσx. On trouve : A=_{ln 10}¹⁰ nvσ.

34.On utilise cette fois la d´efinition de l’att´enuation en logarithme `a base 10. Une att´enuation d’un facteur 100 pour atteindre 1% de la valeur initiale, correspond `a une att´enuation lin´eique de 20 dB puisqueA= 10 log 10²= 20 dB. On aLfibre = ²⁰_A. On trouve : Lfibre= 100 km . Cette valeur est tr`es int´eressante par rapport au cˆable coaxial qui poss`ede une att´enuation 50 fois plus grande. Le cˆable coaxial sera donc 50 fois moins long, c’est-`a-dire qu’il fera 2 km de long.

35.La longueur d’onde permettant d’optimiser les t´el´ecommunications mettant en œuvre des fibres optiques doit correspondre au minimum du graphique propos´e. On lit λ≃1,6µm , il s’agit du proche infrarouge.

36.La masse de l’atome d’oxyg`ene est 16 fois plus grande que celle de l’atome d’hydrog`ene : ^m_m^O

H = 16 . ´Etant beaucoup plus lourd, il est beaucoup plus inerte. On peut simplifier le probl`eme en le consid´erant comme fixe.

37.L’atome d’hydrog`ene poss`ede une chargeq. Il va donc ˆetre sensible `a la force ´electromagn´etique deLorentz f~=q(E~ +~v∧B~) car l’onde lumineuse correspond `a la propagation d’un champ ´electrique E~ et d’un champ magn´etique B. Il va donc se mettre en mouvement. On peut montrer facilement que, dans la plupart des~ cas pour les charges non relativistes, la contribution magn´etique de la force sera n´egligeable par rapport `a la force ´electrique. Ceci est dˆu au fait que l’amplitude du champ magn´etique de l’onde ´electromagn´etique B0 et l’amplitude du champ ´electriqueE0 sont li´es par la relationE0 ≃ _n^c_cB0. Comme la vitesse v de la charge est telle quev≪c, on ne retiendra que la contribution ´electrique de la force deLorentz.

38. Comme nous l’avons vu `a la question pr´ec´edente, la force ´electrique est f~ = q ~E. La relation de la Dynamique appliqu´ee `a l’atome d’hydrog`ene portant la charge q dans le r´ef´erentiel galil´een du laboratoire donne m~a = q ~E −kx~ex. En projetant sur l’axe Ox, on a donc m¨x+kx = qE0cos 2πf t. On divise par m pour faire apparaˆıtre la pulsation propre de l’oscillateur harmonique ¨x+ω₀²x= ^qE_m⁰cos 2πf tavecω₀²= _m^k. La fr´equence propre de l’oscillateur est f0= _2π¹ q

k m .

39.En utilisant les complexes ou simplement une forme de solution r´eelle en cos 2πf t, on arriveA(−ω²+ω₀²) =

qE0

m . L’amplitude r´eelle est alors : A= _4π2m^qE|f₀⁰²−f²| . La courbe repr´esentantA(f) fait apparaˆıtre plus qu’une r´esonance puisqu’il s’agit d’une divergence infinie en f =f0. Pour que le mod`ele soit un peu plus r´ealiste, on doit ajouter une force de frottement fluide ce qui est classique. La r´esonance marquerait alors un maximum born´e enf =f0 ou bien au voisinage proche de la fr´equence de r´esonance.

40. On trouve une fr´equence propre f0 = _2π¹ q

k

m = 1,07×10¹⁴Hz. La longueur d’onde associ´ee est alors λ = _f^c

0 = 2,8µm. Cette valeur ne correspond pas au maximum d’absorption par les ions HO⁻ pr´esent sur le graphique. En effet, il faut faire attention au fait que l’´enonc´e nous informe que l’on a affaire `a la premi`ere harmonique sur la partie du graphe visible. Le fondamental est doncf =f0et la premi`ere harmonique `af =nf0

avecn= 2. On en d´eduit que la longueur d’onde absorb´ee est la moiti´e de celle que l’on vient de calcul´ee. On a donc bien λHO⁻ = 1,4µm .

Probl` eme n

2 – Plasmons dans les m´ etaux I

0 t

τe^−τtdt =τR_∞

0 xe^−xdx o`u une int´egration par parties fournitR∞

0 xe^−xdx= [−xe^−x]^∞₀ +R∞

0 e^−xdx= 1 donc t=τ : la dur´ee moyenne entre deux chocs est bien ´egale `aτ.

De mˆeme, t² = R_∞

0 t²

τe^−τtdt = τ²R_∞

0 x²e^−xdx o`u on obtient encore une fois par int´egration par parties R∞

0 x²e^−xdx =

−x²e^−x∞

0 + 2R∞

0 xe^−xdx = 2 donc t²= 2τ² . On peut interpr´eter ce r´esultat en termes d’´ecart quadratiquetc pour la r´epartition des dur´ees entre deux chocs, avect²_c = (t−τ)²=t²+τ²−2τ tdonc tc =τ; la dur´eeτ est donc `a la fois la moyenne et l’´ecart quadratique moyen des r´epartitions des dur´ees entre deux chocs.

2.Apr`es chaque choc, la direction de la vitesse~vest compl`etement al´eatoire donc ~v=~0 . 3.Par d´efinition,E= ¹₂mv²_c donc vc=q

2E

m = 1,32×10⁶m·s⁻¹. Cette vitesse est tr`es ´elev´ee, en particulier si on la compare aux vitesses macroscopiques du m´etal lui-mˆeme, et surtout aux vitesses quadratiques moyennes des mol´ecules d’un gaz (de l’ordre de 1 000 m·s<sup>−1</sup> au maximum). Par contre, cette vitesse reste heureusement inf´erieure `a la vitesse cde la lumi`ere (vc/c∼4×10⁻³), permettant de continuer la description m´ecanique des

´electrons dans un cadre non relativiste.

4. L’´energie thermique Et = ³₂kBT = 3,8×10⁻²eV, avec une vitesse thermique associ´ee vt = q

2Et

m ou vt= 1,2×10⁵m·s⁻¹, on a E≫Etet vc/vt≃11 donc l’´energie des ´electrons n’est pas d’origine thermique.

5.Entre deux chocs, les ´electrons ne sont soumis qu’`a la force ´electrique donc m<sup>d~</sup><sub>dt</sub><sup>v</sup> =−e ~E0 qui s’int`egre en

~v=~vq−_m^eE~0(t−tq) , ce qui m`ene imm´ediatement `a ~vq+1−~vq=−_m^eE~0(tq+1−tq) . 6.~vd=−m^eE~0tq+1−tq avectq+1−tq =τ donc ~vd=−^eτmE~0 .

7.Dans ce mod`ele,m<sup>d~</sup><sub>dt</sub><sup>v</sup> =−e ~E0−ζ~v; en r´egime permanent (absence de chocs), atteint au bout d’une dur´ee dont on verra qu’elle est de l’ordre deτ, c’est-`a-dire tr`es br`eve, on obtient ^d~_dt^v =~0 donc~vd=−^eζE~0, identique

`a l’expression pr´ec´edente sous r´eserve que ζ= ^m_τ .

8.~v=−^eτ_mE~0 donc la densit´e volumique de courants~j =−N e~v v´erifie~j=γ0E~0 avec γ0= ^{N e}_m^2τ . Pour l’or, N =NAd

M = 5,90×10²⁸m⁻³ ce qui donne τ =^γ_{N e}^0m2 = 2,71×10⁻¹⁴s . Cette courte dur´ee justifie l’´etude du seul r´egime permanent ci-dessus.

9. vd = ^eτ_mE0 avecE0 = 10³V fournit vd= 4,76 m·s⁻¹ . vd ≪ vc, ce qui justifie le terme de d´erive pour d´esigner ce mouvement moyen tr`es lent, en comparaison de l’agitation macroscopique ´electronique `a la vitesse quadratique moyennevc.

10. On ne r´esout que dans le domaine 0 6 x 6 Lx puisqu’en dehors de cet intervalle, le mod`ele impose U(x)→ ∞doncf(x) = 0. L’´equation deSchr¨odinger prend alors la forme <sup>d</sup><sub>dx</sub><sup>2f</sup>2 =−<sup>2mE</sup>~<sup>2x</sup>f(x) =−αf(x), o`u on notera que~= _2π^h. Selon le signe deα, ce type d’´equation a des solutions :

— exponentielles r´eelles, si α <0 ; la double conditionf(0) =f(Lx) = 0 impose alorsf(x) = 0 partout et am`ene `a rejeter cette solution ;

— affines, si α = 0 ; ici encore, la double condition f(0) =f(Lx) = 0 impose alors f(x) = 0 partout et am`ene `a rejeter cette solution ;

— sinuso¨ıdales siα >0 ; c’est le seul cas compatible avec la double condition aux limites.

Finalement, la seule solution acceptable est ici du typef(x) =f0sin(Kxx) +f1cos(Kxx) maisf(0) = 0 impose f1= 0 et on aura bien f(x) =f0sin(Kxx) .

11.De fa¸con ´evidente,Kxest l’ inverse d’une longueur ; on a vu queKx²=α= ^2mE~^2x soit Ex=^~

2K²_x 2m . 12.Il reste `a exploiter la derni`ere condition aux limitesf(Lx) = 0 pour cette solution (dont on notera l’analogie avec une onde stationnaire dans une cavit´e de longueurL ), qui m`ene `a sin(K L ) = 0 donc K = ^pπ , o`up

´energ´etiques Ey= ^~

2K_y²

2m , Ez=^~_2m^2K2z et pour conditions de quantification Ky= _L^qπ

y, Kz= _L^rπ

y o`u (q, r) ∈ N^∗×N^∗.

14.On d´eduit directement de ce qui pr´ec`ede E=^~_2m^2π2

p² L²_x +_L^q22

y +_L^r22 z

.

15.Si on trace les vecteursK~ depuis une origine commune `a l’origine des coordonn´ees, leurs extr´emit´es sont dispos´ees aux nœuds d’un r´eseau tridimensionnel dont l’extr´emit´e num´erot´ee (p, q, r) est au point de coordonn´ees (p∆Kx, q∆Ky, r∆Kz), avec ∆Kx= <sub>L</sub><sup>π</sup><sub>x</sub>, ∆Ky= <sub>L</sub><sup>π</sup><sub>y</sub>, ∆Kz= <sub>L</sub><sup>π</sup><sub>z</sub> . Un tel r´eseau est form´e de parall´el´epip`edes de volume ∆Kx∆Ky∆Kz contenant chacun exactement un nœud du r´eseau ; on peut donc bien affirmer que le vo- lume occup´e par un ´etat ´electronique est ∆Kx∆Ky∆Kz= _Lx^π_L³_yLz , puisqu’un ´etat ´electronique est enti`erement d´efini par le vecteurK.~

16.L’ensemble des ´etats d’´energieǫ6E donc de vecteur d’onde~κv´erifiantk~κk 6K correspond `a la partie de la sph`ere de rayonK =q

2mE

~ avec κx >0,κy >0 etκz >0. Il s’agit donc d’un huiti`eme de sph`ere de rayonK, et de volume ¹₈^4πK₃ ³.

Pour ce qui concerne les ´etats d’´energieE `adE pr`es, le volume concern´e s’´ecrit ¹₈4πK²dK. Le volume occup´e par un ´etat ´etant ∆Kx∆Ky∆Kz, le nombre d’´etats d´ecrit ici estdn= ^2×

1

84πK²dK

∆Kx∆Ky∆Kz soit dn=^K_π^2dK2 LxLyLz . On remarque qu’on a remplac´e un d´ecompte exact des ´etats par une approximation continue, ce qui est justifi´e par l’hypoth`ese ∆K≪dK propos´ee par l’´enonc´e.

17.L’int´egration du r´esultat pr´ec`edent fournitn(K) = _3π^K32LxLyLz ou, avec le changement de variableK= q2mE

~ , n(E) = ^(2mE)_3π2~^3/22 LxLyLz .

18.Le dernier niveau occup´e correspond `a la valeur deEtelle quen(E) =N LxLyLy(nombre total d’´electrons dans le m´etal) ; on a doncN = ^(2mE)_3π2~^3/22 donc EF = 3π²N^2/3 ~²

2m ou EF = 5,54 eV ; ce mod`ele permet donc de rendre compte de l’´energie cin´etique des ´electrons, qui n’est pas li´ee `a l’agitation thermique mais bien `a la localisation des ´electrons dans un volume restreint de l’espace, du fait de leur interaction avec le r´eseau p´eriodique des ions du m´etal.